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Full text of "L'Enseignement mathématique"

"^_xv-« ^ — ^~y t-^ 



L ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 



L'Enseignement mathém., 13' année; 1911. 



^r 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 

MÉTHODOLOGIE ET ORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT 

PHILOSOPHIE ET HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES 

CH MONIQUE SCIENTIFIQUE — MELANGES — BIBLIOGRAPHIE 



REVUE INTERNATIONALE 



P A HAÏSSANT TOUS LES DEUX MOIS 



DIRIGEE PAR 



C.-A. LAISANT 



Docteur es sciences, 

Examinateur d'admission à l'Ecole 

polytechnique de Pans. 



H. FEHR 

Docteur es sciences, 

Professeur à l'Université 

de Geiii'\e. 



AVEC LA. COLLABOKATIO.N DE 

A. BDHL 

Docteur es sciences 
Professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse. 

COMITÉ DE PATRONAGE 

P. APPELL (Paris). — Mon. CANTOR (Heidelberg). — E. CZDBER (Vienne. — W. -P. ERMAKOF (Kiet). 

J. FRANEL (Zurich). — Z.-G. de GALDEANO (Saragossei. — A. -G. GREENHILL i Woolwichi. 

F.KLBUMGôtlingen). — G.LORIA (Gênes). — P. MANSION(Gandi. — MITTAG-LEFFLER (Stockholm). 

E. PICARD (Parisi. — H. POINCARÉ (Paris). — P. -H. SCHOUTE (Grottingne). 

Dav.-Eug. SMITH i New-York). — G. STEPHANOS (Athènes). — F. Gomes TEIXEIRA (Porto). 

A. VASSILIEF (Kasanl. — A. ZIWET (Ann Arbor. Michigan, U. S. A.). 



Organe officiel de la Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 



TREIZIEME ANNEE 

1911 

GENÈVE 
GEORG & O, ÉDITEURS 



PARIS 
GAUTHIER-VILLARS, ÉDITEUR 



LEIPZIG 
R. G. TEUBNER 




1911 



$A 



GENEVE 
IMPRIMERIE ALBERT KÙ.NDIG 



ESQUISSE D'UNE TRIGONOMETRIE 

DÉBARRASSÉE DE L'INTRUSION DES ARCS DE CERCLE 



1. — L'attribution d'un caractère obligatoire à l'interven- 
tion du cercle dans l'assiette des principes de la Trigono- 
métrie est une vue très ancienne, puisque les noms de sinus, 
tangente, sécante, ... d\\RC six. ... sont portés depuis un 
temps immémorial par les alignes trigonométriques », par 
leurs jonctions inverses, et ce sentiment semble toujours 
fortement enraciné, car l'exhibition minutieuse du « cercle 
trigonométrique » inaugure tous les livres, tous les cours 
sur la matière, et, plus haut, le nombre rc, rapport de la cir- 
conférence au diamètre, reste mêlé intimement aux considé- 
rations conduisant d'une manière ou d'une autre à la cons- 
truction des Tables. 

Cependant, il ne s'agit en réalité que des angles recti- 
lignes et des rapports mutuels de segments rectilignes rat- 
tachés à ceux-ci par des constructions employant la règle et 
Yéquerre seulement, rapports dont les valeurs numériques 
sont déterminées ainsi par celles des angles qu'elles déter- 
minent inversement (sauf ambiguïté à lever), et rien de tout 
cela ne touche évidemment à la notion d'une figure courbe 
quelconque. L'opinion dont il s'agit est donc une pure illu- 
sion \ voilant comme toujours le fond des choses, ajoutant 
des complications inutiles à leur exposition. D'autre part, la 



1 Le préjugé a dû naitre du fait, que tous les instruments destinés à la mesure physique des 
angles ont pour principe la substitution à ceux-ci, d'arcs proportionnels sur un même cercle 
matériel, procédé indirect qui apporte des facilités extraordinaires à la construction de ces 
instruments, comme à la lecture de leurs indications. Mais les besoins de la pratique n'ont 
rien à voir à l'économie des théories. A cette occasion, d'ailleurs, il n'est pas hors de propos 
de rappeler que cette application du cercle est une simple commodité, nullement une nécessité : 
à la rigueur, on pourrait fort bien, par exemple, rapporter les angles à des échelles rectilignes 
■ dont les divisions seraient espacées suivant des lois convenables). 



6 t //. MER A Y 

Géométrie classique s'obstinail à éviter comme une souillure 
la moindre allusion aux considérations trigonom étriqués, 
se privant par Là des moyens expéditifs et puissants qu'elle 
v aurait souvenl trouves, et sa pruderie, son exclusivisme 
archaïque, étaient a demi couverts, en cette circonstance, par 
ce qu'il y a de laborieux et d'encombrant dans le clé chiffrage 
du o cercle trigonométrique », par la confusion que son em- 
ploi provoque et entretient longtemps parfois, entre ses arcs 
et des angles, entre des segments rectilignes en dépendance 
avec lui et des rapports numériques. 

Ces réflexions m'ont amené jadis à la conviction qu'il 
était possible d'arracher la Trigonométrie à ce parasitisme 
du cercle, par simple retour à la considération directe des 
angles et des rapports précités, et qu'il importait de le faire 
pour la simplifier et mettre ainsi ses ressources à la portée 
de la Géométrie élémentaire. C'est la réforme que j'ai amor- 
cée dans mon livre de 1874. que j'ai tant soit peu élargie 
dans son édition de 1903 ! et poussée dans celle de 1906 2 , 
jusqu'aux formules pour la résolution logarithmique des 
triangles, obtenues par les moyens les plus vulgaires. 

Sur cette voie, où je n'ai eu à faire encore que des pas pe- 
tits et peu nombreux, on peut marcher avec la même aisance 
jusqu'au bout. Je vais le montrer sommairement, présenter 
notamment une démonstration puisée à la même source, 
pour les formules générales concernant l'addition et la sous- 
traction des angles, d'où, une fois établies, le reste de la 
Trigonométrie courante se déduit rapidement, sans diffi- 
cultés spéciales. 

La rectification préalable des arcs de cercle ne s'impose 
pas plus impérieusement dans la recherche des relations ana- 
lytiques existant entre les angles eux-mêmes et leurs rapports 
trigonométriques, relations dont quelques-unes jouent déjà 
un très grand rôle en Mathématiques spéciales (dérivées de 
-in x discussion des figures rapportées à des coordon- 



1 Cette innovation, je le rappelle en passant, figure parmi celles de mon ouvrage, que les 

n mes officiels de 1905 B8 si. ni appropriées. (V. Revue scientifique. n° du 24 août 1907.) 
1 nouveaux Eléments de Géométrie, Dijon, Paul Jobard. Mes renvois à cette édition se feront 
ici par des numéros affectés d'an astérisque. 



ESQUISSE D'UNE TRIGONOMÉTRIE 7 

nées polaires, etc. ), où le calcul pratique des Tables a trouvé 
sa base rationnelle. Mais la question est d'un ordre plus élevé 
qui jurerait avec le terre à terre des considérations suivantes. 
Je la traiterai donc séparément dans un article qui suivra 
bientôt celui-ci. 

2. — Je raisonnerai sur des figures tracées toutes dans un 
même plan; comme pour des segments rectilignes, la même 
notation sera affectée à un angle (figure) et à la mesure de 
son amplitude rapportée à quelque unité choisie à volonté; 
jusqu'au n° 9, VI (înf.), je ne considérerai que des angles 
absolus, c'est-à-dire sans qualification positive ou négative. 
Je continuerai à représenter par 01 , (K , CO, l'angle neutre, 
le replet 1 et le droit, liés les uns aux autres par les égalités 

il, 2dX = tR. = iCO . 

Et je commencerai par approprier à des amplitudes quel- 
conques, les définitions d'où je suis parti en traitant des 
angles aigus ou droits seulement, au point de vue où je 
reste placé 250* et suiv.). 

I. Four tout angle AOB, de côtés OA, OB quelconques 
ainsi que son amplitude x, je nommerai directeur relatif à 
l'un OA de ceux-ci, le demi-plan OAb qui a pour arête la 
droite OA de ce côté et contient, soit la totalité de l'angle 
s'il est saillant 133* , soit, au cas que son amplitude atteigne 
ou surpasse celle du neutre, le premier A06 t (au moins) des 

angles saillants AO^,, 6,0& 2 6;OB qui ont concouru à 

sa composition 136*, IV . 

Nous désignerons ensuite par m un point indéterminé de 
l'autre côtéOB, pris toutefois ailleurs qu'au sommet O, par a 
le pied de la perpendiculaire abaissée de m sur la droite OA 
du premier, puis nous considérerons les nombres am : Oui, 
Oa : Oui, rapports des segments am, Oa à Om, qui sont 



1 Ces deux noms que j'ai donnés aux plus petits des angles ayant pour côtrs des demi-droites 
opposées dans le premier cas, confondues dans le second (l'angle nul étant excepté pour 
celui-ci), ont été parfois taxés de fantaisies néologiques. Je n'en persiste pas moins a croire 
tout a l'ait irrationnelle l'habitude courante de rapporter à l'angle droit ces amplitudes angu- 
laires aux rôles si importants, dont la notion est tout ce qu'il y a de plus étranger à celle de 
perpcndicularité. 



8 C H. ME RAY 

toujours déterminés parce que leur dénominateur commun 
Om est supposé 9^0, en outre visiblement indépendants de 
la position de m sur OB. 

II. Quand le côté OB ne se trouve pas appliqué sur la 
droite OA, le premier rapport am : Om n'est pas nul, et, en 
le revêtant de la qualification positive ou négative selon que 
ce coté tombe ou non dans le demi-plan directeur mentionné 
ci-dessus (I), on obtient une quantité (algébrique) qui est, par 
définition, le sinus de l'angle considéré, se notant sin AOB. 
En cas d'application, le même nombre a pour valeur 0, qui 
(considéré algébriquement toujours) est encore celle de 
sin AOB. 

III. Le second rapport Oa : Om revêtu, soit de la qualifi- 
cation positive ou négative selon que le point a se trouve 
sur le côté OA ou sur son prolongement, soit du caractère 
du zéro algébrique, quand a est en O, définit semblablement 
le cosinus de notre angle et se représente par cos AOB. 

IV. La mobilisation d'un dédoublement ...AOB ... du plan 
de nos figures, emportant tout ce que nous y avons tracé, 
puis sa réapplication sur ce plan, faite de manière à amener 
OA. OB en OB, OA respectivement, conduisent aux égalités 
sin BOA — sin AOB, cos BOA = cos AOB montrant que les 
quantités visées par les définitions précédentes ne sont mo- 
difiées en rien par la transposition des côtés de l'angle et 
qu'on peut, en conséquence, les noter plus simplement sin.r, 
cos x. 

V. Si l'on considère la demi-droite OcX perpendiculaire à 
OA dans le directeur de l'angle AOB relatif à OA (I) et un 
angle cXOB ayant le demi-plan OclA pour directeur relatif à 
Ocl, on apercevra immédiatement la réciprocité exprimée 
par les égalités 

(2) sin AOB = cos ClOB , cos AOB = sin ClOB . 

3. — Jusqu'au n° 9, VI inf., la lettre k représentera un 
entier absolu en complète indétermination (s'étendant à la 
valeur 0), sous la seule condition que sa grandeur rende 
possibles les soustractions éventuelles. 



ESQUISSE D'UNE TRIGONOMÉTRIE 9 

Pour toutes les valeurs de x. on a les relations alternatives 

(3) sin [x 4- kiO\ = cos x , — sin x . — cos x , sin x , 

(4) cos i.r -\- /-(.Ol = — sin x , — cos x , sin x , cos x ■ 

quand la division de k par 4 donne les restes i, 2, 3, res- 
pectivement, et 

sin \x — /(.Oi = — cos .»■ , — sin .r , cos x sin x , 

(6) cos [x — /• tO ) = sin x , — cos x . — sin .r , cos x , 

en correspondance respective avec les mêmes restes. 



I. Si 1 on construit un angle droit AOcX, puis un angle c\OB 
d'amplitude .r, en contiguïté extérieure avec lui par le côté 
commun Ocl. un certain autre AOB, de directeur OAcl rela- 
tivement à OA, sera d'amplitude (0 -f- x 136'. V . et l'on 
aura 2, II. III) 

sin [x + (&) = sin AOB , cos {x + O? | = cos AOB . 

Les égalités (2) 

sin AOB = cos clOB , cos AOB = sin ClOB 

peuvent être récrites pour cet angle AOB et l'angle annexe 
ClOB défini au n° 2, V, de mêmes notations et relation gra- 
phique que ceux du lieu cité, et Ton a d'autre part 



cos ClOB — cos ClOB = cosx , sin clOB = —sin ClOB 



parce que les angles clOB, clOB sont de mêmes côtés Ocl. 
OB, avec des directeurs relatifs à Ocl qui sont visiblement 
opposés. 

De tout quoi, on conclut immédiatement 

17) sin (x -\- CD i = cos x , cos (x -\- (D) = — sin x , 

conformément à ce que donnent pour k = 1, les relations (3), 
(4) en question. 

II. L'addition successive de tO. 2c0 [k — 1 ô? aux an- 
gles des premiers membres de (7), puis des combinaisons 
immédiatement visibles des équations ainsi obtenues, con- 
duisent aux formes générales de (3), (4). 



10 VU. MER A Y 

III. Finalement (I), on a sin x = sin [ .r — CD) -J- CD] = 
cos [x — CD) et, de même, cos .r = — sin (.r — (D), c'est-à-dire 

sin (x — (.0 | — — cos .i' . cos (.r — (.0) = sin x , 

relations d'où Ton passera à (5), (6) comme nous l'avons l'ait 
à l'instant II^ de (7) à (3), (4), sauf à substituer ici la sous- 
traction de (D, 2t0. ... aux additions de tout à l'heure. 

4. — On notera les cas particuliers de (3), (4), (5), (6), 

(8) sin (.r + kfft) = | — 1) sin x . cos (.r + k9ï] = \ — l) k cos x , 
(9 sin [x + /tR.) = sin x , cos [x ± kG\,) = cos x , 

que donnent le doublement et le quadruplement de l'entier k 
(1). 

5. — Il faut encore remarquer les égalités 

( sin liSt) = cos (d? + k9t) = , 
(10) 

( cos [k9t) = siu (CD + k9t) — {— ï)* , 

conséquences de sin 0= cos tO = (2, II, III), de sin cO = 
cos 0—1, évidemment, et des relations (8). 

6. — On a ces autres relations alternatives 



11 


sin (kCD 


— x) = cos X , 


sin # , 


— cos x , 


— sin x 


1-1 


cos (kCD 


— x) = sin a; , 


— cos .r , 


— siu ,r , 


cos X 



quand la division de k par 4 donne les restes I, 2, 3, 0. 

I. Un angle d'amplitude 4/ + i c<? = yôi + CD a pour côtés 
deux demi-droites OA, Ocl en perpendicularité mutuelle, et 
son directeur relatif au premier est le demi-plan OAcl. Si, 
en contiguïté intérieure avec cet angle par le côté Ocl, on 
place en ClOB un second angle d'amplitude .r. quelque troi- 
sième angle AOB, de directeur OAcl relatif à son côté OA. 
sera l'excès du premier des précédents sur l'autre (136*, V), 
savoir (4/ + i)CD — .£. On en conclut 

(13) sin [(4/ -f 1) CD — x] = cos x , cos [(4/ -f l)CD — x] = sin x , 



E S QUI S S E D'V N B TRIGONO M E TRI E 1 1 

à cause des égalités (2) entre des angles notés et places rela- 
tivement comme AOB, elOI> ici. 

II. De (13) on passe à (11), (12) aussi facilement que de 7 
à (3), (4) plus haut 3, II). 

7. — Les cas particuliers des formules (11), (12) qui cor- 
respondent aux restes 1, 2, sont intéressants et peuvent 
s'écrire 

(14) sin (A(R -+- iO — x) = cos.r , cos |/dv -f iO — x) = sinx , 
(15i sini/t'v -\- 9X. — x) = sin.r , cos (k(x\. -f- Di — x\ = — cos x , 
(16) sin i/ l'y + (R. -x) = — sin.r , cos [k(R. + Ox — x) = cos a; , 

8. — La considération de deux angles quelconques x, y 

conduit a 

l 17) siu (x + y) = sin x cos y Hh cos x sin v . 

(18) cos |x + y) = cos a: cos y ip sin a; sin y , 

où les signes supérieurs doivent être pris ensemble, ainsi que 
les inférieurs. 

I. 1° Quand chacun des angles x, y, x + y est compris 
entre et 91 exclusivement, la première des relations 17 
s'obtient facilement. Il existe effectivement 230* quelque 
triangle déchevètré, d'angles x, y , z = 9t — (x -\- y), avec 
des côtés respectivement opposés «, 6, e, pour lequel nos 
définitions 2, II, III) mises en jeu par les moyens les plus 
élémentaires donnent 

c = a cos y -f- b cos x , 
c a b 



sin - siu x 



puis, par des combinaisons évidentes, 

sin z = sin x cos y -\- sin y cos x , 
finalement, la formule en question 

19 sin (x -\- y) = sin x co6 y -f- sin y cos .»• , 

a cause de sin z = sin [5t — [x -\- y)] = sin (.r + ?/) (15). 



12 CI/. MÉRA Y 

2° Pour les mêmes valeurs de x, y. la validité de la for- 
mule (19) s'étend à toutes celles > 91 de leur somme corres- 
pondante. 

Les angles 91 — x, 91 — y et leur somme ôl — (,r + y) 
remplissant toutes les conditions ci dessus (1°), on trouvera 
successivement et facilement 

sin [x -f y. = — sin [iR. — i.r + y)] = — sin \{Dl — .r) + [91 — y)] 

= — [sin [91 — x) cos (^t — y) + cos [91 — se) sin [91 — y)} 

= — [sin .r ( — cos y) -\- | — cos x) sin v|] 

= sin .r cos y -+- cos x sin y (16), (19), (15). 

3° La même formule (19) res/e exacte pour x = O^quel que 
soit v. o// /?o//r y = quel que soit x, ou bien encore pour 
x + y = 91 quels que soient x, y. C'est ce que montre immé- 
diatement la réalisation successive de ces trois hypothèses 
numériques, avec prise en considération des égalités (10) 
donnant sin = sin5l=0, cos = 1 et des relations (15) 
comprenant, quand x + y =91, sin?/ = sin (31 — ,r) = sin.-r, 
cos y = cos {91 — x) = — cos x . 

4° Elle subsiste pour x = x + ^9t i y = y + 151, quand elle 
a lieu pour x = x . y=y . Car ces substitutions conduisent 
à 

I— 1)*+' sin |jr + v ) = (— 1)* sin x (— l) 1 cos y + 

|— 1)* cos .*„(— 1)' sin y (8) 

ce qui est exact par hypothèse. 

5° Elle s'étend à toutes les valeurs de x, y. Car, si k, l et 
£, 73 sont les quotients et les restes des divisions de x, y 
par 5t, opérées par défaut, elle est vraie pour x = £, y = rj 
a cause de \ < 51, y; < 31 (1°), (2°), (3°), puis, par suite (4°), 
pour .r = l + &5t, y = yj -f- ^-- 

II. La relation (17) avec les signes inférieurs se déduit de 
l'autre reproduite séparément en (19), par l'intervention d'un 
multiple de t'v, savoir kdl, pris > y. On trouvera effective- 
ment 

sin (x — y) = sin (x — y + k(R,\ = sin [x + {kiR. — y)] 
= sin x cos (X(7v — r) + cos x sin (/(.R. — y) 

= sin a; cos y — cos x sin y (9), (19), (16) 



ESQUISSE D'UNE TRIGONOMÉTRIE 13 

III. En recourant enfin à un angle auxiliaire d'amplitude 
k(R -f <•'?, pris > [x + y), les formules (17), maintenant éta- 
blies dans tous les cas, donneront facilement 

cos [x ± y) = sin [XlR. + (Â> — Ix ± j)] = sin [UcR -f- (D — x) IjZ y] 
= sin i/c'v -f- tO — a;) cos r ip cos ( X6*v -(- 0? — x) sin y 

= cos x cos v ZÇ sin x sin v (1^)« H7) , 

c'est-à-dire les relations (18) restant à établir. 

9. — Les indications suivantes résument ce qui me resté 
à dire. 

I. Les diverses formules revues précédemment procurent 
l'extension à toutes les valeurs du nombre .r, des propriétés 
de sinx, cos jc mentionnées aux n os 251* et suivants, pour les 
angles non > d), celle notamment des résultats de leur dis- 
cussion limitée à ce premier intervalle. 

II. De ces résultats combinés avec les égalités (10), on 
conclut que les seules racines des équations 

sin x = , sin x = -f- 1 , sin x = — 1 . 
cos x = , cos x = -j- 1 , cos x =: — 1 , 

sont les nombres inscrits dans les cases correspondantes du 
Tableau semblable 

( k9l , lD + kû\ , o? + Sfl + hol . 

(20) 

( lD + kSH . kô\ . 01 + /c»l , 

III. On discutera et résoudra comme il suit les équations 
numériques 

(21) sin x = 3 , cos x z=z c , 

dont les seconds membres sont des quantités algébriques 
données. 

L° è | > 1. La discussion de sin x I) montre que la pre- 
mière est impossible. 

2° è = 0, -+- 1, — 1. Les racines de la même équation ont 
été données dans les cases correspondantes du Tableau 2<> . 

3° < |â( < I. La construction graphique d'un triangle 



14 CH. MER A Y 

rectangle Oam 2, I, II) où le rapport d'un côté am de l'angle 
droit à l'hypoténuse Om — | è | est possible (244*, III; et pro- 
cure, par l'angle opposé à ce côté am, ou par cet angle aug- 
menté de St, selon que s ^ (8), une racine a de cette équa- 
tion, dont l'intervention amène celle-ci sous la forme 

(17), (18), 

la décompose ainsi en ces deux autres 

. •>" — "j „ x -\- •s 

sin — - — = . cot — jr — = , 

qui viennent d'être résolues (II). 

4° Et pareillement pour la seconde des équations (21 . 

IV. On fera la théorie de tang.r, cosx dans le même ordre 
d'idées, en prenant pour définitions les formules 

sin x cos x 

-- taner x = , cos x =: — , 

cos x sin x 

qui trouvent dans la figure expliquée au n° 2 des représen- 
tations géométriques évidentes; et, par de simples calculs, 
on développera les conséquences de leurs combinaisons va- 
riées avec celles qui expriment les propriétés de sin .r, cos x 
(3 et suiv.). 

Y. Les signes sécr, coséc x ne sont à mentionner qu'en 
passant, par la commodité accidentelle, mais bien rare et 
minime, de leur substitution à 1 : cos x, i : sinx. 

VI. Les quantités sin.r, cos.r, tang.r, cot.r, considérées 
comme des fonctions du nombre x, se trouvent actuellement 
définies pour toutes les valeurs (absolues) de celui-ci. Ces 
définitions s'étendent immédiatement aux valeurs qualifiées 
de x (positives, négatives), par les conventions suivantes. 
Après avoir représenté par + £, — £ comme d'habitude, la 
quantité absolue quelconque £ revêtue successivement du 
caractère positif et du négatif, il suffira de poser 

sin (+ ;i= + sin ; . cos (+ Ç) = cos \ , 

d'où (22) 

tang i+ -, — + lang ç , cot l± ï) = ± cot \ . 



E S QUI s S E DUNE TU I G NOM Ê T II I E 1 5 

Par une revue rapide de toutes nos formules antérieures, 
on constatera bien facilement la persistance de leur validité 
dans ces circonstances comportant même des valeurs et qua- 
lifications quelconques données aux multiplicateurs entiers 
tels que k. 

Et l'occasion sera particulièrement convenable pour faire 
ressortir les commodités procurées par l'imposition de la 
qualification positive ou négative aux mesures des angles 
qui, dans un plan commun, sont dirigés, soit dans quelque 
même sens giratoire, soit dans le sens opposé 155' . 

(On peut opérer cette extension dès le début et la pour- 
suivie au fur et à mesure de l'entrée de nos formules en 
scène, et ceci les simplifierait un peu, en les généralisant du 
coup. Mais il n'y aurait pas d'inconvénients à la passer sous 
silence, car elle ne commence qu'en mathématiques spé- 
ciales à être réellement utile, les signes sin, cos, ... qui 
concourent à la solution des équations élémentaires (figures 
algébriques) ne portent pour ainsi dire jamais que sur des 
angles absolus, même saillants.) 

VII. Comme pour le calcul de n et des logarithmes aupa- 
ravant, les détails donnés dans l'enseignement secondaire 
sur la construction des Tables trigonométriques, sont inutiles 
à tous les points de vue, éducatif et autres, autant qu'ils sont 
arides et fastidieux, même trompeurs. Car les procédés sur 
lesquels les élèves sont ainsi condamnés à pâlir sont de 
pures fantaisies, sans intérêt historique, et ils ne donnent 
pas la moindre idée de la méthode rationnelle qui a été réel- 
lement appliquée, qu'approfondiront, avec fruit cette fois, 
les sujets appelés à des études mathématiques un peu plus 
élevées. Ce serait bien assez de montrer en très peu de mots, 
chose des plus faciles,- la possibilité de calculs de ce genre, 
en théorie seulement, c'est-à-dire abstraction faite de leur 
valeur pratique et de la manière de les conduire pour s'as- 
surer une approximation de degré donné. 

Ici, l'emploi des formules 



x /l — cos a x /l 

Un 2 =V 2 ' C ° S 2 =V _ 



+ COS X 



16 C II. MER A Y 

réitéré à partir de x= t'? (cas où cos c<? = est connu) jus- 
qu'à x = i>? : 2" et complété par des considérations très 
simples, ne ferait intervenir que des extractions de racines 
carrées (avec des opérations entières) dans la construction 
théorique, pour des angles échelonnés entre et cO de cO : 2" 
en CD : 2" , c'est-à-dire par degrés de petitesse arbitraire, 
d'une Table de sinus et cosinus naturels, immédiatement 
extensible aux tangentes et cotangentes des mêmes angles. 
A quoi. Ton ajouterait l'indication dus parties proportionnelles 
pour le passage à d'autres angles, à ceux en particulier qui 
proviennent de la division sexagésimale ou décimale de 
l'angle droit. 

Cet expédient didactique n'a pas pour principe, comme 
celui des cours, une idée aussi étrange que celle de ratta- 
cher le calcul préalable des rapports trigonométriques d'un 
angle très petit à la métrique des lignes courbes, parfois des 
aires, et, tout compte fait, son exposition se ferait en quelques 
minutes, le monceau des calculs nécessaires à sa mise en 
nombres (si l'on pouvait y songer) serait sans doute bien 
moins pesant. Mais il serait infiniment plus sage d'émonder 
l'enseignement de toutes les questions aussi oiseuses et rebu- 
tantes que celle-ci. 

Ch. Méray (Dijon). 



LE PROBLEME DE PAPPUS 



Une question récente de V Intermédiaire des Mathémati- 
ciens Question .'!<><>7. R-C. Archibald), ramène l'attention 
sur ce célèbre problème : 

Rhombo dato, et uno latere producto, aptare sub angulo 
exteriori magnitudine datam rectam lineam, quse ad oppo- 
sitam angalam perlingat. 

Pappus, et après lui un certain nombre de mathématiciens, 
parmi lesquels Newton, Huygens, Gergonne, ont donné une 
solution algébrique et géométrique qui dépend de la cons- 
truction de deux lignes de différence et de produit connus 1 . 

Le problème plus général : Mener par an point donné 
(/ans an angle une sécante de longueur donnée, a été à son 
tour l'objet d'un certain nombre de recherches, auxquelles 
je crois devoir apporter ici ma contribution. La solution 
complète de ce problème général est donnée algébrique- 
ment par une équation du troisième ou du quatrième degré, 
graphiquement par l'intersection d'un cercle et d'une hyper- 
bole. Outre le rhombe, il y a d'autres cas particuliers dans 
lesquels le degré s'abaisse au deuxième. Il existe également 
un cas particulier qui conduit à une trisection d'angle. 

Le point donné A étant supposé placé dans l'angle XOY, 
soit BAC (fig. I . la sécante demandée de longueur /; me- 
nons la sécante DAE dont A est le milieu, puis OA' équi- 
pollent à AD, et OM équipollent à CB ; le point M est à l'in- 
tersection du cercle qui a O pour centre et / pour rayon avec 
l'hyperbole qui a pour centre A', les asymptotes parallèles ci 
I )\ et OY, et qui passe aussi par O. Le point M étant cons- 
truit, il ne restera qu'à tirer la droite BAC parallèle à OM. 



1 Consulter) par exemple, E. Pruvost, Géométrie Analytique, t I. p. 16-28. 
L'Enseignement niatluin.. 13* année; 1911. 



18 



/' . fi A H B A R I X 



Bien des méthodes s'offrent pour la recherche du point M, 
car on peut prendre par exemple pour inconnues soit les 
sécantes communes au cercle et à l'hyperbole, soit un angle 
fixant la direction de OM, soit encore un rapport ou une 

coordonnée hômographique, telle que ^= , etc.. Chaque 

méthode vaut d'ailleurs la peine d'être suivie, car elle révèle 
un l'ait intéressant. 




B D X 







Y 






- , M 4 


y 


c 2 


V 


:b, 


_3 


Nu \ 


M,*" 
5» 


o 


V/ .. B 2 B ,' 

/ v > 'M, 


V »w, 


... C 4 


Y' 



Fig. 1. Fig. 2. 

Prenons les côtés de l'angle XOY = 9 pour axes de coor- 
données ; en désignant par .r, et y x les coordonnées de A, 
.r, et — y x sont celles de A', le cercle et l'hyperbole ont res- 
pectivement pour équations 

1 1 I .r 2 + y 2 + 2.rr cos — P = , 



(2) 



. 



Pour que la conique du faisceau linéaire 

2xy + 2y t z — 2x t y + >. (.r 2 + y-' -4- 2.rv cos 8 — Pj = 

dégénère en deux droites, il faut que X soit racine de l'équa- 
tion du troisième degré 



(3) p sin- OX 3 — -21* cos &\> + (t] + y + 2x 1 y 1 cos 8 — P)l + 2ry = <> . 



/, I. P R () li I. E V S I) 5 l> A l> l> ( S 1 9 

qui a ses trois racines réelles quand on :i fa condition 

j 3|UÂ"' si..- 8 — l-\ — I- COS S 8 }* -I- /" ; S/ 2 COS' 8 

— 9<3Â" ! si..- 8 cos 8 — Vx t y t si.. 4 8 j* < . 

Cette condition exprime que le point donné A est à l'inté- 
rieur dune sextique à quatre rebrousseinents, tangente deux 
l'ois a chacun des axes. 

Lorsque = 90°, celte sextique n'est autre que l'hypo- 
cycloïde à quatre rebrousseinents, ou astroïde, 

.,.* _j_ f _ [* _ o . 

Lorsque est quelconque, la sextique (4) est aussi l'enve- 
loppe de toute corde BAC égale à / limitée par l'angle, en 
même temps que le lieu géométrique de la projection H sur 
cette corde du quatrième sommet N du parallélogramme 
OBNC. Mais elle jouit encore d'une autre propriété curieuse 
(Joachimstal, Salmon, Merlieux, — consulter, par exemple, 
Gomes Tkixeira. Traité des courbes spéciales, vol. 1. p. 332- 
338). 

Soient oz bissectrice de l'angle XOY, OX' et OY' les deux 
droites qui t'ont avec oz de part et d'autre des angles de 45°, 
R le rayon constant du cercle circonscrit au triangle OBC ; 
si l'on détermine l'astroïde enveloppe des cordes de lon- 
gueur 2R inscrites dans l'angle droit X'OY', la sextique (4 
est une courbe parallèle à celte astroïde, à la distance R cos 9 , 
les rebroussemenls des deux courbes se correspondant mu- 
tuellement. 

Pour déterminer le point M par un angle, nous cherchons 
l'angle XoM — <j> . En désignant par &> l'angle ,xoA\ l'équation 
à résoudre est alors 

sin lO — «I sin w / 



sin (6 — f\ sin çp OA' 

Dans le cas particulier où /=i'2()A', elle se décompose en 

m T — - — = , el sin -Z—± 8 + sin ' — — - cos 9 = . 



20 P. BARBARIN 

Par conséquent, si l'angle XOY est droit, l! étant égal à 
20A r =20A, les quatre points communs au cercle et à l'hy- 
perbole sont M, situé sur le prolongement de OA\ M 8 tel que 

XOM, = tï — -XOM., et les deux autres sommets M., M, 
.> s ■ a 

du triangle équilatéral inscrit a partir de OM 9 . De là les 
quatre sécantes BjAC, . B 2 AG S , B :i (> :i et B 4 C 4 , dont la pre- 
mière a pour milieu A fig. 2 . 

Soit enfin dans la figure 1 le rapport ^-rr = / . Les coor- 
données du point M sont 

2tx 2tr 



» +t 



et en les substituant dans l'équation (i) on calculera t par 
l'équation du quatrième degré 

(6) i \ x[[t — li 2 + y s (t + li 2 — 2x t y t cos B{t* — 1) } t % 

— l-\t — 11 2 = . 



*,+yJ 



En y faisant 




B — 2* , / = 2/' 


, A = (,, 


/ 


_ *, + .\ 



.*• V 



.»■ -f V ' 

cette équation pourrait s'écrire sous la forme 

(6') j A 2 )/ — // + B 2 U — // j l* — l"(t* - trf = . 

qui se prête assez bien à la discussion. On voit, par exemple, 
qu'elle a toujours au moins deux racines réelles, une posi- 
tive, une négative, entre — I et -f- 1. Quand OA' est inférieur 
ou égal à /', les deux autres racines sont aussi réelles, l'une 
étant inférieure à — 1 et la quatrième supérieure à 1. Il n'y 
a donc vraiment incertitude que lorsque OA' est plus grand 
que /'. 

Or, l'équation (6) développée a la forme 

(7) M/ 4 -j- 2m 8 -f Vt 2 — l' 2 = , 



/. /■: /' n o n 1. 1: m i: i> i: pappus 21 

en posant, pour abréger, 

M = OA' 2 — /'- . N = y\ — x\ = — OA . OA' cos AOA' . 
P = ÔÂ 2 + -ir- , 

et si l'on calcule le résultant A de cette équation avec l'équa- 
tion dérivée, 

l\M/- -f 3Ni + P = . 

la condition de réalité de ses quatre racines, qui s'exprime 
par 

revient, tous calculs développés, à l'inéquation \ . 

Il faut maintenant examiner les cas particuliers que peut 
offrir l'équation 7 , c'est-à-dire ceux où elle est quadratique. 
Le premier est celui, évident, où N = 0, A étant situé sur la 
bissectrice interne de l'angle XOY, et A' sur celle de l'angle 
adjacent. L'équation 7 est alors bicarrée en /, et donne 

2 solutions si /' <^ OAtr/a , 
\ » si /' 2> OXtqu . 

Pour les construire aisément, traçons fig. 3) BC == /, et le 
segment capable de l'angle aigu 9 sur BG : E étant le milieu 
de lare mineur sous-tendu, construisons deux lignes de dif- 
férence égale à OA et de produit égal a EB ; puis de E 
comme centre avec chacune de ces lignes pour rayon décri- 





Pig. 3. 



Fi K . i. 



22 P. BAR B a RI. \ 

vous deux arcs de cercle; le premier coupe toujours BG 
en A, , le second la coupe en A si l > 20A tg a; alors, les 
droites EA, et EA rencontrant le cercle en O, et O, les lon- 
gueurs (>B, OG, prises sur les côtés de l'angle déjà donné 0, 
les longueurs 0,B, 0,C, prises sur les côtés de son supplé- 
ment déterminent les extrémités des sécantes de longueur / 
qui passent par le point donne. 

L'équation 7 devient quadratique dans une autre circons- 
tance intéressante, celle ou 

N- — PiM = . 

Elle se décompose alors en deux équations du second 
degré. 

(8i yt- + Pt + V\/v — o , 

9 NZ Z -(- Vt — /VF = . 

Pour fixer les idées, soit .r, > ?/, ; l'équation (8 a deux 
racines réelles de signe contraire comprises entre — 1 et + 1 ; 
elles correspondent aux points d'intersection réels de la 
branche d'hyperbole qui passe par le centre du cercle, et 
donnent, ainsi que l'indique la figure 4, les sécantes B 3 C 3 
et B,C, . 

L'équation 9) n'a de racines réelles que si l'on a 

a 
P* + 4Z'N > , 

et ces deux racines, qui sont alors supérieures à 1, corres- 
pondent aux deux sécantes B,C, et B.,C. 2 . 

La condition de décomposition N 2 — PM = exprime que 
le point donné A appartient à une courbe du quatrième degré 
ayant pour équation cartésienne 

10 i.» V- siir -f /' 2 ..r 2 -f- y — 6.rv cos 0] — 2/' 4 = . 

Cette courbe a pour axes les bissectrices des angles XOY 

Ô 
2 



et XOY', la longueur du premier étant V cotg -= , et celle du 



second /' tg - 9 - ; elle est donc tangente en ces points à la sex- 

tique enveloppe 4); ses points de rencontre avec OX et OY 
sont à la dislance l'\/2 du point O. 



/. /•: PROBLEME DE PAPPUS 23 

Si L'angle \<>Y esl droit, la courbe (10) a pour équation 
polaire 

\[/\ + S sin*-Jw — 1)/'» 



sa forme, aisée à construire, montre qu'elle est toute inté- 
rieure à l'astroïde, ainsi que sur la figure 5; donc les sécantes 
qiii passent par les 
points de cette courbe 
sont toutes réelles. On 
peut lui donner une dé- 
finition géométrique as- 
sez simple, car si on 
projette chacun de ses 
points en m et m' sur 
des parallèles aux côtés 
de L'angle à la distance 

- , le produit Ont X Qm' 

est constant et égal à 

ï ' Fig 5. 

Quand l'angle XOY 
n'est pas droit, la courbe (10 conserve une forme analogue. 

Il ne reste plus qu'à construire les quatre sécantes, en 
faisant 

, = =£?.. 




si z est une ligne à déterminer, de même signe que /; alors, 
par l'équation (8), on trouve deux lignes de différence \/P 

et de produit ~,_ ; par l'équation (9) deux lignes de somme 

_ /' n 

\/P et de produit ,-= . Enfin, par 

CO _ — s/Yz 
CE ~~ N 

on fixe le point C qu'il n'y a plus qu'a joindre au point A. 

P. Barbaiun (Paris). 



SUR L'INTERPRETATION GÉOMÉTRIQUE, 
D'APRÈS A. MANNHEIM, 

DE 

L'ÉQUATION INTRINSÈQUE D'UNE COURBE PLANE 



L'équation intrinsèque d'une courbe plane est suscep- 
tible d'une élégante interprétation géométrique donnée par 
A. Mannheim pour la première fois 1 : soit 

? —f(s) , 

l'équation intrinsèque d'une courbe plane (C ; lorsque cette 
courbe roule sans glisser sur une droite fixe ( . ).r , le centre de 
courbure correspondant au point de contact décrit la courbe 
T d'équation 

V = f[x\ . 

par rapport a des axes rectangulaires dont l'un est Ox. 

Dans un grand nombre de cas, on peut associer ainsi des 
courbes (G) et T) remarquables. Mannheim établit géométri- 
quement que r est une droite lorsque (C) est une spirale 
logarithmique, une parabole lorsque (G) est une dévelop- 
pante de cercle, une circonférence lorsque C) est une ey- 
cloïde, une ellipse lorsque C) est une épieveloïde ordinaire 
et, enfin, une parabole lorsque (C) est une chaînette. Le ré- 
sultat relatif à l'épicycloïde se trouve aussi dans les Nouvelles 
Annales de Mathématiques de L896 p. 102 et 2i'"> . et celui 
qui est relatif à la chaînette a été étendu par Cesaro (Nou- 



1 Recherches géométriques relatives au lieu des positions successives des centres de courbure 
d'une tiinhe qui mule sur une droite (Journal de Mathématiques pures el appliquées, 2 e série, 
t. IV. 1859, |>. 93-104). 



s t ' Il I. i: Q V A 1 I () N I -V T I! I N S i: Q l E 25 

celles Annales, 1886, p. 75) aux courbes d'équation intrin- 
sèque 

rp = s 3 -\- a- 

auxquelles il a donné le nom de courbes alysoïdes. Mais ce 
ne sont pas la les seuls exemples dignes d'intérêt. Lorsque 
(C) est la clothoïde" 



r , F 

r z= I ms .s- <7.v , y — I s 



s*ds 



la courbe F est une hyperbole équilatère. Lorsque (C est 
la chaînette d'égale résistance de Coriolis, d'équation intrin- 
sèque (Minchin, Treatise on Statics, 1877) 



la courbe (r) est la chainette. Plus généralement, Cifarelli 
[Giornale di Matematiche, t. XXXVI, 1898, p. 183) a consi- 
déré les courbes 

P = n ch - , 

c 

pou;- lesquelles les courbes T) sont des transformées homo- 
graphiques de la chainette. 

Je me suis proposé de généraliser cette interprétation 
géométrique devenue classique. Si on fait rouler la courbe 
(C) sur une courbe quelconque et non plus sur une droite, 
le lieu (r des centres de courbure relatifs aux points de 
contacts se compose de deux courbes distinctes (r^ et (T 2 ), 
qui correspondent aux deux positions relatives de (C) et de 
la courbe sur laquelle roule (G) par rapport à la tangente de 
contact. 

L'étude des courbes (r\) et (IV) est, en général, compliquée 
et n'offre rien de remarquable, à moins que la courbe fixe 
sur laquelle roule (C) ne soit une circonférence. Dans ce 
cas, en effet, a étant le rayon de cette circonférence, les 

équations 

/• = a -\- /'irtOi , r = a — f(ati] . 

représentent respectivement, en coordonnées polaires, les 
courbes (r\) et (IY) : le pôle est le centre de la circonférence. 



£ ri il i: 1 1: h i: 

Comme exemples simples, je signalerai celui de la spirale 
logarithmique pour laquelle les courbes (I\) et (1%) sont des 
spirales d'Archimède, et relui de la courbe de Delaunay. 
Considérons une courbe de Delaunay méridienne de la sur- 
face de révolution à courbure moyenne constante — , e'est- 

a 

a-dire une courbe intégrale de l'équation différentielle 



v 2 + 6»| 4/1 + f d £Y + 2aj - ; (6» < o*j 



De cette équation résulte l'équation intrinsèque de la courbe 
de Delaunav 



a a- — 2oc ces 1- c 



a eus - ) 



équation intrinsèque qui fut formée pour la première fois 
par Cesaro 1 . La courbe de Delaunay roulant sur une circon- 
férence de rayon a, les courbes T, et (I\> ont pour équa- 
tions polaires : 



[T t \ r = — a 





a [a* 




- c 1 ) 




c 


[C — 
a 1 cr 


a 


nos 
- r 2 


9) 

1 



c If — « cos 0| 



Ce sont donc deux conehoïdes focales de conique. Pour 
a < c, en posant « = ce, la courbe (1%) d'équation polaire 



1 — e cos 



est la conchoïde focale dune ellipse de grand axe 2a et 
d'excentricité e, le rayon vecteur étant diminué du demi- 
grand axe : on reconnaît là une courbe remarquable qui a 
été étudiée par Jerabek dans Mathésis 1885, p.. 1.10). 

E. Turrière Alençon). 



1 Nouvelles Annales, 1888. p. 219, ol Lezioni di Geo 'ne tria intrinseca, 189<i. p. 69. 



SUR LES CONGRUENCES LINEAIRES DE DROITES 



Dans cette Note, je détermine par un procédé élémentaire, 
quelles sont les congrueilees linéaires de droites qui peuvent 
se présenter. 

1. — Soit r une çongruenee linéaire de droites. Par cha- 
que droite de T, nous faisons passer deux plans ?ri , 7r 2 , 
déterminés par un procédé que nous ne spécifions pas. Les 
plans Ri, 772 , relatifs à toutes les droites de la çongruenee T 
forment respectivement des variétés Vi , Y 2 • Il peut se pré- 
senter les cas suivants : 

L° Les variétés W , V 2 sont des développables et sont dis- 
tinctes. 

2° Les variétés Vi , V2 se confondent en une seule déve- 
loppable V. 

3° La variété Vi est une développa ble et la variété Va une 
surface (enveloppe! proprement dite ne contenant pas \\ . 

4° La surface (enveloppe) Y 2 contient la développable Vi . 

5° Les variétés Vi , V 2 sont des surfaces (enveloppes) .dis- 
tinctes. 

6° Les variétés Vi , V 2 se confondent en une seule surface 
(enveloppe; V. 

Nous allons examiner ces cas séparément. 

2. — Lorsque les variétés Vi , Y 2 sont des développables, 
toute droite, intersection de plans tangents à ces développa- 
bles, est une droite de la çongruenee I\ Par conséquent, 
pour que celle-ci soit d'ordre un, il faut et il suffit que Y, . Vs 
se réduisent à des faisceaux de plans. Soient r/i , <? 2 les droites, 
axes de ces faisceaux. Par un point de ai ou de a%) passent 
évidemment x l droites de 1\ par suite ces droites sont des 



28 /. . HODEA UX 

lignes singulières de la congruence. Il est évident qu'il 
n'existe nas d'autre liane singulière. 

Les droites s' appuyant sur deux droites fixes forment une 
congruence linéaire. 

3. — Dans le eas où le lieu des plans m, n$ est une seule 
développa ble, toute droite, intersection de deux plans de 
celle-ci, appartient à la congruence T. Par un point quelcon- 
que, il doit évidemment passer deux plans tangents à la déve- 
loppable : par suite, celle-ci est un cône du second ordre et 
toutes les droites de F passent par le sommet de ce cône. 

Les droites issues d'un point fixe forment une congruence 
linéaire. 

4. — Passons au troisième cas. La développable V! est 
nécessairement un faisceau de plans. En effet, chaque plan 
de Vi contient une simple infinité de droites de-F, donc si 
par un point P passaient plusieurs plans de Vi , chacun d'eux 
contiendrait au moins une droite de Y passant par P, et la 
congruence ne serait pas linéaire. Le même raisonnement 
montre que les droites de T situées dans un plan de \\ for- 
ment nécessairement un faisceau. 

Ces faisceaux sont déterminés dans chaque plan de \\ par 
des faisceaux de plans appartenant à Y 2 . On en conclut que 
Y 2 est une surface réglée et qu'à un plan de Vi correspond 
une droite de Y 2 . Inversement, supposons qu'à une droite 
de V 2 correspondent a plans de Y, ; c'est-à-dire que les plans 
du faisceau Y! se distribuent en des groupes de y. plans et 
que les faisceaux de droites de T situés dans les plans d'un 
de ces groupes sont déterminés par le même faisceau de 
plans de Y T 2 . 

Par un point de Taxe « du faisceau Vi passent évidemment 
une infinité de droites de T, donc a est une droite singu- 
lière de la congruence. 

Sur chaque droite de la réglée Y 2 . il existe a points com- 
muns à une infinité de droites de F, ce sont les sommets des 
faisceaux situés dans les plans de Vi . La seconde ligne sin- 
gulière c de F sera donc le lieu des intersections des droites 1 



1 II f;mt remarquer que a ne se trouve pas sur la réglée V2 . par hypothèse; ce cas est exa- 
miné clans le j suivant. 



i • o .v r, i; i i: v t E s a i: i> n 1 r i: s 29 

de Va el «les plans de jVi correspondants. Soit // l'ordre de 
la réglée V». Les points de rencontre de a avec la réglée \ '•_• 
sont évidemmenl des points multiples d'ordre y. de c. In plan 
de Y, rencontre donc la courbe C en n points a up,e * sur a el en 
un point simple extérieur à a . par suite c est d'ordre at« + I . 
Les droites ijni s r appuient sur uni- droite a e/ sur une courbe 
d'ordre an -+- I ayant n points multiples d'indice x sur a, 
forment une congruence linéaire. 

5. — Supposons actuellement que Va doublement infinie) 
contienne Y, (simplement infinie . On démontre comme pré- 
cédemment que Y, est nécessairement un faisceau de plans 
et que les droites de T situées dans un plan de ce faisceau 
tonnent elles-mêmes un faisceau. De tels faisceaux sont mar- 
qués par des faisceaux de plans d'axes d de Va . de sorte que 
Va est encore une surface réglée. 

La surface réglée Va contient la droite a, axe du faisceau 
de plans Vi . par hypothèse. Deux cas peuvent se présenter : 
Ou bien toute droite d rencontre la droite a, ou bien le con- 
traire a lieu. 

Dans le premier cas, supposons qu'à une droite d de V a 
correspondent n plans passant par a, alors tout point de a est 
le sommet de // faisceaux de droites de la congruence et cette 
droite est singulière. 

Si l'on établit une correspondance (l, n entre les points 
d'une droite a et les plans passant par celte droite, les fais- 
ceaux de rayons dont les sommets sont sur a et dont les plans 
correspondent aux sommets, engendrent une congruence 
linéaire. 

Dans le second cas. supposons que // droites d s'appuient 
sur a et qu'à une droite d correspondent a plans de Vi ; la 
congruence obtenue est la même que celle qui fait l'objet du 
$ précédent. 

6. — Supposons que Vi et Y 2 soient des surfaces envelop- 
pes) distinctes. Tout plan tangent à Vi ou à Va) contient géné- 
ralement un nombre fini a t (ou a 2 de droites de Y\ cette 
congruence est donc engendrée parles intersections des plans 
correspondants dans une transformation d'indices a.% . «i . 
Supposons que ih. i/ 2 soient les classes de Vi, V 2 . 



30 /. . GODE AUX 

Soit P un point générique de l'espace. Par P, menons les 
plans tangents à Vi : les plans correspondants de V» forment 
une développable d'une certaine classe c 2 . Les droites de T 
passant par P sont donc au nombre de ih v 2 . Par suite 
//, =.cy=1 et par symétrie, n 2 = c, = I. Vi et Va sont donc- 
dès gerbes de plans. 

Aux plans d'un faisceau de la gerbe Va correspondent les 
plans d'un faisceau de la gerbe Vg et réciproquement; par 
suite, les ai plans correspondants à un plan de Vi sont situés 
dans un faisceau. On en conclut que a.\ = 1 et de même que 
«a = 1. 

La congruence T est donc le lieu des intersections des 
plans correspondants de deux gerbes collinéaires. 

Un point sera singulier pour la congruence T si les plans 
des gerbes Vi . Va passant par ce point se correspondent 
dans la collinéation. On sait qu'il y a une infinité de pareils 
points et que leur lieu est une cubique gauche passant par 
les sommets des gerbes V x , Va • 

Soient m un plan de Vi, - 2 son correspondant dans X, . 
Désignons par Pj , P 2 les points de rencontre du plan m avec- 
la cubique gauche singulière en dehors du sommet de la 
gerbe Vi.. Aux plans de Vi passant par Pi correspondent des 
plans de V 2 passant aussi par ce point, donc t 2 passe par Pi . 
De même, ce plan passe par P 2 et T est le lieu des bisécantes 
de la cubique singulière. 

Les bisécantes d'une cubique gauche forment une con- 
gruence. linéaire. 

Nous avons supposé implicitement, dans le raisonnement 
précédent, que le faisceau de plans commun aux gerbes 
V, , Va n'est pas son propre correspondant dans la collinéa- 
tion. S'il en était autrement, l'axe de ce faisceau serait une 
droite singulière. La cubique singulière se décomposerait 
en celte droite et en une conique la rencontrant. La con- 
gruence r serait alors un cas particulier de la congruence 
étudiée au § 4. 

7. — Supposons que les surfaces (enveloppes) Va , Va coïn- 
cident en une surface V de classe //. 

Tout plan tangent a V contient généralement un nombre 



i, e ( E R ( i. /■: i) /•; s \ i: i ' F t> <> i N r s 3 1 

fini a. de droites de T, celle congruence est donc le lieu des 
intersections des plans correspondants dans une transforma- 
tion d'indices (a, a) d'une surface en elle-même. 

Soit V un point quelconque de l'espace Aux plans tan- 
gents a V passant parce point correspondent les plans d'une 
développable de classe i\ par suite r est d'ordre nv. On a 
donc n = v = 1 et T est une gerbe de droites. 

Lucien Godeaux Liège). 



NOUVELLES DEMONSTRATIONS D'UN THEOREME 

RELATIF AU CERCLE DES NEUF POINTS 



I. — Théorème. — Le corde des neuf points d'un triangle est 
tangent intérieurement au cercle inscrit et extérieurement aux cer- 
cles e.i inscrits. 

En étudiant depuis quelques années le théorème que je viens 
(renoncer, j'ai trouvé neuf démonstrations différentes qui me sem- 
blent encore nouvelles. La première de ces démonstrations a déjà 
été publiée dans l'Enseignement mathématique (yil e année, t905, 
n° 6, p. 479-482 ; j'exposerai donc ici les huit autres à partir de 
la deuxième. 

La 2' et la 3 e démonstrations ne dépendent ni des théorèmes 
des aires, ni de ceux de la proportion : les quatre autres, depuis 
la 4 e jusqu'à la 7' sont encore indépendantes des théorèmes rela- 
tifs à la proportion. 

Dans ce qui suit, je désigne toujours par A'. B'. C les milieux 
respectifs des cotés BC. CA, AB du triangle ABC, et par X. Y. Z 
les points de contact du' cercle inscrit ou de l'un des cercles exins- 
crits avec les côtés BC, CA, AB. Il s'agit alors de démontrer que 
le cercle A' B' C est tangent au cercle XYZ. 

2 Démonstration. 

Je suppose, pour fixer les idées, que le cercle \V/ soil le cer- 
cle inscrit. 

Si le triangle était isocèle, les deux cercles A' B' C. XYZ se 



- 



Y. s A WA Y A M A 



toucheraient évidemment, je fais donc la démonstration dans le 
cas où le triangle es1 quelconque et je suppose, pour plus de com- 
modité, que l'angle A soit plus petit (pie chacun des angles B et 
C. 

Soient P, Q, K. les orthocentres des triangles AYZ, B/.X. CXY. 
Décrivons les cercles circonscrits aux triangles V\ H. PZQ et qui 
>-<' coupent de nouveau au point L fig. 1 . 






\ 




Fi-r. I. 



Je veux d'abord démontrer que ce point L est situé sur le cercle 
A' B' C. 

Désignons par I le centre du cercle XYZ et par E e1 F les pieds 
d*-s perpendiculaires abaissées des sommets B et C du triangle 
ABC mu les côtés opposés ; menons par le point Y la parallèle 



LE CERCLE DES NEUF POINTS 33 

YM à La droite [B e1 soit M le poinl de rencontre de cette paral- 
lèle avec la droite BE. 

YPZI, YRXI, YMBl étant tous des parallélogrammes, les deux 
quadrilatères YPMR, IZBX sont égaux, el par suite Les angles 
YPM, YRM <pii sont respectivement égaux aux angles IZB, IXB 
sont droits ; la droite YM es1 donc le diamètre du cercle PYR et 
ce cercle passe par le point E. Je remarque en plus que l'angle 
PMY inscrit dans le segment de cercle PRY est égal à l'angle ZBI. 

On prui démontrer de la même façon que le cercle PZQ passe 
par le point F et que l'angle inscrit dans le segment de cercle 
PQZ est égal à l'angle YCI. 

Si j'appelle J le point de rencontre de la droite PF avec YZ, 

/\ s\ /\ /\ /\ /\ /\ 

PJZ = EJY = (2 droits — CYZ) — JEY = (ZBI + YCI) — PMY 

/\ /\ /\ s\ 
= (ZBI + YCI) — ZBI = YCI . 



m 



Ce dernier angle YCI étant égal à l'angle inscrit dans le seg- 

ent de cercle PQZ, on voit que le point J est sur le cercle PZQ. 

De même en appelant K le point de rencontre de PF avec YZ. 
on peut voir que ce point K est sur le cercle PYR. 

Or, il est clair que le point J se trouve entre P et E et que Le 
point K entre P et F, il s'en suit que deux points .1 et F situes sur 
Le cercle PZQ se trouvent l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur 
du cercle PYR, le point de rencontre L est donc dans l'intérieur 
de l'angle FPF, et l'on a : 



mais 

et de même 

donc 



/\ /\ /\ 

ELF = PLE + PL F 



/s /s /\ /\ 

PLE = AYP = 1 droit — A = ABE 



PLF =r AZP = 1 droit — A = ACF 



/\ /\ /\ /\ 

ELF — ABE + ACF = 2 . ABE 



D'un autre coté, les quatre points B, C, E, F étant sur la même 
circonférence dont le centre est en A' : 

/\ /\ /\ s\ 

EA'F — 2 . ABE , donc ELF = EA'F , 

ce <|iii montre bien que le point L est sur le cercle A' B' C 
Je démontrerai ensuite que si le même point L est à L'intérieur de 

L'Enseignement mathém., 13" année: 1911 3 



34 Y. SA WA YAMA 

l'angle EPF, il sera aussi à l'intérieur de l'angle YPZ ; donc YLZ 

= angle inscrit dans seg. PRY + angle inscrit dans seg. PQZj 

' /\ /\ /\ V\ /\ 

_ YCI + XBI = YXl + /AI = YXZ . 

Le point L est donc aussi sur le cercle XYZ. 

Enfin, les deux cercles A' B' C, XYZ qui ont un point commun 
L. comme on vient de voir, se toucheront en ce même point. 

En effet, soient N le centre du cercle A' B' C et O celui du 
cercle PY'R c'est-à-dire le point milieu de YM ; je joins chacun de 
ces points aux points E et L, j'aurai : 



donc 



mais 



par suite 



OEM = OME , OM est parallèle à IB , 



/\ /\ /\ 1 /\ /\ 

OEB == IBE el IBE = - (C — A) 



C = AB'C , A = B'EC 



/\ 1 S\ 1 /\ 

IBE = - B'C'E = - NEB 



Donc, la droite OE divise l'angle NEB en deux parties égales et 
on a la suite d'égalités : 

/\ /\ /\ /\ /\ /\ 

NLO = NEO = OEB = IBE = IYO == ILO . 

La dernière égalité NLO — ILO qui montre que les trois points 
N, I, L sont en ligne droite prouve en même temps que les deux 
cercles A'B'C, XYZ sont bien tangents au point L. 

Je viens de démontrer le théorème dans le cas du cercle inscrit, 
en supposant que l'angle A soit plus petit que les angles B et C. 
Mais, en supprimant cette hypothèse et en prenant pour cercle 
XYZ le cercle exinscrit, on pourra faire la démonstration d'une 
façon presque entièrement analogue ; le théorème est donc dé- 
montré. 

Corollaire. — Les trois cercles QXR, RYP, PZQ se coupent en 
un même point. 

3' Démonstration. 

III. — Soient D, E, F les pieds des perpendiculaires menées 
respectivement des sommets A, B, C du triangle aux cotés oppo- 
sés (fig. 2). 

Prenons sur le côté AC de l'angle A, AK = AB et appelons J le 
point de rencontre avec BK de la bissectrice de l'angle A. 



/. E C /•; R C I. E 1) E s N i: UF POINT S 



35 



Les points C. .1, A' étant respectivemenl les milieux de BA, 
BK, BC sont situes sur une même droite parallèle a A.C. 

Les deux points E, F se trouvent sur une même circonférence 
qui a BC pour diamètre, les deux cordes A'E, A/F du cercle 
A'B'C sont donc égales; par suite C'J divise l'angle BC'E en 
deux parties égales. 

Il en résulte (pie le point .1 est le centre du cercle exinscrit au 
triangle ACE, compris dans l'angle A et que le second point de 




Fig. 2. 

rencontre a de EJ avec le cercle A'B'C est le milieu de l'arc 
B'A'C. 

Supposons pour le moment que le cercle XYZ soit le cercle ins- 
crit et que les grandeurs de trois angles du triangle soient dans 

l'ordre suivant : 

• /\ /\ /\ 
B > A > C . 

Soient M le milieu de l'arc EA'C et L le second point de ren- 
contre de MJ avec la circonférence A'B'C. 

Puisque 

/\ /\ y\ 

B > A > C . 



/\ i /\ /s i /s s\ 

B > ^ (B + Al > - iB + C, 



36 Y. SA WA Y AU A 

et comme 

C'B'A' = B . 

S\ 1 /\ 1 /\ 1 /\ /\ 

C'LM = - (2 droita — EB'C'i = - (2 droits — C| = - (A + B| , 

/\ 1 /\ i /\ /\ 

C'Ea = - (2 droits — C'A'B') = - |B + Cl 

on a : 

/\ /\ S\ 

C'B'A' > C'LM > C'Kx . 

Donc le point M se trouve sur l'axe A'« et par suite L se trouve 
sur l'are CE. 

Soient fl le milieu de l'aie conjugué de l'arc B'A'E et y le milieu 
de l'aie conjugué de l'arc C VF et soient Y' et Z' les points de 
rencontre respectifs de L^, Ly avec Al.. AB, on a : 

/\ /\ /\ 

JLV = JLE — , r iLE , 

par suite l'angle JLV est mesuré par 

| arc EA'C — 4 a" EpB' = -| arc B'A'C , 

c'est-à-dire est égal à l'angle JEY' ; ce qui prouve que le quadri- 
latère JLLY' est inscriptible à un cercle. 

De même, le quadrilatère JLC'Z' est inscriptible. 

Donc 

/\ /\ /\ /\ 

JVC = JLE , JLC = JZ'B , 

les deux triangles AJY'. AJZ' sont par suite égaux; d'où l'on a : 

AY' = AZ' . 

Si donc on décrivait un cercle ayant son centre I sur AJ et tan- 
gent en Y' à AC. ce cercle serait nécessairement tangent en 7J à 
AH. 

Or, puisque la différence des angles inscrits qui interceptent 
les arcs §k!y et /?Ly est égal à la différence des angles qui inter- 
ceptent les ares l'A'B' et CLE c'est-à-dire à l'angle A et que la 
somme des premiers angles est égale à deux droits, on a : 

\ 
pLy = I droit 4- '., : 

ce qui montre que le cercle I passe par le point L. 

Le point de contact Y' du cercle I avec la sécante EB' du cercle 



/. /•; CERCLE DES NEUF POINTS :;: 

A'B'C.'. le point de rencontre de ces deux cercles et le milieu ^ de 
l'arc EB' étant ainsi situes sur une même droite, ces deux cercles 
se touchent au point L. 

Il nous reste à prouver que le cercle 1 est le cercle inserit au 
triangle ABC. 

Or, chacun des angles ÎY'K, I.IK étant droit, le quadrilatère 
.11 VK est înscriptible, on a doue : 

/\ /\ S\ /\ 

IKY'= IJY' == EJY' + AJE ; 

mais les quatre points Ë, L, .1, Y' étant sur une même circonfé- 
rence, on a : 

/\ /\ /\ i /\ 

EJY' = E-LY' = EL[3 = - EC'B' 

et J étant le centre du cercle exinscrit au triangle ACE : 

/\ 1 /S 

AJE = - ACE , 



donc 



1KY' = - (EC'B' + ACE) = - AC'B' = - B 



D'ailleurs, 



/\ y\ /\ i /\ 

IKY' = IBA , donc IBA = - B , 



Le point I est donc bien le centre du cercle inscrit au triangle 
ABC. 

On a pu ainsi démontrer que le cercle des neuf points d'un tri- 
angle est tangent au cercle inscrit. 

/\ /\ /\ 
Si, au lieu de supposer B ^> A ^> C comme je viens de faire, on 
/\ /\ 
suppose seulement B > C et qu'à la place de M, /?, y, on mette 

les points diamétralement opposés, on pourra démontrer d'une 
façon presque analogue que le cercle A'B'C est tangent au cercle 
exinscrit dans l'angle A.. 

Le théorème est donc démontré. 

Corollaire. — Le point .1 est le centre du cercle exinscrit au tri- 
angle ACE. 

4 Démonstration. 

IV. — Appelons O le centre du cercle circonscrit au triangle 
ABC, Il l'orthocentre de ce triangle, N le centre du cercle A'B'C' 
et I le centre du cercle XYZ. (Si le cercle XYX est le cercle exins- 



38 



)'. SA tt'A Y A MA 



crit, ce cercle sera dans la suite celui qui est situé dans l'angle 
BAC à moins qu'on n'indique le contraire). [Fig. 3). 

Soient a le second point d'intersection de la droite AI avec le 
cercle ABC, P le second point d'intersection de la droite aO avec 
le même cercle, D le pied de la perpendiculaire abaissée du point 
P sur la droite ÀC et E le point d'intersection de la droite A'D 
avec la droite A P. 

Soient encore L le milieu de la droite Ail et F, K, M les points 
où la droite menée par le point L perpendiculairement à la droite 
AI coupent respectivement les droites aA, aP, A'K. 

Les deux points D et A' étant situés sur la même circonférence 
de diamètre CP et les deux angles A'PC, aAC dans le cercle 
interceptant le même arc Ca, on a : 



A'DC = A'PC 



aAC 



Donc A'D est parallèle à aA et est par suite perpendiculaire à 
LK. 

Or, les deux quadrilatères A'LAO et LKPA sont des parallélo- 
grammes (si l'angle A était droit, les deux droites A'L et LK coïn- 





Fig. 4. 



cideraient respectivement avec OA et AP), le triangle A'I.K est 
donc un triangle isoscèle, égal au triangle OAP; donc la base LK 
de ce triangle sera divisée en M en deux parties égales par la 
droite A/M. 



LE CERCLE DES NEUF POINTS 39 

En supposant maintenant li "j> C, <»n a dans le triangle II. K : 
fK 2 — IL' = 2LK . FM = 2 AP . AE ; 
mais clans le triangle rectangle ADP, on a : 

AP . AE = AT)" . 

et en appelant I' le pied de la perpendiculaire abaissée de I sur 
A'P et V le milieu de A'k, on aura : 

= XA' = II' . 





AD = |(AC — AB 


donc 






ÏK 2 — IL 8 = 2 . XA 


D'où 






— 2 2 9 

IL + XA'" = IK. 


donc 





U'* = I'K' 



IL" + (XA'* 4- IX 2 ) = I'K 2 + l'A' 1 



donc encore 



IL"+ IA' = I'K + l'A' = 2 . I'N' + 2 . N'A' = 2 . I'N' -f- 2. NA' . 
D'un autre côté, on a dans le triangle ILA' ; 

II 2 + ÏÂ' 2 = 2 . îx 2 + 2 . XX' 2 . 

Des deux dernières égalités, on tire : 

2 . LN 2 = 2 . l'X' 2 . 

Donc 

IN = I'N' = N'A' + l'A' = XA' q: IX 

(les doubles signes correspondant, le premier au cas où I est le 
cercle inscrit et le second au cas où I est un cercle exinscrit. Il en 
sera de même dans la suite). 

Ainsi donc la distance du centre des neuf points et du centre 
du cercle inscrit ou exinscrit étant égale à la différence ou à la 
somme des rayons de ces deux cercles, on voit alors que ces deux 
cercles se touchent. 

5 e Démonstration. 

V. — Soient D et E les pieds des perpendiculaires abaissées 
respectivement des sommets A et B du triangle ABC sur leurs 



40 Y. SA WA VA MA 

côtés opposés, 1 le centre du cercle XYZ, J et K les points de ren- 
contre respectifs avec les droites Al et AC de la droite menée de 
B perpendiculairement à AI. et enfin a le second point de ren- 
contre de la droite EJ avec le cercle A'B'C. Fig. \. 

On voit sur la ligure que les quatre points a, A', E, C sont sur 
la même circonférence, que le point J est le milieu de l'hypoté- 
nuse du triangle rectangle BEK, que C'A' et AC sont parallèles 
et que J est le centre du cercle exinscrit au triangle ACE comme 
j'ai indiqué dans la 3 e démonstration; et d'après ces quatre con- 
ditions on doit avoir : 

/\ /\ s\ s\ s\ 

«A'J = «EC = aEK = JKE = BJC . (1) 

Donc aA' est parallèle à BK et par suite perpendiculaire à AI. 
Le second point de rencontre des cercles dont les centres sont 
respectivement en « et A' et qui se coupent d'abord en J est donc 
sur la droite AI : j'appelle L ce second point de rencontre. 

Le parallélisme des droites C'A' et AC donne : 

/\ /\ . /V /\ 

aJA' = aEK . mais aEK :z= aA'J 

d'après 1 . donc : 

aJA' r= aA'J , par suite aA' = «J . 

D'ailleurs, comme le point a est le milieu de l'arc B'A'C et 
que B'C et A'D sont parallèles, ce point a est aussi le milieu de 
l'arc A' D. 

Il s'en suit que le cercle dont le centre est en a et ayant a] pour 
rayon passe par les deux points A' et D. 

Ensuite les deux longueurs A'X et A'J étant chacune égale à la 
demi-différence de AC et AB sont égales entre elles. 

Donc, le point X est sur la circonférence de centre A' et de 
rayon A'J. 

Or, dans le cercle JA'L, on a : 

ii a _ «T 72 = IJ. M. . 
mais IX étant tangent au cercle .IX' L, 

IJ . IL = ÎX 2 , doue : al 2 = L\ 2 + oT' 2 . (2) 

Maintenant, en désignant par N le centre du cercle A'B'C, 
par I' le pied de la perpendiculaire abaissée du point I à la droite 



LE CEHCI.K DES SEVE POINTS 



aS el par X' le point de rencontre de «N el <le A'I). on a dans le 
triangle aIN 



T-2 



IN := a\ h al ■£ 2aN . ll'X' ± aX') 

2. aN. «X' 

-T/2 



= aN 2 -f- al 2 + 2aN . I'X' 



= aN 4- al zp 2«N . IX — «A 
D'après les deux égalités (2) et (3), on aura 
ÏN 2 = e*N 2 + IX 2 + 2«N . IX = (aN 
IN = aN HZ IX , 



(3) 



IX, 2 



on a donc 



ce qui montre que les deux cercles N, I se touchent. 

Corollaire. — J est également distant des trois côtés du triangle 
A' ED. 

6 e Démonstration. 

VI. — En désignant les différents points de la figure par les 
mêmes lettres que dans la 5 e démonstration, menons la droite 
passant par les points 
X et J. (Fig. 5.) 

Puisque A'J et A'X 
sont égaux et que A'J 
et CY sont parallèles, 
les deux triangles A'X.I 
et CXY sont des trian- 
gles isocèles et équian- 
gulaires; donc XY et 
XJ coïncident entre 
eux. 

Menons la droite qui B 
passe par deux points 
a et X et qui rencontre 
de nouveau en L le . 
cercle A'B'C. 

Les deux angles aLA' et aA'X étant égaux, le cercle qui passe 
par les trois points A', X, L touche la droite aA' au point A' ; donc 

aX . «L = aA' 

Mais a] = aA' comme on a indique dans la 5'* démonstration, 
donc : 

« X . a L =r a J 




Ï2 Y. SA WA V A. M A 

ce qui montre que la droite ai touche le cercle passant par les 
trois points X. .1. L et que par suite les deux angles aLJ, a.)X sont 
égaux. 

Si maintenant on mène par le point B' deux droites respective- 
ment parallèles aux deux droites XY et CB et coupant de nouveau 
le cercle A'B'C en M et'C, la droite XY faisant des angles égaux 
avec deux droites BC et A.C, B'M divise en deux parties égales un 
des angles que font entre elles deux droites B'C et B' E ; donc 
l'arc CM est la moitié de l'arc CE. De plus, comme Tare C'a est 
la moitié de l'arc CB', l'arc aM est égal à la moitié de l'arc B'E 
(si le cercle XYZ était le cercle inscrit, l'arc aM aurait le même 
sens que l'arc B'E intercepté par l'angle inscrit B'CE, et si le 
même cercle était exinscrit, l'arc Ma aurait le même sens que 
lare B'A'C). 

Si donc on mène du point a la droite parallèle à la droite XY, 
cette droite passera par le milieu /5 de l'arc B'E. 

Les deux angles a.lX et EJY sont égaux ou supplémentaires sui- 
vant que le cercle XYZ était inscrit ou exinscrit. 

Dans ce qui suit, je suppose, pour plus de commodité, que 
l'angle B soit plus grand que l'angle C si XYZ était le cercle 
inscrit et plus petit que C si ce cercle était exinscrit. 

Or, l'angle iafi est égal ou supplémentaire à l'angle inscrit inter- 
ceptant 5 arc B'E — arc aM suivant que ce cercle XYZ est inscrit 

ou exinscrit; donc l'angle aL.1 est égal à l'angle inscrit qui inter- 
cepte l'arc aM et par suite la droite LJ passe par le point M. 
Donc : 

/\ /\ /\ 

2 droits — JLE = MBE = JYE 

et le quadrilatère EY'JL est inscriptible. 
Donc : 

/\ s\ /\ 

ELY = EJY = 2 droits — Ja à S . 

Ce dernier angle iaft est égal ou supplémentaire à l'angle inscrit 
interceptant la moitié de l'arc B'E, suivant que le cercle XYZ est 
inscrit ou exinscrit; donc la droite LY passe par le point /?. 

Les deux arcs aM et j?E étant égaux, les deux arcs a/5 et ME 
seront aussi égaux, d'où : 

/\ /\ /\ 

XLY = JLE = 2 droits — XYE , 

donc le point L est situé sur le cercle XYZ. 

Si ensuite on mène au point L la tangente au cercle A'B'C et 
qu'on prenne sur cette tangente un point P de façon que les deux 



LJE CERCLE DES NEUF POINTS Y.\ 

points P et a soient de pari el d'autre d<- la droite l./S, on aiin : 



l'L/3 



l.a|3 = LXY , 



donc la droite LP est tangente au cercle XYZ. 

Ainsi donc les deux cercles A'B'C et XYZ, ayant une tangente 
commune a leur point de rencontre sont tangents entre eux. 



7" Démonstration. 



\ II. — J'emploie encore les mêmes lettres cpie dans la 5° dé- 
monstration pour désigner les différents points de la ligure; de 
plus j'appelle J' le point de rencontre des deux droites XY et «P/. 
(Fig. 6.) 

Pour la commodité de la démonstration, je suppose l'angle B 
plus petit que l'angle C, si le cercle XYZ était le cercle inscrit et 
plus grand que l'angle C si ce cercle était le cercle exinscrit. 




Fig. 6. 




Alors, comme on a montré au commencement de la 6 e démons" 
tration, la corde de contact XY du cercle XYZ passe par le point J. 

J'ai prouvé ensuite au courant de la même démonstration que 
l'angle aigu que font entre elles les deux droites aE et XY est 
égal à l'angle inscrit qui intercepte le demi-arc conjugué de l'arc 
B'A'E si le cercle XYZ est inscrit et à l'angle inscrit qui inter- 
cepte la moitié de l'arc B'A'E si le cercle est exinscrit. Or dans 
cette démonstration, la seule condition que doit remplir le point E 



44 Y. SA WÀ VA MA 

est que ce point soit le point d'intersection de la droite AC et du 
cercle A'B'C/ : donc les angles que fait la droite XV avec chacune 
des deux droites aE et aB' sont égaux entre eux. 
Donc : 

aJ' = «J = aA' . 

D'où, en suivant la même marche que dans la 6 e démonstration, 

on pourra prouver que les deux cercles A'B'C et XYZ se touchent 
entre eux. 

8 e Démonstration. 

VIII. — Lenime. — En désignant par a, b, c les trois côtés d'un 
triangle ABC, par R le rayon du cercle circonscrit, par /• et I le 
rayon et le centre du cercle XYZ, on a 

AT + BI 2 + CI 2 = = (a 1 + lr + c-\ + 2/- 2 + '.Rr . 

(Pour cette démonstration, on pourra choisir un quelconque 
des trois cercles exinscrits pour le cercle XYZ.) 

Soient /S, y les points où deux droites BI et CI coupent à nou- 
veau la circonférence ABC. Soient encore D, E les pieds respectifs 
des perpendiculaires abaissées de $ sur AC et de y sur AB ; et 
K, L, M les points de rencontre de $y avec AC, AB, AI. (Fig. 7.) 

Les droites /SA et y\ étant respectivement égales aux droites /SI 
et yl, la droite (3y est perpendiculaire à la droite Al et divise cette 
droite en deux parties égales; donc les deux triangles £AM et AyE 
sont semblables et Ion a : 

A M _ /3A 
yE Ay 

De plus, la similitude des deux triangles /JDA et AMy donne : 

jSD _ £A 
À~M — Ây 

Des deux propositions précédentes, on tire ' : 

C— = , d ou pu . yE = AM . 

AM yE 

Donc, on a : 

4/3D.yE=Âl 2 (1) 



1 Quand I est le centre du cercle inscrit, cette relation (1) a déjà été donnée par l'un des 
mathématiciens de notre pays, nommé ShiraisHi Naoatada dans son ouvrage publié en 1827 
sous le titre de Shamèi Sanipu. 



/. E i E li i / E I> E s .Y I. ( ■ F I' () INT s 



45 



Maintenant soit « le nouveau point de rencontre de la droite Al 
et du cercle A.BC et appelons respective menl />. //, p" la distance 
de a à la corde BC et les distances t ~i\) et y\\. D'après les résultats 
précédents : 

2ÂÏ 2 = ïZp>" • 

Donc : 



rlAI 9 = iZur 



Zp 2 



iZur — ZiaB — - <r 



= 7 la 2 + |2f») s — 2RZp = T la 2 + (Z'fc 



Mais, on a 
D'où 



lu. = 2R 



12) 



5 zai 8 = 7 z«- -+-(R+ n* 



R 2 



7 Z« 2 + r" ip 2R? 



Donc 



2 AI 2 = 7> 2fl 2 + 2/- 2 ip 4Rr 



Cela étant, passons maintenant à la démonstration de notre 
théorème. 

Soient le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, N le 
centre du cercle des neuf points et G le centre de gravité. Fig. 8. 

Les trois points 0, G, N sont en ligne droite et GO est égal au 
double de GN. Donc : 

2LN 2 + IÔ 2 — 3ÏG 2 + ÔG 2 + 2XG 2 = 3ÏG 2 + ^ÔG 2 . 



Mais, comme on sait : 



10 = R 2 



2R/- 



30G 2 = ZAO 2 



ZAG" = 3R 2 — 



w 



3IG" 



l\V 



2 — 2 1 

ZAG = ZAI — -Za 2 




Fig. 8. 



1 Lorsque r représente le rayon du cercle inscrit, la formule [3] est donnée dans le traité de 
géométrie de Rouchb et de Comberoussk, 7 e édition. 1" partie, p. 383. 



46 



)'. SA WA VA MA 



Si clans la dernière égalité on mel à la place de XVI" l'expres- 
sion donnée par le Lemme précédent, on a 



Donc : 



3ÏG 2 = \la 2 + 2/- 2 =jl 4Rr 

6 ^ ^ 



2IN S + R s + 2R/- = lia 2 + 2r* + 4Rr + ^R s 



Z« 2 



D'où : IN 8 ="(|R =F 'Y , par suite IX = ^R =+= / . 

Donc les deux cercles A'B'C et XYZ se touchent, c.q.f. d. 
Corollaire. — En considérant le cercle inscrit dans l'angle A, 
on a : 

-la* + b* -f- c*\ + i~ ± 4Rr = T (6 4- c -+- a) 2 . 
1: t 

Pour le voir, il suffît de comparer le résultat obtenu dans le 
lemme précédent avec la formule suivante : 



SAI S 



3r» + (p — />) 2 + {p — cf + [p — «) 2 ou p* 



9 e Démonstration. 

IX. — Dans cette démonstration, nous supposons que les seg- 
ments des droites AC et AB soient affectés de signes et soient 
AC, AB les sens positifs des segments. 




Fig. 9. 



Représentons respectivement par a, b, c les trois cotés BC, AC 
et AB du triangle ABC; soient E le pied de la perpendiculaire 
abaissée du sommet B sur le côté opposé et, Q et R les points de 



/./■: CERCLE DES NEUF POINTS 47 

rencontre respectifs de Taxe radical des deux cercles ABC et XYX 
avec A.C et AB. Fig. 9. 

On a alors d'après une propriété de Taxe radical : 

OB'. QE = QY 2 ou QB'. iQB' — EB'| = (QB' — YB')* . 



d'où 

Par suite 

mais 



QB'. (2YB' - EB'i = YB' 2 



QB' YB' 



YB' ~~ 2YB' — EB' 



(1) 



YB' = iqp a c\ (2) 

De plus : 

2b . EB' = a- — c- = (a + c] [a — c) = 2(± a + c) . Y'B' 

d'où 

YB' /, 



EB' zp « + c 
donc : 

YB' b 



2YB' — EB' ip rt + 2b — 
Des relations (1), (2), (3), on tire : 

\b ou AB' 



3) 



d'où 



Donc 



1 

-!-f- a — c 


1 


-(+ a + 2b - 


- cl 


QB' 




+ a — c 




AB' ~ 


+ 


« + 26 — c 




Q AB' 


— 


QB' + a 


— b 



CQ — |QB' -f- AB'l 



En échangeant les segments de la droite AC et les segments 
correspondants de la droite AB, on aura : 

(5) 

Appelons maintenant Q' le conjugué isotomique du point Q par 
rapport au côté AC du triangle ABC et B' le conjugué isotomique 
du point B par l'apport aux côtés AB du même triangle: soit K le 



AR + a - 


— c 


c _|_ a 


BR ~ c — 


b 


— b — c 



48 }'. SAWA Y A M A 

point où la droite Q'R' coape la droite BQ; on a d'après le théo- 
rème de Ménélaûs : 

BK QQ' ÀR_' _ 

QK ' AQ' ' BR? — 

et comme 

QQ' _ — CQ + CQ' _ CQ + AQ AR' _ BR 
TÛT"' ~ — CQ CQ ' BR? ~~ ÂR ' 

On tire des relations (4) et (5) 

BK ZEI a — c b - — c 



QK b — c -(- a + c 
QK 



1 , 



Donc K est le milieu du segment BQ. 

De même la droite Q'R' rencontre le segment CR en son milieu. 

Si ensuite on affecte de signes les perpendiculaires abaissées 
des trois points A, B et C sur la droite Q'R' et qu'on les repré- 
sente par L, M et X, on a en remarquant (4) et (5) : 



N 



" ± a — b ' 
Mais 

± a . \l> — c) + b . (c qp a) ■+- c. (Hh a — b) — , 

d'où 

+ a.L + b.M + c.N = . 

Donc la droite Q'R' passe par le centre moyen des sommets du 
triangle ABC pour multiples ± a, b, c, c'est-à-dire par le centre I 
du cercle XYZ. 

Donc, la droite QR est tangente au cercle XYZ, car si l'on sup- 
pose que QR ne soit pas tangente au cercle XYZ et que la tan- 
gente autre que AC) menée du point Q au cercle XYZ rencontre 
la droite AB en un point R", les milieux des deux segments BQ 
et CR" et le point I seront, comme on sait, en ligne droite; de 
plus, puisque, comme on vient de le démontrer, le milieu du seg- 
ment BQ, celui de CR et le point 1 sont aussi en ligne droite et 
que le milieu du segment BQ et le point 1 ne coïncident pas, ces 
deux points déterminent une droite et le point 1 sera situé sur la 
droite passant par le milieu des deux segments CR et CR", c'est- 
à-dire sur A'B\ ce qui est évidemment contraire à la vérité. 



CHRONIQUE '.;> 

Corollaire I. — l\ Q, Il étanl les points où la tangente com- 
mune au cercle des neuf points A/B'C d'un triangle ABC et au 
cercle inscrit nu exinscrit XYZ, coupe les trois côtés de ce triangle 
et I*', Q', H' les conjugués isotomiques de I*. Q, Il par rapport a 
ces côtés, la droite qui passe par P\ Q', R' passe aussi par les 
milieux des diagonales du quadrilatère complet (pie forment les 
trois côtés du triangle et la tangente commune précédente et par 
l'un des points de Nagel du triangle. 

Démonstration: On a déjà démontré que la droite Q'K' passe 
par les milieux des segments Bo. CR et le centre I du cercle XYZ ; 
et puisque l'anti-complémentaire du point I est un des points de 
Nagel, il suffit de prouver ici que Q' B' passe par le centre de gra- 
vité G du triangle ABC 

Or, de 

\l> — c) + (c qz a) -f- (+ a — h) = , 
on tire 

L + M + pî — . 

Donc la droite Q'R' passe par le centre moyen des sommets du 
triangle ABC pour les multiples chacun vaut 1), c'est-à-dire par 
le point G. 

Corollaire II. — Les rapports des segments portés sur le côté AC 
du triangle ABC sont : 

QC Q'Q QA 



± a — h ' 

Y. Sawavama Tokiol 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

La prochaine réunion de la Commission aura lieu à Milan, au 
commencement d'octobre 1911. La date et le programme seront 
publiés dans un prochain numéro. 

Eta.ts-Unis. — La sous-commission américaine vient de pu- 
blier le .V" fascicule de son Bulletin. Il est consacré à un rapport 
préparatoire concernant la préparation du corps enseignant des 
collèges et des universités : N° 3. Provisional Report of the Sub- 

L'Enseignement niiithém., 13* année ; 1911. 4 



50 CHRONIQUE 

Committee on the préparation of instructors for Collèges and Uni- 
versités. ~l'\ pages, extrait du Bull, of the American Mathematical 
Society, vol. XVII, n° 2 . 

Nous on donnerons un aperçu dans notre Compte rendu des tra- 
vaux des sous-commissions nationales, sous la rubrique « Notes et 
Documents». (Voir, dans le présent fascicule, une première série 
de résumes . 

Académie des Sciences de Paris. 
Prix décernes et prix proposés. 

La séance publique annuelle consacrée aux prix de l'Académie 
a eu lieu le 19 décembre 1910. M. Emile Picard, président, a ouvert 
la séance, par un très beau discours dans lequel il a rappelé la 
mémoire des membres disparus dans l'année. L'Académie a perdu 
MM. Bouquet de la Grye, Maurice Lévy, Gernez parmi les mem- 
bres titulaires, deux membres libres MM. Rouché-et Tannery, 
trois associés étrangers MM. Agassiz, Robert Koch et Scbiapa- 
relli, et sept correspondants étrangers. 

La parole a ensuite été donnée à M. le Secrétaire perpétuel, 
pour la proclamation des prix. 

PRIX DÉCERNÉS 

Géométrie. — Grand prix des sciences mathématiques 3000 IV.). 

Aucun mémoire ne lui étant parvenu, l'Académie remet la ques- 
tion au concours pour l'année 1912. (V. plus loin, prix proposés). 

Géométrie. — Prix Francœur (1000 fr.). — Le prix est décerné 
à M. Emile Lemoine. 

Prix Poncelet 2000 fr.). — Le prix est décerné à M. Riquier, 
professeur à la Faculté des Sciences de Caen, pour -l'ensemble de 
ses travaux mathématiques. 

Mécanique. — Prix Montijon (700 fr.). — Le prix est décerné à 
M. J. Gaultikr pour les perfectionnements qu'il a apportés aux 
appareils et aux méthodes des levers de plans. 

Navigation. — Prix extraordinaire de la marine (6000 fr.), des- 
tiné à récompenser tout progrès de nature à accroître l'efficacité 
de nos forces navales. — Le prix est reparti de la manière suivante : 

Un prix de trois mille francs à M. G. Hilleret, pour les services 
qu'il a rendus à la Marine, tant par son enseignement à l'Ecole 
Navale que par les progrès qu'il a fait faire à l'Astronomie nau- 
tique ; 

Un prix de quinze cents francs à M. J.-L.-II. Lai-rogne, lieute- 
nant de vaisseau, qui a imaginé un indicateur continu de la dis- 
tance, qui tient automatiquement compte de la vitesse relative du 
but et du tireur ; 



CHRONIQUE :.l 

I ii prix de quinze cents francs à M. .1. Lecomte, lieutenanl de 
vaisseau, qui a inventé divers instruments destinés à résoudre, dans 
toutes ses parties, le problème du réglage de tir à bord d'un navire 
en marche, contre un but égalemenl mobile. 

Astronomie. — Prix Gttzman. — Le prix n'es! p;is décerné. Sur 
la proposition de la. Commission, l'Académie décide d'attribuer 
sur les arrérages un prix de 12,000 fr. à feu Maurice Lœwy, de son 
vivant membre de l'Académie et du Bureau des Longitudes, direc- 
teur de l'Observatoire, pour l'ensemble de ses travaux scienti- 
fiques. 

Le Prix Lalande esl partagé entre MM. Gowell et Crommelin 
pour leurs belles recherches sur la comète de Halley; 

Le Prix I alz est décerne à M. St. Javelle, de l'Observatoire de 
Nice, pour l'ensemble de ses travaux. 

La Médaille Janssen est offerte à M. le prof. William-Wallace 
Campbell, directeur de l'Observatoire Lick, pour ses travaux de 
spectroscopie stellaire. 

Histoire des Sciexcks. — Le Prix Binonx est attribué à M. Er- 
nest Lebon, pour l'ensemble de ses travaux relatifs à l'Histoire des 
Sciences et particulièrement à l'Histoire de l'Astronomie. 

L'Académie attribue un encouragement de 500 fr. à MM. Ax- 
thiacme et Sottas pour leur travail intitulé : « L'Astrolabe à qua- 
drant du Musée des Antiquités de Rouen. 

Prix généraux. — Prix Jérôme Ponti. — Le prix est attribué à 
M. il. Andoyer, professeur d'Astronomie à la Faculté des Sciences 
de l'Université de Paris, membre du Bureau des Longitudes, pour 
le travail considérable qu'il poursuit en ce moment par sa publi- 
cation de Nouvelles tables trigonométriques fondamentales. Quel- 
ques extraits du Rapport de la commission permettront de donner 
un aperçu de cet important travail : 

n Sous les auspices de 1'Universilé de Paris el à laide des ressources 
fournies par la fondation Commercy. M. Andoyer a commencé à publier de 
Nouvelles Tables trigonomé triques fondamentales contenant les logarithmes 
des lignes trigonomé I riques de centième en centième du quadrant avec 
17 décimales, de 9 minutes en 9 minutes avec 15 décimales et de 10 secondes 
en lu secondes avec 14 décimales. Quelques mots suffiront à justifier l'intérêt 
et l'utilité de cette publication. 

«On possède aujourd'hui nu grand nombre de Tables de logarithmes tri- 
gonométriques; à quelques exceptions près, qui ne correspondent qu a des 
Tables abrégées de très faible étendue, elles ne sont que des extraits des 
trois Ouvrages originaux suivants : 

1° La Trigonomé tria Britannica de Henri Briggs. publiée par Gellibraud 
à Gouda en 1633. — 2" La Trigonometria Artificialis d'Adrien Vlacq, publiée 
la même année à Gouda. — 3° Les Tables du Cadastre, calculées eu France 
sous la direction de Prony de 179 ï à 1799, mais non publiées. 

« Elxamjnant dans le plus grand détail ces œuvres originales. M. Andoyer 
a rappelé que les deux premières, tout au moins, sont entachées d erreurs, 



■52 CHRONIQUE 

qui en font dos instruments peu sûrs. Elles répondent pourtant à des besoins 
incontestables, comme le prouvent les nouveaux tirages faits, depuis 1794, 
du célèbre Thésaurus Logarithmorum Comptetus de Vega, qui ne diffère pas 

iiiellemeul de l'œuvre de Vlacq. 11 y aurait incontestablement grand 
intérêt à amener les Tables trigonométriques à un degré plus élevé de 
perfection : car, dans certaines recherches, il est nécessaire d'obtenir sans 
des calculs trop laborieux plus de 10 décimales exactes, et de plus l'Astro- 
nomie et la Géodésie oui un besoin chaque j ' plus urgent de Tables à 8 OU 

9 décimales qu'il serait impossible d'établir actuellement d'une façon 
commode avec une précision suffisante. Telles sont les raisons qui ont déter- 
mine M Andover à calculer de nouvelles Tables plus étendues, exemptes 
des erreurs et des imperfections diverses qu'on peut constater dans les 
anciennes. Son travail, qui la occupé pendant près de deux ans, est 
aujourd'hui terminé. .. 

Tous les calculs nécessaires à ces Tables, pour lesquels il n'a été emprunté 
que les valeurs de - el du module M. ont été faits entièrement à nouveau 
par M. Andover, sans aucun auxiliaire, même mécanique, de juillet 1908 à 
mais 1910... L'impression, qui a été commencée au mois d'avril dernier, 
durera un an environ... 

«Décrivons sommairement les Tables elles-mêmes. 

« La Table I est une Table auxiliaire d'une seule page permettant le calcul 
relativement rapide des logarithmes des nombres avec 18 décimales. 

« La Table II contient le développement numérique, calculé à nouveau (et 
cette précaution ne s'est pas trouvée inutile), des formules données par Euler 
pour le calcul des logarithmes des lignes trigonométriques, dans Ylntroductio 
in Analysin fnfinitorum. 

« La Table III contient les log sin, log eos, log tang, de centième en centième 
du quadrant, calculés directement par les formules d Euler avec 17 déci- 
males exactes. De plus elle est préparée pour l'interpolation'; car on y trouve, 
en même temps que les logarithmes trigonométriques, leurs variations des 
divers ordres, c'est-à-dire les coefficients tayloriens correspondants. Ces 
variations ont été calculées en partant des différences par application de la 
formule de Stirling. 

«La Table IV résulte de la précédente et donne avec 15 décimales exactes 
"les logarithmes trigonométriques de 9 minutes en 9 minutes sexagésimales. 
De plus, on y trouve les variations, pour l'intervalle de 10", de la fonction 
log cos de 18' en 18'. 

«La Table V est la Table proprement dite; elle donne, en même temps que 
leurs premières différences, les logarithmes trigonométriques avec 14 déci- 
males de 10 secondes en 10 secondes. Les logarithmes cosinus ont été cal- 
culés directement à l'aide des cinq premières différences successives jusqu'à 
'i'i . Les log sinus et log tang en résultent par application des formules 

, , . sin X 

sm 2.1 — lisin x cos x , tang x — ■ 

cos x 

« La Table V bis, qui terminera l'Ouvrage, contient de la même façon les 
fonctions connues S et T, calculées directement jusqu'à 3°». 

Fonds Bonaparte. — Au nombre des onze subventions accor- 
dées par le Fonds Bonaparte nous trouvons une somme de 5000 fr, 
attribuée a M. Hartmann, lieutenant-colonel d'Artillerie, en retraite, 



CHRONIQUE 53 

lauréat d<- riiistitut (Prix de mécanique de la Fondation Montyon 
L902 . Cette subvention est destinée à lui permettre de poursuivre 
son étude expérimentale du développement el de la répartition 
des forces élastiques dans les corps déformés par des efforts exté- 
rieurs, pour toutes les valeurs de ces efforts. 

PRIX PROPOSÉS 

Programme des prix proposés 
pour les années L912, L913, L914, L915 et 1916. 

Géométrie. Grand Prix des sciences mathématiques 3000 fr. ; 
prix biennal à sujet variable . 

1 Prix de 1910 prorogé à 1912. — L'Académie avait mis au con- 
cours, pour l'année 1910, la question suivante: On sait trouver 
tons les systèmes de deux fonctions mèromorphes dans le plan a" une 
variable complexe et liées par une relation algébrique. Une ques- 
tion analogue se pose pour un système de trois fonctions uniformes 
de deux variables complexes, ayant partout à distance finie le ca- 
ractère d'une fonction rationnelle et liées par une relation algébri- 
que. L'Académie demande, à défaut d'une solution complète du 
problème, d'indiquer des exemples conduisant à des classes de 
transcendantes nouvelles. 

Aucun Mémoire ne lui étant parvenu, l'Académie remet la ques- 
tion au concours pour l'année 1912. 

2° Question de prix pour l'année 1912. — L'Académie rappelle 
qu'elle a mis au concours, pour l'année 1912.1a question suivante: 
Perfectionner la théorie des équations différentielles algébriques du 
deuxième ou du troisième ordre, dont l'intégrale générale est uni- 
foi- me. 

Prix Francceur 1000 fr.). — Ce prixannuel sera décerné à l'au- 
teur de découvertes ou de travaux utiles au progrès des Sciences 
mathématiques pures ou appliquées. 

Prix Poncelet 2000 fr.). — Décerné alternativement à un ouvrage 
sur les mathématiques pures ou sur les mathématiques appliquées. 
Le prix Poncelet sera décerné en 1912 à un ouvrage sur les mathé- 
matiques pures et en 1913 à un ouvrage sur les mathématiques ap- 
pliquées. 

Prix Bordin 3000 fr. . Prix biennal à sujet variable. — L'Acadé- 
mie met au concours, pour l'année 1913, la question suivante : Per- 
fectionner en quelque point important la théorie arithmétique des 
formes non quadratiques. 

Mécanique. Prix Montyon (700 fr.). Ce prix annuel est fondé en 
faveur de « celui qui. au jugement de l'Académie, s'en sera rendu 
« le plus digne, en inventant ou en perfectionnant des instruments 
« utiles aux progrès de l'Agriculture, des Arts mécaniques ou des 
« Sciences ». 



5 ', (Il H <) N IQV E 

Prix Fourneyron 1000 fr.). Prix biennal à sujet variable. 

I Prix de 1910 prorogé à L912. — L'Académie avait mis au con- 
cours, pour l'année L910, la question suivante: Etude expérimen- 
tale et théorique des effets, des coups de bélier dans les tuyaux élas- 
tiques. -Le prix n'a pas été décerné. L'Académie a décidé de main- 
tenir la question au concours et de proroger Le prix de 1910 à l'an- 
née L912. 

2' Question de prix pour l'année 1912. -- L'Académie rappelle 
qu'elle a mis au concours, pour l'année 1912, la question suivante : 
Théorie et expériences sur la résistance de l'air, applicables à 
l'a dation . 

Prie Boileau L300 IV. . — Ce prix triennal est destiné à récom- 
penser les recherches sur les mouvements des fluides, jugées suffi- 
santes pour contribuer au progrés de l'Hydraulique. A défaut, la 
rente triennale échue sera donnée, à titre d'encouragement à un 
savant estime de l'Académie et choisi parmi ceux qui sont notoi- 
rement sans fortune. L'Académie décernera le prix Boileau, s'il y 
a lieu, en 1912. 

Astronomie. — Prix Pierre Guzman (100,000 fr.). — Décerné à 
celui qui aura trouve le moyen de communiquer avec un astre 
autre que la planète Mars. Prévoyant (pie le prix de cent mille 
lianes ne serait pas décerné tout de suite, la fondatrice a voulu, 
jusqu'à ce que ce prix fût gagné, que les intérêts du capital, cu- 
mulés pendant cinq années, formassent un prix, toujours sous le 
nom de Pierre Guzman, qui serait décerné à un savant français, 
ou étranger, qui aurait fait faire un progrès important à l'Astro- 
nomie. Le prix quinquennal, représenté par les intérêts du capital, 
sera décerné, s'il y a lieu, en 1915. 

Prix Lalande (540 fr.). — Ce prix annuel doit être attribué à la 
personne qui, en France ou ailleurs, aura fait l'observation la plus 
intéressante, le mémoire ou le travail le plus utile aux progrès de 
l'Asl ronomie. 

Prix Valz (460 fr. . — Ce prix annuel est décerné à l'auteur de 
l'observation astronomique la plus intéressante qui aura été faite 
dans le courant de l'année. 

Prix Janssen. — Ce prix biennal, qui consiste en une médaille 
d'or destinée à récompenser la découverte ou le travail faisant 
faire un progrès important à l'astronomie physique, sera décerné 
en 1912. 

Prix G. de Pontécoulant (700 fr.). — Ce prix biennal, destiné à 
encourager les recherches de mécanique céleste, sera décerné, s'il 
y a lieu, dans la séance publique annuelle de 1913. 

Histoire des Sciences. Prix Binoux (2000 fr.). — Ce prix annuel 
est destiné à récompenser l'auteur de travaux sur l'Histoire des 
Sciences. 

Prix généraux. — Prix Petit d'Ormoy. Deux prix de 10. (KM) fr.-). 



CHRONIQUE 55 

— L'Académie a décidé que, sur les fonds produits par le legs Petit 
d'Ormoy, elle décernera tous les deux ans un prix de dix mille 
francs pour les Sciences mathématiques pures <>n appliquées, el 
un prix de dix mille lianes pour les Sciences naturelles. Elle dé- 
cernera les prix Petit d'Ormoy. s'il y a lieu, dans sa séance publi- 
que de L913. 

Prix Jérôme Pond (3500 IV. . — Ce prix biennal sera décerné, en 
1912, <i l'auteur d'an travail scientifique dont la continuation <m le 
développement seront jugés importants pour la Science. 

Prix Leconte .~>o,o<)() IV. . — (le prix doit être donné, en //// seul 
prit, tous les trois ans. sans préférence de nationalité : I" Aux au- 
teurs de découvertes nouvelles et capitales en Mathématiques, 
Physique, Chimie, Histoire naturelle, Sciences médicales; 2" Aux 
auteurs d'applications nouvelles de ces sciences, applications qui 
devront donner des résultats de beaucoup supérieurs à ceux ob- 
tenus jusque-là. — L'Académie décernera le prix Leconte, s'il y a 
lieu, en L914. 

Les conditions communes à tous les concours sont indiquées 
clans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, du 19 décem- 
bre 1910, p. 1309. 



Détermination mathématique des phénomènes psycho-biologiques 
et socio-biologiques. 

Une Commission permanente internationale de détermination 
mathématique des phénomènes psycho-biologiques et socio-biolo- 
giques a été constituée sur la décision du Congrès international 
de Psychologie de Genève, et le siège en a été fixé à Paris, à l'Ins- 
titut Général Psychologique. 

Cette Commission est présidée par M. Henri Poixcaué, membre 
de l'institut. La première question mise à l'ordre du jour a été 
celle de la rédaction d'un Manuel d'Interpolation destiné aux sa- 
vants qui ne sont pas particulièrement familiarisés avec les mé- 
thodes mathématiques. 

( )n visera spécialement, dans ce Manuel, les procédés applicables 
aux calculs des résultats numériques recueillis dans les sciences 
biologiques, physiologiques, psychologiques et sociologiques. 

Dans une récente circulaire, la Commission demande qu'on 
veuille bien lui indiquer les problèmes qu'il conviendrait princi- 
palement d'envisager dans ce travail, afin qu'il en soit tenu compte 
lors de L'élaboration du Manuel. Les réponses doivenl être adres- 
sées au secrétaire-général. M. S. YoumÉviTCH, L4, rue de Coude, 
Paris (6 e ). 



56 CHRONIQUE 

Société italienne pour l'avancement des sciences. 

La réunion annuelle de la Società italiana per il progresso délie 
scienze a eu lien à Naples, du lô au 21 décembre 1910. Le prési- 
dent. M. Ciamician. a tenu le discours d'ouverture sur La coopé- 
ration des sciences. Pour ce qui se rapporte aux mathématiques 
pures et appliquées, il y a lien de signaler les communications 
suivantes : 

E. Bompiani, Contribution à la Géométrie projective différen- 
tielle des hyperespaces. 

M. 0. Cobbino, Un demi-siècle après la découverte de l'anneau 
île Pacinotti. 

A. (tahiîasso. L'émission de la lumière. 

A. De XoitA, Quelques remarques sur la méthode Muller-Breslau 
pour le calcul des systèmes réticulaires dans l'espace. 

L. Siloersteix, Sur la masse mutuelle de deux élections. 

C. Somk;liana, La constitution de la Terre au point de vue de 
l'élasticité 

A. Tummarello, Types de systèmes homaloïdiques de surfaces. 

G. Vacca, Sur l'histoire des mathématiques dans l'extrême 
Orient et sur les contributions de MM. T. Hayashi et V. Mikami. 

Jules Tannery. 

Le U novembre dernier une attaque d'hémiplégie emportait en 
quelques heures M. .1. Tannery, sous-directeur de l'Ecole Normale 
Supérieure. La mort l'a frappé debout: dans l'après-midi du 10, il 
avait fait une conférence à l'Ecole et avait assisté à une séance du 
Conseil de l'Université; le soir il dut s'aliter, et le lendemain, à 
3 heures du matin, il n'était plus. C'est une grande perte pour la 
science française, pour l'Ecole et pour toute l'Université. 

M. Jules Tannery, après avoir été élève de l'Ecole Normale Su- 
périeure de 1866 à 1869 et chargé de cours aux Lycées de Rennes, 
de Caen et au Lycée Saint-Louis, fut reçu docteur es sciences en 
1874. Il suppléa M. Bouquet dans la chaire de Mécanique-Physique 
d'octobre 1875 à juillet 1880. Il entra ensuite à l'Ecole Normale; 
maître de conférences en 1881, il fut nommé sous-directeur en 
1884 et occupa ce poste d'honneur jusqu'à son dernier jour. Il était 
en outre professeur à l'Ecole Normale Supérieure d'enseignement 
secondaire des jeunes filles à Sèvres depuis sa fondation et mem- 
bre d'un grand nombre de commissions et comités : (Comité con- 
sultatif, Conseil de l'Université de Paris, Comité de patronage des 
hautes études, Conseil de perfectionnement de l'Ecole Polytech- 
nique, des Ecoles de la Marine, etc.). Enfin, le 11 mars 1907, il fut 
élu membre libre de l'Académie des Sciences en remplacement de 
M. Brouardel. 



CHRONIQUE 57 

Je n'ai pas qualité pour juger l'œuvre scientifique de M. .1. Tan- 
uery, je vais me contenter d'indiquer ici ses principaux travaux 
et publications. Sa thèse de doctorat était un mémoire sur les 
équations différentielles linéaires (Annales de VE. Y., i série, 
(. IV . il publia sur le même sujet et sur d'autres points de la théo- 
rie des fonctions, quelques noirs et Mémoires C. />'.. Académie 
des Sciences, 1878, 1882 : Annales de VE. N., t. VIII : Bulletin des 
Sciences mathématiques, 1876, 77. <S1, etc. . En collaboration avec 
M. Moi.k. il lit paraître un important Traité sur la Théorie des 
fonctions elliptiques Gauthier-Villars, éd., 1893-96-98-1901 . 

Mais, connue il l'a repété lui-même bien souvent. M. Tannery a 
cherche surtout « à divulguer et a coordonner les vérités acquises 
plutôt qu'à en découvrir, de nouvelles ». C'est à cet ordre de préoc- 
cupations (pie l'on doit des livres renommés qui ont eu sur l' ensei- 
gnement en France une influence exceptionnelle. Il faut mention- 
ner tout particulièrement Y Introduction a la théorie des fonctions 
d'une variable réelle (Hermann, éd. . dont la l re édition a paru en 
1880 et dont la 2"'" édition, complètement modifiée, vient de paraî- 
tre récemment 1 er tome 1905, 2""' tome 1910 . L'importance de ce 
livre est incontestable; il suffît, pour s'en faire une idée, de com- 
parer les anciens et les nouveaux traites français de Calcul Diffé- 
rentiel ou même les éditions successives d'un même traité. M. Tan- 
nery a publié d'autres ouvrages plus directement destinés à 
l'Enseignement et très répandus : Leçons d'Arithmétique Armand- 
Colin. 1894 : Leçons d'Algèbre et d'Analyse Gauthier-Villars, 
1906 : Notions de Mathématiques Delagrave. 1903). 11 a écrit 
aussi un assez grand nombre d'articles de pédagogie ou de phi- 
losophie scientifique (Revue générale des Sciences, Reçue de Méta- 
physique, Revue du Mois, Revue de Paris, Revue de VEnseigne- 
ment des Sciences, L'Enseignement Mathématique, etc. . notam- 
ment sur l'Infini mathématique, la science livresque, la méthode 
en Mathématiques, la Psycho-physique, le rôle du Nombre dans 
les Sciences. Enfin, une grande partie de son temps fut consacrée 
depuis 34 ans à la rédaction du Bulletin de Mathématiques en col- 
laboration avec MM. Houkl et Darboux, puis MM. Darboux et 
Picard . Il faudrait citer toutes les analyses qu'il y a publiées : en 
parlant des auteurs a avec la déférence que méritent, disait-il, ceux 
qui contribuent a augmenter le domaine scientifique , il savait 
mettre en évidence avec une rare justesse et une rare clarté le ca- 
ractère propre de chaque livre et de chaque auteur. 

Membre du Conseil Supérieur de l'Instruction publique et de 
nombreuses commissions, il s'occupait beaucoup de l'Enseigne- 
ment secondaire scientifique, et il joua en particulier un grand 
rôle dans les réformes de 1902 et 1905. Par les conférences qu'il 
faisait à l'Ecole Normale, il contribuait pour une large part a 
l'éducation pédagogique des futurs professeurs et nombreux sonl 



58 CHRONIQUE 

ses anciens élèves qui, devenus depuis des mathématiciens distin- 
gues, se plaisent a reconnaître l'influence qu'il a exercée sur leur 
jeune talent. 

M. Tanneiv n'était pas seulement pour ses élèves un guide et un 
maître, il avait L'habitude de les appeler ses amis et il fut réelle- 
ment leur ami à tous. Il n'a laisse parmi eux que des regrets et sa 
mort est un véritable deuil de famille pour les anciens normaliens. 

A. Chatelet Paris 
Ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure. 

Julius Petersen. 

Le Danemark a perdu l'un de ses meilleurs mathématiciens, 
Julius Petersen, décède le 5 août 1910. Né le 16 juin 1839, il était 
contemporain de M. Zeuthen et de Thiele et contribua avec eux 
au développement des mathématiques en Danemark pendant le 
dernier tiers du XIX' siècle. De 1871 à 18<S7 il enseigna à L'Ecole 
polytechnique de Copenhague, puis il devint professeur à l'Uni- 
versité en 1887 et y resta jusqu'en 1909. 

Si son nom est bien connu en dehors des frontières du Dane- 
mark, cela tient beaucoup à ses excellents manuels, en particulier 
à son livre intitulé Méthodes et théories pour lu resolution des pro- 
blèmes de constructions géométriques, avec application à plus de 
kOO problèmes, dont la première édition danoise parut en 1866. 
Les traductions ont paru, en plusieurs éditions, en allemand, 
français, anglais, italien, russe et hollandais. Malgré son carac- 
tère élémentaire, cet Ouvrage donne une idée des remarquables 
qualités pédagogiques de l'auteur. La systématisation des mé- 
thodes a sans doute une valeur didactique propre, mais il est cer- 
tain qu'il faut également attacher un grand prix a la force stimu- 
lante cpie donne la résolution de problèmes isolés, que Petersen 
présente souvent d'une façon extrêmement élégante. Il cherche 
avant tout une vue d'ensemble de ce qui est essentiel sans se 
perdre dans les détails et les particularités; aussi trouve-t-on 
rarement dans son Ouvrage la discussion des conditions de possi- 
bilité d'un problème. Ce que nous disons ici de son travail de 
jeunesse, peut encore être appliqué en grande partie à ses travaux 
ultérieurs, qui s'étendent presque sur toutes les branches des ma- 
thématiques, où il avait choisi souvent les problèmes les plus dif- 
ficiles. 

Mentionnons, à titre d'exemples, quelques-uns de ses travaux: 

Sa thèse 1.S71 traite des équations résolubles à l'aide de racines 
carrées <'t des constructions résolubles à l'aide de la règle et du 
compas. Dans la théorie des nombres, dont il s'est occupé jusqu'à 
ces dernières années, il a donné une démonstration tics simple 
du théorème de réciprocité A/u. Journ. of Math., 2, p. '28.'). 187'.i . 



CHRONIQUE 59 

Dans la théorie des invariants, en examinant les travaux de Caylej 
el de Sylvester, dont le bul esl de fournir à la théorie une nouvelle 
hase élémentaire, il a découverl une cireur fondamentale M. .1., 
35, ]). MO. L890). Les Acta mathematica t. L5, p. L93, 1891 con- 
tiennenl un remarquable mémoire intitule Théorie der regulàren 
Graphs, dans lequel il expose avec beaucoup d'élégance des pro- 
blèmes difficiles de Analysis Sitns. 

En dehors de ces manuels élémentaires qui ont été pendant 
longtemps les seuls des écoles danoises. Petersen a écrit plusieurs 
traites, qui ont été également traduits à l'étranger: Théorie der 
algebr, Gleichufigen i Théorie des équations algébriques); Vorle- 
sungen iiber Statik, Kinematik //. Dynamik, et ses Vorlesungen 
iiber Funktionstheorie. Partout on retrouve les qualités caractéris- 
tiques de l'auteur et ce même effort d'atteindre toujours ce qui est 
essentiel, et cela sous une forme qui lui est personnelle. Il est 
possible que sa manière concise d'écrire embarrasse quelquefois 
les commençants, par contre elle permet le libre développement 
de l'individualité du maître. 

Le talent mathématique de Petersen repose en grande partie 
sur une intuition mathématique très développée, en particulier 
dans le domaine géométrique. On peut dire qu'il resta étranger à 
la tendance arithmétisante, dont le but était d'obtenir une plus 
grande ligueur logique et d'atteindre un exposé plus complet au 
point de vue systématique. Aussi, malgré ses remarquables qua- 
lités dans des points de détails, sa Théorie des équations algé- 
briques a déjà quelque peu vieilli, et ses Leçons sur la théorie des 
fonctions ne satisfont pas partout les idées modernes au point de 
vue de la rigueur. 

Par sa manière franche, bien que parfois étroite d'exprimer 
son opinion, Petersen s'était acquis beaucoup d'amis. L'ne maladie 
le minait depuis longtemps et ébranla à tel point sa santé, que sa 
mort est considérée comme une délivrance par tous ses amis. 

Poul Heega^rd (Copenhague . 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — La Société mathématique de Berlin vient d'or- 
ganiser une séance solennelle en l'honneur de M. E. Lampe, à 
l'occasion du 70' anniversaire du savant professeur et directeur 
du Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik et de VArchiv 
der Mathematik u. Physik. 

— M. Hepfter, professeur ii l'Université de Kiel, a accepté un 
appel de l'Université de Fribourg en Br. 

M. Kœbbe, privat-docent à l'Université de Gœttingue, esl nomme 
professeur extraordinaire et assistant de l'Institut mathématique 
à l'Université de Leipzig. 



60 CHRONIQl JE 

M. Xeoiann. professeur à l'Université de Leipzig, prend sa 
retraite. 

Privat-docents. — On été admis en qualité de privat-docents, 
M. Biebbbbach, ii l'Université de Kônigsberg et M. Neuendorff, à 
l'Université de Kiel. 

Angleterre* — M. K. K. Hassé, M. A., est nommé Fellow de 
S'-.lohn's Collège, à Cambridge. 

Société rot/aie. — M. II. F. Bakkh. F. K. S., a obtenu la Médaille 
Sylvester pour ses recherches dans la Théorie des Fonctions abé- 
liennes et pour son édition des œuvres complètes de Sylvester. 

Belg'icfue. — Académie de Belgique. La classe des sciences 
mathématiques et physiques a élu, en remplacement de feu les 
membres associés Canizzaro, de Rome, et Schiaparelli. de Milan : 
MM. Ed. Branly, professeur à l'Ecole des hautes études de Paris, 
et Emile Picard, président de l'Académie des sciences de Paris. 

M. .1. Nbubbbg, professeur à l'Université de Liège, est admis à 
Féméritat; il continuera son enseignement jusqu'à la fin de l'an- 
née académique 1910-1911. 

M. P. Mansion, professeur et inspecteur des études à l'Univer- 
sité de Gand. est admis à Féméritat. 11 est remplacé par MM. A. De- 
moi i.ix Analyse) et A. Claeys (Calcul des probabilités et Histoire 
des mathématiques . 

M. J. van Rysselberghe, professeur à l'Université de Gand, est 
nommé inspecteur des études aux Ecoles du Génie civil et des 
Arts et Manufactures annexées à l'Université de Gand. 

France. — Faculté des Sciences de Paris : M. Cahex, profes- 
seur au Collège Rollin, a été chargé d'un cours sur la Théorie des 
Nombres, institué par une fondation anonyme. — M. Lebesgue, 
professeur à la Faculté des Sciences de Poitiers, est nommé 
maître de conférences d'Analyse à la Faculté des Sciences de 
Paris. — M. Vessiot, professeur à la Faculté des Sciences de Lyon, 
est chargé, pour l'année 1910-1911. d'un cours de Calcul différen- 
tiel et intégral. 

Ecole normale supérieure : M. F. Boree, professeur à la Faculté 
des Sciences de Paris, a été nommé sous-directeur, en remplace- 
ment de M. J. Tannery, décédé. . 

— M. Léon Lecornu, professeur à l'Ecole polytechnique, est 
nommé membre de l'Académie des Sciences, section de méca- 
nique, en remplacement de M. Maurice Léw. 

— Le Jury international de L'Exposition universelle internatio- 
nale de Bruxelles a décerné une Médaille d'or à M. Ernest Le- 
ron pour ses publications en Mathématiques et en Histoire des 
Sciences. 

— M. Dleac, professeur à la Faculté des Sciences d'Alger, est 
nommé a la Faculté des Sciences de Lyon. 



CHRONIQUE h\ 

— M. Husson, professeur de Mécanique rationnelle el appliquée 
à la Faculté des Sciences de Caen, est nommé à la chaire «le Cal- 
cul différentiel el intégral. 

— M. P. Boutroux, chargé de cours à la Faculté des Sciences 
de Nancy, est nommé professeur de Calcul différentiel à la Faculté 
des Sciences de Poil iers. 

— M. Fréchet, chargé de cours, esl nommé professeur de Méca- 
nique rationnelle à la Faculté des Sciences de Poitiers. 

Italie. — M. Max Abraham, professeur de Mécanique ration- 
nelle ;i l'Institut Technique supérieur de Milan, a été nommé 
membre du Reale Istituto Lombardo. 

MM. G. Castelnuovo, de l'Université de Rome, et U. Diki, de 
l'Université <le Pise; ont été nommés membres correspondants du 
R. InstitUtO \ eneto. 

M. M. Cipolla, privat-docent à l'Université de Palerme, a été 
nommé professeur extraordinaire d'Analyse algébrique à l'Univer- 
sité de Messine. 

M. B. Levi, professeur à l'Université deCagliari. a été transféré 
en qualité de professeur ordinaire d'Analyse algébrique à l'Uni- 
versité de Parme. 

M. A. \ iterbi. privat-docent. a été nommé professeur extraor- 
dinaire de Géodésie théorique à l'Université de Pavie. 

Suisse. — M. Alb. Einstein, professeur à l'Université de Zu- 
rich, est nommé professeur de Physique mathématique à l'Uni- 
versité allemande de Prague. 

M. Mauderli a été admis en qualité de privat-docent pour l'As- 
tronomie à l'Université de Berne. 



Nécrologie. 

M. v. Authenrieth, professeur de Mécanique technique à l'Ecole 
technique supérieure de Stuttgart, est décédé à l'âge de 68 ans. 

M. E. Hagenbach-Bischoff, professeur de Mathématiques, puis 
de Physique ;i l'Université de Baie (1862-1906 . est décède à l'âge 
de 78 ans. Il fut. avec le philosophe genevois Ernest Naville, l'un 
des promoteurs de la- Représentation proportionnelle. En 1 S 7 "> . il 
présenta au Grand Conseil bàlois le premier projet de Représen- 
tation proportionnelle. 

— On annonce la mort de M. S. Gundelfinger, professeur à 
l'Ecole technique supérieure de Darmstadt; il était né le 17 jan- 
vier 1846. 

M. Th. .\. Thiele, directeur einérite de l'Observatoire de Co- 
penhague, esl mort le 26 septembre 1910, à l'âge de 71 ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte rendit des travaux des sous-commissions nationales. 
1 1 er article). 

Sous le titre ci-dessus, nous publierons, en une série d'articles, de courts 
résumes des principaux rapports élaborés par les sous-commissions natio- 
nales et consacrés à renseignement mathématique dans les différents types. 

En rendant compte de la réunion que la commission internationale a tenue 
à Bruxelles, en août 1910, (Voir L'Ens. math, du 15 sept.) nous avons donné 
une liste des publications entreprises par les sous-cotumissious nationales 
p. 359-365). Dans plusieurs pays les rapports ne seront publ-iés qu'une fois 
qu ils auront tous été réunis en un ou plusieurs volumes ; dans d autres 
ils sont publiés au fur et à mesure. Au moment où nous écrivons ces lignes, 
fin décembre 1VU0. vingt-deux fascicules contenant ol rapports ont été dis- 
tribués aux membres de la commission ; ils se répartissent comme suit 1 : 

Allemagne : 9 rapports en 9 fascicules. 

Autriche : 1 1 » » 5 » 

Etats-Unis : 1 » » 1 » 

France : 1 idans la suite les rapports ne seront 

publiés qu'eu volume). 
Russie : .'î rapports en 2 fascicules. 

Suède : 6 » » 4 » 

H. F. 

ALLEMAGNE 

Les écoles secondaires supérieures de garçons en Prusse. 

Die Organisation des mathematischen l'nlerrichts an den hôheren Knaben- 
schulen in Preussen' 2 von D r W. Lietzmann. — C est le second fascicule du 
tome I des Abhandlungen ûher den mathematischen Vnterrieht in Deutsch- 
land. Il est destiné à donner un exposé de l'organisation actuelle tant exté- 
rieure qu'intérieure, de l'enseignement mathématique dans les écoles secon- 
daires supérieures de garçons en Prusse. 

I);m> un précédent rapport, le fascicule 1 s du tome I. l'auteur s'était occupé 
des matières et de la méthode de 1 enseignement mathématique dans les 
établissements secondaires supérieurs du Nord de l'Allemagne en se basant 



1 Non-; ne comptons pas, dans ces chiffres, les communications ou rapports préparatoires 
des sous-conimissions ayant pour objet l'organisation des travaux. Il y aurait à ajouter, pour 
l'Allemagne, :i Berichte u. Mitteiltaigen dont le premier contient la traduction du llapport 
préliminaire du Comité central : pour le Danemark. I fasc. (traduction du Rapport prêt.) : pour 
l'Espagne. 1 fasc. : pour les Etats-l'nis. M fasc, dont l'un est consacré a la traduction du 
Rapport prei. : pour la Hongrie, 1 fasc. 'traduction du llapport prél.i; pour la Suisse, 1 fasc 
consacré aux travaux préparatoires. Total : in iascicules. 

2 1 fasc. de 204 p. : ■> M : 15. G. Teubner, Leipzig. — Nous devons ce compte rendu à 
M. J.-P. Di mi i< (Genève). 

3 Stoff. u. Méthode im math. Un terrien t der norddeutschen hôheren Scbulen aufGrund der 
vorhandenen Lehrbûcher, 102 p. : "2 M. 



tVO TES ET I) OC U ME NT S 






sur une étude comparée des manuels. Nous en avons rendu compte dans 
1 Ens. math, do I"i mars 1909, p. 160-162. Ici par contre, il procède en se 
référant aux programmes el plans d'études parus jusqu'à Pâques 1909. Dans 
un voyage en Prusse, M Lietzmanu a pu étudier la question de pr< s 
en visitant les principaux établissements scolaires, en assistant aux leçons 
et en prenant toutes les informations nécessaires. 

Le travail est divise en trois parties. La première traite de V organisation 
générale de l'enseignement dans les écoles supérieures de garçons : la 
deuxième s'occupe des plans d'études el des sujets traités concernant l'en- 
seignement mathématique dans les écoles supérieures de garçons en Prusse, 
et la troisième de I uifl uence du mouvement de réforme sur les plans d'études. 

On distingue actuellement en Prusse trois sortes d écoles supérieures : 
Les • Gymnasien ». les « Realgymnasien » et les « Oberrealschulen ». A 
part ces établissements complets, comprenant neuf classes, on trouve aussi 
des établissements incomplets ne renfermant que les six premières classes 
les « Progymnasien », les « Realprogymnasien » et les < Realschulen ». 

Dans un aperçu historique, l'auteur indique les transformations progres- 
sive* qu'ont subies les écoles «le Prusse avant d'arriver à leur étal actuel. 
Notons seulement un point important : la Conférence de juin 1900 (Junikon- 
ferenz) a décrété l'égalité des trois genres d'écoles en ce qui concerne les 
droits qu'elles accordent. 

Le tableau suivant permettra de comparer le système de classes des écoles 
allemandes avec celui des autres pays. 



Prusse. 


Autriche. 


F R \ n ( . i: . 




Italie. 


Etats-Unis. 


:i classes 
préparât. 


\ (dasses 
préparât. 




Divis. préparât. 


I" an 


Environ 
3 an. prép. 


Jer 
11 = 


degré 
» 


3 
'. ~ j 

i i 

o 


» » '!'■ an. 


Huitième. 


Ille 

I\> 


». 


VI 


71 

- 

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I. 

■ç. 

ïir. 


Septième. 


I 


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"7: 

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V 


I 


— 


Sixième. 


•5 C_ 

= u 


II 

lïT 


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» 


IV 


II 


Cinquième. 


Vie 


» 


U III 


III 


Quatrième. 


IV 


Vile 


» 


O III 

U II 


IV 


T i o i s i è m e . 


l re année. 


— "5 


V 




Seconde. 


Second 
cycle. 


i 


6 


2e 


» 


II 




VI 


Première. 


u 


3e 


» 


l-I 


VII 


Phil. ou Math. 


m 


'l" 


» 


I 


VIII 





Les caractères qui distinguent les Gymnasien . Realgymnasien » et 
« Oberrealschulen o sont les suivant* : 

Le Gymnase est caractérisé par les langues mortes, latin el grec. Parmi 
les langues modernes, le français seul est obligatoire; actuellement il est 
souvent remplacé dans les degrés supérieurs par l'anglais. A partir de O II, 
deux heures facultatives d'anglais (ou français lorsque l'anglais est obliga- 
toire) el également d hébreu. 

Au Realgymnasium on ne conserve que le latin en fait de langues mortes, 



6 i .v o 1 1: s e r dix l m i: n r s 

c'est pourquoi deux nouvel les langues sont obligatoires, le Français et l'an- 
glais. Les mathématiques et les sciences naturelles sont mieux représentées 
• j 11 au « G\ innasinni ». Le dessin linéaire est facultatif (deux heures par 
semaine dans les cinq dernières classes). 

Dans les Ecoles réaies supérieures le latin disparait également — il est 
facultatif dans la plupart des établissements de ce genre à partir de O IL 
Par contre, les langues modernes, les mathématiques et les sciences natu- 
relles sont plus approfondies qu'aux a Realgymnasien ». Comme dans ces 
derniers, le dessin linéaire est facultatif. 

A côté des établissements énumérés ci-dessus, on rencontre également les 
écoles réformées (Reformànstaltenj dans lesquelles la séparation en sec- 
tions est retardée le plus haut possible. 

Dans les chapitres suivants, l'auteur nous parle de l'organisation plus 
libre de l'enseignement dans les degrés supérieurs, en ce qui concerne le 
champ et les méthodes. Puis il passe en revue le matériel scolaire dont dis- 
posent les élèves dans leurs études mathématiques et arrive ensuite à l'ensei- 
seignement mathématique proprement dit. Le maître de mathématiques 
enseigne souvent d autres branches dans sa classe, spécialement les sciences 
naturelles. On a l'habitude de distinguer actuellement deux groupes dans les 
sciences mathématiques et naturelles : mathématique-physique et chimie- 
biologie. Déjà maintenant onconlie presque toujours renseignement mathéma- 
tique et physique au même maître, eu tous cas dans les classes supérieures. 

En ce qui concerne les méthodes d'enseignement, il faut distinguer la 
méthode heuristique et la méthode dogmatique. La méthode heuristique, 
dans son sens le plus général, consiste dans une assimilation progressive de 
la matière cl enseignement par un échange continuel de questions et de 
réponses entre le maître et 1 élève. C est le procédé qu on emploie presque 
toujours. Dans un sens plus étroit, la méthode heuristique, appelée « mé- 
thode de redécouverte » en France, consiste à faire retrouver à l'élève lui- 
même tou£ les résultats de 1 enseignement. En Allemagne on procède aussi 
beaucoup selon cette méthode. L auteur nous donne comme exemple le 
compte rendu dune leçon de mathématiques dans un « Gymnasium » (O III). 
Dans une brochure Ist Mathematik Hexerei ?' on trouvera des renseigne- 
ments plus détaillés au sujet de la méthode suivie dans celte leçon. 

Les travaux à taire à la maison ont moins d'importance relativement à 
ceux exécutés en classe que dans les autres pays. Ils ont simplement pour 
but la revision et les applications des sujets traités aux leçons. 

A côté de ces tâches régulières il faut signaler des travaux plus considé- 
rables que les élèves ont à présenter à des intervalles de temps plus longs, 
toutes les quatre semaines, d'après les plans d'étude ; et également les tra- 
vaux facultatifs. Ces derniers nécessiteraient une bibliothèque d'élèves qui 
manque souvent. 

Rappelons enfin que Tannée scolaire commence généralement i« Pâques et 
que les élèves passent d'une classe à la suivante à condition de réussir leurs 
examens de promotion. Dans un chapitre spécial du rapport, on trouvera 
tous les détails voulus sur ces examens et les épreuves en général. 

Dans la seconde partie, l'auteur s'occupe des plans d'études et de la 
matière d enseignement. Dans un aperçu historique, il passe en revue les 
transformations successives de ces plans d'études jusqu'à ceux de 1901 qu; 



1 Von nue/11 preussischen Schullehrcr (Schweriog, Rèd.), Herdi-r. Stuttgart. 



NO TES il I DU CV ME IV TS 



65 



-oui actuellemenl en vigueur 1 . Dan- les chapitres suivante, on trouvera des 
renseignements détaillés sur ces derniers et sur les observations qui les 
accompagnent et concernanl les méthodes d'enseignement (methodische 
Bemerkungen). Ces plans d'études de 1901 comprennent trois parties, la pre- 
mière renferme le programme des heures d'étude, la deuxième, qui s occupe 
spécialement de chaque branche, indique aussi le champ respectif de chacune 
des trois suites d'écoles; cette partie donne également 'les observations 
méthodiques sur l'arithmétique et les mathématiques; la troisième partie 
contient îles remarques «I un ordre général. 

Nous donnerons ici le schéma «les plans d'études pour les trois genres 
.1 écoles, ce qui permettra de i iparer leurs attributions respectives. 

« GYMNASIEN » 



Classe. 


Arithmétique et Algèbre. 


Géométrie. 


VI 
V 


1 Calcul : les opérations sur les 
) nombres positifs, entiers et 
\ fractionnaires. Opérations 
! usuelles de la vie pratique. 


— 


— 




Enseignement préparatoire. Etu- 
de des droites, angles et tri- 


IV 






angles. 


r m 


Calcul : opérations sur les nom- 


Extension de létude du trian- 




bres positifs et négatifs ; équa- 


gle. Quadrilatère. Cercle (cor- 




tions du premier degré. 


des et angles). 


oui 


Proportions . équations du pre- 
mier degré à une et plusieurs 
inconnues. Puissances à expo- 


Mesure des aires. 


un 


sants entiers positifs. 




Puissances, racines et logarith- 


Similitude. Calculs relatifs au 




mes |à 'i ou 5 décimales). Equa- 


cercle. 




tions simples du second degré 




O II 


a une inconnue. 




Equations, principalement du 


Division et faisceaux harmoni- 




second degré, à plusieurs in- 


niques. Transversales. Géo- 




connues. 


métrie algébrique. Goniomé- 
trie; calculs trigonom étriqués 


i 




simples. 


Progressions arithmétiques et 


Extension des constructions de 




progressions géométriques ; 
calculs d intérêts composés et 
de rentes. Analyse combina- 


géométrie plane et des calculs 
trigonom étriqués. Géométrie 
de l'espace et ses applications 




loi re (avec calcul des proba- 


en cosmographie. Dessins 




bilités). Binôme à exposants 
entiers positifs. Revision de 


perspectifs de formes de 1 es- 
pace. Notion des coordonnées 




l'arithmétique. Equations de 


avec application aux sections 




degré supérieur, qui se ramè- 


coniques |. 




nent à celles du second degré. 





1 Lehrplâne und Lehraufgaben fflr die hôheren Schulen î parus;, Berlin Hertz . 190t. 
L'Enseignement mathém., 13' année; mil. 5 



66 



NOTES ET DOCUMENTS 



Dans ce tableau el le suivant on n'a pas t'ait de distinction spéciale entre 

les classes l" l et 1. 

« REALGYMNASIEN » et <> OBERREALSCHULEN » 



(liasse. 


Arithmétique et Algèbre. 


Géométrie. 


VI 


Calcul : nombres positifs en- 
tiers el fractionnaires, parti- 
culièrement nombres déci- 
maux. Opérations de la vie 
pratique. 


— 


V 


* Enseignement préparatoire. 


IV 


Continuation du programme 
précédent. * Principes du cal- 
cul algébrique. 


Droites et angles; triangles, 
* quadrilatères. 


U III 


Opérations usuelles de la vie 
pratique et commerciale. Cal- 
cul algébrique ; proportions. 
Equations du premier degré à 
une inconnue. 


Quadrilatères; cercle. Mesure 
des aires. 


oui 


Puissances et racines. Equa- 
tions du premier degré à plu- 
sieurs inconnues. Equations 
simples du second degré. 


Similitude; problèmes du cer- 
cle. 


r u 


Logarithmes. Equations du se- 
cond degré. 


Eléments de trigonométrie. Elé- 
ments de géométrie de l'es- 
pace ; projection parallèle obli- 
que. Géométrie algébrique. 


O II 


Progressions arithmétiques et 
géométriques (intérêts compo- 
sés et rentes). Nombres com- 
plexes. Equations réciproques 
et binômes; équations diflici- 
ciles du second degré. 


Division el faisceaux harmoni- 
ques: axe radical: centre de 
similitude, etc. Continuation 
de la trigonométrie. Géométrie 
de l'espace. 


i 


Analyse comminatoire (avec ap- 
plication au calcul des proba- 
bilités!. Binôme pour expo- 
sants quelconques. Les séries 
les plus importantes de l'ana- 
lyse algébrique. Revision de 
l'arithmétique. Equations du 
troisième degré. Maxim a et 
niiuima. 


Trigonométrie sphérique (cos- 
mographie). Géométrie des- 
criptive. Géométrie synthéti- 
que des sections coniques. 
Géométrie analytique plane 



Les chapitres que l'on traite dans les « Oberrcalschulen » mais non dans 
les « Realgymnasien » ont été marqués d'un astérisque. En comparant ces 
«leiix tableaux, on se rendra compte qu'il n y a guère de différence entre la 



.V /' E S E T DOCV M E Y TS 67 

matière il enseignement des « Gymnasien » et celle des « Realanstalten ». La 
différence consiste surtout dans la façon plus ou moins approfondie dont 
cet te matière esl traitée. 

Dans la troisième partie de son travail, M Lietzmanu nous parle de l'in- 
fluence du mouvement de réforme sur les plans d'études. En ce qui concerne 
l'enseignement mathématique, ce mouvement de réforme trouve sa meilleure 
expression dans les propositions de Meran et Stuttgart, de la commission 
d'enseignement instituée par la Société des naturalistes et médecins alle- 
mands. Dans ces propositions, on envisage cO te buis principaux de I en- 
seignement dans les écoles supérieures les deux points suivants : 

h le renforcement de la conception de 1 espace. 

h le développement de l'idée de fonction. 

Pour se conformer à cette manière d'etivisager les choses, on devra : 

I Ordonner I enseignement de façon à mieux l'adapter au développement 
naturel de l'esprit. Ce principe psychologique concerne surtout 1 enseigne- 
ment préparatoire de l'arithmétique et de la géométrie et le passage pro- 
gressif des procédés intuitifs aux procédés déductifs. 

2. Développer autant que possible cette faculté d'observation mathéma- 
tique des phénomènes qui nous entourent. Ce principe utilitaire se mani- 
festera par le choix approprié des applications. 

il Arriver peu à peu à la conception de 1 unité de la science. Ce principe 
didactique conduira à une concentration de tout 1 enseignement autour d'une 
notion Fondamentale, celle de fonction, aussi bien au point de vue algé- 
brique qu'au point de vue géométrique. 

On trouvera dans celte troisième partie de l'ouvrage de M. Lietzmann la 
place qu'occupe la notion de fonction dans les degrés inférieurs et supé- 
rieurs des différents établissements scolaires. Nous ne pouvons entrer ici 
dans aucun détail. Remarquons cependant que les décisions du 3 lévrier 1910 
concernant la nouvelle organisation des écoles moyennes en Prusse ' sont 
favorables au développement île la notion de fonction. 

Les derniers chapitres sont consacrés au rôle du calcul infinitésimal dans 
les écoles supérieures et des applications auxquelles il donne lieu. Ici. de 
même que pour la notion de fonction', ce rôle varie beaucoup d'un établisse- 
ment à l'autre, et nous sommes obligés de renvoyer le lecteur à l'ouvrage 
même pour de plus amples renseignements. Actuellement, le nombre des 
Gymnases qui poussent la notion de fonction jusqu'à une étude détaillée du 
calcul infinitésimal est restreint. Dans ceux de ces établissements où l'on 
utilise la notion du quotient différentiel, on se borne à des fonctions algé- 
briques liés simples et à quelques fonctions transcendantes: le plus souvent 
on n aborde pas le calcul intégral ou bien l'on se borne aux premiers débuts. 
Par contre, plus du 50 ° o des « Oberrealschnlen » renferment dans leur 
programme le calcul différentiel, et le calcul intégral y est aussi beaucoup 
mieux représenté qu'aux Gymnases. Les « Realgymnasien » eux, tiennent une 
place intermédiaire entre les Gymnases et les Ecoles réaies supérieures : 
ils se rapprochent cependant davantage des dernière-. 

II n'est pas douteux, dit l'auteur en terminant, que les prochains plans 
d'études des écoles secondaires supérieures de garçons répondront encore 
plus favorablement aux tendances actuelles de réforme. 



1 Restimmungen aber die Neuordnang des Mittelschulwesens in Preussen, vom 3. Februar 
1910. Berlin (Cotta) 1910. 

L'Enseignement mathém., 13* année; 1911. ■'•" 



68 NOTES ET DOCUMENTS 



Les écoles secondaires supérieures de garçons des Etats du centre 
et du sud de l'Allemagne. 

Tandis que le Tome I des Abhandlungen est consacré aux établissements 
secondaires supérieurs <le Prusse, le Tome II donne un tableau de rensei- 
gnement mathématique dans les écoles des Etats du centre et du sud de 
L'Allemagne. 11 débute par une Préface de M. Treutlein, qui dirige la publi- 
cation de ce volume. Les cinq premiers fascicules ont été présentés à la 
réunion de la Commission internationale, à Bruxelles, en août 1910. Ce sont 
ceux de M. Wieleitner *, pour la Bavière, de M. Wittikc 8 , pour la Saxe. 
de M. Geck 3 . pour le Wurtemberg, de M. Cramer 4 , pour le Grand Duché 
de Bade et de M. Sghnell 5 , pour la Hesse. Viendront ensuite un rapport de 
M. M. Hossfeld pour les Etats de la Thuringe et un rapport pour l'Alsace- 
Lorraine. 

Les rapporteurs ont basé leur étude sur les réponses à un questionnaire 
adressé aux membres du corps enseignant: il a été reproduit dans la Pré- 
face. Nous n'entrerons pas dans le détail de ces rapports qui présentent néces- 
sairement beaucoup d'analogies. Les auteurs examinent successivement l'or- 
ganisation générale des écoles moyennes, renseignement mathématique dans 
les gymnases et les établissements réaux, puis la préparation scientifique et 
pédagogique des candidats à l'enseignement. Celle-ci peut se faire à l'Uni- 
versité ou à l'Ecole technique supérieure. Les réponses au questionnaire 
leur permettent de donner une idée de la position que prend le corps ensei- 
gnant dans la question de la réforme de l'enseignement. 

Pour la Bavière, nous signalerons le plan d'études de l'Ecole ré a le supé- 
rieure; il offre un intérêt tout particulier à 1 heure actuelle, étant donné 
qu il est récent (1907) et qu'il tient compte, dans une mesure appréciable, 
du mouvement de réforme. La préparation des candidats peut se faire aux 
Universités d Erlangen, de Munich, de \Viirzbourg ou à l'Ecole technique 
supérieure de .Munich. 

Dans son exposé concernant la Saxe, M. Witting fait ressortir le dévelop- 
pement historique des gymnases et des établissements réaux. Il fournit un 
tableau très complet de l'organisation des études mathématiques que les 
candidats à renseignement trouvent à l'Université de Leipzig ou à l'Ecole 
technique supérieure de Dresde. 

En Wurtemberg 1 organisation des écoles présente des différences assez 
grandes avec celles des autres Etats allemands. L'auteur insiste sur le côté 



1 Wif.i.kitnkr. H., lier mathematische Unterricht an den hiihcren Lchranstaltcn sowie Aus- 
bildung und Fortbildung dcr Lehrkràftc im KÔnigreich Bat/ern. XIV il. ôô S.:. 2 M. 'i0. 

' WlTTINO, A., Der mathematische Unterricht an den Gymnasien und Realanstalten nach 
Organisation, Lehrstoff und [.ehrvcrfahren und die AusbiUlung der Lehramtskandidaten im 
KÔnigreich Sachsen. [XII a. 78 S.]. M. 2,20. 

■ &BCK, E.. Der mathematische Unterricht an den hiihcren Schulen nach Organisation, 
Lehrstoff' und Lehrverfahrcn und die Ausbildung der Lehramtskandidaten im KOnigreich 
Wurttcmberg. [IV u. 10'» S.). M. 2,60. 

* Cramkh. H.. JJer mathematische Unterricht an den hiihcren Schulen nach Organisation, 
Lehrstoff' und Lehrverfahren und die Ausbildung der Lehramtskandidaten im Grossherzogtum 
Baden. IV U. 48 S . M. 1,60. 

'■ Sciim:i.l, H., Der matematische Unterricht an den hoheren Schulen nach Organisation, 
Lehrstoff und Lehrverfahren und die Ausbildung der Lehramtskandidaten im Grossherzogtum 
Ilessen. [VI u. .".1 S. M. 1.00. 



NO 1 E S /■; T DOC V M E N T S 69 

historique qui permet «le mieux saisir l'organisation actuelle. De nouveaux 
plans d'études sont en préparation. Col exposé comprend aussi les mathéma- 
tiques dans les écoles' supérieures de jeunes lilles. 

Le rapport concernant le Grand Duché de Ilade traite des écoles de gar- 
çons et des écoles de jeunes lilles. Nous signalons le plan d'études des 
écoles supérieures déjeunes filles à ceux qui s 'intéressent à cette question; 
on constate que les mathématiques y tiennenl une îrès bonne place. A men- 
tionner aussi l'enseignement propédeutique de la Géométrie dans les classes 
inférieures de l'Ecole réale supérieure. 

Comme dans le rapport précédent, celui qui est consacré à la liesse com- 
prend aussi les écoles de jeunes filles. L'auteur expose en détail ce que 
demandent les tendances modernes dans l'enseignement mathématique. 



Les ma thé m al if/ u es dans les traités de Physique. 

Die Mathematik in den physikalischen Lehrbùchern \ von D r E. Timerdinc. 
L'apparition de ce livre sera saluée avec plaisir par tous ceux qu'intéressent 
les projets de réforme de l'enseignement mathématique dans les collèges. 
L'enseignement de la physique dans les établissements d'enseignement se- 
condaire devient de plus en plus expérimental, de verbal qu il était autre- 
fois. On tend même à obtenir que l'élève prenne une part active aux expé- 
riences importantes du cours, en les montant ou les répétant. Il n'est donc 
pas inutile, peut-être, de dire immédiatement qu il n'est nullement question, 
dans ce livre, d'aller à lenconlre de cette tendance expérimentale, ni d'aug- 
menter la part de déductions mathématiques qui se trouve dans l'enseigne- 
ment de la physique. Le but de M. Timerding est autre ; il veut, par l'étude 
critique des cours de physique existants, arriver à déterminer les problèmes 
que les besoins de l'enseignement de la physique posent à l'enseignement des 
mathématiques. Les cours de physique Tisés ne sont donc ni les cours dans 
lesquels il n'est fait appel à aucune connaissance mathématique, ni les cours 
supérieurs dans lesquels il est fait libre usage de toutes les ressources de 
l'Analyse ; ce sont uniquement les manuels en usage dans les classes supé- 
rieures des gymnases et des écoles réaies et les cours destinés aux leçons 
universitaires que chimistes, médecins, etc., fréquentent. M. Timerding se 
borne naturellement à l'étude des ouvrages de langue allemande. 

Les critériums qu'applique M. Timerding dans son étude se ramènent à 
des exigences de précision logique et d'économie de la pensée : « Nous 
exigeons une seule chose : lorsque la formation mathématique de l'élève 
remplit les conditions requises, il faut alors que tout ce que l'enseignement 
de la physique emprunte à la mathématique soit clair et précis. » Et il 
ajoute : « Il ne s'agit pas ici de défendre une opinion pédagogique person- 
nelle ou un point de vue particulier, il s'agit de représenter les intérêts de 
renseignement mathématique. Cet enseignement, bien qu'ayant un but propre 
bien défini, doit encore tenir compte de la réalité et des applications; mais, 
c'est pour lui une condition nécessaire, que les exigences de rigueur scien- 
tifique qu'il pose ne soient pas contredites d'un autre côté. » « On ne doit 
pas, ici, rappeler l'élève à la rigueur et à l'exactitude, alors que là un laisser- 



1 Fasc. 2 <lu Tome III (VI et 112 p.), 2 M. 80. — Nous devons ce compte rendu ■> M. Pi.a.n- 
CHBRBL (Genève). Réd. 



70 -V () TES ET DOCU M E N T S 

aller commode dans l'expression et le raisonnement est non seulement per- 
mis, mais encore donné en exemple. » 

La première partie <ln livre esl destinée à nous donner une connaissance 
rapide de L'histoire du livre de physique. Elle contient deux chapitres : 
1" Le développement îles mathématiques dans son rapport avec la physique; 
2° le développement mathématique du livre de physique. Elle montre d'une 
manière frappante la part considérable qu'ont la tradition et la routine dans 
les déductions mathématiques et jusque dans 1 illustration des manuels Elle 
fait ressortir également le fait que le développement mathématique du livre 
de physique s'est arrêté au seuil du calcul infinitésimal, sans le franchir. 
Toutes les démonstrations ou notions mathématiques employées portent la 
trace d'idées se rattachant à la méthode des indivisibles de Cavalier] et à la 
méthode d'approximation d'Huygbens. 

L'examen individuel de chaque manuel donnerait à la critique un caractère 
personnel que noire auteur veut éviter et risquerait surtout de faire man- 
quer le but qu'il se propose : trouver où et comment l'enseignement ma- 
thématique doit agir pour collaborer utilement avec renseignement de la 
physique. Pour cela. M. Timerding trouve préférable de choisir un certain 
nombre de problèmes caractéristiques et de suivre dans les différents ma- 
nuels la manière dont chacun est traité, cela sans se lier à aucun ordre 
systématique et sans viser à tout passer en revue. C'est ainsi que seront 
étudies successivement. d;uis la seconde partie du livre : définition de la 
vitesse, lois de la chute des corps, pendule mathématique, centre de gravité 
et moment d'inertie, mesures barométriques d'altitude, théorie des ondes, 
influence dis théories d'action à distance et d'action médiate sur les méthodes 
mathématiques. Tous ces problèmes sont caractérisés par le fait qu'ils tout 
presque tous partie intégrante de tout enseignement de la physique et par 
le fait qu'ils nécessitent . pour leur compréhension exacte ou pour leur réso- 
lution la connaissance des principes du calcul infinitésimal. Or, la plupart 
des auteurs écartent systématiquement tout emploi des signes de différen- 
tiation. Ceux mêmes qui s'en servent n'ont encore osé faire usage du signe 
d'intégration. Si donc, ils ne veulent pas se borner à donner les formules 
finales de résolution sans démonstration, ils sont obliges d'employer des 
méthodes détournées. L'a plupart du temps ces méthodes sont celles qu'em- 
ployaient les géomètres avant l'invention du calcul infinitésimal. Quelque- 
fois, elles sont calquées sur les méthodes infinitésimales avec la différence 
que. ne pouvant faire usage de leurs symboles, elles remontent chaque fois 
à leurs définitions; on voit, alors, dans le corps d'un même volume, trois 
ou quatre problèmes de même nature être l'objet de trois ou quatre dé- 
monstrations artificielles successives qui masquent la connexion mathéma- 
tique étroite de ces problèmes. Une telle manière de procéder est en con- 
tradiction avec le principe de l'économie de la pensée. De plus, certaines 
notions, celle de vitesse dans le mouvement non uniforme, par exemple, 
exigent pour être mathématiquement bien définies, la notion de dérivée et 
d'intégrale; en conséquence, la plupart des définitions qu'en donnent les 
manuels sont imprécises ou inexactes. 

Dans la troisième partie de son ouvrage, l'auteur traite des points sui- 
vants : l'importance 'les illustrations, des diagrammes, concepts géomé- 
triques de l'infiniment petit, succédanés analytiques du calcul infinitésimal; 
l'essence d'une exposition élémentaire; l'exposé des méthodes infinitésimales 
dans les traités de physique; le calcul infinitésimal à 1 école. 



/,' / /»' L I G II APHIE 71 

Non- Q'avons donné ici qu'un aperçu très superficiel du contenu et des 
tendances du livre, et n'avons guère pu indiquer l'originalité el l'intérêl 
([u il présente dans toutes ses parties par la quantité de faits et de dé- 
tails significatifs qu il contient. La conclusion la plus importante qui se 
dégage de su lecture est qu'il est urgent d'introduire les notions de dérivée 
el d'intégrale dans le programme de mathématiques «les collèges, et cela 
assez loi pour qu'elles puissent être utilisées et appliquées concrètement 
dans les leçons de physique des classes supérieures. Cette réforme est 
très possible lorsque l'enseignement de la physique est partagé en deux 
cycles. On déchargerai! de cette manière l'enseignement «le 1m physique et 
on lui permettrait en même temps <le faire usage de notions mathématiques 
exactes et de se débarrasser ainsi des à peu près mathématiques qui l'en- 
combrent encore. 

(A suivre.) 



BIBLIOGRAPHIE 



W. Ahrkns. — Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Zweite Auflage . 
Bd. I. — 1 vol. gr. in-8» de 400 pages et 200 ligures : 7 M. 50 : B. G. Teubner, 
Leipzig. 

L'intérêt offert par cette collection d'amusements mathématiques est suffi- 
samment prouvé par l'existence d'une seconde édition. L'auteur n'a pas pris 
à tâche de paraître très savant et de faire des choses compliquées en prenant 
pour points de départ des jeux bientôt noyés dans des problèmes cessant 
d'être récréatifs II prend au contraire des problèmes très simples et il 
s'efforce de les généraliser en conservant toujours le même appareil élémen- 
taire. Ainsi la traversée d'une rivière par un loup, une chèvre et un chou qui 
ne doivent s'entredévorer, ou le passage d'époux jaloux qui ne consentent 
jamais à laisser leur femme sur la rive avec un autre homme, servent d'in- 
troduction. 

Plus loin voici le problème des tonnelets où l'on s'efforce d'abord de 
partager en ileux parties égales le contenu d'un tonnelet de 8 litres 
lorsqu'on n'en possède que deux autres pouvant contenir respectivement 
5 litres et 3 iitres. Que 1 on généralise maintenant pour un nombre quelconque 
de tonnelets et l'on se trouvera en présence de curieuses questions d'analyse 
combinatoire. 

Pour passer à un ordre d'idées différent, je signalerai les problèmes de 
carrelage dans les deux cas importants où l'on assemble des figures ayant 
isolément la symétrie de l'ensemble à obtenir, ou bieu des polygones différents 
qui, pris deux à deux, ne donneraient que des figures dissymétriques con- 
duisant cependant par leur répétition à des ensembles symétriques. 

Au carrelage il faut rattacher les problèmes relatifs à la marche de 
certaines pièces sur l'échiquier el notamment ceux où l'on est astreint à 



72 BIBLIOGRAPHIE 

parcourir certains quadrillages suivant certaines lois et en s'interdisant de 
repasser plus d'une fois sur la même case ou sur le même ensemble de 
cases. 

La théorie du solitaire est encore quelque chose d'analogue et. de même 
que l'on peut concevoir des solitaires ayant diverses formes polygonales, 
l'auteur étudie les généralisations des problèmes d'échecs sur certains échi- 
quiers polygonaux. 

Si j'ajoute que les combinaisons dues aux jeux de cartes n'ont pas été 
méprisées et que, d'autre part, la théorie des systèmes de numération se 
développe après la grandiose parole de Kronecker qui voulait que Dieu ait 
fait les nombres entiers pour laisser 1 homme inventer le reste, j'aurais 
montré que les nombreux amusements recueillis dans ce volume ont été 
appuyés sur des idées irréprochables au point de vue de la philosophie 
scientifique. A. Buhl (Toulouse). 

P. Appell et S. Dautheville. —Précis de Mécanique rationnelle. Introduc- 
tion à l'étude de la Physique et de la Mécanique appliquée, à l'usage des 
candidats aux certificats de licence et des élèves des Ecoles techniques 
supérieures. — 1 vol. gr. in-8° de yi-716 pages et 220 ligures; 25 fr.; 
Gauthier- Villars, Paris. 

Ce Précis de Mécanique offre en raccourci tout ce que contient le grand 
Traité de M. Appell. Ce n'est pas, a proprement parler, un résumé de ce 
Traité, car on sait qu'en résumant des théories on risque souvent de leur 
faire perdre leur clarté ; c est un assemblage, fait avec une remarquable 
continuité, de tous les points essentiels développés dans un ouvrage trop 
étendu pour qu'on puisse, dans les Cours, en proposer l'étude en une 
année. 

C est avant tout un Précis de Mécanique bien plus au sens physique du 
mot qu'au sens analytique. Les équations de Lagrange y sont envisagées, mais 
elles n'ont ici qu'une place secondaire n'incitant pas l'étudiant à les substituer 
trop facilement aux théorèmes généraux sur le mouvement des systèmes. 
Bien plus, ces théorèmes généraux ont été réexposés d'une manière nouvelle, 
brève et symétrique; les auteurs mettent notamment en évidence les sept 
équations universelles applicables aux mouvements de systèmes quelconques, 
de la même manière qu'on met en évidence les six équations de l'équilibre. 
Aux forces d'inertie près, on reconnaît facilement les secondes dans les 
premières. Les applications sont nombreuses et les exemples toujours 
élégants. 

D'ailleurs, le souci d'être élémentaire et intuitif a porté les auteurs à ajouter 
bien des choses qu'on ne trouve pas dans le Traité de M. Appell, ce qui fait 
que ceux qui connaissent déjà la Mécanique pourront lire avec fruit le présent 
Précis. 

Ainsi, au mouvement périodique simple, lié au mouvement circulaire et 
uniforme d'un rayon vecteur, s'ajoute le mouvement périodique amorti où 
les cercles de la représentation précédente sont à remplacer par des spirales 
logarithmiques. 

Le calcul des centres et des moments d'inertie a été appliqué à des exem- 
ples détaillés el très simples. 

Les considérations statiques et dynamiques concernant le frottement ont 
été réunies avec une très grande harmonie. 



B I BL I <t G Il A P Il I E 73 

Les perçassions donnent lieu à un chapitre élémentaire et court. Le 
principe des travaux virtuels fait, au fond, partie de la Mécanique ana- 
lytique el il est assez difficile de I appliquer --i on ne s babitue pas il abord 
.1 résoudre sans lui quelques problèmes de Statique. Aussi les auteurs l'ont- 
il séparé et place après la Dynamique', là où la notion de force il inertie 
permettra de passer au Principe de d'Alemberl el de conclure, du principe 
îles travaux virtuels, la Dynamique aussi bien que la Statique 

Après un Chapitre sur l'attraction, la statique et la dynamique des milieux 
continus sont exposés en appliquant encore, à toutes les particules du milieu 
et par le moyen de la formule de Green, les équations générales de l'équi- 
libre et du mouvement de systèmes quelconques. 

Ce Précis présente donc une très grande homogénéité ef une très grande 
simplicité-. Il peut suffire à une solide étude de la Mécanique; quant aux 
perfectionnements plus éloignés des principes, il sera toujours temps de les 
étudier dans le grand Traité de M. Appel! et sans aucune peine si. au préa- 
lable, le Précis a été bien compris. 

Les deux auteurs, dont l'un enseigne à la Faculté des Sciences de Paris. 
l'autre à celle de Montpellier, ont une carrière déjà longue d'où résulte une 
grande habitude de renseignement. Ils ont recueilli de nombreux problèmes 
à résoudre, posés pour la plupart aux examens de licence et aux Concours 
d'Agrégation et qu'ils ont méthodiquement classés. Si bien qu'en lui-même 
le présent Précis est un instrument de travail absolument complet. 

A. Buhl Toulouse). 

\Y. M. Baker and A. A. Bourne. — The Student's Arithmetic. — 1 vol. 
în-16; 328 et l p.: relié, avec ou sans réponses, 2 s. il d.: G. Bell and Son, 
Londres. 

Ce volume est une édition abrégée du manuel cj-ue MM. Baker et Bourne 
ont publié sous le titre Public School Arithmetic et que nous avons analysé 
dans un précédent numéro isept. 1910, p. 432). La différence n'est ni dans le 
choix des sujets, ni dans celui des exemples, mais dans le fait que le nombre 
des problèmes dont ou donne une solution raisonuée complète est beaucoup 
plus restreint et cela afin de favoriser l'effort personnel. 

Les auteurs préconisent l'emploi du Student's Arithmetic plus spécialement 
pour les élèves et celui du Public School Arithmetic pour les maîtres. 

Max. Bôcher. — An introduction to the study of intégral équations, (N° 10 
des Cambridge Tracts in mathematics and mathematical physics . — 1 vol. 
p. in-8°, 71 p.; 2 s. 6 <].: C. F. Clay. Londres. 

Comme son titre I indique, ce petit livre est destiné à introduire l'étudiant 
dans le domaine désormais classique de la théorie des équations intégrales. 
Suivant le plus près possible le développement historique, Fauteur commence 
par exposer le problème de mécanique qui donna à Abe! Foccasion de résoudre 
l'équation intégrale de première espèce qui porte son nom. Il s'arrête ensuite 
a la méthode des substitution- successives, employée par Liouville el 
Neumann à la résolution d'équations intégrales de seconde espèce particu- 
lières. L'introduction, d'après Volterra, des noyaux itérés et des fonctions 
résolvantes est ensuite' rapidement traitée. Puis, vient l'exposé de la méthode 
de résolution de Fredholm, précédée de la démonstration d'après Wirtinger 
d'un théorème i 1 1 1 1 mi r I a u I d Hadainard et d un court exposé du procédé heu- 



7. BIBLIOGRAPHIE 

ristique qui a conduit Fredholm à sa solution et que Hilhert a transformé 
en méthode rigoureuse de démonstration. Enfin, les derniers paragraphes 
sont réservés au cas du noyau symétrique, aux résultats de Hilberl et de 
Schmidl sur les développements en séries de fonctions orthogonales el à 
quelques brèves notes sur l'équation de Volterra. 

Ce livre, sans donc entrer dans des détails trop spéciaux, présente d'une 
manière très claire tout ce qu'il est nécessaire de connaître des équations 
intégrales pour être à même d'en comprendre les applications les plus im- 
portantes. M. Planohkrfl (Genève). 

J.-A. DixoiRDiMAM.ui:. — Traité pratique des poids et mesures des peuples 
anciens et des Arabes. — In-8» de vm.-144 p.. 5 fr.; Gauthier-Villars, 

Paris. 

Dans cet ouvrage, l'auteur a réuni sous une forme brève et pratique, celle 
d'une série de tableaux, les systèmes des poids el mesures des peuples 
anciens et des Arabes. Il reprend, en les complétant, les systèmes métriques 
dont avait traité Yasquez Queipo dans son a Essai sur les systèmes métriques 
et monétaires des anciens peuples». 

Pour chaque mesure ou poids l'équivalence est donnée selon le système 
métrique français. Toutes les mesures anciennes sont relation directe avec 
les poids de trois talents : le babylonien, l'assyrien et l'égyptien. Ces talents 
ont entre eux des rapports arithmétiques très simples, aussi la métrologie 
ancienne, de laquelle dérive celle des Arabes, forme-t-elle un ensemble bien 
coordonné. L'auteur en donne un exposé très clair qui sera consulté avec 
fruit par tous ceux qui ont à s'occuper des mesures utilisées dans l'antiquité. 

J. Horn. — Einfùhrung in die Théorie der partiellen Differentialglei- 
Chungen. — 1 vol. in-8« de vm-360 p. (Collection Schubert); 10 Mk.; 
G. J. Goschen, Leipzig. 

Le professeur J. Horn, ayant publié en 1905 un ouvrage sur les Equations 
différentielles ordinaires, nous en donne maintenant un second, relatif aux 
équations aux dérivées partielles. 

Tous deux sont publiés dans la Collection Schubert sous des apparences 
matérielles complètement analogues; tous deux paraissent animés du même 
esprit d'ordre et de clarté. Tout lecteur du premier aura donc sans doute 
beaucoup à gagner à la lecture du second. Le présent volume n'a pas la 
prétention de réunir tous les travaux si divers, relatifs aux équations 
partielles, mais elle a celle de donner beaucoup plus que les ordinaires 
traités d'Analyse. 

Les équations du premier ordre ont été traitées brièvement, ce qui 
n'empêche pas qu'on trouve là tout ce qu'il y a d'essentiel sur l'intégration 
des systèmes complets el des systèmes jacobiens. Quant aux équations du 
second ordre, l'auteur se borne surtout au cas de deux variables, mais il 
sait présenter d'une manière extrêmement égale les méthodes d'intégration 
déjà un peu anciennes, telles celle de Riemann et la théorie des caractéris- 
tiques, puis les méthodes modernes issues des travaux de Fredholm. 

Beaucoup de simplicité dans la définition de l'équation adjointe et dans 
l'emploi du théorème de Green. De là on passe sans peine aux méthodes 
d'approximations successives. 



////,'/. ÏOGRA PME 75 

Quant à 1 équation intégrale de Fredholm, elle est maaifestemenl née de 
la nécessité d'étudier les équations aux dérivées partielles, mais bien des 
conséquences considérées d'iibord comme accessoires onl rapidement pris 
l'aspect de théories Fondamentales. En peu de pages l'auteur a su Faire tenir 
tout cela; c'est ainsi qu'il montre comment naissent les nombreux déve- 
loppements en série issus .les propriétés des noyaux des équations intégrales 
c'est ainsi encore qu'il montre comment les équations différentielles ordinaires 
ont pu profiler des progrès laits dans 1rs théories précédentes 

Los principales équations de la Physique mathématique servent à illustrer 
• s _ néralités. Les théorèmes d'existence eux-mêmes n'ont point été (unis; 
niais ils ont été résumés avec une concision toujours jointe à la môme clarté 
que celle qui règne en tous les points de celte œuvre remarquable. 

A. Buhl (Toulouse). 

L. Leseine et L. Suret. — Introduction mathématique à l'Etude de 
l'Economie politique. 1 vol. in-16, 3 Fr. ; Félix Alcan, Paris. 

L'ouvrage de MM. Leseine el Suret vient combler une lacuue dont a 
souffert jusqu'à aujourd'hui, en France, l'étude de l'économie politique : les 
auteurs se proposent de donner aux étudiants le moyen de comprendre, 
sans grands efforts, les Formules mathématiques contenues dans les ouvrages 
de certains économistes : Cournot, Jevons, Walras, Pareto, Pantaleoni, 
Barone, Libelli, Auspitz et Lieben, Edgeworlh, Marshall, YYiekslecd, Co- 
hen Stuart, Hermanu Laurent, etc. 

Dans une Introduction substantielle, MM. Leseine et Surey montrent 
1 utilité de la méthode mathématique en économie politique, au double 
point de vue de l'enseignement didactique et de l'investigation scientifique. 

Au cours de leur livre, les auteurs exposent successivement, et dans une 
forme accessible à tous les lecteurs, les notions Fondamentales d'algèbre 
supérieure, de trigonométrie, de géométrie analytique et de calcul infinité- 
simal. 

Enfin, ce travail contient, à titre d'illustration, des Formules mathéma- 
tiques, de nombreux exemples économiques et financiers extraits de tous les 
auteurs précités. 

Cet ouvrage vient à son heure, en raison du très grand développement 
actuel des théories d'économie politique mathématique. 

P. Mortel. — Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe. 
1 vol. gr. in-8° de vin-128 p. et 5 fig. ; 3 fr. 50; Gauthier- Villars, Paris. 

Ces leçons ne s'occupent que de parties choisies du sujet annoncé par le 
titre ci-dessus. Il ne Faut nullement le regretter si Ion considère l'oeuvre de 
M. P. Montel comme une initiation et, en matière de séries de polynômes, 
les résultats possédés jusqu'ici, tantôt épars, tantôt confus, ne permettent 
guère d'opérer encore un classement montrant clairement OÙ se trouve la 
simplicité pédagogique. 

Ce qui semble jouer un grand rôle dans ce livre, c'est l'intégrale de Cauchy 
à laquelle on applique non pas le procédé qui donne la série taylorienne. 
mais d'autres procédés donnant des développements plus compliqués mais 
d'une convergence plus étendue. Or c'est à un résultat de cette nature 
qu'arrive M. Mittag-Leffler après avoir vaincu bien des difficultés <•( essayé 
bien des chemins; il me semble ainsi apercevoir que plusieurs méthodes ici 



76 HIBLIO G HAPH I E 

exposées pourraient rentrer comme cas particuliers dans celles du grand 
géomètre suédois. Mais ceci n est nullement une critique. Le présent ouvrage 
part des généralités élémentaires de la théorie des fonctions et. quant aux 
auteurs modernes, nous eut retient de leurs recherches relatives aux trente 
dernières années; il peut donc jouer le rôle d'une fort bonne introduction et 
préparée à l'étude des mémoires tout à tait récents. 

Il se termine d'ailleurs par des considérations qui ne sont pas sans présenter 
de grosses difficultés. L'auteur essaie de rassembler linéiques résultats et 
présente de tort jolies vues personnelles sur les séries de polynômes con- 
sidérées en elle-même; dans ces conditions la convergence est une question 
à peine effleurée donnant de pures merveilles qu'il faut chercher cependant 
an milieu du pins inextricable des fouillis. Je connais, pour ma paît, des 
séries de polynômes qui convergent lorsque, dans la variable z r= X + i y, 
X et v sont rationnels et qui coïncident alors avec une fonction bien déter- 
minée; mais ces mêmes séries représentent tout autre chose, ou même se 
mettent à diverger, si ,r et y sont considérés comme irrationnels. 

Cet ordre d'idées n'est pas négligé par M. .Montel qui a commencé toute- 
fois par des choses moins paradoxales; son dernier chapitre .sur les séries 
de polynômes convergentes dans plusieurs domaines est plein d'un grand 
intérêt. 

En résumé, cet ouvrage est fort consciencieux et fort clair; s'il n'expose 
pas toutes les recherches se rapportant à son titre, ce qui d'ailleurs eut été 
impossible dans un cadre aussi modeste, du moins il met le lecteur à même 
de les comprendre toutes. A. Buhl (Toulouse). 

Paul Pain levé et Emile Borf.l. — L'Aviation. 1 vol. in-16, avec lig. (Nou- 
velle Collection scientifique, publiée sous la direction de M. Emile Borel), 
3 fr. 50; Félix Alcan, Paris. 

MM. Painlevé et Borel se sont efforcés de mettre à la portée du plus 
grand nombre possible d'esprits cultivés les lignes essentielles de l'histoire 
du pins lourd que l'air, la contribution qu'apporte à la solution de ce pro- 
blème l'étude du vol des oiseaux, la comparaison des diverses solutions 
proposées (orthoptères, hélicoptères, cerfs-volants, aéroplanes), les avan- 
tages et inconvénients de chacune d'elles, les raisons essentielles de la su- 
périorité actuelle de l'aéroplane, les caractéristiques des divers types d'aé- 
roplanes et les principes essentiels de leur fonctionnement. Ils terminent 
par quelques considérations sur l'avenir de l'aéroplane, en particulier sur 
son utilisation militaire, qui préoccupe, à juste titre, tous les esprits. 

Cet ouvrage n'est nullement un traité théorique d'aviation, mais les au- 
teurs ont cru devoir y ajouter, en appendice, quelques développements' 
sur la mécanique de l'aéroplane. Ils sont, de la sorte, utiles à une catégorie 
importante de lecteurs, et les préparent à la lecture d'ouvrages plus tech- 
niques ou de recherches théoriques plus développées. 

E. Pascal. — Repertorium der hcheren Mathematik. 2*« vôllig umge- 
arbeitçte Auflage der deutsçhen Ausgabe, herausgegèben unter Mitwir- 
kung von zahlreicher Mathematiker von P. Epstein u. H. E. Timerding. 
I. Analysis, Erste Hâlfte. II. Géométrie, Erste Maille. — 2 vol. in-8°, de 
527 et 534 pages; 10 M. le volume; B. G. Teubncr. Leipzig. 
Nous avons déjà signalé la première édition de celte petite encyclopédie, 

dont le but est de donner un aperçu systématique des principaux domaines 



BIBLIOGRAPHIE 77 

des mathématiques, avec l'indication des ouvrages el mémoires fondamen- 
taux permettant au lecteur d'en poursuivre l'étude. 11 s'agit ici d'une édition 
entièrement revue et considérablement augmentée. Le Tome I. consacré à 
l'Analyse, est dirigé par M. Epstein (Strasbourg), et le Tome II. intitulé 
Géométrie, par M. Timerding (Braunsch'weig). Chacun des (omis compren- 
dra deux volumes. Nous avons sous les yeux le premier volume de chacune 
des deux Parties. Ils renferment les chapitres suivants : 

l'unir I. Première Partie : Algèbre, Calcul différentiel et intégral. — 
I. Arithmétique, Théorie des Ensembles, notions fondamentales concernant 
les Fonctions, par 11. Hahn. — II. Analyse combinatoire, Déterminants et 
Matrices, par A. Loewt. — III. Théorie algébrique des Groupes, par 
A. Loswy. — IV. Equations algébriques, par A. Loewy. — V. Théorie des 
Invariants, par Timerding. — VI. Séries, Produits et Fractions continues, 
par P. Epstein. — VII et VIII, Calcul différentiel et intégral. — IX. Calcul 
des Différences, par Timerding. 

Tome II. Première Partie : Fondements et Géométrie plane. — Fonde- 
ments de La Géométrie élémentaire, de la Géométrie analytique et de la 
Géométrie projective, comprenant huit chapitres, par Mollerup, Liebmann, 
Heffter, Timerding, Guarescbi et Dehn. — Génération et propriétés des 
sections coniques, Courbes algébriques, Géométrie différentielle plane. 
Géométrie non-euclidienne, comprenant quinze chapitres, par Dingeldey, 
Bekzolari, Giratjd, Ciani, Wieleitner, Liebmann et Mollertjp. 

Sous celte nouvelle forme, le Répertoriant est appelé à rendre de grands 
services aux professeurs et aux étudiants. 

J. Sohick. — Trifolium Hiberniae oder Diametristikder Fusspunktsdreiecke. 
1 vol. in-8 de 156 p. avec ligures dans le texte et planches; 6.M.: G. Franz. 
.Munich et Leipzig. 

L'auteur poursuit la série de ses recherches sur la Géométrie du triangle 
à laquelle il a consacré divers opuscules que nous avons analysés ici-même. 

Les projections orthogonales d'un point sur les côtés du triangle fonda- 
mental forment un nouveau triangle XYZ. Les problèmes traités dans l'ou- 
vrage se rapportent surtout aux cercles remarquables du triangle XYZ 
(cercles circonscrit, inscrit, ex-inscrits, etc.) et plus particulièrement au lieu 
géométrique décrit par le point P quand un de ces cercles a une grandeur 
constante. On arrive à des courbes algébriques d'ordre supérieur dont 
l'équation est déterminée en coordonnées cartésiennes ou barycentriques et 
dont l'allure est analysée avec soin. Ces questions se rattachent à d'autres 
relatives à des coniques remarquables du triangle, et à des constructions 
diverses. • M. Stlyv.ïrt |Gand). 

P.-V. Sc.haewkn. — Jacobi de Billy. Ddctrinse analytiese inventant novum. 

Fcrmats Briefen an Billy entnommen, herausgegeben u. iibersetzt von 

P.-V. Schaewen. — 1 vol. in-8°, 143 p.: 3 M.; Otto Salle. Berlin, 1910. 

Bien que Paul Tannery ne méconnût pas l'importance de Y Inventant novum 

qu'il considérait comme un complément essentiel des Œuvres de Fermât 

donnant la clef de nombre des observations sur Diophante, il u a pas jugé 

utile de réimprimer le texte original de J. de Billy dans sa belle édition des 

Œuvres de Fermât, mais il en donna une excellente traduction dans le 

o ,n< ' volume de ces Œuvres, consacré à des traductions des écrits latins de 

Fermât, de sa correspondance et du Commercium epistolicum de Wai i is, 



78 BIBLIOGRAPHIE 

Cependant une réimpression du texte original n'était pas sans intérêt et 
tous ceux qui aiment ;'i remonter aux sources et qui estiment que rien de ce 
qui touche à Fermai n'est négligeable, sauront gré à M. V. Schaewen d'avoir 
eu lé courage et la patience de préparer une nouvelle édition du petit traité 
de J. de Billy difficilement abordable dans l'édition primitive. 

Ces «découvertes nouvelles dans La science de l'analyse» ont été, comme 
on sait, recueillies par Jacques de Billy, grand admirateur de Fermai, 
dans des lettres envoyées à lui, à différentes époques, par l'illustre géomètre 
toulousain et se rattachent aux anciennes recherches de Diophaute sur les 
équations doubles, c'est-à-dire sur les équations de la Forme /i [x] = ir . 
f-2\x\ — »•'-'. f\ et /!> étant des polynômes du premier ou du second degré en x. 
Il s'agissait, cela va sans dire, de trouver des solutions rationnelles de ces 
équations, c'est-à-dire des valeurs rationnelles de x telles que les polynômes 
f\ et fi soient des carrés. A l'époque de J. de Billy, on attachait une importance 
capitale à ces problèmes, Claude-Gaspard Bac.hft s'en était occupé, mais 
aucun des géomètres contemporains de Fermai n'a suie dépasser dans cette 
voie. « Les travaux, de Bachet sur Diophante — dit J. de Billy dans sa préface 
à Y Invention — montrent assez clairement jusqu'à quel point sa vue était 
pénétrante dans les questions numériques ; cependant elle est encore faible 
si on la compare à celle de notre Lyncée qui lui dévoile ce qu'il y a de plus 
abstrus» (trad. de Tannery). 

Pour traiter ces problèmes. Fermai imagina un procédé particulier dont il 
était très lier et qu'il appliqua sous des formes différentes, à I étude de 
problèmes arithmétiques plus complexes, procédé qui lui permettait de 
déduire d'une solution connue une infinité de solutions nouvelles. 11 traita 
avec le même succès les équations triples et le cas plus difficile d'une équation 
de la forme f[x) = u 2 et f[x) = u a , /"étant un polynôme du i me ou du 3 mc degré 
en x. Le texte original de 1 Invenlum se lit difficilement ; il fourmille d'erreurs 
de toutes sortes : fautes d'impression, erreurs de calcul, lapsus. La plupart 
de ces fautes ont été corrigées dans l'édition française de Tannery, mais un 
certain nombre d'entre elles ont échappé à l'attention du traducteur. 
M. V. Schaewen les a corrigées avec soin (je n'en ai relevé qu'une dans les 
paragraphes que j'ai comparés à lédilion de Tannery, mais c'est un erratum 
sans importance (n° 39 de la l re partie, dern. ligne); M. V. Schaewen a de 
plus simplifié et complété quelques-unes des solutions de J. de Billy repro- 
duites dans l'édition française. Une traduction allemande est jointe au texte 
latin, ainsi que des notes et des remarques intéressantes se rapportant à des 
passages incomplets ou erronés de lédilion originale. 

D. Mikimanoff (Genève). 



G. YivANTi. — Les fonctions polyédriques et modulaires. Traduction de 
M. Caiif.n. — 1 vol. gr. in-8° de vn-olG pages et 52 ligures, 1910, 12 fr.; 
Gauthier- Vil la rs, Paris. 

Le professeur Vivanti paraît avoir pris à lâche de simplifier l'étude d œuvres 
grandioses mais difficiles, dues surtout aux plus illustres des géomètres 
allemands. Il y a quelques années, il publiait des Leçons sur la Théorie des 
groupes (traduites en français par A. Boulanger) qui permettaient d'aborder 
avec une facilité relative les ouvrages d'apparence colossale dûs à Lie et à 
ses disciples immédiats. 

Aujourd'hui, il nous présente une introduction d'un esprit complètement 



BIBLIOGRAPHIE 79 

analogue, quanl aux Leçons de M. Klein sur L'Icosaèdre et à celles de 
MM Klein ei Fricke but la Théorie îles Fonctions modulaires. 

Il semble avoir vu 1res heureusement de quelle manière on pouvait élé- 
mentariser ces théories élégantes mais ardues. Il consacre la plus grande 
partie de son vol e à 1 étude 'les groupes linéaires; il compare soigneu- 
sement leur signification dans l'espace, d'où résultent précisément les cou- 
sidérations de symétrie qui attachent les dits groupes aux polyèdres de la 
géométrie, aux procédés qui permettent de les représenter sur un plan. Les 
transformations en question ne transforment jamais un cercle en autre chose 
qu'en un cercle dont la droite est d'ailleurs un cas particulier. Fort nom- 
breuses sont les figures formées uniquement de segments rectilignes et 
circulaires qui font comprendre fort aisément les propriétés fondamentales 
des groupes étudiés. 

Ce n est que lorsque le lecteur esi bien familiarisé avec les dits groupes 
que l'auteur passe à la construction des fondions polyédriques. Il montre 
très simplement comment elles se rattachent à la théorie des fonctions 
doublement périodiques puis à celle des équations différentielles linéaires. 
Quant aux équations obtenues en égalant une fonction polyédrique à nue 
constante (équations polyédriques), on sait qu elles sont en relation intime 
avec les problèmes relatifs aux équations algébriques. M. Vivanti s'est 
imposé d'aller jusqu'à l'examen de ces derniers points. Sans doute, on n'est 
plus très loin alors d'aborder toutes les généralités relatives aux fondions 
automoi plus, mais il ne faut pas oublier qu'il ne s'agissait ici que de préparer 
à 1 ('tuile de ces questions. Ce but important, signalé de manière modeste, 
est à coup sûr largement atteint. A. Bvhl (Toulouse . 

W. H Younc. — The fundamental theorems of the differential calculus. 
(N° M des Cambridge Tracts in mathematics ami mathematical physics). 
— 1 vol.; p 72'; '2 s. 6 d.: C. F. Clay, Londres. 

Ce petit livre est un exposé excellent des théorèmes fondamentaux du 
calcul différentiel. L'auteur y présenti' d'une manière rigoureuse, en faisant 
lies souvent appel à la notion d ensemble el à quelques théorèmes de cette 
théorie, les notions qui forment la base et les premiers développements du 
calcul différentiel des fonctions réelles de variables réelles. Ce livre est donc 
a conseiller à tout étudiant qui, après avoir suivi un cours élémentaire de 
calcul différentiel, veut revenir sur ses pas pour approfondir les notions 
nouvelles et préciser les théorèmes qu'il a acquis. 

J'emprunte à la table des matières une esquisse sommaire du contenu du 
livre. 

I. Notions préliminaires. II. Limites. III. Continuité et semi-continuité. 
IV. Différent iation. V. Formes indéterminées VI. Maxima et minima. VII. Le 
théorème de la moyenne. VIII. Dérivées partielles et différentielles. IX. 
Maxima et minima dans le cas de plusieurs variables. X. Généralisations du 
théorème de la moyenne. XI. Fondions implicites. XII. Réversibilité de 
1 ordre de différent ial ion partielle. XIII. Séries de puissances. XIV. Série 
de Taylor. Appendice. 

Ce qui n'apparail pas dans cette énumération et ce qui pointant caractérise 
le livre et le distingue avantageusement de tous ses pareils, c'est 1 évidente 
originalité et nouveauté de la plupart de ses démonstrations. Très caracté- 
ristiques à cet égard sont les chapitres II, V, XII el XIV. 



80 /»' / />' /. / C Il A P II I E 

La personnalité de l'auteur s'y manifeste soit par l'apport de théorèmes 
nouveaux, soit par le tour original et personnel des démonstrations. Par 
exemple, I introduction dès le début des fonctions associées des limites 
supérieures et des limites inférieures (associated upper and lower limitiug 
functions) d'une fonction donnée, permet de présenter simplement et d'une 
manière très représentative les notions de continuité et de semi-continuité 
qui s'expriment par de simples égalités ou inégalités entre les fonctions 
associées et la fonction donnée. Ainsi se trouvent écartées systématiquement 
toutes les «définitions en s» que l'on est accoutumé de donner. A remarquer 
encore, en passant, que les règles relatives aux formes indéterminées sont 
établies sans recourir au théorème de la moyenne. Les chapitres XII et XIV 
où l'auteur traite des cas d'égalité des deux dérivées f , f et établit, en 
restant dans le domaine réel, les conditions nécessaires et suffisantes pour 
la convergence et la validité du théorème de Taylor, me paraissent nouveaux 
dans un livre de ce genre. Un appendice donne les références bibliogra- 
phiques et l'indication des quelques théorèmes de la théorie des ensembles 
employés au cours de l'ouvrage. M. Pla.ncherel (Genève). 

Festskrift. H. G. Zeuthen. Fra venner og élever i andelding af hans 70 aars 
fôdselsdag. — 1 vol. in-8°, 156 p.; Ffost et fils, Copenhague. 

Ce volume a été publié à l'occasion du 70 me anniversaire du savant mathé- 
maticien danois, dont on connaît les nombreuses contributions à la Géomé- 
trie et à l'Histoire des mathématiques chez les anciens. Il renferme les 
mémoires suivants : A. -A. Bjornbo : Tables trigonométriques de Al-Chwàrizmî. 
— S. -A. Christensen : Etude des éléments d'Euclide en Danemark. — 
C. Crone : Une transformation plane faisant correspondre à elles-mêmes cer- 
taines courbes du quatrième ordre et du genre 3. — J.-P. Gram : Remarques sur 
la théorie des nombres due à Fermât. — J.-L. Heiberg : Compléments à son 
étude sur Archimède. — J. Hjelmslev : Espaces à un nombre iniini de 
dimensions. — J.-L.-W.-V. Jensen : Contributions à la théorie des fractions 
continues. — C. Juki. : Problèmes à un nombre infini de solutions. — 
O. Kragh : Les équations différentielles du mouvement relatif. — J. Mollerup : 
Une démonstration de 1 existence des classes de nombre de Cantor. — 
N. Nielseh : Contributions à une théorie générale des développements en 
séries suivant des fonctions sphériques de seconde espèce qui ont été indiqués 
par Franz Xcumann. — E. Schou : Contribution à la solution du problème 
d'inversion de Jacobi. — E. Valentike» : La situation des points de rebrous- 
sement d une courbe du sixième ordre. — H. Yai.entiker : La détermination 
des polygones à la fois circonscrits et inscrits à une courbe du troisième 
ordre. 



BULLETIN B I B L I ( 1 H A P 1 1 1 Q II E 



1 . Publications périodiques : 

American Journal of Mathematics, ediled by Fr. Morley, Baltimore. 

Vol. XXXII, N° 3. — H.-I. Thomsen : The Osculents of Plane Ralional 
Quartic Curves. — W.-A. Ma.nn.ing : On the Primitive Groups of Classes 
Six and Eight. — E. Study : Minimalcurven als Orter von Kriïmmungsmit- 
telpunkten. — E. Study : Minimalcurven und Sériel sche Flàchen. — J.-N. 
Van der Vkies : On Steinerians of Quartie Surfaces. — R. Bôrger : On the 
Détermination of the Tenary Modular Groups. — G. -A. Miller : Groups 
of Transformations of Sylow Subgroups. 

N° 4. — F. -H. Jackson : ^-Différence équations. — W.-B. Ford : On the 
relation between the sum-formulas of Hôdler and Cesàro. — D. Pompeiu : 
Sur un exemple de fonction analytique partout continue. — A.-B. Coble : 
Symmetric binary forms and involutions (Continued). — H.-W. Reddick : 
Systems of taulochrones in a gênerai held of force. — E. Kasner : The gê- 
nerai transformation theory of differenlial éléments. 

Annali di Matematica. Directeurs : L. Bianchi, l . Dim. G. Jung, C. Secke. 
St'iie III, t. XVII. — - Rebeschini di Turati e G , Milan. 

Fasc. 3 et t (1910). — Sannia : Saggio di Geonietria differenziale dei com- 
plessi di retle. — Pizzetti : Intorno aile possibili distribuzioni délia massa 
nell' interno délia Terra. — Drai : Studii sulle equazioni dilferenziali lineari 
per riguardo ai loro integrali normali. — Scorza : Le superiicie a curve se- 
zioni di génère 3. 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Anno CCCVH Rendiconti. — Rome. 
i cr semestre 1910. — Mathématiques : L. Amoroso : Sulla risolubilità 
délia equazione intégrale lineare di prima specie. — (Idem) Sulla sviluppa- 
bilita in série degli integrali délie equazioni differenziali lineari. — (Idem) 
Sopra un'eslensione di un teorema di Lindelof nel calcolo délie variazioni, 
L. Bianchi — (Idem) Sopra uiia proprielà caratteristica délie superiicie 
rigate apllicabili nel calenoide. — C. A. Dkli.'ag.noi.a. i55. Sopra una nuova 
proprielà dei polinomi sferici. — G. Fubini : Il leorema di Osgood nel calcolo 
délie variazioni degli integrali multipli. — (Idem) Di alcume nuove classi di 
equazioni integrali. — (Idem) Le successioni minimiz/.anti nel calcolo délie 
variazioni. — G. Laukicklla : Sopra alcuni potenziali logarilmici di strato 
lineare. — L. Orlando : Sul problema di Hurwitz. — M Pankelli : Sopra 
le proprielà délie transformazioni birazionali nello spa/.io ordinario. - 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

G. Peano : Sugli ordini degli infinili. — G. Ricci : Sulla determinazione di 
varietà dotait- di proprietà intrinseche date a priori. — F. Sibira.ni: Alcune 
propriété deglî integrali di certe classi di equazioni differenziali. — L. To- 
miii : Si gli zeri dcl limite dî una successione di fuzioni analitiche. — 
E. Zondadari : Sopra speciali trascendenti che si connettono colla leoria deî 
numei'i. — [Idem] Su la continuité e la derivabilità di un intégrale rispetto 
ad un parametro. — (Idem) Sulliterazione. — V. Voltbrra: Question] 
iali sulle equazioni integrali ed integro-differenziali. — ■ (Idem) Osserva- 
zîoni sulle equazioni integro-differenziali ed integrali. — (Idem) Sopra le 
funzioni permutabili. 

Jahrbuch ùber die Fortschritte der Mathematik, herausgegeben von Emil 

Lampe. — Band 39 : Jahrgang 1908. G. Reimer, Berlin. 

lie f t e I u. 2 ip. 1 à 736). — Geschiehte. Philosophie und Padagogik. — 
AJgebra. — Niedere und hôhere Arithmetik. — Kombinationslehre und 
Wahrscheinlichkeitsrechn-jng. — Reihen. — Diff. und Integralreehnung. — 
Punktionentbeorie. — Reine, elemenlare und synlh. Géométrie. — Analyt. 
Géométrie. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, lierausgegeben von 

K. Hensel. Band CXXXJII. — Georg Reimer. Berlin. 

Heri 3 u. 4. — J. Horn : Ueber das Verhalten der Intégrale linearer 
Diflerenz- und Diflerentialgleichungeii fur grosse Wertedder Verànder- 
lichen. — P. Koebi; : Ueber die Uniformisierung leliebiger analytischer Kur- 
ven ■. I: Das allgemeine Uniformisierungsprinzip. — H. \\. E. Jung: Ueber 
die Cremonasche Transformation der Ebene. 

Band CXXXIX. — Heft 1. — F. Schottky : Vier Briefe Cayleys, nebst 
Vorbemerkung : Ueber eine Cayleysche Form und deren Anwendung aut das 
Prodlem des letzten Schnittpunkts zweier Kurven drilter Ordnung; Ueber 
einen Salz: der sich au! die Anorduung der 4y? Thetafunktionen bezieht. — ■ 
A. Haak und I). Kônig : Ueber einfach geordnete Mengen. — L. W. Tiiome : 
Ueber eine Anweudung der Théorie der simultanen linearen Dilfereutial- 
gleicbungen auf Système linearer partieller und linearer totaler Differential- 
L. r lci<hinii, r en. — Ch. M Ûntz : Zum Randwertproblem der partiellen Differen- 
tialgleicbung der Minimalflàchen. — G. A. Miller: Xote ou leh équation 
.s .s ■=. s s' s and .s being operators of a finile group. 

12211 2 & r & i 

Monatshefte fur Mathematik und Physik. herausgegeben von G. v. Em.hi- 
i.nii, F. Mebtens u \Y. W'irti.ngek. — Eisenstein tV C°, ^^ ien. 
XXI. Jahrgang (1910); 3., 4. Vierteljahr. — W. Blaschke Zur Géométrie 
der Speere im Euklidischen Raume. — H. Brix : Ueber spezielle Dirich- 
letsche Reiben and die Kroneckerscbe (irenzformel. — A. Pleskot : Aus- 
wertung eines bestimmten Intégrais. — F. Rulf : Der kubische Kreis. — • 
A. .Muni; : Ueber de Zusammenhangzwischen den Determinantcn von Grain 
und Wronskî. — H. Tietze : Einige Kettenbruch-Konvergenzkriterien. 

Proceedings of the London Mathematical Society. Série 2. vol. 8. 

Fasc. i. — A Dixon : Symbolical Expressions l'or the Eliminant of Iwo 
Binarv Quanlics. — G. II. Hardy : lin- Application to Diricbiet's Séries of 
Bon 1 s Exponential Method of Stimulation. — G. H. Hardy : The Ordinal 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 83 

Relations ol iheTermsol a Convergenl Séquence. — (î. II. Hardy : Teorems 
relating loi lie Summabilîty and Convergence of Slowly Oscillating Séries. 

Fasc. ô. — W . Burnside : <)m the Représentation of a Group of Finite 
Order of Linear Substitutions with Ratipnal Coefficients. — W. II. Y.noug 
and Grâce Chisholm Young: On the détermination of a Semi-continuous 
Function from a Countable sel of Values. — A. L. Dixon : The éliminant of 
the équations of four quadric surfaces. — W. H. Young: On hompgeneous 
oscillation of successions of funclions. — H. S. Carslaw : The Green's 
function For a wedge of any angle, and other problems in the conduction ol' 
heal. — H. Bateman : Kummer's quarlic surface as a wave surface. — 
.!. E. Campbell : On cyclic congruences. — Ci. X. Watson : The harmonie 
fuuctions associated with the parabolic cylinder. — 

Fasc. 6. — H. Lamb: On the diffraction of a solitary wave. H. T. 
H. Piaggio : Perpetuani syzygies of the n-th. kind. — II. Bateman ; The trans- 
formation of coordinates which can be used to Iransform one physical 
problem inlo anolher. 

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Direttore G -B Guccia. 

Tome XXX. Fasc 1. — M. Frechet : Les ensembles abstraits et le 
Calcul fonctionnel. — W; H. Young : A Note on the Theory of the First 
Variation in the Calculus of Variations. — M. Abraham: Sull, elettrodina- 
mica di Minkowski. — E. Bertim : Applicazione délia geomelria sopra una 
curva alla dimonstrazione di un teorema di Geiser. — C. Severini : Sulla 
représenta zione délie fuzioni reali di variabili reali mediante série di fun- 
zioni ortogonali. — R. von Sterneck : Ausdehnung eines Kronecker'schen 
Satzes auf Delerminanlen hôheren Ranges. — T. Boggio : Sul moto stazio- 
nario lento di una sfera in un liquido viscoso. — P. Appel : Equation 
fonctionnelle pour l'équilibre d'une masse liquide en rotation sous l'attrac- 
tion newtonienne. — G. Vivanti : Nuova demoslratione del teorema di 
Ar/.ela. — G. Segre : Preliminari di una leoria délie varietà luoghi di 
spazi. — R. Weitzenbock : Das Formensyslem der Korrelation im R. 

Revue Scientifique. 

12 novembre 1910. — Ch. Moureu: Louis Olivier (1854-1910). — C. Bour- 
let : La pénétration réciproque des mathématiques pures et des mathémati- 
ques appliquées dans renseignement secondaire. 

Zeitschrift fur Mathematik und Physik, herausgegeben von R. Mehmke a. 
C. Runge. — ôx. Band. — R G. Teubner, Leipzig. 

Fasc. 3. — H. Bi.asiis : Laminâre Strômung in Kanâlen wechselnder 
Breite. — L. Hanert : Eine Darstellung der Gleichgcwichlsform von Fâden, 
deren Dichte eine Funktion der Fadenlànge isl und eiu mechanisches fnte- 
grationsverfahren gewisser Differenlialgleichungen. — Martin Nâbauer : 
Vorrichtung zur Auflôsung eines linearen Gleichungssystems. — Reinhold 
Mvller : Erzeugung der Koppelkurve durch ahnlich-veranderliche Système 
— R. Skutsch : Ueber die von Herrn Reinhold Millier untersuchte besondere 
Bewegung eines àhnlich veranderlichen Systems — li. Mehmke: Analy- 
tischer Beweis des Satzes von Berrn Reinhold Millier iiber die Erzeugung 
der Koppelkurve durch ein ahnlich verânderliches System. — F. Klein: 
Ueber die Bildnng von Wirbeln in reibungslosen F lûssigkeiten. — F. Pi i ti ■ 



8 ï />' (II. F. I I .\ B I />' I. I O G II A l> II IQV E 

1 1 1; : Zur Statik ebener Fachwerke. — F. Pfeiffer : Zur Frage der sot;. 
Coulombschen Reibungsgesetze. — F. Klein und Fr. Schilling : Modelle 
zur Darstellung affiner Transformationen von Punktsysteraen in <ler Ebene 
and ini Baume 

Fasc. 'i — S. ïimoscbenko : Einige Stabilitàtsprobleme «1er Elastizitats- 
theorie. — Ferenez Juttnbr : Die chemische Reaktionskinetîk und eine 
neue Painlevésche Transzendente. — E. Wôlffing : Technisehes Abhand- 
lungsregister L906-1907. — Titel und Inhalt. 



'-£. Livres nouveaux: 

E. Barulttk. — Le dernier théorème de Fermât — l fasc. in-8°, 19 p.; E. 
Gnuse, Liège. 

L. Ber/olaki. — Geometria analitica, I: Il metodo délie coordinale |Col- 
lection Manuali Hoepli) — 1 vol. 16°, 109 p.; 3 L. ; U. Hoepji, Milan. 

M. Bôchek. — An introduction to the study of intégral équations (N° 10 
des Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics) — 1 vol., 
in-8°, 71 p.; 2 s. 6 d.; C.-F. Clay, Londres. 

F. -G. Farault. — Astronomie Cambodgienne — 1 vol. in-4°, 28:! p. ; Fr. 20; 
Schneider, Saigon. 

Sir Thomas Heath. — Diophantus of Alexandria, a Study in the History of 
Greek Algebra, 2 e édit. — 1 vol. relié, in-8°, 387 p.; 12 s. 6. — University 
Press, (Cambridge : Clay, Londres. 

C. Helm. — DieGrundlehren derhôheren Mathematik zum Gebrauch bei 
Anwendungen und Wiederholungeh zusammengeslelll — 1 vol. in 8°, 419 p.; 
13,40 M. Akademische ^'el•lagsgesellscllaft, Leipzig. 

I.-P. Konderef. — L'aplanétisme des surfaces et des lentilles elliptiques 
et hyperboliques. — 1 fasc. in-8", 78 p. ; Atar, Genève. 

E. Lebon. — Paul Appell. Biographie, Bibliographie analytique des 
écrits. (Collection des Savant* du Jour). — 1 fasc. in-8°, 71 p. avec un 
portrait ; 7 fr. ; Gauthier-Villars. Paris. 

O. Veblen et J.^Y Youkg. — Projective Geometry, I. — 1 vol. in-8°, 

342 p.. 15 s.; Ginn & C ic . New- York, Londres. 

(i. YivANTi. — Les fonctions polyédriques et modulaires (traduit par 
Ami. Cahen). — 1 vol. in-8°, 316 p.; 12 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 
française dirigée par J. Moi.k. — Tome I, volume 3, fasc. 4 : Théorie arith- 
métique des formes par \ aiili n et Cahen. Propositions transcendantes de 
la théorie des nombres (suite, p. 289 à 384) par P. Bachmann, Hadamard et 
Maillet. — Teubner, Leipzig et Gauthier-Villars, Paris. 



RECHERCHE DIRECTE 
DES RELATIONS DE VARIABLE A FONCTIONS 

i:\ISTA\T ENTRE LA MESURE l)'l\ ANGLE 

ET SES RAPPORTS TRIGOJMOMÉTR1QUES 



Nous signalons plus loin, dans la «Chronique», la triste nou- 
velle de lu mort de noire dévoué collaborateur M. (h. Mèray et 

/tous donnerons ultérieurement une notice sur sa vie et sur son 
œuvre. Cetarticle de lui était composé depuis le mois d'octobre V.'lO 
et les premières épreuves avaient encore été corrigées par l'auteur 
lui-même. La Rédaction. 



1. - L'idée d'angle, l'idée de cercle, entre lesquelles ht 
structure spéciale commune à tous les instruments gonio- 
métriques et leur emploi continuel ont établi en pratique 
une liaison si étroite, sont, par la, devenus presque insépa- 
rables, même en théorie. C'est ainsi que les géomètres ont 
été amenés a passer par la considération du cercle, incons- 
ciemment semble-t-il, pour arriver aux expressions analy- 
tiques des rapports trigonométriques d'un angle variable, 
en fonction du nombre qui mesure son amplitude relative- 
ment à une unité quelconque, expressions dont les Tables 
trigonométriques conservent les valeurs numériques calcu- 
lées une fois pour toutes, plus ou moins resserrées, [dus ou 
moins rapprochées. 

Effectivement, I examen de la marche des idées dans celle 
recherche, montre bientôt qu'elle comporte -en substance : 
1° l'introduction d'un cercle de rayon égal à L'unité de lon- 
gueur, rapporté a deux diamètres rectangulaires OX, OY, 
2° celle de son angle au centre y. porte a partir du demi-axe 
OX, égal au proposé en direction comme en grandeur, 
:!" puis, de l'arc d'origine I, 0) (pie cet angle intercepte sur 

L'Enseignement ma thé m., 13» année; 1911. 6 



se, i ii . mer A y 

la courbe, V' le calcul de hi longueur s de cel arc, en fonc- 
tion de l'abscisse tic son extrémité, celle abscisse étant en- 
suite remplacée successivement par les divers rapports tri- 
gonométriques de l'angle, à l'aide des transformations cou- 
rantes, 5° l'inversion des fonctions ainsi obtenues, pour 
passer aux expressions de ces rapports en fonction de s, 
6° l'obtention finale des fonctions sin a, cos «. ... , par la 
substitution de y. à s faite dans ces fonctions inverses con- 
formément à la proportionnalité mutuelle de ces deux nom- 
bres, établie dès les /<>i// premiers éléments de la Géométrie 
•par des moyens bien empiriques et précaires . 

Ces vues manquent d'homogénéité et de véritable clarté. 
Elles eachenl effectivement les liens directs, parlant serrés, 
naturels, qui existent entre les angles et les serments dont 
les proportionnalités deux à deux fournissent la notion de 
leurs rapports trigonométriques, sous la combinaison con- 
fuse, artificielle, de ceux quelles font jeter, du cercle, une 
figure courbe, aux premiers d'une part, aux derniers d'autre 
part, figures seulement rectilignes 1 . Je vais en proposer 
d'autres, exemptes de ces défauts. 

Leur économie générale permet encore 5, in/', une forme 
solide et aisée pour la démonstration de la proportionnalité 
des arcs d'une circonférence à leurs angles au centre. Outre 
la faiblesse à laquelle je viens de faire allusion, le mécanisme 
du raisonnement en usage présente un contraste unique et 
choquant avec les moyens entièrement différents qui s'impo- 
seraient dans la recherche, pour toute autre ligne, de la 
liaison analytique entre un arc et un angle, en semblable dé- 
pendance géométrique. Aucun redressement n'est possible 
dans la théorie que je critique, puisqu'elle a pour base essen- 
tielle la proportionnalité, précisément, qui est en question. 

2. — En nommant x la mesure d'un angle reetiligne indé- 
terminé, rapporté à une unité quelconque, ce nombre étant 



1 Ces réflexions sont de tous points applicables a la Trigonométrie élémentaire. Bile fait 
du • cercle trigonométrique u l'objet de références continuelles pour les définitions, l'expo- 
sition, les discussions, ... ; elle l'emploie ensuite de la manière la plus forcée à procurer une 
image (absolument inexacte) du calcul des Tables, le tout au prix de longueurs et d'obs- 
curités, de fréquentes confusions, notamment, entre des segments rectilignes et des nombres 
abstraits, entre les angles et des arcs de cercle. 



t; i P P <> Il I s i R I G <> \ <> M E T R I Q UES s; 

revêtu de la qualification positive ou négative selon [a di- 
rectioD giratoire attribuée à cet angle, les propriétés cou- 
rantes « I * * >in .r. ... se déduisenl directement et rapidement, 
des définitions, par simples rapports de segments recti- 
lignes, que j'ai employées rudimentairement dans mes Nou- 
veaux Eléments de Géométrie 250' et suiv. '. puis élargies 
tout récemment el mises en œuvré dans la mesure de l'es- 
sentiel 8 . 

J'en rappelle les suivantes appartenant au rapport 



considère comme fonction de .<•. que je prends pour pivot de 
celle Note, et je représenterai par k un multiplicateur entier 
indéterminé (positif, nul ou négatif), par 9t, comme aupara- 
vant, la mesure de l'angle neutre 134* . 

I. Pour toute valeur de x étrangère à la progression arith- 
métique, de raison 91, 

_ l ° l _2<ïï - — — T _ — — -- -i- 91 
• o -<■*-• ^ et, 22 2 

? + ■* . 

celle de tangx est assignable, unique en outre. Mais elle 
ne l'est en aucune de ces quantités exceptionnelles Cf. VII, 
3°. inf.). 

II. Pour les premières valeurs de \ ci-dessus I . on a les 
identités numériques 

:; tang \.r + k9X = tang x . 

i tang i — x] — — tang a 

, (91 _ \ i 



I ;< ii Li .' 



les deux premières montrent que la /onction est périodique 
(Cf. Y. 3°, inf. , et quelle est impaire. 



1 Un numéro ci>- renvoi visera ici la 3« édition de cet ouvrage 1906 , quand il sera affecté 

d'un astérisque à droite: la première partie de s !■■ >m n >m '• sur l'Analyse... », la 

deuxième, ... , quand il en portera un. deux a gauche. 

1 Voir L'Enseignement mathématique, N« du là janv. 1911, p. 5-16. 



88 ( II . MER A ) 

III. (hi a les égalités numériques 

6 tang [kOt] = . 

91 , 
tang -7-=: 1 . 
i 

IV. Quand \ croit à l'intérieur de l'intervalle limité par 

deux termes consécutifs quelconques de la suite 2 , tang x 
croit aussi, en passant par en même temps que x />ar /<•/ 
demi-somme des limites de l'intervalle. 

Il en est ainsi pour le demi-intervalle [0, SU : 2] 251*, V), 
puis 4 pour le précédent [ — dï : 2, 0], puis (3 pour un quel- 
conque des intervalles entiers considérés. 

V. Pour toute râleur l" attribuée à u 1 , et dans chacun 
des intervalles en question, la résolution par rapport à x de 
l'équation numérique 

8) U = lang x 

donne une racine unique X. 

I" Ceci est vrai dans l'intervalle [ — dl. \ 2, .'-"- dX : 2]. Car, 
pour U = 0, on a la racine x = 6); pour U = u > 0, la 
construction du n" 254* fournit une racine £ comprise entre 
0, + 51 : 2; pour U = — u < 0, la formule 4 montre immé- 
diatement la racine — \ comprise entre — SIX. : 2 . 0. Et, dans 
1 intervalle considéré, aucune quantité X' ^ X racine dont 
nous venons de constater l'existence, ne peut vérifier l'équa- 
tion (8); elle donnerait effectivement tang X' s? tang X (IV), 
c'est-à-dire tang X' ^ U. 

2" De cet intervalle, on passe à tout autre au moyen de la 
relation (3 . 

3° Les constatations précédentes confèrent le caractère 
élémentaire "260 à la période dï trouvée à la fonction tang.r 

H- 

VI. En considérant une seconde variable y. on a la for- 
mule 

tang x ~+~ tang r 

(9) lang [x + r = z-~. — = — - , 

1 _j_ lang x tang y 

oit les signes supérieurs sont a prendre ensemble, ou bien les 



/,' . / P P R T S l i: 1 G o y M /. /' i: I Q V E S 

inférieurs et <|ui doit être interprétée conformément aux 
conventions habituelles en matière de quantités infinies, 
quand un ou plusieurs termes de la suite 2 >'\ trouvent 

placée sou- le signe tang I . VII, •'>". inf-) ■ 

VII. La /onction tang x est continue en toute valeur de x 
<[ni n'appartient pas a la suite 1 . mais infinie en chaque 
terme de cette suite. 

I" Quand x tend vers 0, ci en supposant «! abord positives 
toutes ses valeurs successives, tang.r. finissant alors par 
rester positive IV . tend au>>i vers ". valeur de tangO lh. . 
Car si la valeur de cette fonction m- finissait pas par demeurer 
inférieure ;i toute quantité positive donnée ■ J . il en sérail 
ainsi pour x relativement a £, racine unique de L'équation 
numérique tang.r— u dans l'intervalle — 31 : 1. -\- DX : 2] V . 
positive également, et 1 On n'aurait pas lim.r = 0. 

Quand les valeurs successives de .'. supposée toujours 
infiniment petite, sont quelconques, les choses se passent 
de la même manière, a cause de lim | X | =0 aussi et de 
| tang.r J = tang | x ! 5 . sup. . 

2° En faisant tendre maintenant x vers une quantité quel- 
conque a étrangère à la suite 2 . posant x — a = h quantité 
infiniment petite, puis substituant a -\- h, a a c. y dans la 
relation 9 écrite avec les signes inférieurs, il vient 

10 lang <a — h — lang a = [1 + tante la + h) tang n\ tang h . 

oii le premier facteur du second membre est fini. Effective- 
ment, on a ; tang a + h) | < tang x -{- n a partir du moment 
ou %. ï] valeurs numériques <le a. Il conservent une somme 
inférieure à la valeurs de la moindre des différences existant 
entre a et les limites de l'intervalle contenant cette quantité 
IV . Le premier membre est donc infiniment petit comme le 
dernier facteur du second 1" . En d'autres termes, on a bien 
I égalité lim tang. r = lim lang a -j- h = tang a. 

.'!" La dernière partie de renonce résulte immédiatement 
de la combinaison de la constatation préparatoire I" avec 
les relations 3 . 5 . 

VIII. En considérant un entier positif quelconque n, on a 



90 r //. MÉRA Y 

sous le bénéfice de l'observation finale de renoncé VI) 

P_(tang x\ 

il 11 lang "■>■ = 



Q ' lilllg X) 



ou P„ tang .<• . Q /4 (tang .r .vo/?/ <7c.v polynômes entiers en 
tang ./. .SY///.V diviseur commun, et de degrés effectifs n, n — I 
quand le nombre \\ est impair, n — I, n quand il est pair. 

3. — A// posant, pour abréger, 

(12) / "TT^= n > ° • ( n < •°- '"/'■' 

la fonction considérée 1 est l'intégrale de V équation diffé- 
rentielle 

complétée par la condition initiale 

il 'h u == , /;on/' .*' = . 

Nos énoncés n ayant à viser aucune quantité imaginaire, la 
réalité de celles dont nous parlerons demeurera partout sous- 
entendue l . 

I. Supposée olotrope pour toutes les valeurs iréelles) 
de ,r, saut' les ternies de la suite 2 où ceci n'est pas pos- 
sible (2, VII , cette fonction est douée de dérivées dans tout 
ce domaine *155 et suiv.), et, divisée par A, la relation 10 
donne, pour lini // =0, 

(15) Un. g' U = lllll — — ^-j 1 — - (*196l 

=: tang' 0| I -\- lang s a) . 

;i cause de lim tang a + h) = tanga, lim (tang // : h) = tang' 0. 



1 Le cas actuel est <)•• ceux où les moyens indiqués aux a" ***118 et suiv. dispensent du 
recours aux imaginaires. 



H / /'/'(> i; r s' /' n I G <> N <> M i t n IQUES 91 

Or cette égalité équivaul ;i nue équation différentielle de 
la forme L3 . puisque a est une valeur quelconque attribuée 
à x <l;nis le domaine <|ui vienl d'être défini. 

D'autre part, la constante tang' ne peul être nulle. s;uis 
quoi, d'après l'équation (13), tang.*; le sérail identiquement, 
ce «|ui n'a pas lieu. Elle esl positive parce < | n c tang h finit 
par conserver le signe de h IV). Quant à la condition I \ . 
elle ne diffère pas de l'égalité exacte tang = <> . 

II. L'équation différentielle 

du 

16 -ï- = 1 + m- 

a.r 

et la condition initiale I 5 définissent une fonction intégrale, 
/■estant olotrope à l'intérieur de tout intervalle limité par 
deux ternies consécutifs de la progression arithmétique 



n-H ,",S +n 



S + «i 



mais devenant mêromorphe seulement, en chacune de ces va- 
leurs particulières, (/ni est un in fini simple pour cette fonction 
"29 . "33 . 

1" La propriété, pour le second membre de l'équation II», 
(I être un polynôme entier en .r, n. par suite une fonction 
indéfiniment olotrope de ces deux variables considérées un 
instant comme mutuellement indépendantes, écarte 1 toute in- 
tégrale singulière et dote celte équation d'une intégrale or-' 
dinaire répondant à toute condition initiale donnée 

I < s // = //,, . pour .*• = •»„ . 

restant olotrope aussi longtemps que finie '381, Il . On peut 
doue partir de 18 pour construire le premier développement 
d'une intégrale de ce genre, que nous représentons par T x . 
(lelle fonction e^l toujours croissante, puisque la valeur 
de sa dérivée, fournie par le second membre de 16] esl essen- 
tiellement positive. 



92 



i II MER A Y 



( ht constatera sans difficulté que les relations ultimes atta- 
chées à l'équation l<> '290 sont de la forme 

d m « . . 

d.r 

où l'expression ('„, u) est un polynôme de degré /// + 1, en // 
seulement, dont les coefficients sont tous réels, celui de i/' 
étant ^ 0, selon que l'entier /// + i est pair ou impair. 

Quand // = <). cette observation assigne au premier déve- 
loppement de T x la forme à remarquer 



19 



I | = bJ (X— X ) +- M 



•'■,/' + 



dont tous les termes effectifs sont de degrés impairs, avec 
des coefficients positifs. 

2° Deux constantes ayant été représentées par c, C, on 
aura des intégrales de l'équation 10 en prenant les fonctions 



H.l 


»• 


= 


Tic -f- .» 


(-)_ 


■*■) 


= 


— 


T| — x) 


(-1 

c. 


( (x) 


= 


± 


T(e+ a 


®c 


.r) 


= 


C 


+ T(*| 


1 - 


- CTi.n 



(sous la condition naturelle, (pie V existence de l'intégrale 
originaire T soit certaine pour les valeurs dont les fonctions 
simples c -f- a . — x, à =F x sont susceptibles . 
Car on trouvera successivement, sans difficulté, 



'-> - =Y(c + X) = I + Ï(C -f .M- = I + H ,.tr 
l-l^i.M = T'i — .i| = i + T(— .*|- = 1 + ®_(X)* . 



16) 



,(*) 



i-i, (x) = 



T'|c + .r) 2 _ 1 + T|c qi r 
ï(c X .r) 2 ~ ï(c Ijl .r) 2 



(1 + C 8 )Tia:) 
CTf.r)] 2 



1 + ® C ,I 
h T(a?)»J _ 



l 



[1 



CTi.r,] 2 



I -f !->..(. M" . 



ce qui étail à vérifier. 

'!" Les attributions numériques x = W = faites dans 
T ' conduisent à l'intégrale de l'équation 16 qui eorres- 



Il A l> I' II I s I II 1 G O Y M fi TRI Q I I: S 93 

pond à la condition I î el que nous représenterons par % x . 
En même temps qu'elle, nous considérerons la fonction x 
de m, inverse de £\ racine de l'équation finie 

(20) a = fc •■' -i . 

sous la condition initiale 

(21 \ .i = a . pour a = a . 

intégrale, en conséquence, de l'équation 



22 



assistée de la même condition initiale \\ . 

Dans le domaine entier des valeurs réelles de a, cette 
nouvelle fonction est olotrope parce qu'il en est ainsi pour le 
second membre de (22), *208 . réelle parce que tels sont les 
coefficients de son premier développement, veux de tous 
les subséquents visiblement, ensuite, sans cesse croissante 
parce que la valeur de sa dérivée, savoir du second membre 
précité, est essentiellement positive. La fonction x ne figu- 
rant pas dans ce second membre, sa valeur est fournie par 
la formule générale 



■tt 



=/ 



où il est commode de régler le calcul de l'intégrale définie 
en faisant passer y de à // par une marche de sens constant. 

Tout ceci montre immédiatement que x est encore une 
fonction impaire de //. toujours du signe de cette variable. 

4° En faisant // infinie, positivement d'abord, négative- 
ment ensuite, on trouve 

lim x = HH A 

où \ désigne une quantité positive. 

Dans le premier cas, il peut être supposée en croissance 
constante à partir de 0, partant x avec elle 3° . et, des qu'elle 



94 (il m i: i: a y 

devient supérieure à quelque constante positive <i. la for- 
mule 23 donne 

a H a +x <i 

» < • =J r+7- +./ r+v» < J .— ■ + J ? < J r+v- + 7, 

ii a n al) 

;i cause de L : (1 + u a < I : u 2 '38 . 

De là, résulte l'existence des intégrales définies et rida- 
lions mutuelles ci-après: 

v _ F*L. _ _ ÇLêl. - /L*L_ _ I f_A_ = " > o 

A -Ji + u«" J 1 + u s " J1 + u" 2j I + u* 2 ^ 



moyennant la définition (12) 
Il faut noter l'égalité 



(24) fc 

L'une des précédentes donne effectivement 

n_ P _fo __ (' d-j ? d-j 

■2 —J l + v s — J I + u a "W 1 + -J ' 

n o i 

la substitution u = 1 : qp, d'où 9 = 1 : u, conduit à 

/' d-j r df _ r d-j 



il en résulte aussitôt 



i "" / 1 + u» ' 



puis la première des égalités 24 en question, à cause de la 
relation (23 qui entraîne 20 généralement. 

El pareillement pour l'autre 3°, in fine). 

5° On voit ainsi, que, U venant à croître de — x à -J- 00 , 
x traitée en l'onction implicite de 11 . croît de — ri : 12 à + 17:2 ; 






R \PPO i; l S I II I G o .Y <> M l. TRI Q l ' E s 95 

du en conclut qu'inversemeni "11 . //. ramenée maintenant 
;i son pôle primitif de fonction de < . passera de — x a + x 
par croissance incessante, quand x marchera de — 11:2 à 
+ Il : 2 dans un sens constant. 
Dans l'intervalle entier 



26 



+ 



"]■ 



noire intégrale % x existe donc, olotrope dans son inté- 
rieur I"), mais infinie en ses extrémités. On peut ajouter 
qu'elle est méromorphe en chacune de ces dernières. 

D'après ce qui vient d'être dit, la fonction composée 

fêl = — x\ est effectivement définie pour 



m 



.*+? 



inégalités équivalentes à 

o <; .» s il 
c'est-à-dire dans l'intervalle entier 

27) io . ni . 



Elle, son inverse arithmétique, par suite, et %[x le seront 
donc dans l'intervalle partiel 



î8i 



[' ' "] 



que 2(i . 27 comprennent a la lois, el où l'on a ainsi l'identité 

t 



(29] 



V I — 



s/j-* 



parce que les deux membres sont des intégrales de l'équa- 
tion H» 2". dont les valeurs en x— Il : i, savoir fë Il : 5 . 
I : % n : '\ , sont toutes deux = 1 24). 

Pour des valeurs de x suffisamment voisines de II :2 a 



96 C H. MER A Y 

l'intérieur de l'intervalle partiel 28), la formule L9 donne, 
|>;ir la substitution de 0, Il : 2 — x à .r . .r. 



CD , 



don. en vertu de 2 ( J et à cause de u a == <>. 

l / Il r 1 Oi I IX rs)/ ll\" 



développement méromorphe en ,r = II: 2, ayant cette quan- 
tité pour infini simple "33 . 

Kl semblablement, pour ce c|ui se passe- en x = — Il : 2. 

6° L'intervalle (26) étant enclos par des valeurs singu- 
lières, la série de Taylor est impuissante au calcul de notre 
intégrale en dehors de lui. Mais sa deuxième extrémité, par 
exemple, peut être franchie au moyen du développement 'M) , 
ou, ce qui revient au même, de la formule 2!» . dont le second 
membre est connu dans l'intervalle (27), extrémités com- 
prises 5° . qui étend en conséquence la définition de '£ x 
jusqu'à x = IL inclusivement. 

7" En x = n, on trouve de cette manière ( &{x) = et olo- 
trope, parce que FI : 2 — x prend la valeur — 11 : 2 rendant 
% Il : 2 — x) infinie et méromorphe 5° in fine), et le déve- 
loppement de Taylor, reprenant sa validité, donne 

S(x) = b^i* — lli + u™[x - III 3 + ... , 

pour des valeurs de x suffisamment voisines de II 1" . 

Repartant de là et procédant comme ci-dessus (5°), (6°) 
presque textuellement, on poussera le calcul de ©(#), de 

x = Yl à .# = 211, puis de .r = 2fl à x = 3T\ et ainsi de 

suite. On recommencera semblablement, de x = à .r = — II, 
puis de x— — Il à x = — 211,..., et l'existence de notre 
intégrale se trouvera établie dans tout le domaine des va- 
leurs réelles de x. 

S" ( )n a identiquement 

(31) %(x 4- /-lii = %{x\ . 



i; APP i) R i s r h i a o .v o m i: r i: i q i /■: s 9: 

Les calculs expliqués l<>m à l'heure (5° et suiv. donnenl 
en particulier I égalité 

[32 ©(Ail] = <» . 

en vertu de laquelle les deux membres de cette relation, qui 
sont des intégrales de l'équation (16) 2°), ont, en x = /.II. 
des valeurs initiales =0, l'une et l'autre. 

En d'autres ternies, la fonction %{x) admet la quantité II 
pour période, H celle-ci est élémentaire (**260 . Car, à l'inté- 
rieur <le l'intervalle 12* » d'amplitude n où elle est olotrope 
5 . sa croissance constante I" l'empêche de prendre des va- 
leurs égales pour des valeurs inégales de .r, ce qui aurait 
évidemment lieu, si elle admettait quelque période < IT, 
numériquement. 

9° ( Mi a de même 

33) %{— x) = — %{x\ . 

Car les fonctions — £ — x . % x sont des intégrales de 
l'équation (16) (2°), qui prennent encore la même valeur 0, 
pour x = 0. 

10° A présent, un peu d'attention suffit pour apercevoir 
l'exactitude complète de notre énoncé préparatoire II. 

III. Les identités 9), (11) ont lien littéralement pouf % x 
substituée à tang \, en même temps que la suite (17) à (2). 

L'exactitude de la relation 

< &{x) ± £>VI 
(34 lî>(x -h y = = =- — 

1 _(_ Vi.ci^ivi 

est assurée par le fait, que (II, 2°) ses deux membres sont 
des intégrales de l'équation (16), dont les valeurs en ,r = 
se confondent Tune et l'autre avec ± ^ // 32 . 

L'autre identité 

(35 6(/i«) = -r— 5= ; 

se tire d<> (34 . maintenant établie, par les mêmes moyens 
que I I de 9 . 



98 ( Il ■ MER A Y 

IV. L'intégrale de l'équation L3) mentionnée dans noire 
énonce principal esl la fonction 

tri " \ 
(36 t - = ^lôf*) ' 

car. avec t 0) = £ ; 0) =0, il vient immédiatement 

= JL[1 + !(*)»] . 
et l'exactitude de l'identité 

37 Lang r = f (x) 

reste seule à prouver. 

1" On aperçoit immédiatement que la simple substitution 
de 9X. à FI dans les principaux énoncés des alinéas II, III con- 
cernant % x) les étend à t x). 

2° A cause de 

f i kdl I = © ( -Vr /• #t ) = £ I /. 1 1 1 = . 1 32 1 



•(ft~) 



-(CM*?) =*(")=■• 

et de (6), (7), l'identité 37) est vérifiée numériquement pour 
x = kdl, x = 9l : i. 

(Sous les conventions habituelles) elle Test encore pour 
x = 91 : 12 -f- kdl , quantités composant la suite (2), puisque 
\ 91 : 2 + fc2l) = ^(11 : 2 + /.Tl 36) y est infinie (II, 5°, 8°) 
comme tang.r (2, VII, •>" • 

.')" Un entier positif quelconque ayant été désigné par y, 
les v quantités positives 

.)• . = \- i — = — t 1 — t'i . ( = 0,1,2 v — 1 1 . 

' v v iv 

forment une suite croissante, toutes sont < 01 parce qu'il en 
est ainsi pour la dernière [ iv— 3 : 4v]#l, et, en nommant I 



I! .1 /' I' o II I S I R I G a N <> >/ /.' I i; IQV i: s 99 

le plus grand entier inférieur à la fraelion '1-j — I : 4, celles 
d'entre elles qui composenl le groupe 



s(»ni comprises entre 0, 91 : '2 exclusivement, les autres 

■V> V-1 

entre 91 : 2. 91 exclusivement encore ; on s'en assurera sans 
di fficulté . 

Combinés avec la croissance de tang x< négative entre 
91 : 2, 91 : 2 + 91, puis positive entre 0, 91 : 2 2, IV , ces 
observations entraînent les inégalités 

38 tang a; < tangx I+a < ... < iang* v _, < < tang .. 

< tanga-j < ... < tangXj . 

Comme, d'autre part, tang vx. = tang (91 : 1 -\- i9X = 
tang 91 : 4 = 1 (3), 7 . les quantités tang x. sont les y racines 
de l'équation entière en //. de degré v. 

(39) P [u\ — QJu) = 

provenant de 11 par la substitution de v, I = tang- 91 : 4 . u 
a //. tang nx, tang x, et les inégalités 38) montrent que tang.c 
= tang 91 : 4v est la moindre de toutes les positives. 

In raisonnement identique, mais basé maintenant sur les 
propriétés de la fonction l(x (1°), prouve que ï(9t'Av est 
pareillement la plus petite des racines positives de la même 
équation 39 . De tout ceci on conclut 

91 J9t\ 

4° En considérant un second entier positif p quelconque, 
on a encore 

v- 91 , . /[j. 91 



fv-9t\ Jv-9l\ 



Car il y a identité entre les formules tirées de I I el 35 
pour exprimer, au moyen de tang 91 : 4v) el I #l:4v), quan- 
tités égales (40), les deux membres de 41), respectivement. 



100 (Il MER A ï 

5° Une valeur positive quelconque de x j£9l : 2 + k£ft) 
étanl actuellement considérée, puis Faisant tendre la fraction 
indéterminée y. : v vers l.r : 91, on trouvera 

lui) tane I - — ■zz l a 1 1 tç ( — — - = l aiiii * 

• \v i / \gri 4 ) 

= ' ( m- -4" I 



parce que les (onctions tang. \ sonl continues 2, VII), (1°), 
Il . puis la relation (37) pour cette valeur de .r, à cause de 
l'égalité permanente 41). 

Finalement, les identités 4 . 33) étendent aux valeurs né- 
gatives de la variable, la relation (37) établie -maintenant 
pour ses valeurs positives. 

4. — Les relations algébriques fournies par la Géométrie 
élémentaire entre tang .r et les autres rapports trigonomé- 
triques de l'angle x 251*, II. III ramènent présentement la 
tbéorie de tous, en tant qUe fonctions de cette variable, a 
de simples combinaisons algébriques ', faites entre elles et 
l'intégrale de l'équation fondamentale L3 . 

Il est remarquable qu'ainsi, toutes ces fonctions, rencon- 
trées en Géométrie pourtant, soient olotropes (en debors de 
circonstances exceptionnelles assignables à priori , analy- 
tiques, au sens de la redondance généralement préférée. 
('/est une constatation de la grande règle attendant encore 
un démenti, que les séries entières sont aptes à représenter 
toutes les fonctions dont la considération n'est pas un jeu 
d'esprit stérile. 

5. — Les Longueurs des arcs d'une même circonférence 
sont proportionnelles aux amplitudes de leurs angles (tu 
autre. 

Soient /■ le rayon de cette circonférence, a l'amplitude 
d'un angle au centre variable, s la longueur de lare m m 
intercepté par lui sur elle, puis .r. y les coordonnées de /;/ 



/.' A I' I' () II T S I II 1 1, () .V M E T Il I Q CES lui 

rapporté à deux demi-diamètres rectangulaires dont le pre- 
mier passe par n? et 

.>- + y* =z /•- 

lé<| nation de la courbe. 

En prenant y pour variable indépendante, on obtient faci- 
lement 



,:; 




ds _ /■ 
dy x 


à cause de 








ds 1 , /dxY 


et de 42 d 


on liant 




(44) 


dx 

dT 


.*■ X i 



. — 25> 



On trouve encore 

dx 91 1 

45 = 

dy 1 1 x 

à cause de 

, . V 

46 lang ot = - 

x 

d'où, par différentiation, 

d taoe t. di. d / v 



dy\xj 



dy. dy 

relation que les substitutions (13), (46 , (44] réduisent à 

n /, y*\d*_ x a +y* 
91 \ ^x 2 )dy— .t 8 



De (43), (45) on déduit 



'!i — IL - i h 

dy ~ 91 ' dy 



puis, en intégrant dans les conditions données, s — a = 0, 

L'Enseignement mathém.. 13" année; 1911. 



toi i il m /:/»•/ > 

pour y = 0. 

Il 

••>■ = ~ '* . 

ce qui est la proportionnalité énoncée. 

6. — Par définition, la longueur de la circonférence est 
celle de l'arc intercepté sur elle par l'angle au centre replet 
(137*, II , ayant IfTL pour mesure. En la représentant par C, 
l'attribution de cette valeur 2^1, faite à « dans la relation pré- 
cédente, donne 

C = Il . 2r . 

D'après cette égalité, le nombre 11 introduit dans nos spé- 
culations par des considérations exclusivement analytiques 
(L2 , se trouve avoir pour représentation géométrique, le rap- 
port de la longueur d'une circonférence quelconque à celle 
de son diamètre, que la lettre n désigne universellement. 

En même temps, la formule (23), essentielle à la théorie 
précédente, est précisément celle dont le développement en 
série, la combinaison avec son cas particulier (25;, et certains 
artifices procurés par les relations (34), (35), fournissent 
les moyens les plus avantageux pour le calcul pratique de ce 
nombre. 

1. — L'adoption pour angle unité, de celui qui assigne la 
mesure II [= tt (6 ■ ] à l'angle neutre, savoir de l'angle au centre 
qui. d'après la relation 47 , intercepte un arc de longueur r 
sur la circonférence de rayon /', de mesure 1 sur celle, par 
exemple, dont le rayon est égal à l'unité de longueur (ceci 
rappelé pour les esprits qui voient un dogme dans l'immixtion 
du cercle à l'arithmétique des angles), fait disparaître, en le 
réduisant à 1, le multiplicateur 11 : 01 qui s'est montré si sou- 
vent dans nos calculs, dans les équations (13), (47) notam- 
ment. Ce choix simplifie donc sensiblement, non pas certes 
les formules élémentaires de la Trigonométrie, mais celles 
de ses régions supérieures, qui contiennent les rapports lii- 



li A 1' I' <> Il T S T H 1 1. <) N (> M E T II loi I. S 



103 



gono m étriqués en combinaisons algébriques avec des me- 
sures d'angles (construction des Tables, etc. . 

Sous le régime d'une unité d'angle quelconque, on trouve, 
par exemple, 

(/ tang .»• 



taug'0| I -f lang s x) 



^(1 + lan.^-'.r 
31 eus 2 X 



(15) 
113) 



résultat bien inférieur en commodité, à la formule courante 



(I tang x _ 1 



da 



mais qui la reproduit par le choix précité. Et pareillement, 
pour les autres rapports trigonométriques, avec des compli- 
cations plus grandes encore quand il s'agit de dérivées 
d'ordres supérieurs. 

Ces observations analytiques semblent apporter au règle- 
ment de l'unité d'angle qui domine les calculs de la Trigo- 
nométrie supérieure (les formules élémentaires aussi, mais 
abusivement une justification motivée qui lui manquait 
encore. 

Gh. Mérav Dijon . 



SU H LA DETERMINATION 
DE LA COURBURE D'UNE LIGNE PLANE 

CONSIDÉRÉE COMME 

ENVELOPPE DE SES TANGENTES 



En examinant la nouvelle édition allemande de l'excellent 
Repertorium der hôh. Mathematik de M. E. Pascal, dont deux 
volumes ont récemment paru, j'ai remarqué le manque de 
formules répondant à la question énoncée dans le titre de 
cette Note. Or on a besoin de ces formules dans plusieurs 
occasions, et comme je ne les ai pas trouvées dans les traités 
que j'ai examinés, je me propose de les établir. Elles offrent 
une application de la théorie classique des enveloppes, et 
pourraient trouver place dans toute exposition scolaire des 
applications géométriques du calcul différentiel. 



I. — Soit 
(l) 



[u,v\ = 



l'équation pliickérienne dune courbe plane quelconque T; 
cela signifie que cette courbe est l'enveloppe de la droite 



(2) 



UX -|_ V y _|_ 1 — 



les paramètres u, v étant liés par l'équation (1); l'équation 
cartésienne de la courbe Y est le résultat de l'élimination 
de m, v entre les équations (1), (2) et 





îm 


X 







bu 




top 


V 


.V 



= 



COU 11 II I 11 /•- 1)1 N E 1. 1 G N E l'I.AN E 
Si donc on pose pour abréger 



105 



(3) 



\\ 



— + V — , 
•Vf bv 



on aura les expressions suivantes pour les coordonnées d'un 
point quelconque P de la courbe r : 



W bu 



I bf 
W bv 



« et c étant liées par la relation (1). La normale à la courbe Y 
au point P(x, ?/) a évidemment pour équation X et Y étant 
les coordonnées courantes 



,:., 



„(X - x) — «(Y — y) = : 



comme u. v satisfont à l'équation 1), l'enveloppe de cette 
droite a pour équation le résultat de l'élimination de u . v 
entre les équations (1), (5) et 



(61 



fcc v 
v — — Il 
bu 



vi + a— — 

•Vf 07/ 



bx by oc 

X — x) — v \- u— — 

bv bv bv 



= 



Dans cette formule r, ^/ sont données par les équations 

3 . 4 et X. Y sont les coordonnées du centre de courbure C 

de la courbe T relatif au point P .r, y), cela prouve que 

V/(X — x) 2 + (Y — ?/) 2 est le rayon de courbure que nous 

cherchons. Or l'équation 5) donne 



X 



Y — y 



R 

7^T 



ou bien 
(7) X — x = 



Ru 



par suite (6) devient 
R* 



Y — y 



i/u< + 



- -f- M — 



bas bç 
bu «V/ 



ôy ' or 

-f- « — — y — — 

01' 01' bv 



L06 

ou bien 



c. . i. <> i: i i 



r(u* + M 

1 bti bV J 



j/«» + V» 



bx by bç 

bu bu bu 

iVI by oç, 

.M' «V &»' 



Dans le second membre il faut substituer à .r. y Leurs ex- 
pressions données par les équations 3 , (4 ; le déterminant 
<|iii en résulte peut se transformer de manière qu'il prenne 
une forme plus simple; toule réduction faite, on trouve 









a 2 5 


iV-'ç 


bjp 






., 


ou 2 


OH, H' 


bu 


f« 2 


+ 


l' 2 l- 


b ! f 


.1" f 


ÔJ 


/ bç 




b» y ;! 


bvûtt 


bf J 


b? 


(u - 


+ 


V — 








■ bu 




bt> / 












/ 


bep 


bf 


(» 








au 


0*' 





I! = 



("est l.i formule qui résout la question que nous nous 
étions proposée. 

II. — Des calculs analogues, mais plus simples, per- 
mettent de résoudre la même question lorsqu'on connaît les 
expressions des coordonnées plùckériennes d'une tangente 
;i la courbe considérée en fonction d'un paramètre /: 

u = u(t) , v = y{t) t 

Dans ce cas. combinons l'équation 

UX + vy -f I = 

avec sa dérivée par rapport à /, c'est-à-dire 

\l'x -f- v'y = ; 

si on pose pour abréger 



A = 



A' = 



et 



(8) 



• r = T 



COURBURE D'UNE LIGNE PLANE lu: 

x et y étant les coordonnées d'un point quelconque P de la 
courbe F considérée. L'équation (5 représentera encore la 
normale en P à la courbe T; pour en trouver l'enveloppe, 
combinons l'équation 5 avec sa dérivée 

i'iX — x) — h'iY — 11 =z t .1 ' — uy' . 

Mais, si on a recours aux équations 7 , on peut écrire 

VLV' U'v , , 

Il =r^^ = VX MV 

et, en remplaçant .r. // par leurs expressions (8), on trouve, 
après (|u<'l(|ii<'s calculs, 

\ir -j- <•■-' (u'v" — m'V) 



relation qui sert a calculer le rayon de courbure de toute 
courbe déterminée par les expressions des coordonnées 
plûckériennes des tangentes en l'onction d'un paramètre. 

III. — Je vais finir par une application de la formule que 
je viens d'établir. Considérons la courbe V représentée en 
(•ordonnées orthogonales comme il suit: 

.*■ = ;i/i , y = r,[t) . 

• ■I >a polaire réciproque II par rapport au cercle 

.>■> + v* = a- . 
La courbe il est l'enveloppe de la droite 

.,■: _f_ vr, — a* = Il 

dont les coordonnées pliïckériennes sont 

u = - — v — T||/| 

a 2 a- 

Pour en trouver le rayon de courbure \\ n . on n'a f| n'a 
appliquer la formule II ; on trouve de la sorte 



K _ ., |P + I 2 ) (ÊV - EV) 



n ~ |Çt)' - Ç't])' 



10» G. LOR'IA 

Or le rayon de courbure R r de la courbe dont nous 
sommes partis est donné par la formule suivante 

3 



1 - y, — : ï] 



donc on a 



[ I» + T| î, 2 . |g'8 + y,'V 
? r / — Ç'-i J 



11 1 L :', — : y. 

Remarquons à présent que, si |y. est l'angle que la tangente 
en un point P de la courbe T l'ait avec le rayon vecteur OP 
on a 

w - rr, 

siu ij. = — ; 

par conséquent, la relation précédente devient 



(III, R n R r 



relation très remarquable, découverte par A. Mannheim 1 et 
rappelée récemment par M. H. Wieleitnkr 2 : il faut seulement 
observer que ces deux géomètres supposent a = 1, sans le 
dire explicitement, de manière qu'il est probable que quelque 
commençant trouve des difficultés à comprendre le sens 
d'une formule qui semble échapper à la loi d'homogénéité. 
On peut ajouter que la formule (III) esteneore vraie lorsque 
la conique directrice de la polarité est une des hyperboles 
équilatères suivantes : 

x 2 — v 2 = a- , — .r- + /' = a " ■ 

Gènes, 27 décembre 1910. Gino Loria. 



1 Juin nul de Math, pures cl appliquées. II e sér., t. XI, 1866, p. 195. 
3 Repertorium der hôkeren Géométrie, I. Hëlfte, 1910, p. M4. 



CONSTRUCTION 

DES CENTRES DE COURBURE PRINCIPAUX 

EN UN POINT DUNE QUADRIQUE 



La construction du centre de courbure d'une conique et 
celle des centres de courbure principaux d'une quadrique 
ont donné lieu a diverses recherches ; Mannhkim-, notamment, 
a consacré plusieurs Mémoires à ces constructions de centres 
de courbure et le Journal de Mathématiques pares et appli- 
quées de 1882 contient un Mémoire d'un grand intérêt Sur la 
détermination, en un point d'une surface du second ordre, 
des a. ces de V indicatrice et des rayons de courbure principaux 
pp. 107-172 . 

Je me propose de montrer comment on peul construire les 
centres de courbure des coniques et des quadriques par 
application d'un théorème de Steinkr, d'un théorème dû à 
Valson et enlin d'une propriété que j'ai énoncée incidemment 
dans un Mémoire récent Sur les surfaces de M. Appel/ '. Ayant 
fait quelques remarques relatives aux théorèmes de Steiner 
et de Valson, je profiterai de l'occasion pour les signaler à 
l'attention des lecteurs. 

Sous le n° 1002, Steiner proposa, à titre de question dans 
les Nouvelles Annales de Mathématiques, la démonstration 
du théorème suivant : Si en un point d'une ellipse, on prend 
sur la normale en dehors de la courbe une longueur égale au 
rayon de courbure en ce point, le cercle décrit sur cette 
longueur comme diamètre coupe orlhogonalement le cercle 
orllioptique de l'ellipse. Cette question fut résolue en 1871 
(Nouvelles Annales, pp. 460-462 par Lez et par Gércwo qui 
«m donna une solution géométrique; les Nouvelles Annales 



110 /.'. T UR RIE RE 

de IS72 note du bas de lu page Vi!* contiennent une applica- 
tion du théorème de Steiner, indiquée incidemment par 
Mathieu dans une Note sur l'ellipse. 

Ce théorème de Steiner m'a semblé avoir plus d'intérêt 
qu'une simple question à résoudre et mériter quelques 
recherches. 

Considérons deux coniques C) et c tangentes en un point 
(>: soient N et // les centres de courbure respectifs de ces 
coniques au point O. La condition pour que la conique (C) soit 
harmoniquement circonscrite à la conique [c] se met sous la 
l'orme géométrique suivante : 

nO + 2 . ON = . 

Ce théorème général contient le théorème de Steiner, 
comme cas particulier : il suffît d'envisager le cas où (C) est 
un cercle et d'appliquer, à ce cercle (C) et à la conique (c), le 
théorème bien connu dé Steiner-Faure. Ce fut probablement 
de cette manière que Steiner dût obtenir le théorème, dont il 
proposa ensuite la démonstration. 

Je ferai observer que le théorème de Steiner est une pro- 
priété qui caractérise les coniques. Cherchons, en effet, à 
déterminer une courbe plane (M par la condition que, M 
étant un point quelconque de M), N étant le centre de cour- 
bure de (M) en M et N' le symétrique de N par rapport à M, 
le cercle de diamètre NN' soit orthogonal à un cercle lixe 
(ou à une droite fixe). L'équation différentielle du second 
ordre obtenue est celle des coniques qui admettent le cercle 
donné pour cercle orthoptique (ou des paraboles qui admettent 
la droite pour directrice). 

Le cercle lixe peut avoir son rayon nul : on obtient alors 
pour courbe (M) une hyperbole équilatère concentrique au 
cercle de rayon nul : c'est là une propriété bien connue de 
l'hyperbole équilatère. 

L'une des plus intéressantes applications du théorème de 
Steiner semble être la construction du centre de courbure 
d'une conique. Le cercle orthoptique de la conique étant 
donné, ainsi qu'un point de la conique et la tangente en ce 



t • È .\ r n i: s /> i: coi) n /; i i: /•: P i: INCIP . i V .\ 1 1 1 

point, on sait construire élémentairement le cercle orthogonal 
an cercle orthoptique, passant par le point et y admettant la 
tangente imposée. Le centre île courbure s'en déduit immé- 
diatement. Celte méthode si simple n'exige aucun effort de 
mémoire et présente l'avantage de ne faire intervenir que 
très peu de lignes <|iii d'ailleurs ont chacune une interpréta- 
tion géométrique remarquable : le cercle tangent à une courbe 
et dont un diamètre est symétrique du rayon de courbure 
est, en effet, le lieu des centres (\c^ hyperboles équilatères 
< 1 1 1 i admettent un contact du troisième ordre avec la courbe 
envisagée. 

Après les nombreuses remarques qui ont été laites depuis 
longtemps relativement aux centres de courbure des coniques, 
une construction nouvelle n'offre pas un très grand intérêt. 
Il n'en est pas de même des constructions des centres de 
courbure principaux de surfaces, sujet qui a été fort peu étu- 
dié. Voici une construction des centres de courbure des 
quadriques à centre, que l'on obtient par application simul- 
tanée de deux théorèmes. Cette construction diffère essen- 
tiellement de celle de Mannheim, qui fait intervenir les axes 
de l'indicatrice. 

Je rappellerai tout d'abord un théorème remarquable 

donné par Valson, dans sa Thèse: Application de lu théorie 

des coordonnées elliptiques a la Géométrie de l'ellipsoïde 

Paris. 1 854) ; soit l'ellipsoïde de demi-axes a, 6, c; g$ désigne 

la distance du centre O au plan tangent au point où la cour- 



bure totale est jt-jt-, . Valson énonce le théorème suivant: La 



courbure totale d'une quadrique est constante en tous les points 
de contact des plans tangents a la quadrique et a une sphère 
concentrique et elle est donnée par la relation suivante : 

'■)' . RR' = frire- . 

Depuis Valson, ce théorème a clé retrouvé par divers 
auteurs; on en trouve une démonstration dans les Lezioni 
di geometria diffèrenziale de L. Bianciii. 

La propriété précédente ne caractérise pas les quadriques; 
(die appartient aux surfaces intégrales de l'équation aux 



112 B. TURRIERE 

dérivées partielles du second ordre en coordonnées ordi- 
naires : 

(px + </v — z\* 



h — s* 



<,'!,-<■- 



Une des surfaces intégrales les plus remarquables est l'hy- 
perboloïde cubique : dans les Nouvelles Annales de 1850. 
Roberts signale précisément cette équation aux dérivées 
partielles comme satisfaite par l'hyperboloïde cubique. En 
se reportant à diverses Communications Sur une nouvelle 
classe de surfaces de M. Ttitzeica à l'Académie des Sciences 
de Paris, on observera que les surfaces déterminées et étu- 
diées par M. Ttitzeica ne sont autres que celles qui jouissent 
de la propriété précédente Séances des 10 juin et 9 décembre 
1907 et du 27 janvier 1908 . 

Le théorème de Valson fournit donc une expression du 
produit des rayons principaux de courbure en tout point dune 
quadrique à centre. Si, par un procédé quelconque, on obtient 
une expression de la somme des rayons principaux, on con- 
naîtra les centres principaux : il suffira de construire deux 
longueurs connaissant leur somme et leur produit. 

Pour avoir une interprétation géométrique de la formule 
qui donne la somme des rayons principaux de courbure d'une 
quadrique, il n'y a qu'à généraliser le théorème de Steineb 
de la façon suivante. Soit une quadrique à centre, un ellip- 
soïde d'équation 

o •> o 

tr b' cr 

pour fixer les idées; td désignant la distance du centre O 
au plan tangent au point M de coordonnées x, y, z. tout point 
P de la normale a des coordonnées de la forme 

■>■ + Xg*4 ■ y + ^ « - " + ^4 : 

«- l>- c* 

écrivons que la sphère de centre P et de rayon PM = /. est 
orthogonale à la sphère orthoptique de la quadrique; nous 
obtenons : 

2lti + x % + v 2 + s 8 — i« 2 + //- + c 2 ) = . 
ou 

2X — — (R + R'| : 



( /•; N I R i: s /> /•; COI H />' U RE PRINCIPAUX 1 1 :i 

} ) est donc le symétrique par rapport à M du point moyen de 
la normale en M (du milieu du segment dont les extrémités 
sont les centres de courbure principaux). Ainsi, si l'on se 
donne un point M d'une quadrique, le plan tangent en ce point 
et la sphère de Monge, on peut construire le milieu du segment 
dont les extrémités sont les centres de courbure principaux : 
ce point est le symétrique par rapport à M du centre de la 
sphère orthogonale à la sphère de Monge et qui, passant par 
le point M, touche en ce point le plan tangent imposé. 

La propriété précédente ne caractérise pas les cjuadriques ; 
dans mon Mémoire Sur les surfaces de M. Appell (pp. 152 et 
153 des Nouvelles Annales de 1910), j'ai signalé l'équation 
générale des surfaces qui jouissent de cette propriété. Con- 
sidérées comme enveloppes du plan 

(m -I- v)X + i(v — m) Y + (uv — 1)Z = (dv + l)tô . 

ces surfaces sont intégrales de l'équation aux dérivées 
partielles du second ordre 

i I 4- »v| 2 w . 1 . — ) + 3S3 2 — * 2 = , 

A' désignant le rayon de la sphère fixe. Posant alors 

S) 2 = 2G5' + l A- 2 . 
cette équation se transforme en 

1 1 + uvY h — + 66)' = U -, 

celle-ci, qui représente des surfaces de M. Goursat particu- 
lières, est une équation linéaire dont l'invariant h. 2 est nul et 
qui, par suite, s'intègre par application de la méthode de 
Laplace. 

E. Turrikre (Alencon . 



DÉTERMINATION DU CENTRE DE GRAVITE 

D'UN SEGMENT PARABOLIQUE 

PAR UNE MÉTHODE ÉLÉMENTAIRE 1 



En considérant la parabole comme le lieu géométrique des 
points également distants d'un point fixe, le foyer, et d'une 
droite fixe, la directrice, il est facile de montrer que la courbe 
est déterminée par deux quelconques de ses tangentes et 
leurs points de contact. 



FÀ 



Q 






1 














R 






/A 








-;>'F 




Q" 




1" 


N(A' 






Fi". 1. 



Soient TA' et TA" (tig. L), deux droites quelconques, et 
soit A le point milieu de A/A". Menons par A' la parallèle /' 



1 Communication faite a la 12*>« réunion de la Société suisse <lrs professeurs de mathéma- 
tiques, le !t octobre 1910, à Baden 



s /•: G M /: V /' PI /,' A K O L lot E I 1 5 

;i TA el par A" la parallèle l" à la même direction ; construi- 
sons de plus A'F symétrique de V par rajiport à TA', cl de 
même A".F symétrique de /" par rapport a TA"; ces deux 
droites se coupe»! en F. 

La perpendiculaire abaissée dé F sur TA' coupe /' en Q- 
symétrique de F par rapporl a TA' de même Q", intersection 
de /" avec la perpendiculaire abaissée de V sur TA", esl le 
symétrique de F par rapporl à TA". 

I >onc 

TQ' — TF = TQ" . 

Dans le trapèze A'Q'Q"A", la droite TA est une médiane; 
elle coupe donc Q'Q" en son milieu R et se trouve être par 
suite perpendiculaire à la base Q'Q" du triangle isocèle Q'O'T. 
Il en résulte que /' et l" sont aussi perpendiculaires a Q'Q". 

Du reste, comme A'Q' .= A'F et A"Q"=A"F< nous "pou- 
vons en conclure que F est le loyer et Q'Q" la directrice 
d'une parabole, dont TA' et TA" sont des tangentes ayant 
A' et A" pour points de contact. La droite TA, joignant le 
point d'intersection des deux tangentes avec le point milieu 
de la corde îles contacts, est parallèle à Taxe de la parabole. 

Menons par le milieu {'' (fig. 2 de TA' une deuxième tan- 
gente, son point de contact définit avec A' une corde dont le 
milieu H' se trouve sur la parallèle à TA menée par {]'. (le 
point de contact se trouve donc sur TA. 

Pour la menu; raison In tangente à la parabole issue du 
milieu U" de TA" a aussi son point de contact sur la droite TA. 
Or sur cette droite il n'existe qu'un seul point de la parabole 
a distance finie; par suite les tangentes issues de l ' et U", 
dont il vient d'être question, sont confondues. U'U" esl une 
tangente dont l'intersection \i avec TA est le point de con- 
tact. 

En résumé : Dans toute parabole, le segment rectiligne joi- 
gnant l'intersection de deux tangentes au point milieu de la 
corde des contacts, est parallèle a l'axe. Il esl recoupé eu 
son milieu par la courbe, suivant une direction parallèle a 
la dite corde. 

Cette propriété, qui sert de base a la détermination tle la 



116 



F .-Il S i 11 E i: i: E R 



surface du segment parabolique, va également nous servir 
à en déterminer le centre de gravité. Soit A'A"B fig. 3) un 
triangle inscrit dans la parabole, dont la médiane BA est 
parallèle à Taxe. Soient encore []' et l" les points d'inter- 
section des tangentes en A' et A" avec la tangente en B. 




Fie. :f. 



Les parallèles à l'axe menées par U' et U" rencontrent les 
cordes A'B et A"B en leur milieu H' et H". Les segments 
U'H' et U"H" sont du reste égaux chacun à la moitié de AB 
et sont recoupés par la parabole en leur milieu C et G". Les 



n i; c m r: N r pa i: a /» o i. jqv E 1 1 : 

médianes C'H' et CH" des triangles A'BC et A"BC" sont 
donc parallèles à Taxe, et égales chacune au quart de AB. 
Le triangle A'BC est donc égal à la moitié de A'BU', et au 
quart de ABA', et les deux triangles A'BC et A "BC". pris 
ensemble ont une aire égale au quart de celle du triangle 
de dépari A'A"B. 

Dans la suite, pour simplifier l'exposé, chaque lois qu'il 
s'agira d'un triangle inscrit dans la parabole et ayant une 
médiane parallèle à Taxe, nous appellerons base, le côté que 
celte médiane divise en deux parties égales et simplement 
côtés, les deux autres; par médiane, nous sous-entendrons 
qu'il s'agit exclusivement de celle qui est parallèle à l'axe 
de la parabole. 

Dans le triangle A'BA" que nous désignerons désormais 
par triangle de dépari, A.V est la base, et A'B', A"B sont 
les côtés. Ceux-ci servent de base à deux nouveaux triangles 
inscrits, A'BC et A'BC", formant une première série. Les 
côtés de ces deux triangles serviront à leur tour de bases 
pour quatre triangles A'C'D;, C'BD; , BC'D' C"A"I); for- 
mant une deuxième série. Leurs médianes sont égales au 
quart des médianes des triangles de la première série, et la 
somme de leurs aires, que nous appellerons aire de la 
deuxième série, équivaut au quart de l'aire de la première 
série. 

En prenant successivement les côtés d'une série, comme 
bases de la série suivante, on pourra former des séries à 
l'infini; les médianes d'une série sont égales entre elles et 
valent le quart des médianes de la série précédente; les 
triangles d'une même série ont la même aire, et l'aire d'une 
série est égale au quart de l'aire de la série précédente. 

Le centre de gravité S du triangle de départ A'BA" se 
trouve sur AB au tiers de ce segment à partir de A. Le centre 
de gravité S[ du triangle A'BC est situé sur H'C à la dis- 
lance — — ou -pj- de 11'; or HT égale j^AB, donc I'S' égale 

Il en est de même pour la dislance I'S', . où S" désigne le 
centre de gravite du triangle A"BC". Le segment SJS" est 

L'Enseignement mathém., 13* année; 1911. s 



lis F.- 11. SCHERRER 

donc parallèle à la base A'A" du triangle de départ, dont la 
médiane le coupe en S, . centre de gravité de la première 

série. La distance AS, est du reste égale au p ( de AB, donc 
S S t = - ÂB — -\\H — r AB = II 'C' = H"(." . 

IL' IL' l 

Le centre de gravité de la première série se trouve donc 
sur la médiane du triangle de départ, et en arrière du centre 
de gravité S , à une distance égale de la médiane des triangles 
de cette première série. % 

Les triangles de la deuxième série situés au-dessus de AB, 

o 

jouent le rôle dune première série par rapport à A'BC con- 
sidéré comme triangle de base; le centre de gravité Sa de 
ces triangles se trouve par suite sur H'C, à une-distance en 

arrière de S[ égale à la longueur de la médiane correspon- 
du 
dante, c'est-à-dire -rj ; de même le centre de gravité S^' des 

autres triangles de la deuxième série se trouve sur H"C" à 

la même distance en arrière de S" . La droite SgS» est donc 

parallèle à SjS" et à A'A", elle est coupée par AB en S 2 , 

centre de gravité de la deuxième série et la distance S,S 2 est 

égale à la longueur des médianes des triangles de cette 

, -, . . .. AB 

deuxième série, soit -77 . 

Les triangles de la troisième série situés au-dessus de AB 
forment à leur tour une deuxième série par rapport à A'BC 
pris comme triangle de départ, d'où il résulte que leur centre 
de gravité S, se trouve sur la médiane C'H', à une distance 
en arrière de S' t , égale à la longueur de leur médiane. Le 
même raisonnement que ci-dessus montre alors que S 3 , 
centre de gravité de la troisième série, est situé sur AB à 

une distance de S 2 égale à yy ; et ainsi de suite. 

Les distances successives des centres de gravité des di- 
verses séries forment ainsi une progression géométrique de 

i 
raison T . 

i 

Désignons par A Taire du triangle de départ, par b la lon- 
gueur de sa médiane, par M la valeur du moment de cette 



S E <: M E N I l> A l! . l /! o I. IQJJ /.' 1 1 9 

aire, pris par rapport au point A comme centre, enlin par \\ k , 
le moment de la k"" e série par rapport au même point ; on 
aura : 



"• = &(* + * + p) 



à/b , b\ .. \(b h h b 

M '= 4(3 + 4) • ^=^(l i + l+^+^ 

* (h h h\ 

M *=-ii(3+4 + "T*) 

Faisons la somme, membre à membre, de cette série 
d'égalités, indéfiniment prolongée. La somme des premiers 
membres tend alors vers l'expression du moment du seg- 
ment parabolique entier, par rapport à A ; appelons cette 
limite 1 . .v , 1 représentant Taire du segment et x la dis- 
tance de son centre de gravité S au point A. La sommation 
des seconds membres s'obtiendra .en effectuant les produits 
indiqués, puis en groupant les premiers, deuxièmes, troi- 
sièmes termes, etc..., de ces produits, de telle sorte qu'on 
pourra écrire : 

/ A A A \ ( b h b b 

S ■ * = {a + ¥ + F + v + ...) (.5 + - + jp + w + ... 

La première parenthèse représente l'aire du segment, 
égale a - A : la deuxième parenthèse a pour valeur 



b 






16 






A 




b 




+ 








= 


.7 


+ 




3 






1 


Î5 






1 


— 


Î6 











d'où résulte 



.r = - // 



Le centre de gravité d'un segment parabolique divise donc 
la médiane du triangle de départ dans le rapport 2:3. 

Si le segment parabolique tourne autour d'une droite K, K.,. 
perpendiculaire à son axe et ne rencontrant pas sa surface, 
il engendre un corps de révolution dont le volume s'obtien- 



180 F.-R. se H ERRER 

dra en sommant les volumes partiels c , c, . r, . i\ t , eto — 
des anneaux engendrés par la rotation du triangle de départ, 
et des triangles des séries précédemment envisagées. 

Or on sait déduire de la formule du volume d'un cône 
tronqué, que le volume annulaire engendré par la rotation 
d'un triangle autour d'un axe normal à l'un de ses côtés et 
ne rencontrant pas sa surface, est donné par 



A désignant l'aire du triangle et s la distance de son centre 
de gravité à l'axe de rotation. 

Soient alors S' et Sô les centres de gravité des triangles 
ABA' et ABA ", s' et \ leurs distances de l'axe de rotation, 
s celle du point S jusqu'au même axe. s' k , s" k et s A . les dis- 
tances des poinls S'. , S* et S k centres de gravité correspon- 
dant à la 1x Ume série.' 

Avec ces notations, il viendra : 



s + >■ 

., _ 2-1 v 2r- s" — ->-a n ° — 2rA*„ 



A - S » A - s 'i + - s 'i A 

,. — 2-——- s + 2-—- s = 2---— ' = 2k-*i 

J.2 ' i . 2 ' '• '1 'i 



-- _A_ .' 4- •>- _A_ .' - ■>- A ** + s * - -.-A , 



Remplaçant s , s i ... Sk par leurs valeurs, on aura, si l'on 
désigne par a la dislance du point A à l'axe de révolution, 

h 
" + T\ 

A / h I, 

vt = 2s J ( a + t: + r 



A /' A /; A 



I »■ 



s E fi y E .V 7" PARA II <) I. I Q l E 1 2 1 

La sommation Je ces égalités conduit à l'expression 

pour le volume «lu corps engendré par la rotation du seg- 
ment parabolique. 

Il va de soi que si Taxe de révolution est situé du côté 
convexe de la courbe il faudra inverser le signe du terme 
en b. 

En envisageant un segment parabolique limité par une 
perpendiculaire à Taxe de ce segment, il sera facile de dé- 
duire de légalité ci-dessus, la formule pratiqué suivante 
pour la cubature des tonneaux : 

v — ^/(8D 2 + W)d + 3rf s J . 
(jO 

/ désignant la distance des fonds, cl leur diamètre et D le 
diamètre intérieur maximum. 

K.-ll. Scherker Kusnacht, Zurich . 



COMMISSION INTERNATIONALE DE L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 

Circulaire N° 5t. 1" mars 1911. 



I. Réunion de Milan. 
18-20 septembre 1911. 

La Commission internationale de l'enseignement mathématique 
se réunira à Milan du 18 an 20 septembre 1911, sous là présidence 
de M. le professeur F. Klein. Cette réunion a pour but de pour- 
suivre l'étude des tendances actuelles de l'enseignement mathé- 
matique ; elle forme en quelque sorte la suite de la réunion tenue 
à Bruxelles en août 1010 et sera organisée sur des bases analogues. 

Nous tenons à rappeler ici que les membres des sons-commis- 
sions nationales, spécialement les auteurs de rapports partiels, 
seront les bienvenus à toutes les séances. 

En dehors des discussions que pourront soulever les rapports 
des sous-commissions nationales, le Comité central estime qu'il 
est utile de concentrer les débats sur deux questions importantes 
concernant, l'une, l'enseignement moyen, l'autre l'enseignement 
supérieur. Ce sont les suivantes : 

A. Dans quelle mesure peut-on tenir compte, dans les écoles 
moyennes lycées, collèges, gymnases, écoles réaies, etc.) de l'ex- 
posé systématique des mathématiques ? — La question de la fusion 
des différentes branches mathématiques dans l'enseignement moyen. 

B. L'enseignement mathématique, théorique et pratique, destiné 
aux étudiants en sciences physiques et naturelles. 

Deux sous-commissions spéciales seront appelées à élaborer des 
rapports préparatoires pouvant servir de base à la discussion- des 
questions A et B. 

Le programme de la réunion a été arrêté dans ses grandes lignes 
comme suit : 

Lundi 1K sept., le matin. Séance du Comité central. 

» le soir. Séance préparatoire. 

Mardi 19 sept., le matin. — i ,e séance des délégués et des membres des 

sous-commissions nationales. Présentation des rapports des 

snus-coiTimissions nationales ; discussion. 



I) E I. /; Y s E 1 1. N E M E N T MAI II E M . / TIQV E 123 

Mardi 19 sept., l'après-midi. 2 me séance. I. Suite de la discussion. 

'1. Les mai bématiques dans l'enseignetnenl moyen (question A 
Mercredi 20 sept;, le matin. — .'>'""■ séance. I. La question des rapports à 
présenter au Congrès de Cambridge. 
2. L'enseignement mathématique destiné au* étudiants en scien- 
ces physiques et naturelles (question B). 
» l'après-midi. — Séance générale publique comprenant notam- 

ment une allocution de M. le prof. Klein, président de la com- 
mission ci une conférence <!<• M. !<• prof. Etnriques (Bologne). 

Le programme détaillé scia publié ultérieurement, mais nous 
pouvons ajouter, dès maintenant, que les séances auront lieu à 
l'Ecole polytechnique, où des salles ont été obligeamment mises à 
la disposition de la Commission par M. le sénateur Colombo, 
directeur de l'Ecole. 

Les adhésions et demandes de renseignements doivent être 
adressées au secrétaire-général, M. 11. Fehr, l'I. route de Floris- 
sant, Genève. 

II. Sous-commissions nationales. 
Etat des travaux au 1" mars 1911. 

Depuis la publication de la Circulaire n° 3, les travaux des sous- 
commissions nationales se sont poursuivis avec une grande régu- 
larité et la liste des rapports publiés ou projetés s'est encore 
allongée. Bien que celle-ci ne contienne que le titre des mémoires, 
elle donnera déjà une idée de la richesse des documents qui ont pu 
être réunis par la Commission internationale, grâce au concours 
dévoué d'un grand nombre de collaborateurs. L'Enseignement ma- 
thématique a commencé, dans son numéro de janvier 1911, le 
compte rendu de ces rapports qui, pour la plupart, se trouveront 
en librairie. 

Nous donnons ci-après un tableau de l'état actuel des travaux 
dans les principaux pays participants au 1" mars 1911. 

ALLEMAGNE 

Délégués ■ : MM. F. Klein (Gœttiugue), P. St.eckel (Carlsruhe), 
P. Treutlein iCarlsruhe). 

La sous-commission allemande a adopté deux sortes de publications : Les 

Berichte und Mitteilungen el les Ahhandlungen iiber den matkemaliscken 
Unterricht in Deutschland. Les premières, rédigées par le secrétaire de la 
sous-commission allemande. M. W. Lietzmann, sont destinées à donner des 
renseignements généraux, ainsi que des rapports spéciaux de peu détendue. 
Jusqu'ici il a paru cinq fascicules. Les Abhandlungen comprendront des 
monographies sur l'enseignement mathématique dans les divers types d'éta- 



i 2 '. c m m i s s i o y i y t E it .\ A no y a i. E 

blissements eu Allemagne ou sur des questions générales. Elles suai diri- 
gées par M. Klein et formeront cinq volumes. Neuf fascicules ont paru jus- 
qu'à ce jour, et il esl probable que huit nouveaux rapports pourronl être 
présentés à la réuuiou de Milan. 

Voici la liste des travaux publies ou eu préparation : 

A. Berichte und Mitteilungen veranlasst dure h die Internationale Siathe- 
matische Unterrichts-Kommission. In zwanglosen Heften. gr. s. Steif gek. 

1. Fehk, H., Vorbericht ùber Organisation und Ârbeitsplan der Kommis- 
siou. Deutsche Uberselzung von W. Lietzmann. [S. 1-10.] i909. 

2. Noodt, Q., Uber die Stellung der Mathematik ira Lehrplan der hôhereu 
Mâdchenschiile vor und naoli der Neuordaung des liôheren Mâdchenschul- 
wesens in Preussen. |S. 11-32.] 1909. 

3. Klein, F., und H. Fehk. Frstes Kundschreiben des Hauptausschusses. 
Deutsch bearbeilel von \Y. Lietzmann. [S. 33-38.] 1909. 

i. Klein, F., uud H. Fehr, Zweites Rundschreiben des Hauptausschusses. 
Deutscli bearbeilel von \Y. Lietzmann, sowie P. Zùhlke, Malhematiker und 
Zeichenlehrer im Linearzeichenunterricht der preussischen Realapstalten. 
[S. 39-54.] 1910. 

5. Fehk, H., Driltes Rundschreiben des Hauptausschusses Die Yersamin- 
lung in Brùssel. Deutsch bearbeitet von \Y. Lietzmann. [S. 55-74.] 1910. 

B. Abhandlungen ùber den mathematischen Unterricht in Deutschland 
veranlasst durch die Internationale mathematische Unterrichts-Kommission. 

Herausgegeben von F. Klein. — 5. Bande, in einzeln kiiuflichen Heflen. 
Bisher sind folgende Hefte erschieneu odei" in Aussicht geuommen : 

I. Band. Die hôhereu Schuleu in Norddeulschland. Mil einem Einfùhrungs- 
wort von F. Klein. 

1. Lietzmann. W., Stoff und Méthode im mathematischen Unterricht der 
norddeutschen hôheren Schuleu. Auf Grund der vorhandenen Lehrbùcher. 
(XII u. 102 S.) 1909. 

2. Lietzmann, W., Die Organisation des mathemalischen Unterrichls an 
<\v\i hôhereu Knabenschulen in Preussen. Mit 18 Fig. (VIII u. 204 S.) 1910. 

3. Thaek, A.. Der mathematische Unterricht an den Gymnasien und Real- 
anstalten der Hansestàdte. Mit einem Anhang ùber die hôheren Schuleu in 
Oldenburg von Bùttger und von Mecklenburg von Gkvthek. (Unter der 
Presse ) 

4. Lohey, W., Slaatsprûfung und praktische Ausbildung der Malhemalik- 
lehrer an den hôhereu Schuleu Norddeutschlands. (Unter der Presse.) 

II. Band. Die hôheren Schuleu in Sud- und Mitteldeutschland. Mit einem 
Eiufûhrungswort von F'. Treutlein. 

1. Wieleitnek, H., Der mathematische Unterricht an den hôheren Lehr- 
anstalten, sowie Ausbildung und Forlbildung der Lehrkrâfte ira Kônigreich 
Bayern. (XIV u. 85 S.) 1910. 

2. Witting, A., Der mathematische Unterricht an den Gymnasien und 
Kealanstallen nach Organisation, Lehrstoff und Lehrverfahren uud die Aus- 
bildung der Lehramtskandidalen im Kônigreich Sachsen. (XII u. 78 S.| 191". 

3. Geck, F., Der mathematische Unterricht an den hôheren Schuleu nach 
Organisation, Lehrstoff und Lehrverfahren und die Ausbildung der Lehr- 
amtskandidalen ira Kônigreich W urtlemberg. (IV u. 104 S.) 1910. 

'». Cramer, IL, Der mathematische Unterricht an den hôheren Schuleu 
nach Organisation, Lehrstoff und Lehrverfahren und die Ausbildung der 
Lehramlskandidaten ira Grosshcrzotïtuni Baden. (IV u. 'i8 S.l 1910. 



i) i: i. i: s > e 1 g x e m /■: .v tmathematiqui i 25 

•"> Schxell, H . Der mathematische Unterrichl an deu hôheren Schuleii 
nach Orgaaisation, Lehrsloff und Lehrverfahren und die Ausbildung der 
Lehramtskandidalen im Grossherzogtum Hesseu. (VI u. ."il S.) 1910. 

6 Bossfeld, l>'-i uiathemalîsche Unterrichl an deu hôheren Schulen 
Thûringens. [In Vorbereitung.) 

7. Wibz. Der mathematische Unterrichl an den hôheren Schulen der 
Eleichelaude. In Vorbereil ung 

III. Band. Einzelfragen des hôheren malhematischen Unterrjchts. N lii 
eiuem Einfûhrungsworl von F. Kimn. 

1. S< ii i -vi -vt v < k. lî.. Der seitherige Gang der mathematischen l nlerrichts- 
reform in Deutschland. |Unler der Press 

2. Timehding, H. Ë., Die Mathematik in den physikalischen Lehrbûchern. 
Mil 22 r'iguren. IV! u. 112 S.i 1910. 

:;. Va m ki P., Der Unterrichl im Linearzeichnen und in der darstellenden 
Géométrie an den deulschen Realanstaiten. I nter der Presse. 

i Hoffmann, B.. Astronomie, Vormessungswesen, mathematische Géo- 
graphie au den hôheren Schulen. [In Vorbereitung.) 

5. Gebhakdt. M.. Gescbichle der Mathematik an den hôheren Schulen. In 
Vorbereitung. 

<i Wkrnicki Mathematik und philosophische Propadeulik. (In V r orber.) 

7. Timehding, ë., Kaufmânnische Mathematik. (In Vorbereitung.) 

8. Lokey, \V.. Das Studium der Mathematik an den deutschen Univer- 
sitâten seit 1870. (In Vorbereitung.) 

IV. Band. Die Mathematik an den lechnischen Schulen. Mil eiuem Ein- 
fûhrungsworl von 1*. Stàckf.l. 

1. Gkimiaim. H . Der mathematische Unterrichl an den deulschen mitl- 
leren Fachschulea der Maschinenindustrie. iXYI u. 100 S.i 1910. 

2. On. C. Die Mathematik an den lechnischen Mittelschulen der Maschi- 
nenindustrie : Angewandle Mathematik. (Unter der Presse.) 

3. Schilling. C., und Meldau, H.. Die Mathematik an den Seefahrts- 
schulen. (lu Vorbereitung. 

i. Furtwangler, Pli.. Die mat hemal is( lie Ausbildung der Feldmi 
« In \ orbereil uni;. 

9. Stackel. P.. Die Mathematische Ausbildung der Architekten, Chemiker 
y\\\i\ Ingeuieure an den deutscheu lechnischen Hochschulen. (In Vorber.) 

6. J.uinkk. E.. Die Mathematik an Hochschulen fur besondere Fachgebiete. 
I In Vorbereil ung. 

7 Gikkdt, M.. Die Mathematik an den Baugewerkschulen. i In Vorberei- 
tung. 

V. Band. Die Mathematik an den Volksschulen. Mil eînem Einfûhrungs- 
worl von F. Kimn 

1. Lietzmakn, \\\. Stoll' und Méthode des Rechenunlérrichtes auf Grund 
der Lehrbûcher. (In Vorbereitung. | 

2. Lietzmann, \\\. Stoll' und Méthode des Raumlehreunlerrichtes aul 
Grund der Lehrbûcher. lin Vorbereitung. 

•'! Lietzmann, \\\. Die Organisation der Volksschulen, gehobenen Volks- 
schulen, Prâparandenanstalten, Seminare usw. in Preussen. (In Vorber. 

Les fascicules I, •'» et 4; II. 7; III. 1 el '■'>: IV, 2, '.'> el 6 seront probable- 
ment imprimés avant la réunion de Milan. D'autre part, il est question de 
< iu<| autres rapports dont les titres seront indiqués ultérieurement 



I 26 ' ' a M M 1 S S ION I .Y T E R N A T I N A I. E 

AUTRICHE 

Délégués: MM. E. Czuber, VV. Wirtinger, R. Suppahtschitsch. 

Les rapports de la sous-commission autrichienne sont publiés sous le 
titre Berichte tiber Jeu mathematischen Unterricht in Oesterreichj veran- 
lassi durch die Internationale mathematische Unterrichts- Konunission. Ils 
— • p ■ 1 1 iuinis comme suppléments aux périodiques autrichiens: Zeitschrift fur 
die œsterreichischen Gymnasien et Zeitsckrifi fur das Realschulwesen, et 

édités à part par la maison llôlder (Vienne). 

Six fascicules ont paru; ils contiennent les rapports sur renseignement ma- 
thématique dans les établissements suivants : Fasc. 1, (81 p. |, les écoles réaies ; 
li (s écoles primaires et primaires supérieures. — Fase. 2. (52 p.), les écoles 
normales d'instituteurs et d'institutrices ; les écoles de commerce, l'Ecole 
forestière de Reichstadt. — Fasc. 3 (VIII et 79 p.) les gymnases. — Fasc. 4 
64 p.), les lycées île jeunes filles: la préparation pratique à l'enseignement 
moyen; les écoles professionnelles. — Fase. 5 (39 p.), les ecol.es techniques 
supérieures. — Fasc. 6 (53 p.), les manuels mathématiques dans renseigne- 
ment moyen. 

En voici les titres complets : 

llill I. Der mathem. Unterricht an den Realschulen von Fr. Bergmank. 

Der raathematische Unterricht an den Volkschulen, von K. Krai s. 

Heft 2. — Der mathematische Unterricht an den Bildungsanstallen fur 
Lehrer u. Lehrerinnen von Th. Konkath. 

Der mathematische u. physikalische Unterricht an den hôheren Handels- 
schulen von M. Dolinski. 

Der math. Unterricht an der hôheren Forstlëhranstalt lieichstadt von 
M. Ada.micka. 

Heft 3. — Der math. Unterricht an den Gymnasien von E. Dintzl. 

Heft i. — Der math. Unterricht an den Màdchenlyzeen, von Th. Konkath. 

Die praktisehe Vorbildung fur das hôhere Leht ami in Osterreieh, von J. 
Loos. 

Der math. Unterricht an den gewerblichen l.ehranstalten, von W. Rulf. 

Heft 5. — Der math. Unterricht an den technischen Hochschulen, von E. 
Czuber. 

Heft t>. — Die mathematischen Lernbùcher an den Mittelschulen u. ver- 
wandten Anstalten, von Ph. Freud. 

Sous presse : 

Heft. 7. — Der mathematische Unterricht an i\en Universitdten, von R. v. 
Sterneck. 

En manuscrit : , 

1. Der mathem. Unterricht an den Militiirlehranstalten. von A. Mikuta. 

2. Der mathem. Unterricht an der Hochschule fur Bodenkultur, von 
O. Si mon y. 

:>. Der Unterricht in der Darstellenden Géométrie an den Realschulen. 
Gymnasien, Realgymnasien und Reform-Realgymnasien, von A. Adler. 

En préparation : 

'i. Der Unterricht in der Darstellenden Géométrie an den Hochschulen, von 
E. Mri i i r . 






I) /: I. E N S El fi .Y E M i: N I MA T 11 I. MA I l<> l /•; 1 27 

."). Der geoddtische Vnterrichi an den Hochschule fur Bodenkultur, von 
I li Ta pl a. 
>i. Der mathem. Unterrichl an den Bergakademien, von K. Kobald. 

7. Der mathem. Unterrichl am Technologisehen Gewerhemuseum m fVien, 
von K. Keicu. 

8. Der mathem. I nterrtcht an den poinischen Mittelschulen, von Zaremba. 
'.t. Die Stellung </<•/■ Malhematik im physikalischen und naturwissensehaft- 

lichen Unterrichi </»■/■ Mittelschulen, von A. Lanner. 

10. Die Pàdagogische Ausbildung der Mittelschullehrer, \<>n A. Hôflek. 

BELGIQUE 

Délégué : M. -I . Ni ubi rg | Lii g< 

Les cinq rapports suivants sonl e/i préparation: 

Les mathématiques dans les écoles primaires e( les écoles normales d'ins- 
tituteurs, par M. Dock. 

Les mathématiques dans les Athénées, collèges el écoles moyennes, par 
M. Pi.ou.mkn. 

Les mathématiques dans les écoles industrielles, par M. Rombaut. 

Sur I enseignement du dessin dans les écoles primaires el moyennes et 
dans les Athénées et collèges, par M. Moxtfort. 

L'enseignement des mathématiques dans les Universités et les Ecoles su- 
périeures, par M. Nruberg. 

DANEMARK 

Délégué : M. 1'. Heegaard (Copenhague). 

Le rapport d'ensemble sur l'enseignement mathématique en Danemark est 
sur le point d être terminé. La sous-commission danoise espère qu'il sera 
publié fin septembre 1911. 

Dans la réunion d'automne des professeurs de Gymnase. M. le prof. Hfe- 
gaard, délégué, a fait un exposé des travaux de la Commission internationale 
de renseignement mathématique ; la séance a été ensuite consacrée à une 
discussion sur la préparation du corps enseignant. 

ESPACiXE 

Délégué: Z. G. de Galdeano (Saragosse). 

Dans une Note, rédigée en français et distribuée aux membres de la Com- 
mission, M. de Galdeano a donne un aperçu des six rapports élaborés par la 
sous-commission espagnole, auxquels est venu se joindre un septième", en 
voici la liste : 

1. Note sur les éludes a l'Ecole des ponts et chaussées, par M. le marquis 

d ECHANDIA. 

2. Les représentations graphiques dans l'enseignement mathématique, par 
M. 1). P. Castells. 

'.'>. Observations sur l'enseignement mathématique dans 1rs écoles indus- 
trielles, par M. L. Miralles. 



128 COMMISSION INTERNATIONALE 

i Les ccurs d'Analyse mathématique dans les Facultés tirs Sciences, par 

M. L. OCTAVIA DE TOLBDO. 

5. Les mathématiques en Espagne, par M. I). G. Jimenez Rueda. 

6. Los mathématiques dans l'enseignement secondaire, par M. I). A. Ruiz 

1 APIADOR. 

.. Notices statistiques sur 1 enseignement mathématique en Espagne, par 
M . 1). ( rraciano Su. van. 

ETATS-UNIS 

Délégués: MM. Dav.-Eug. Smith (New- York), \Y. Osgood (Cambridge, 
Mass.), .1. W. A. Youkg [Chicago). 

Les rapports préparatoires élaborés par les comités dout nous avons 
parlé dans les précédentes Circulaires, sont terminés et feront l'objet d'un 
rapport général qui sera publié par les soins du Bureau of Education. Ils 
seront reproduits, tout au moins partiellement, dans différentes revues. 

Deux de ces rapports ont été insérés dans le Bull. Amer. Math. Society, 
vol. 17. n° - (nov. 1910] et n° 5 (février 1911 1 et reproduits comme tirages à 
part dans les Bulletins of the american Commissioners |n° 3," el u° '* sous 
presse). 

Ce sont les suivants : 

I. J'he préparation of Collège und University instructors in mathematics, 
provisions] Report of tlie amer. Subcommittee of the interu. Commission of 
the Teaching of Mathematics. 

'2. University Courses in Mathematics and the Master 's Degree, provisional 
Report of the amer. Subcommittee. 

FRANCE 

Délégués : MM. A. de Saint Gekmaik, C.-A. Laisant et C. Bourlet. 

Président d honneur de la sous-commission française : M. P. Appelé 

Les travaux de la sous-commission française seront répartis sur cinq vo- 
lumes et publiés au commencement de l'été 1911, par les soins de la maison 
Hachette. Chacun des volumes est dirigé par un membre de la sous-com- 
mission : les rapports seront groupés comme suit : 

l tr volume : Enseignement primaire : M. Lefebvrk, directeur.. 

Introduction générale : Tableau de l'enseignement mathématique en France, 
par M. HioiHi: (manuscrit). 

L enseignement primaire élémentaire, par M. Leieuvke len préparationi. 

L enseignement primaire supérieur, par M. Tallent (manuscrit). 

L enseignement mathématique dans les écoles normales primaires, par 
M. V vki h. i manuscrit)'. 

L'enseigpement mathématique au Collège Chaplal, par M. Weill (ma- 
nuscrit l. 

2 e volume : Enseignement secondaire : M. Bioc.he, directeur. 

!)'• la place des mathématiques dans l'enseignement secondaire par M. 
BlOCBS nu préparation). 

Enseiguement des mathématiques spéciales, par M. Bli tel (manuscrit). 

Enseignement «le l'Arithmétique, par M Lévi [manuscrit). 



I) E 1. E N S E I i, iV E M E N T M A T II E M A T I <J I E 1 2'.» 

Enseignement de l'Algèbre et de la Trigonométrie, par M. Guitton (ma- 
nuscrit). 

Enseignement il«' la Géométrie et de la Géométrie descriptive, par M. 
Rousseau (manuscrit | 

Enseignement de la Mécanique élémentaire, par M. Béguin (en préparation). 

Enseignement de la Cosmographie par M. Muscaht (en préparation). 

3 e volume : Enseignement supérieur: M. de S'-Germain, directeur. 

Aperçu général sur l'enseignement mathématique supérieur, par M. de 
S'-Germain (sous presse). 

Enseignement des parties fondamentales des Mathématiques dans les Fa- 
cultés, par M. Vessiot |sous presse). 

Enseignement des parties d'ordre élevé des Mathématiques dans les Fa- 
cultés, par M. Horki. (sous presse). 

Annexe : Programmes de l'Université de Paris (sous presse). 

Enseignement mathématique dans les instituts techniques annexés aux 
Facultés, par M. Vogt (sous presse). 

Sur les diplômes d'études supérieures de Mathématiques, par M. de 
S'-Germain (sous presse). 

Enseignement à l'Ecole normale supérieure et agrégation, par M. Tan.nkry 
Isons presse). 

Note sur le Collège de France, par M. de S'-Ckrmain (sous presse). 

Enseignement mathématique à l'Ecole polytechnique, par M. G. Humbert 
(en préparation). 

Enseignement mathématique à lEcoIe des Mines de Paris, par M. Garnif.r 
(en préparation). 

Enseignement mathématique à 1 Ecole des Ponts et Chaussées, par M. 
d Ogagne (manuscrit). 

Enseignement mathématique à l'Ecole des Mines de S'-Etienne. par M. 
Fiuedf.l (manuscrit I. 

Enseignement mathématique à l'Ecole du Génie maritime, par M. Janet 
i manuscrit) . 

4 e volume: Enseignement technique : M. Roli.et. directeur. 

Aperçu général sur 1 enseignement technique, par M. Roi.let (en prépa- 
ration). 

Enseignement mathématique au Conservatoire des Arts et Métiers par 
M. Bourlet (manuscrit). 

Enseignement mathématique à l'Ecole centrale des Arts et Manufactures. 
par M. Appf.ll (manuscrit). 

Ecoles pratiques de Commerce et d'Industrie : Géométrie, par M. Eïakang 
(manuscrit). 

Id. : Arithmétique, Algèbre, Mécanique, par M Lagneaix (manuscrit). 

Ecoles d'Arts et Métiers : l re année : M. Iîouviajon (manuscrit). 
» » » 2 e année: M. Bézine (manuscrit). 

» » » '.i e année, mécanique: M. Bazard (manuscrit I. 

Note sur les écoles nationales professionnelles, par M. Tripart i manuscrit 

Ecoles supérieures de Commerce, par M. N. (en préparation). 

5 e volume: enseignement des jeunes filles: M 11 " - Amiiix. directrice. 

Rapport général sur l'enseignement mathématique secondaire des jeunes 
tilles, par M" e Amieox (sous presse). 

Organisation, méthodes, enseignement du premier cycle, par M"' Amieux 
sous presse). 



130 COMMISSION INTERNATIONALE 

Enseignement du second cycle, par M me Baudeup (sous presse). 
Enseignement à l'Ecole normale secondaire de Sèvres, par M. Appel i 
tsous presse). 

Enseignement technique «les jeunes lilles, par M me Pivot et M" e Fkkdon 

snus presse). 

Enseignement primaire élémentaire «les jeunes filles, par M. Lef'ebvke (en 
préparation). 

Enseignement primaire supérieur des jeunes tilles, par M. Tallent (ma- 
nuscrit |. 

Enseignement dans les écoles normales d'institutrices, par M. Yarkii. 
(manuscrit). 

Ecole normale de Fontenay-aux-Roses : Géométrie, par M. Kg:ni<;s (ma- 
nuscrit). 

Id. : Arithmétique et Algèbre, par M. Fo.nti.nk (manuscrit |. 

GRÈCE 

Délégué : M. C. Stephanos (Atliènes). 
(Sans nouvelles récentes.) 

HOLLAIVDE 

Délégué : M. J. Cardin aal (Del fil. 

Le rapport sur l'enseignement mathématique en Hollande est sous presse 
et sera sans doute prêt pour le commencement de lélé. Il se compose des 
chapitres suivants : 

1. L'enseignement mathématique à l'école primaire. 

2. L'enseignement mathématique aux écoles dites « bourgeoises », écoles 
professionnelles, écoles de dessin, écoles professionnelles pour filles et 
écoles techniques. 

3. Ecoles de marine. 

4. Ecoles moyennes à 3 années d'éludés. 

5. Ecoles moyennes à 5 années d'études. 

6. Ecoles moyennes pour jeunes filles. 

7. L'enseignement mathématique aux gymnases. 

8. L'enseignement mathématique aux Universités. 

^). L'enseignement malhématiquc à l'Ecole technique supérieure de Delft. 

10. L enseignement mathématique aux Ecoles d'instruction militaire. 

11. L'enseignement mathématique aux Ecoles d'instruction de la marine 
militaire. 

12. Rapport supplémentaire sur les propositions faites par la Commission 
officielle de Réforme de l'enseignement eu Hollande. 

HONGRIE 

Délégués : MM. M. Iïkke, C. Rados, Ratz (Budapest). 

La sous-commission hongroise est présidée par M. le conseiller ministé- 
riel Prof. J. Kii.nk, ; elle publiera un rapport d'ensemble, en allemand ou 
en français, basé sur les rapports préparatoires dont voici la liste : 



h i: i. /■: y s i: i G N E M E y r m . i r // e m a t i q ue i :; i 

Ecoles primaires, par Y. Szuppak. 

Ecoles primaires supérieures l 'r à 6 classes] (Bùrgerschule), par I VN'o- 

1 I \>/.KY. 

Lycées de jeunes filles, par A. Visnya. 

Ecoles secondaires, par E. I>i ki . 

Ecoles «le Commerce, par M. H a vas. 

Ecoles industrielles, p;ir A. Ara.ny. 

Ecoles supérieures de Commerce, par S. Bogyo. 

Ecoles normales d'enseignemnnl primaire, par Ch. Goldziher. 

Ecoles normales supérieures, par .1. Kurschack. 

Universités, par E. Beke. 

Ecoles polytechniques, par <i. Rados. 

Lycée pour les études pratiques de candidats, par I'. S/abo. 



II.KS BRITANNIQUES 

Délégués : Sir George Greenhill, M. A., Y. R. S. ; 
Professor W.W. Hobson, Se. D., F. R. S.; Mr. C. Godfri y. M A. 

Les rapports de la sous-commission anglaise seront publiés avec le con- 
cours du Board of Education ; en voici la liste : 

Enseignement primaire (Elementary Sckools . 

The Teaching of Mathematics in London Elementary Schools. |li P. B. 
Ballard, Divisioual Inspector L. C. C. (sous presse). 

The Teaching of Mathemalics in London Elementary Schools. (2) H. J. 
Spencek; Headmaster of Bloomlield Rd. Elementary School, Plumstead (en 
manuscrit). 

Mathematics in Welsh Primary Schools. R. W. Jones, B. A., Headmaster 
Glandda Praclising Schools Bangor len préparation). 

Kindergàrten Mathematics. Miss Irène Stephens. Mistress at the House 
of Education Ambleside (eu manuscrili. 

Enseignement secondaire \ ' Secondarv Schools). 

The corrélation of praclical Geometry with olher subjects. Miss H. Bar- 
tram. Headmistress County, Secondarv School, Crowndale Road. St. Pan- 
eras (sous presse). 

Should Higher Mathematics be included in au idéal scheme ol éducation 
forgirls? Miss S. Burstall, M. A., Headmistress of Manchester High School. 
(en préparation). 

The Functions of Geometry as a subject of éducation, <i. St. !.. Carson, 
B. A., Senior Mathematical Master Tonbridge School (en préparation). 

Field Exercises in Geometry. J. V. H. Coates, B. Se, Master, AJleyns 
School, Dulwich (en manuscrit). 

Vector Algebra as a School subject. C. V. Durrell, M. A., Senior Mathe- 
matical Master. Winchester Collège (en préparation). 

Elementary Projeclive Geometry. C, V. Durrell (en manuscrit). 

The Teaching <>l Mechanics. W. I). Edgar, M. A.. Assistant Master al 
l'.ion Collège (en manuscrit i. 



L32 COMMI S S/0 V / .Y T E R N A T 1 19 A I. E 

The Teachiag of Parallels in Ëlementary Geometry. T. J. Garsta.bg, M. 
A.. Mathematical Master Bedales, Petersfield [en préparation). 

ïhe abuse of Graphical Methods. C. A. Gaul, M. A, Mathematical Master 

Marlborough Collège |en préparation). 

The Teaching ofAlgebra : il) in a gênerai éducation; (2) in a specialised 
éducation. C Godfhry, M. A.. Headmasler of Royal Naval Collège. Osborne 
■«uns presse). 

Mathematics in (iirls High Scbools. Miss E, H. Gwatkin. Headmistress 
ol Queen Mary s Municipal Secondary Sehool. Liverpool (en préparation). 

l'ass Examinatîons. from the sehool point ol view. C. Hawkins, M. A. 
Mathematical Master al Haileybury Collège (en préparation). 

Tlie calculus in Sehool Mathematics. C. S. Jackson. M. A., Instructor in 
Mathematics al Royal Military Academy, Woolwich (en manuscrit). 

Seholarship Examinations. F. S. Macailay. M. A., I). Se., Senior Mathe- 
matical Master, St. Paul s (en manuscrit). 

Higher Mathematics for the Classieal Sixth Form. W. Newbold, M. A., 
assistant Mathematical Master at Tonbridge (en manuscrit). 

Spécial Points in the Teaching ot Arithmelic. G. W. Palmkk. M. A . 
Head <»l Military Sidc, ("lifton Collège len manuscrit). 

Nuits on teaching of Prarlical Mathematics at Cundle. F. VA . SanoersON, 
M. A.. Headmasler of Cundle Sehool len manuscrit). 

The Organisation of Mathematical Teaching in Girls Secondary Schools, 
and Mathematical E "animations for Girls. Miss L. Stoky, Headmistress of 
Roval Sehool, Bath. (eu préparation). 

Mathematics in Relation to Engineering work at Schools. T. S. I'shek- 
wood, B. Se.. London. Assistant Master, Christ s Hospital. 

Mathematics in Welsh Secondary Schools. D J. Williams, Headmaster 
of Belhesda County Sehool len préparation). 

Enseignement supérieur, universitaire et technique 
University ui>d Technical) 

i Tille uot knowni P. W. 11. Abbot, B. A.. Mathematical Master Régent 
Street Polvlechnie (en préparation). 

Récent changes in the Mathematical Course et Cambridge. A. Bkkky, 
M. A., Fellow & Tutor of Ring s Collège, Cambridge |en préparation). 

Original Research as part of the Préparation of Future Teachers of Ma- 
thematics. Prof. Ci. Bryan, K.R. S.. University Collège Bangor (en prépa- 
ration). 

The relation of University Mathematics and Physics. L. N. G. Filom, 
D. Se.. F. R. S., Assistant Professor of Mathematics. University Collège. 
London (sous presse. 

Seholarship Examinations and ihe Seholarship System. G. II. Hardy, 
M. A., F. R. S . Mathematical Leclurer, Trinity Collège, Cambridge (en 
préparation). 

Seholarship Examinations and the Seholarship System. A. E. Toi. un i\ 
M, A., Corpus Christ us Collège Oxford (en préparation). 

The relation of Mathematics lo Engineering at Cambridge. Prof. B. lloi>- 
KiNsoN, F. R. S.. Professor of Engineering, Cambridge (en préparation). 

Geometry for Engineers. Prof. D. A. Low, M. I. Mech. E. Professor of 
Engineering Eas( London Collège (en manuscrit). 



I> E I. E .V s E I <: .V E M E NT 1/ . / I II E M I TÏQV E 1 33 

Mathematical wm-k al Os boni and Dartmouth. J. \Y. Mercer, M. A . 
Head "I Malbematical Department, Royal Naval Collège, Dartmouth (en 
préparation , 

Tbe Training of Teachers in Mathematics. T. P. Nixx. I). Se . Vice- 
Principal of London Day Training Collège en préparation). 

Higber Matbematics forWomen. Mrs. Sidgwick, Late Principal Newnham 
Collège, Cambridge (en préparation). 



ITALIE 

Délégués : G. Castelnuovo (Rome), Pr. Enriques (Bologne), 
<■ Scorza (Palerme). 

La sous-commission italienne publiera les rapports suivants : 

1. Ecoles primaires, M. Conti iRomcj. len préparation). 

2. Ecoles classiques, MM. Scarpis iBolognei et Kazzaki (Palerme), (en 
manuscrit). 

:> Meules techniques, M. Scorza (Palerme), (en préparation). 
4. Ecoles professionnelles et commerciales, M. Lazzari (Livourne 
manuscrit \. 

ô. Ecoles normales. M. Conti (Rome), ten préparation). 

6. Universités: Cours de mathématiques pour les élèves ingénieurs, 
M. So.migi.iana (Turin), (sous presse). 

7. Universités : Sur le doctorat et la préparation des candidats à l'en- 
seignement, M. Pinchekle [Bologne), isous presse). 

S .Sut- les traités italiens de mathématiques élémentaires, M. Scorza 
tPalerme), (en préparation). 

9. Sur les réformes de l'enseignement des mathématiques dans les écoles 
moyennes, M. Vacoa (Gênes), (en préparation). 

10. Sur l'évolution de renseignement de la géométrie dans les universités. 
M. Severj Padoue), len préparation). 

11. Sur révolution de l'enseignement de l'analyse dans les universités, 
(en pourparlers). 

12. Remarques et propositions au sujet de l'enseignement des mathéma- 
tiques dans les écoles élémentaires, moyennes et universitaires préparation 
des candidats à l'enseignement), M. Padoa (Gènesi (en manuscrit) 1 . 



JAPON 

Délégué: M. lî. Fujisawa (Tokio). 

Le Japon tait partit- de droit des pays participants conformément aux 
■ I après les conditions du •< Rapport préliminaire », bien que celui-ci le 
classe dans les pays associés. L'erreur provient de ce que les Atti du Con- 
grès de Home m- fonl pas mention «le ce pays; tandis qu'en réalité la liste 
des adhérents contienl deux mathématiciens japonais, qui avaient été attri- 



1 Publié dans le Boll. di Mat. : ce rapport sera réimprimé dans la publication officielle de 
la sous-commission. 

L'Enseignement mathém., 13 e année; 1911. '■' 



[34 C O M M I S S 10 .V / .V /' Il H N A TIONA I. E 

bues à l'Allemagne, on ils riaient en séjour pendant l'hiver précédant le 
Congrès. 

La sous-commission japonaise est composée de MM. 

I) 1 H. Fojisawa, prof at t lie Impérial University, Tokio, président, 

T. Seto, inspector at the Département of Education, secrétaire. 

T. Kawakami. compiler at the Département of Education, secrétaire. 

M. Mimori, prof, at the Tokio Higli Teehnical School. 

S. Sawada, prof, at the Tokio High Commercial School. 

D. Sudo, prof, at the First High School. 

D r K. Shibata, prof, at the Collège of Engineering, Impérial University 
of Tokio. 

S. Fijita. prof, at the Army Département. 

D 1 ' S. Yokota. prof, at the Collège of Engineering, Impérial University, 
Tokio. 

T. Yoshiye. prof, at the Collège of Science, Impérial University of Tokio. 

I. Moki. prof, at the Tokio Girl's High Normal School. 

S Nakagawa, assistant prof, at the Collège of Science. Impérial Univer- 
sity of Tokio. 

D 1 M. Imamuka, prof, at the Army Département. 

S. Oba. prof, at the Navy Département. 

T. Hayashi, piof. at the Tokio High Normal School. 

S. Shimiuzu, prof, at the Navy Département. 

T. Kubota, prof, at the First High School. 

S. Asakoshi, prof, at the Navigation School. 

M. Fujiwara, prof, at the Collège of Science the East-Norlhern Impérial 
University. 

Ont été adjoints en qualité de membres extraordinaires : 

.1. Nishikawa, teaeher at the Tokio High Normal School. 

T. Goto, teaeher at the Tokio High Normal School. 

J. Ando, teaeher at the Tokio High Normal School. 

Miss Kimiko, Horiguchi, teaeher at the Tokio Girl's High Normal School. 

Miss Yoshi, Ogawa. teaeher al the Tokio Girl's High Normal School. 

T. Otashiro, lecturer at the Tokio High Teehnical School. 

T. Okada, teaeher at the Aoyama i Tokio | Normal School. 

La première réunion de la sous-commission a eu lieu au Département 
of Education le 14 janvier 191 1. Des rapports préparatoires fourniront un 
exposé de renseignement mathématique dans les différents types d'éta- 
blissements. Une fois qu ils auront été examinés et étudiés par la sous- 
commission, ils seront rédigés définitivement, d'abord en japonais, puis en 
anglais. Ils seront publiés pour être présentés au Congrès de Cambridge. 



XORVEGE 

Délégué : M. Ai.iskn (Christiania). 

Un rapport d'ensemble sur renseignement mathématique en Norvège 
sera publié dés que les plans d'études des diverses écoles actuellement en 
transformation seront arrêtés. Le rapport, dont la plus grande partie est 
terminée, donnera, comme introduction, un aperçu de 1 organisation sco- 



h /■: i. i: N s i: i G N i: u E v r m a i h i: m a tiqv i i 35 

Laire ; puis il traitera de l'enseignement mathématique dans les diflërents 
types d'écoles 

I. Ecoles primaires, élémentaires el supérieures. 
II. Ecoles secondaires : l'école intermédiaire el le gymnase. 

III. Hautes écoles I Université de Christiania et l'Ecole polytechnique 

de Trondhjem. 

IV. Ecoles spéciales : Ecoles techniques, écoles professionnelles, écoles 

d'agriculture, écoles de navigation, etc., écoles militaires, 

V. Ecoles normales pour l'enseignement primaire. 

VI. La préparation pédagogique ries professeurs de lycées. 

I H chapitre linal sera consacre aux tendances actuelles, aux idées nou- 
velles et aux réformes déjà accomplies. 

La publication aura lieu dans les Universitetsog Skoleannaler (Annales 
de l'Université et des écoles, revue officielle!. 



PORTUGAL 

Délégué: M. Gomes Teixeika (Porto . 

Ainsi que nous lavons annoncé dans la Circulaire n° 2, les travaux ont été 
organisés directement sous les auspices de M. le Directeur de 1 Instruction 
publique sur la proposition de M. Gomes Tei.xeira, délégué. Le Recteur de 
l'Université de Coïmbra, les Directeurs des Ecoles polytechniques de Lis- 
bonne et Porto, les Recteurs des Lycées de Lisbonne, Porto et Coïmbra et 
les directeurs des Ecoles normales primaires ont invité les Conseils acadé- 
miques à indiquer les modifications qu'il convient d introduire dans les pro- 
grammes et les méthodes des éludes mathématiques. Ces rapports seront 
transmis à M. Teixeira, qui rédigera le rapport d'ensemble sur rensei- 
gnement mathématique au Portugal. 



ROUMANIE 

Délégué: M. G. Tzitzeica (Bucarest). 
(Sans nouvelles récentes.) 

RUSSIE 

Délégués MM. X. v. SoMtR, Kojai.ovic. K. W. Vogt iSt-Pélersboui g 

Les publications de la Sous-commission russe seront rédigées eu langue 
française. Deux fascicules ont paru, les autres sont en traduction ou en pré- 
paration. Ont été distribués aux membres de la Commission : 

1. E enseignement mathématique dans les universités, les écoles techni- 
ques supérieures et quelques-unes des écoles militaires, par C. PossÉ (1 fasc. 
de 100 pi 

2. L'enseignement mathématique dans les écoles de Finlande, rédigé par 
une commission instituée par le Sénat impérial de Finlande I fax-, de 52 |>. 



1 36 c o y m i s s i o n i y r s « .v a no n a l e 

SUÈDE 

Délégué: M. II. \. Kocu (Stockholm). 

Les travaux de la Sous-commission suédoise sont presque achevés. Des 
hnil rapports qui seront présentés, sept sont déjà publiés, le dernier est 
déjà en manuscrit. Us sont insérés dans la Pedagogisk Tidskrift, à Stock- 
holm, et distribués sous la Forme de tirages à part. Voici la liste complète 
■les rapports. 

Ecoles primaires et écoles normales, par H. Dahi.gran : Die Mathematik 
an tien Volkschulen und Volkschullehrerseminaren Schwedens (publié). 

Ecoles renies, par E. Gôransson et E. Hallgken : Die Mathematik au deu 
schwedischen Realschulen (publié). 

Gymnases, par E. Gôransson : Die Mathematik au deu schwedischen 
Gymnasien len manuscrit). 

Etablissements de jeunes filles, par O. Josepuson et Anna Rônstrôai : Die 
Mathematik an den hôheren Miidchenschulen in Schweden (publié). 

Ecoles techniques moyennes, par O. Gallandkk : Der mathematische l n- 
lerrichl an deu lechnischen Miltelschulen (publié). 

Ecoles techniques supérieures, par H. von Kocii : Die Mathematik an (1er 
technischen Hochschule in Stockholm (publié). 

Universités, par A. YVi.man : Die Mathematik an den schwedischen l'ni- 
versiliiten (publié). 

susse 

Délégués: MM. Fehr (Genève), C. F. Geiser iZurielu, J. II. Gkai (Berne). 

Les mémoires seront réunis sous le titre L'Enseignement mathématique 
en Suisse, Rapports de la sous-commission suisse publiés sous la direction 
de H. Fehk. Un premier fascicule a paru en janvier 1910; il comprend, après 
une courte Introduction, le Rapport préliminaire du Comité central, eu al- 
lemand et en français, et les questionnaires adressés aux directeurs et aux 
professeurs. 

Viendront ensuite les rapports concernant les divers types d'établisse- 
ments : 

Ecoles primaires, M. Stœcklin (Lieslal-Bâle) (en préparation). 

Ecoles primaires supérieures (Sekundarschulen), M. Badektschkk (Berne) 
(en manuscrit). 

Enseignement secondaire supérieur,, M. C. Bra.ndenberger (Zurich) (en 
manuscrit). 

Ecoles supérieures déjeunes lilles, M. Gubler (Zurich) (en préparation). 

Ecoles modernes (Landerziehungsheime), par K. Matter (Franenfeld) (en 
manuscrit). 

Ecoles techniques moyennes, par L. Crelier (Bienne) (en préparation). 

Enseignement commercial secondaire et supérieur, Ecoles d'administra- 
tion et de chemin de fer, par L. Mort (Lausanne) (en manuscrit). 

Ecoles normales d'instituteurs et d'institutrices des écoles primaires, par 
M, Scuerrer (Kùsnachl-Zurich) (en préparation). 

Les mathématiques dans lis universités suisses, par M. J.-H. Gkai (Berne) 
(en préparation), 



i) i: i e y s /•: / a N /■: v i: N r m i i ii i m a ri Q i t: i :i: 

Les mathématiques dans I enseignemenl technique supérieur en Suisse 

"' Eole polytechnique Fédérale de Zurich, par M. Grossmann. 

In Ecole des ingénieurs de l'Université <lr Lausanne, par M. Lacombe. 



pays vssoc:ii:s 

En dehors «les dix-neuf pays ci-dessus, que le Rapport prélimi- 
naire désigne sous le nom de pays participants, les autres pays 
possédanl un ensemble d'établissements d'instruction publique 
<»ut été imites à se faire représenter par un délégué dans la Com- 
mission internationale de renseignement mathématique; leur 
participation aux travaux est facultative. 

Jusqu'à ce jour seuls les pays ci-après mil répondu à l'appel du 
Comité central : 

Australie, Prof. Carlslaw, Siduey: suppléant eu Europe: Prof. 
Bragg, Leecls. 

Canada, Prof. Bovey, recteur du Collège impérial technique de 
Londres. 

Colonie du Cap, M. Hough, de l'Observatoire royal de Capetown. 

Mexique, M. Valentin Gama, professeur à l'Ecole nationale des 
ingénieurs, Tac u va ha. 

Le Comité central fera de nouvelles démarches auprès des au- 
tres pays; il espère qu'en vue du V me Congrès international de 
mathématiques, qui se tiendra à Cambridge en août 1912, ils au- 
ront également un représentant dans la Commission. 

Les renseignements complémentaires seront publiés dans Y En- 
seignement mathématique. MM. les Délégués sont priés d'envoyer 
les corrections et additions au secrétaire-général. 

Genève, 8 mars 1911. 

Le Secrétaire-général : 
IL Feiiis. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Notations rationnelles pour le système vectoriel '. 

12. — .1 propos d'un article de M. K.-B. Wilson. 
Réponse de MM. Burali-Forti et Marcolongo. 

I. Dans un article intitulé The unification of çectorial notations 
Bull, ofthe American Mathem. Society, 2 d séries, v. XVI. u° 8, 

pp. 415-436, New- York, May. 1910], M. E.-B. Wilson analyse les 
Notes (pie nous avons publiées dans les « Rendiconti del Circolo 
matematico di Palermo » et surtout nos ouvrages, récemment 
parus" 2 . Elève de Gibbs, dont il a publié les leçons sur l'analyse 
vectorielle [Vector Analysis], bien avant la publication, dans leur 
forme originelle, dans « The Scientific Papers a [New-York, 1906; 
v. 11. pp. 17-90] : il trouve illogique, inexact et condamnable, tout 
ce qui s'éloigne de la méthode de Gibbs. M. Wilson, au fond, ne 
fait que répéter ce qu'il a déjà écrit dans Y Enseignement mathé- 
matique, XI m * année. 1909, pp. 211-210. .Malgré notre réponse 
Ibidem, pp. 463-466], nous nous croyons obligés de montrer en- 
core une fois que toutes les critiques de M. Wilson n'ont pas de 
fondement logique et scientifique. 

II. M. Wilson observe avant tout, à propos de notre travail bis- 
torique critique et bibliographique : « It is needless to observe that 
the work was accomplished with the expected accuracy. It was, 
hoivever. not done with ail the completeness désirable » p. 416) 3 . 



1 Voir Y Eus. math.. XI e année. 1909, n" du 15 janvier, p. ïl-'i5 : n° du 15 mars. p. \2i-l'.ii : 
ii° du 1 ■> mai, p. 21 1-227 : n° du lô juillet, p. 381 : n» du 15 novembre, p. 'j5!l-'«(>6. — XII" année. 
n« du 15 janvier 1910, p. :t9-5'i. — L'abondance des matières nous a obligé de retarder la 
publication de la présente Note. (lied.). 

- Blementi di Calcolo vettoriale con numérote applicazioni alla geometria, alla meccanica 
ed alla fisit a-matematica. Bologna. Zanichelli. 1909. Omogiafie vettoriali con applicazioni 
aile derivate rispettn ad un punto e alla fisica-mateinatii ci. Torino, l'etrini, 1909. Eléments de 
i aïeul vectoriel.... traduit de l'italien par S. L.ATTKS, Paris. A. Hermann, 1910. H. Wilson a 
oublié de reproduire exactement les titres de ces deux ouvrages. 

' Il paraît que M. J. ROSK est de la même opinion. Dans un article: J. Massai: (1852-1909). 
Courte notice sur .ta vit et ses travaux en mécanique et en géométrie vectorielle [Eus. mathem. 
XII ann. 1910, pp. 187-800] il a écrit, p. 199. Cela mitonne mime que, dans le tableau des deux 



m e /. . . .v (. i: s e i co i: i; i: s i> <> x danc t: 1 39 

Dans 1rs Xotes des Rendiconti del Circolo matematico <li Pa- 
lerrno, il esl nécessaire <l<' le répéter, nous nous sommes occu- 
pés seulemenl du système minimum, c'est-à-dire de la partie de 
calcul vectoriel qui esl développée « I a us Ions les traites modernes. 

La critique de M. Wilson n'est pas fondée, d'autant plus que dans 

Ces Notes Nota Y. t. XXVI, pp. 369-377, L908 . nous axons montre 
(pie ce système esl bien loin d'être complet, et qu'il est nécessaire 
d'adopter le système complet de ( '. rassmann. 

M. Wilson (lit encore p. 416 : The suggestion axb for the 
scalar product seems partie ularly infelicitous in view of the fact 
thut tins notation is in actual use for the vector product . S<> far as 
we are aware, this is the /irst suggestion which violently ! and 
confusingly differs from n notation, which has become fairly widely 
e.stablished. 

Il est un premier exemple nous en verrons bien d'autres] delà 
manière avec Laquelle M. Wilson exprime des faits et des juge- 
ments. Il faut observer, en effet, qu'en Allemagne la plus grande 
partie des livres sur le calcul vectoriel : mémoires scientifiques, 
encyclopédie mathématique] ; en Angleterre mémoires de Hea- 
viside, etc. : etc. on n'adopte absolument ni la forme, ni Yesprit 
des notations de Gibbs. deux qui ont. en partie, suivi Gibbs, ont 
été forces de changer ses notations; par exemple M. Praxdti. 1 et 
MM. Jai m axx. Fischer, Valentiner 2 . 



mathématiciens italiens (Ens. mathém. 1909, p. * 1 1 il ne suit pas fait mention tics notations 
lit: Resal, dr Suint-Venant et de Massait ». Au contraire, il faut s'étonner que M. Rose n'ait pas 
lu le nom de Resal dans notre tableau, si M. Rose se fût donné la peine de lire nos Xotes des 
Rendiconti del Circolo matematico di Palermo t. XXIV. p. 65-80, Nota II. § III. note (29) e (30)]. 
il n'aurait certainement pas commis de pareilles fautes d'histoire et de bibliographie, et n'au- 
rait pas attribué à Massau la paternité de la curieuse formule 

Me Ma* = âlbc) — ~buu\ . 
qui est équivalente à 

c A (a A b.i — ic x b> a — ic x a> b . 

■ 1 1 1 i n'est autre chose que la formule sur les produits régressifs de Grassmann ou sur le dou- 
ble produit vectoriel de Gibbs. 

Nous n'avons pas cité Massau mous n'avons pu malheureusement consulter sa mécanique 
qui est bien rare) : mais ses notations ont été exclues par nous implicitement, comme celles 
de Saint-Venant, et M. Rose pourra s'en convaincre en lisant nos Xotes des Rendieonti. 

Ajoutons encore, en passant, que de Saint-Venant a défini le produit géométrique de deux 
vecteurs produit extérieur de Grassmann) indépendamment de Grassmann. mais certainement 
après Grassmann [Compte Rend. t. 21, pp. 620-625, 2 semestre 1845]. M. Rose a commis une 
faute : l'année du mémoire ('tant 18V> et non 1844 ! 

1 M. Prandtl de Gôttingue, il \ a quelques années, a publié trois articles fort intéressants 
dans le Jahresbericht der deutschen Mathematiker- Vereinigung : Grunds&tze fur fine einheit- 
lichc Sehreibung der Vektorenrechnung im technischen Vnterricht [Bel. 12, 1903, p. S44] : Ueber 
eine einheitliche Be:cichnitngsneise der Vektorenre, hnung im technischen und physikalischeti 
Vnterricht Bd. 13, 1904, pp. 3fi-l0| ; l'eher die physikalische Richtung in der Vektoranalysis 
Bd. 13, 1904, pp. 436-449] : ce dernier article est une réponse à celui de M. Miiimki Ver- 
gleich zwischen der Vektoranalysis amerikanUcher Richtung und denjenigen deutsch-italie- 
nischer Richtiaig Bd. 13, 1904, pp. 217-228]. M. Prandt) a propose d'écrire aOb le produit 
intérieur di' a et b- Voir nol ie Nota V des Rendiconti (not. 9). 

* .Iai'mann. Die Gruudlagen der Bewegungstehre, Leipzig. Barth, 1908 non- nous occupe- 



1 ', 1 1 M i: LAN G I. S E I COR H E S l> <> \ DANC e 

Si même dans les sciences exactes on pouvait être liltre de rai- 
sonner indépendamment «les habitudes acquises, M. Wilson 
aurait dû accepter notre proposition ; car nous avons montré : 

I' que la notation axb pour le produit intérieur n'est pas nou- 
velle, et c'esl la première adoptée par Grassmann : 

2° qu'elle jouil de toutes les propriétés du signe X de l'algèbre ; 

.'}" qu'il est bien préférable «le laisser au . le rôle de séparateur : 

4° que la notation ab doit être réservée pour le produit alterne 
bi vecteur de ( Irassmann. 

Si M. Wilson n'esl pas encore persuadé, nous ne savons pas qu'y 
taire. Au reste, il parait que nous sommes d'accord avec M. Wil- 
son sur la nécessité d'un signe d'opération pour l'indication des 
deux produits scalaire el vectoriel ; ce qui est bien l'esprit des 
notations de C.ibbs. Sa tonne est une question tout a fait sans 
importance ; mais pourquoi doit-elle être fixée par Gibbs et non 
par Grassmann qui est antérieur ? Pourquoi doit-on avoir, contrai- 
rement aux règles de l'algèbre, 

axb = — bxa ? 

III. Dans les n os 2-5 de son long article. M. Wilson analyse dif- 
fusément nos Elementi. Ses critiques s'adressent surtout a la 
partie générale de nos deux livres; car M. \Yilson a commis la 
faute de ne pas considérer les applications ou de les regarder 
comme une partie tout à fait isolée. Ce sont au contraire ces ap- 
plications qui jettent le plus de lumière sur la partie générale: ce 
sont, sans doute, les applications qui doivent montrer la valeur 
de la méthode et des notations. M. Wilson ne veut pas même 
reconnaître que dans les applications, dans nos deux livres, nous, 
et ceux qui suivent notre métbode. nous avons fait beaucoup plus 
que nos prédécesseurs, et aussi, nous l'espérons du moins, beau- 
coup mieux. 

Sur les six premiers cbapitres des Elementi, M. Wilson n'apres- 



rons bientôt de ce livre peu connu/. L'auteur emploie les notations de Oibbs ; mais ensuite 
il doit son éloigner pour la notation d'une dyad. La notation de Gibbs ab pouvant se con- 
fondre avec celle de produit extérieur ibivecteun de Grassmann, très employée en Allemagne. 
M. Jaamann doit changer ab de Gibbs en a,b : et ainsi pour les dyads scalaires ou vecto- 
rielles il écrit 

a: b . a*b ! 

M. Fischkr, VectordifferenUation and Vector intégration, Leipzig. Barth, 1904, emploie aussi 
les notations de i>il>lis. A propos de cet ouvrage, on pourra utilement voir quelques articles 
de MM. Hkhmkm et Fischkr dans le Jahresberichl D. M. V. |Bd. 14, pp. 211-212; 3i4-3o8 : 
354-3Ô8 . M. S. ValKWTIKKH : VektorcuuUysis, Leipzig, 1907 (Sammlung Gôsehen) ne diffère 
pas de Jaumann. 

Tout ceci montre encore une lois l'opportunité et la vérité de ce que nous disions en com- 
mençant nos travaux. Hendiamti. etc. 

■ Le nota/.ioni l'ondamcntali del minimo sistema vettoriale non devono essere in contradi- 
zione con quelle fondamental! dei pi il ampi sistemi meceanico-geometriei di Môbius, Ha- 
milton. Grassmann. ■> • 



m i: i. . i N G i: s i: r < o i: n i: s i> o \ D'AN'C e i '■ i 

que rien a observer^ seulement, p. 'il'.', notce opérateur i «an 
interesting départit te front ihe or dinar y texts » e1 certaines for- 
mules ïoni une n nnfavorable impression > à M. VVilson ; mais il 
veul bien admettre « jim* celle mauvaise impression est due à la 
« uufamiliarity ofthe symboh ». Nous pouvons assurer M. Wilson 
que nos élèves, en peu de jours, acquièrenl toute la pratique dési- 
rable avec l'opérateur /'. ne Tout plus de fautes el n Ont pas de 
mauvaise impression. D'autre part, les avantages de cel opérateur 
(surloul en Cinématique sont tels el M. Wïlson, par exception. 
veul bien les signaler, p. '»22 qu'il n'est pas question «le changer. 

M. Wilson trouve encore nos définitions directes et absolues de 
• roi et div » Elementi, l'art. I, Cap. VI, 3] « higlhy ingénions defi- 
nitions and hâve much to commend them, p. 420 » el il vent bien 
observer qu'elles ont sur les autres définitions au moyen d'inté- 
grales; nous ne parlons pas des définitions cartésiennes] de nom- 
breux avantages. 

Mais tout à coup, quelques lignes de la page 72 de nos Elementi 
viennent obscurcir tout ce qu'il y avait de nouveau, de clair el de 
simple. Kcoutons M. Wilson : « // is in this same chapter that the 
quthors reveal their remarkable discovery that the laplacian 
opei'ator. 

tf ^ ,.- 

« lis essentially différent according as il is applied to a scalar or to 
« a vector function. Upon this discovery they are especially insis- 
« tent on every possible occasion. They even go so far as to ùitro- 
•< duce différent symboh A and A' for tlie operator according as the 
« ope/and is scalar or vector. Tlien they are able to Write 

A\ — grand div V , 
(4) A'V =: grad div V — curl cur] V ». Ip. 421 

Ce que M. Wilson affirme manque à tel point de justesse, que 
nous avons de la peine à croire à ce qu'il a écrit et nous craignons 
qu'il n'y ait ici un grand malentendu. 

Voici ce que nous avons dit à la page 72 : << Nelle applicazioni si 
présenta no le due funzioni 

(3) A — div grad , A, = tçmd div — roi roi ; 

•< la prima opéra su di un numéro e produce un numéro, la seconda 
« opéra su di un vettore e produce un vettore. 

« Le funzioni A, e A,, ben distinle e definite dalle .'! nous prions 



I 1 2 V E I. A N G E S B / COR I! E S I> () N 1) A JVC E 

le lecteur de bien voir que nous disons « de/inite »] hanno ris- 
petto ail' algoritmo vartesiano, la for ma simboUpa cornu ne 



,\>- ,yi 2 5z s 

Il sullit de confronter ce que nous avons dit e1 ce que M. Wilson 
nous fait dire, pour comprendre aussitôt que M. Wilson ne nous 
a pas compris. 

Les opérateurs 3 . ou leur forme équivalente [Omografie vettor., 

n 25 

, d erad m du 

'■' ' A '" = U -^7p — • A u = grad — , 

ont évidemment une l'orme absolue et quand ils sont définis par 
3 ou 3') ils sont naturellement divers. 

.Mais M. Wilson veut trancher la question en observant que 
« the laplacian operator may and should be defined by its intrinsic 
« properties such as are e.vpressed in 5) [c'est-à-dire, sous une 
forme plus rigoureuse que eelle établie par notre critique, 

,.6.(9—0) . - 1 p , 

(5) As = hm — ■ — - — - . on o — ; — = / z.di , 

r= II '- '"''■♦' ' 

g étant une sphère de rayon /• avec le centre en P] and when this 
définition is given il appears that the operator is equalli/ applicable 
and with the sa/ne significance to any (/nantit)/ q>... » [p. 423]. 

Or les formules 5) et 4) appliquées à q> prouvent seulement que 
deu.i fonctions distinctes ont en commun une propriété particu- 
lière; mais cela ne veut pas dire qu'elles soient identiques; et la 
formule 5) vaut pour <p nombre ou vecteur, car le second nombre 
est exprimé par des fonctions qui sont applicables à des vecteurs 
ou à des nombres. Cela prouve seulement que : il y a des fonctions 
applicables à des vecteurs ou à des nombres et par lesquelles on 
peut exprimer Ay dans les deux cas <p nombre ou vecteur). Peut- 
on conclure que A est unique? 

Encore, dans (5), lorsque y> est une fonction numérique con- 
tinue, etc., q> est la valeur de y dans un certain point de la surface 
de la sphère qui a P pour centre et /pour rayon; mais si q> est un 
vecteur, q> est seulement une valeur moyenne qui.n est pas en gé- 
néral une des valeurs de ip sur <r. Nous croyons donc que même 
la définition géométrique quoique indirecte! montre une diver- 
sité entre A appliqué soit à un nombre, soit à un vecteur. 

Kl enfin nous taisons observer qu'en faisant usage du V de Ha- 



m i: i. . i y G i: s et c i: h i: s P y i> . i y i • /; 143 

m il ton e1 toujours avec les symboles I. I -1 . les '■'>'< dèviennenl 

— y 3 m , — IV- I -1 u 

de manière « 1 1 1 «- le A de Gibbs ;i deux formes différentes 

- v 1 ' el - ivr' . 

Il est vrai (lue les quaternionistes modernes suppriment I et I -1 

et réduisent ainsi les deux symboles a un seul — V 2 : mais nous 
avons déjà montré la faute qu'ils font '. 

On comprend aisément pourquoi le A de Gibbs a la forme com- 
mune bien connue lorsqu'on fait usage des coordonnées carté- 
siennes. Dans ce système le point est représenté par des nombres; 
et les opérât ions différentielles sont données par la dérivée usuelle 
d'un nombre qui est fonction d'un nombre. Or les propriétés for- 
melles, au moins, de ces dérivées sont les mêmes que celles des 
dérivées d'un vecteur par rapport a un nombre dont il est fonc- 
tion. Il n'y a donc lien de singulier que deux fonctions différen- 
tielles bien distinctes puissent avoir la même forme tachygra- 
phique. La singularité consiste au contraire dans la déduction 
que Ton veut faire de Vunivocitè absolue de cet opérateur; sans 
observer que le symbole différentiel, applicable à toute entité u 
fonction de P, avec la même définition formale absolue, donne 
naissance à des opérateurs linéaires bien distincts selon qu'il est 
appliqué à un vecteur ou à un nombre), à une homographie ou 
nombre . 

M. Wilson a la bonté de dire que nous laissons le lecteur « wiih 
« a wrong or an unfortunately restricted point ofwiewa p. 436). 
Si dans nos livres il y a des fautes, M. Wilson ne les a certaine- 
ment pas découvertes' 2 : au contraire, M. Wilson nous a abondam- 
ment prouvé qu'il ne sait ni se corriger des erreurs habituelles, 
ni s'éloigner du champ bien étroit des fonctions taehygraphiques. 

IV. — Dans son n° 4, M. \\ ilson prend la défense du vecteur 
symbolique V de Gibbs que nous avons complètement aboli) et en 



1 C'est un principe fondamental do logique mathématique Nota :i* des Elementi] que x = y 
signifie 

«i toute propriété de x est aussi propriété de y •> 

Si x et y sont des operateurs, un de ses éléments caractéristiques est le champ d'opération . 
donc pour que x soit égale à y, il est nécessaire que X et y aient le même champ. Or nos 
^ et \' définis par (S) ont des champs différents. 

M. Wilson peut bien ne pas accepter cette distinction logique; mais pour avoir uni' idée 
des inconvénients qui en dérivent, il pourra lire ce que M. Peano a écrit dans son Formulario 
— Editio V. pp. 73-82. 

2 Dans les Elementi, en parlant de l'opérateur ( (celui qui produit une mauvaise impression 

.i M Wilson] nous avons commis délibérément une faute, pour ne pas nous éloigner trop du 

commun usage et parce qti tte faute n'a pas de graves inconvénients. Que M. Wilson cherche 

les fautes concernant l'opérateur i. 



I . i .1/ I. /. . I N G E S E T ( ■ <> I! h I. S P <> Y DANC E 

dernière analyse il fait ce raisonnement : « Dans beaucoup de for- 
mules V 7 se comporte vis-à-vis de . et x 'ce sont les symboles 

« de Gibbs qui correspondent à nos X et A) comme un vecteur: 
donc. etc. » 
(. esl pour M. \\ ilson un dogme de logique de croire démontre 

un théorème, des qu'il la reconnu vrai dans quelques cas. 

Suivons pour un seul instant les notations de Gibbs. M. Wilson 

ne peut pas nier que Ton a 

V-U=F 1 - 7F : V XU = 2V_. 

I •! i • d\l r • i - • 

L homographie -jj- est parfaitement déterminée avec les deux 

e . du. . . . ,- du . .,, 

tonctions I, — premier invariant et \ -^~ t (vecteur de 1 homogra- 
phie : et il y a une infinité de vecteurs x et y tels que 

i ' /u ,»■ "'u 

x.u=l 1;7ri . yXn = 2V- ; 

donc : le vecteur symbolique V a, pour chaque vecteur u. une in- 
finité de valeurs par rapport aux opérations . et X- 

Mais de quelle sorte de vecteur s'agit-il ? Qu'est-ce que Ton en- 
tend par vecteur symbolique ? 

Nous savons très bien qu'une grande partie de la mathématique 
tombe dès que l'on élimine, avec soin, les termes inutiles et dès 
que l'on veut définir tout ce qui reste. Mais cela ne doit préoc- 
cuper personne; ce qui reste est l'utile! 

Des formules que nous avons rappelées, il résulte que l'on peut 
«•crire 

V- = 'irfP = v-X = 2Y_; 

et nous demandons : quelle relation y a-t-il entre le produit inté- 
rieur et vectoriel et le premier invariant ou le vecteur de l'homo- 
graphie Tpet, si les deux signes . et X sont inutiles, par quelle 

étrange vertu le symbole V leur donne t-il. dans les deux cas. 
une valeur ? 

Il faut vraiment convenir qu'il n'y a pas de notations plus incor- 
rectes (particnlarly confused and in félicitons) à défendre ! 

V- et VX sont des tachygraphes accidentels, car ils ont une 
expression absolue avec des opérateurs convenables; mais V <'st 
encore moins qu'un tachygraphe ; c'est une mauvaise transforma- 
tion (particnlarly confused and infelicitous) au y de Ilamilton, qui, 
avec les symboles I. I -1 est itn opérateur quaternional très exact. 



M I. I. A N G E S ET CO II H E S P <) N DANC E I i 5 

Enfin, nous demandoDS à M. Wilson si l'idée de réduire les 
choses aux concepts clairs el simples a peut-être empêché les 
méthodes si simples de calcul vectoriel de se plier aux applica- 
tions les plus varices ? 

Tbul le reste île nos E le menti, la partie la plus importante des 
applications ne provoque pas de' critique ; M. Wilson, au con- 
traire, trouve que « the large amount of material which has been 

put into a small space without any apparent crowding or obscu- 
• riifi is especially notewortlhy and has been accomplished langely 

by adhérence ta the programof usine purely vectorial methods. 
p. 429 . 

Au moins nos fautes n'ont pas eu de suites fâcheuses ! 
\ . — Nos Onwgrafie vettoriali sont examinées dans les n os 6 el 7 
(le l'article de M. Wilson. Il observe avant tout que mois hâve 

no hésitation about adding together a number x and a homogra- 

phy u. They regard a number, whenever concernent, as a linear 
« transformation. » p. 429). Et il explique (pie si x est un nombre 
et K une homographie, cela signifie que 

i -\- 7. u = <u -f- au (U arbitraire) . 

Mais a la vérité nous ne pouvons pas comprendre M. Wilson ; 
qu'y a-t-il d'étrange en cela ? Gibbs Vector analysis, p. 12 « >< ) a lui- 
même considéré r' = er e est un nombre comme une fonction 
linéaire de r : et nous avons tait ici ce que tout le monde fait, et à 
juste titre, en regardant un nombre voir d dans {Introduction 
aiLV Omografie comme un opérateur linéaire. Moins encore nous 
ne \oyons pourquoi les notations si simples et si correctes 

I, y. + jS, = ha -j- h/3 - 

sont « particularly confused and infelicitous. » p. 430 . 

M. Wilson a bien conquis (pie dans l'exposition si profondé- 
ment différente de celle de Gibbs des transformations linéaires, 
notre point de vue n'est pas algébrique: nous avons considère 
ces transformations comme des opérations p. 'i.'il . La supériorité 
de notre exposition il est bien entendu que nous n'avons pas la 
prétention d'avoir fait des découvertes pour la clarté, la simplicité 
et la brièveté sera montrée par une analyse de nos méthodes et de 
celles de Gibbs (pie nous publierons bientôt. M. Wilson ne s'est 
sans doute pas livré à cet examen, qui est surtout utile pour les 

applications que nous avons faites et celles (pie Ton ne trouve 

pas dans le livre de Gibbs et de Jaumann, etc. On trouve donc 
bien singulier de lire, p. 431 : < Il he should be happy /<* see eve- 
< ryone who is interested in vectors and who believes in their neces- 
■< situ adapt the authors' method ». 



1 i6 M E I A Y G E s I. 1 C <> R H E S P () NDANC E 

Mais la chose qui frappe encore davantage M. \\ ilson et qu'il 
critique beaucoup, «-si notre définition de grada «est une homo- 
graphie : Omogr. vettor., n. 22]. Il observe avant tout que: « // 
• looks </s ifthe authors had temporarily fallen back to soine ex- 
a te/it i/ito the fatal slough of tachygraphy against which they are 
o $0 ciireful to warn US. » p. 'i.'w . 

Sans aucun doute. M. \\ ilson a une idée bien différente de la 
nôtre du mot tachygraphe. Nous nous permettons de lui rappeler 
qu'un tachygraphe a pour but d'écrire sous forme abrégée le ré- 
sultat d'un calcul fait avec les coordonnées. Décomposer une opé- 
ration complexe en trois autres comme nous avons fait pour la 
définition de grada est donc une opération tachygraphique ? 

Au reste. M. Boggio a donné récemment une définition de grad « 
très simple et tout à fait absolue 1 , que l'on peut présenter de plu- 
sieurs manières différentes. 

Si. par exemple, a est un vecteur constant, « une homographie 
fonction de P, on a. par définition 

Igrad Jixa= diviKaa) : 
p p 

on l'aurait pu déduire de la formule [10], p. 57 des Omografie. 

M. Wilson dit encore beaucoup d'autres choses, sans doute fort 
intéressantes, mais nous n'avons pas l'avantage de les com- 
prendre. 

« If the authors had seen fit to call the vëctor defined by 10 
« curl a or \' a or anything else selected at randotn front the vast 
« reahn of mathematical notations, they might hâve observed a-si- 
« milar lack ofanalogy. There is on/y one exception — if they had 
« called their vector div Km, they wou/d hâve been surrounded on 
« every side with the mont persistent analogies. » (pp. 433-434 . 

Nous ne comprenons pas ce que M. Wilson a voulu dire par 
div Ka dont nous n'avons jamais parlé. 

Nous avons considéré grad « car nous en avions le droit, de 
même que Gibbs a considéré lap, pot, max qui n'ont pas eu de 
succès ; nous ne sommes pas en contradiction avec les définitions 
précédentes, car si a est un nombre, nous avons de nouveau la 
définition usuelle de gradient d'une fonction numérique; nous 
avons considéré cette fonction, car c'est avec elle que le théorème 
sur le gradient Gauss) a son extension naturelle dans la formule 
Omogr., p. 72 

fgrad zd- = — foLlidn : 

et avec cette fonction dans la mécanique des corps déformables. 



1 Sul gradiente de un a omografia vettnriale (Rend. Ace. Lincei. s. V. v. XIX, 
pp. :ts:t-389). 



M i: i. . i N a i: s et CO i: /: i: s /• <> N D A v c /•: 1 5 : 

après avoir défini L'homographie dilatation t i des pressions, les 
équations indéfinies h ;i la frontière pour L'équilibre, prennent la 
forme absolue et son I démontrées d'une manière absolue 

çF = grad (3 . F„ = jSn [Omografie, p. 72-73 

Si M. Wilson n'esl pas encore satisfait, il doil être excusé, «lu 
moins en partie. En (Miel, il avoue, p. 435, (pie : « It will not be 
« feasible t<> give any account of the lasl chapter of the Omografie, 
» which contains applications tu elasticity and to electrodyna- 
« mies*.* Il n'a pas voulu se donner la peine d'examiner ce qui 
constitue la vraie pierre île louche de toutes les méthodes vecto- 
rielles : les applications. 
. Le lecteur peut maintenant juger de la critique de M. Wilson. 

Dans Y Enseignement mathématique, notre critique a dit que ce 
n'était pas le cas de briser une lance en faveur de Gibbs. Il est 
libre de croire qu'il n'y a rien de meilleur que le système de son 
maître. 



1 Nous pouvons donner à M. Wilson de nombreux exemples de tachygraphes. 11 n'a qu;i 
lire les traités allemands de Calcul vectoriel. Consulter en outre les deux travaux suivants : 
V. Fischi:r. Darstellung der Bewegungsgleichungen fiir elastische Korper in Vektorfonn Jour- 
nal f. reine u. ang. Mathematik, Bd. 126 (1903) pp. 233-239; . L'auteur, en partant des équations 
bien connues en coordonnées cartésiennes, passe à la forme vectorielle. M. Wilson pourra 
comparer avec ce que nous avons t'ait dans les Omografie. Chap. III. § 2, 3. 

M. Voigt, dans son mémoire : Etwas itber Tensorenanalysis [Nachrichten von der Kbnigl. 
Gesell. der tt iss.zu Gôttingen, 1904, pp. 495-513] a défini d'une manière tout a fait tachygraphe 
cartésienne Mes composantes orthogonales d'un tenseur /' et, après avoir observé que les 
expressions, bien connues, 

5T oT 5T 

XX XV xz 

- -| )- ; etc. 

bx .\v oc 

peuvent être envisagées comme les composantes d'un certain vecteur, il dit que, à cause de 
sa grande analogie t mit der Divergenz (!!!) eûtes Vektors passend durch div '/' bczeichnen kannn. 
De manière que : « Wie die Symbol A., so bedeutet hiernach auch div eine verschiedene Grosse 
je nach die Natur seines Argumentes • . Et après cela, M. Voigt peut écrire les équations pour 
l'équilibre d'un corps déformable sous la forme 

cF = div T . 
Si le tenseur T a pour composantes 

T xx = T ; /!/ = T zz = P • 

comme il arrive dans le cas des fluides, nous avons la merveilleuse transformation de div T 
en grad p ■ car tout le inonde écrit les équations d'équilibre d'un fluide ainsi 

oF = grad p . 

M. Wilson pourra lire le Cliap. III, § 2, 3 de nos Omografie. 

La théorie des moments d'inertie et le mouvement d'un corps autour d'un point fixe donl 
M. Voigt s'occupe dans son mémoire, constituent une élégante application des Omografie. 
Voir : It. MarCOLONOO, Momenti d'inerzia ed impulsa nella dinamica dei sistemi rtgidi Rend 
Ace. délie Scienze fisichc t mat. di Napoli, s. 111. v. XVI. p. 77-83 [1910 

M. Ganss. Binflihrung in dit Vektoranalysis, Zweite Auflage, Leipzig, 1909, Kap, IV: 
W. v. [o.NATOWSKY, Die Vektoranalysis u. s. w. Leip/.ig. 1909, Bd. I. j 10; ODl suivi M. Voigt- 



148 CHRONIQUE 

De l'œuvre profonde « 1 «* Gibbs subsiste toul ce qui devail natu- 
rellemenl survivre el toul le reste a disparu. 
Les critiques de MM. Knott 1 et Wilson prouvent précisémenl 

que nous avons raison. Pour M. Knott il n'y a de salut que dans 
li !s quaternions*; pour M. Wilson (pie dans le système de Gibbs. 
Nous avons démontré que les quaternions sont insuffisants, et 
qu'en général le système de Gibbs est faux; nous prenons ce qu'il 
\ a de bon des deux côtes et nous construisons un système qui 
peut vivre de lui-même ou dériver eu entier' du vaste système de 
Grassmann-Peano. 

Xaples-Turin, l'i juin 11)10. 



CHRONIQUE 



Une encyclopédie des mathématiques élémentaires. 

La Société italienne de mathématiques «Mathesis» entreprend 
la publication d'une encyclopédie de mathématiques élémentaires. 
qui, étant donné le plan vénérai et le nom des collaborateurs, est 
appelée a rendre de grands services aux professeurs de l'ensei- 
gnement secondaire. 

Nous sommes en mesure de l'aire connaître déjà maintenant le 
plan général de l'Ouvrage, qui paraîtra sous la direction de MM. 
L. Behzolari, Ci. YivA.vri, F. GeiibaLdi, professeurs à l'Université 
de Pavie, de M. R. Boxoi.a, professeur à l'Institut supérieur de 
Home, et de M. E. Yknkhom. professeur à l'Institut technique de 
Pavie. 

(/encyclopédie comprendra trois volumes, contenant Vi mono- 
graphies, dont voici les titres et les auteurs. 



1 .M. Knott a public dans i'tCllS. math., année XII, pp. 3'.l-'iô une Noie a laquelle nous avons 
répondu. (Ibidem, pp. 'i7-.">:t). (in peul encore voir, du même auteur: flamilton's Quaternion 
Vector Analyste Jahresberieht, D. M. V ., IUI. lî (1905), p. 167-U1] et un article de M. J.-V. 
Coi lins: Corrélation ofvector analyste notations. [Ibidem, pp. 164-165]. M. Collins a propose 
pour li' produit vectoriel la notation a h !!! 

- Dans la Mathein. Gazette, vol. V il'.UO) pp. 28'<-2S8. nos <\r\\\ livres Ion t l'objet d'une 
analyse signée C. <1. K. presque semblable à celle de M. Ç. »i. Knott: car C. (i. K. montre 
seulement de connaître les pseudo-quaternions, et non ceux de Hamilton, <'t d'avoir peu com- 
pris ce que nous avons écrit. Nous renvovons l'auteur a noire réponse a M. Knott. 



CHRONIQUE 149 



Tome I : Analyse 



1. Logique mathématique, A. Padoa. Institut technique, Gênes. 

2. Arithmétique élémentaire, E. Bohtoloti i. I niversité,Modène. 
.'!. Théorie des nombres, Analyse indéterminée, M. Cipolla, 

Univeisité, Catane. 

\. La notion de nombre et ses extensions, l>. Gigli, Lycée, 
Pavie. 

r». Limites, séries, fractions continues, produits infinis, (i. 
Vitali, Lycée «Colombo», Gènes. 

ii. Progressions et logarithmes, L. Tenca, Ecole Normale, Lodi, 
ri A. Finzi, Institut technique, Baiï. 

7. Calcul Littéral, Identités algébriques, I). Gigli. 

s. Analyse combinatoire, Déterminants, Equations linéaires, 
L. Bekzolari. 

9. Equations de degré supérieur au premier, 0. Nicoletti, Uni- 
versité, Pise. 

10. Problèmes algébriques et leur discussion, B. Calo, Institut 
technique, Xaples. 

11. Eléments de caleul infinitésimal, G. Vlvanti. 

12. Relations entre l'analyse et l'algèbre élémentaire, S. Pi\- 
cherle i't (i. \ ivax ri. Université, Pavie. 

Tome 1 1 : Géométrie. 

1. Propriétés élémentaires des figures du plan et de l'espace, 
I". Amodeo, Institut technique, Naples. 

2. Théorie de la mesure et ses applications, A. Perna, Institut 
technique, .Naples. 

.'i. Géométrie du triangle et du tétraèdre, V. Retali, Lycée 

Beccaria . Milan. 

k. Polygones et polyèdres réguliers et étoiles, L. Brusqtti; 
I iycée, Sondrio. 

.">. Transformations géométriques élémentaires, F. Veneroni. 

(i. Systèmes linéaires de cercles et sphères. Ë. Veneroni. 

7. Géométrie sur la sphère, H. Bonola. 

s. Sections du cylindre et du ('('me circulaires, E. C.iam. Uni- 
versité, ( rênes. 

'.». Maxiina et minima en géométrie, A. Padoa. 

10. Méthodes de résolution des problèmes géométriques. Pro- 
blèmes classiques, F. Geubaldi. 

11. Fondements de la géométrie élémentaire, U. Amaldi, Uni- 
versité, Modène. 

12. Fonctions circulaires, fonctions hyperboliques. Trigono- 
métrie plane et sphérique, G. Pesci, Académie navale, Livourne. 

L'Enseignement mathém., 13« année : 1911. m 



150 CHRONIQUE 

l.\. Calcul vectoriel, H. Marcolongo, Université, Xaples et 
C. Burali-Forti, Académie militaire, Turin. 

14. Eléments de géométrie analytique, L. Brrzolari. 

15. Eléments de géométrie projective, M. Pibri, Université, 

Parme. 

16. Eléments de géométrie descriptive, F. Severi, Université, 
Padoue. 

17. Courbes et surfaces spéciales. C. Loria, Université, Gênes. 
1S. Géométrie non-euclidienne. R. Bonoi.a. 

19. Géométrie non-archimédienne, Sen. G. Yeroxese, Univer- 
sité, Padoue. 

20. Représentations oéométriques des nombres complexes, R. 
Bonoi.a. 

21. Relations entre les théories oéométriques supérieures et la 
géométrie élémentaire. U. Amaldi. R. Bonola. F. Exriques. 

Tome III : Mathématiques appliquées. — Histoire. — Didactique. 

L. Unités de mesure. Sen. G. Cbloria, directeur de l'Observa- 
toire astronomique de Milan. 

2. Approximations numériques, calcul graphique, G. Pesci et 
G. Lazzeri, Académie navale, Livourne. 

3. Calcul des probabilités, théorie des erreurs, F. Guarducci. 
Université, Bologne. 

\. Applications élémentaires des mathématiques aux sciences 
physiques, E. Danile et A. Viterbi, Université. Pavie. 

ô. Statistique mathématique actuaire, C. Gixi. Université. Ca- 
gliari et R. Vrri, Institut technique. Bologne. 

6. Mathématiques ûnancières, T. Boggio, Université. Turin. 

7. Histoire des mathématiques élémentaires, G. Vacca, Gènes. 

8. Méthodes didactiques, textes. G. Scorza, Institut technique. 
Païenne. 

9. Récréations mathématiques. M. Cipolla. 

10. Instruments. F. Guarducci. 

11. Modèles, F. Guarducci. 

Faculté des Sciences de Paris. — Thèses de doctorat. 

Pendant l'année scolaire 1909-1910, les mémoires ci-après ont 
été acceptés pour le Doctorat es sciences mathématiques. 

Doctorat d'Etat. — Louis Roy : Recherches sur les propriétés 
thermo-mécaniques des corps solides. Paris, 1910. in-4", 70 p. 

1 1 a ai. : Familles de Lamé, composées de surfaces égales. Géné- 
ralisation, applications. Paris. PUO, in-V. NI p. 

Doctorat d'Uàwersitê. — Geocze Zoard de : Quadrature des 
surfaces courbes. Leipzig. 1909, in-S". 88 p. 



i H I! O Y IQV A" 1 5 1 



Académie royale de Belgique; concours de 1912. 

L Académie met au concours le sujet suivanl : 

Exposer et compléter les recherches faites sur le calcul des va- 
riations depuis ls',0. — Prix mon francs. 

Les mémoires pourront être rédigés en français ou en Bamand 
et ils devront être adressés, francs de port, à M. le Secrétaire 
perpétuel, au Palais des Académies, avant le I e ' août 1912. 

Les auteurs ne mettront point leur nom à leur ouvrage; ils y 
inscriront seulement une devise, qu'ils reproduiront sur un pli 
tacheté renfermant leur nom et leur adresse. 



Charles Méray. 

Nous apprenons avec regret la mort de notre dévoué collabo- 
rateur, M. Charles Méray, professeur honoraire de l'Université de 

Dijon, membre correspondant de la section de géométrie à l'Aca- 
démie des sciences de Paris. 

M. Méray était âgé de 76 ans. Les obsèques ont donné lieu à 
une imposante cérémonie, à laquelle assistait une foule considé- 
rable. L'inhumation a eu lieu le lendemain, lundi (i février, dans 
un caveau de famille, au cimetière de Bourgneuf-du-Val-d'Or 
(Saône-et-Loire . 

C'est une perte très sensible pour les sciences mathématiques, 
dont il lut un des représentants les plus distingués. La Rédaction 
de cette Revue perd en lui un ami fidèle dont tous nos lecteurs 
ont pu apprécier les belles qualités intellectuelles. Le temps et la 
plate nous manquent pour dire ce que fut le savant et pour retra- 
cer les principales étapes de son admirable activité scientifique. 
Y? Enseignement Mathématique publiera, dans un prochain nu- 
méro, une notice sur sa vie et sur son œuvre. 

Que sa famille veuille bien recevoir l'expression de notre sym- 
pathie et de nos profonds regrets. 

Les Directeurs. 

Amédée Paraf. 

La Faculté des sciences de Toulouse vient de perdre, le |i) février 
dernier, Amédée Paraf, professeur de mécanique rationnelle. Il 
est mort, a peine âgé de cinquante ans. de fièvres malignes qui se 
présentèrent d'abord sous un aspect anodin, mais qui tinirent ce- 
pendant par le terrasser dans un espace de quelques semaines. 

Les regrets laides a Toulouse sont multiples et variés, car Paraf 
se dépensait dans plusieurs domaines différents. Il exerçait une 
action féconde sur les étudiants qui fréquentaient ses cours. Son 






152 CHRONIQUE 

enseignement clair, précis et élégant séduisait les esprits que 
tentait une étude approfondie de la mécanique. 

(Tétait aussi un musicien de valeur. La multiplicité même de 

ses aptitudes ne lui a peut-être pas permis de réaliser un grand 
travail mathématique, dépendant ses recherches sur le problème 
de Dirichlel ont été classiques a une époque OÙ les méthodes de 
Fredholm n'avaient pas tout envahi. Tous les lecteurs du Traité 
d'Analyse de M. E. Picard savent le cas que ce dernier t'ait, en de 
nombreuses citations, des travaux de Parai'. 

Notre malheureux collègue était célibataire. Il aimait à dire que 
t'affection de ses frères, de ses sœurs et de ses très nombreux ne- 
veux et nièces lui sullisait amplement. Pour ces derniers, il était 
l'oncle de province, dont chaque voyage à Paris était salué décris 
de joie. C'est à Paris, en ell'et. qu il avait toute sa famille; c'est là 
que ses parents, accourus aux premières nouvelles de sa maladie, 
ont ramené son corps. L'Université de Toulouse toute entière a 
conduit son cercueil a la gare, où d'émouvants discours ont été 
prononcés par M. le Doyen Sahatier, au nom de la Faculté des 
Sciences, et par M. Durrbach, au nom de la Faculté des Lettres. 
Nous tenons à rendre ici un dernier hommage à la mémoire du sa- 
vant si prématurément disparu. 

A. Bi'Hi. Toulouse et E. TurriÈke Alencon . 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — Jubile Teubner. Le 11 février 1911, la Maison 
Teubner, à Leipzig, a achevé le centième anniversaire de son exis- 
tence. Elle a tenu a célébrer son centenaire par une cérémonie, 
qui a eu lieu le .'> mars et à laquelle elle avait convié un grand 
nombre de savants. La tète consistait en une réunion, à i() heu- 
res du matin, à la Maison Teubner, suivie d'un déjeuner, puis en 
une séance solennelle au Nouveau Théâtre, à 2 heures de I après- 
midi, et enfin en un grand banquet qui a eu lieu, le soir, au Pal- 
mengarten. De nombreuses adresses, émanant de sociétés savan- 
tes, i'ureui présentées à la séance. 

A l'occasion du centenaire, il a été publié une belle Notice his- 
torique, rédigée par M. le D 1 Fréd. Schulze. Elle débute par une 
biographie (\n fondateur de la Maison. Bénédict-Gotth. Teubxek, 
ne le 16 juin 17-S'i et décédé le 21 janvier 1856. 

Nous tenons il renouveler ici aux éditeurs, et tout spécialement 
a M. le D' AU'. Ackkiimann- Tki ibnrk, nos vives tel ici tat ions et nos 
meilleurs vœux pour la prospérité de leur maison. 11. F. 

Cours de Stèrèophotogrammèlvie. Un cours de vacances, consa- 
cre a la photogrammétrie, aura lieu à léna. à la Fondation Zeiss, 
du24.au 2 ( .) avril 1911. Les inscriptions et demandes de rensei- 



CHRONIQUE 153 

gnements doivent être adressées à M. le D 1 C. Pi lfrich, Krieger- 
si rasse, 8, léna. 

La Société mathématique allemande se réunira à Carlsruhe, «lu 
24 au 30 septembre 1911, en même temps que les naturalistes el 
les médecins allemands. Les séances de la section I. h Mathéma- 
tiques », seront dirigées par M. .le prof. I'. Stackel, M. Disteli el 
K . Ilr.i \. el celles de la section XV, « Enseignemenl des sciences 
mathématiques el naturelles », par M. I*. Treutlein. 

— M. F. Hautogs, privat-docent, est nommé professeur extra- 
ordinaire à l'Université «le Munich. 

Hel«»i«|iie. — Une exposition universelle et internationale 
s'ouvrira à Gand, en 1913. Le Comité apporte des soins tout par- 
culiers à l'organisation <le la section des sciences el de l'ensei- 
gnement . 

France. M. Zoretti, maître de conférences a la Faculté 

des Sciences de Grenoble, est nommé chargé de cours a la Faculté 
des Sciences de Caen. 

M. Chazy est nomme maître de conférences à la Faculté des 
Sciences de Grenoble. 

M. Carrus, professeur à la Faculté des Sciences de Besançon. 
est nommé professeur de mathématiques à la Faculté d'Alger. 

Hongrie. — M. L. Schlesixoeh, professeur à l'Université de 
Klausen bourg, est nommé professeur de mathématiques à l'Uni- 
versité de Budapest. 

Iles I » i - i I ; 1 1 1 ■ î i « 1 1 1 « — — M. P. .1. Heawood est nommé pro- 
fesseur de mathématiques à l'Université de Durham. 

M. B. A. Sam p son est nommé astronome royal de l'Ecosse et 
professeur à l'Université d'Edimbourg. 

M. le Prof. A. F. H. Love a obtenu le Adatn's Prize pour son 
Passai « Quelques problèmes de Géodynamiques ». 

M. II. .T. Piîiestley est nommé professeur de Mathématiques et 
de Physique à l'Université de Queensland. 

Italie. — M. Max Nœther, professeur à l'Université d'Er- 
langen, a été élu associé étranger de la Société italienne des 
Sciences dite des XL . 

M. Léonida Tonelli a été admis en qualité de privat-docent de 
calcul infinitésimal à l'Université de Bologne. 

Nécrologie. 

M. Gustave Leveau, astronome titulaire à l'Observatoire de 
Paris, est décédé le 10 janvier 101 1. à l'âge de 7<> ans. 

M. C. Rozé, répétiteur d'astronomie a l'Ecole Polytechnique de 
Paris, vient de mourir a Paye de 7<> ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des sous-commissions nationales* . 
i2 c article.) 

ALLEMAGNE 

L'enseignement mathématique dans les écoles techniques moyennes 

pour l'industrie mécanique. 

bir matkematische Unterrichi an den deutschen mittleren Fachschulen 

der Maschinenindustrie-. von Dr. H. Gkukbaum. — Le tome IV des Abhand- 
lungen iiber den mat hem. Unterricht in Deutsckland est consacré aux écoles 
techniques. Dans la préface, M. P. Stàckel, qui est chargé de la direction du 
volume, met en relief les points qui caractérisent la situation des écoles 
professionnelles par rapport à l'enseignement général. 

Ce premier fascicule traite des écoles techniques moyennes pour l'indus- 
trie mécanique. Ces étahlissements sont moins connus du grand publie et 
des mathématiciens que les écoles d'enseignement général. C'est pourquoi 
il a paru nécessaire de donner un aperçu historique succinct de leur genèse 
et de leur développement, ainsi que de leurs plans d études. 

La partie la plus ardue de la rédaction a été le chapitre consacré à la ma- 
tière et à la méthode de 1 enseignement mathématique. Cela tient an fait que 
les écoles en question traversent une période de transformation, d'où elles 
sortiront probablement avec un caractère technique encore plus prononcé. 

Le sujet a été volontairement borné aux mathématiques générales: un se- 
cond fascicule sera consacré aux mathématiques appliquées (géométrie des- 
criptive, mécanique, méthodes graphiques). 

Le chapitre I présente une élude sur le développement de renseignement 
technique moyen en Allemagne. L auteur constate que si l'enseignement su- 
périeur des branches techniques possède une organisation à peu près uni- 
forme, il n'en est pas de même des écoles moyennes et inférieures. Tant au 
poinl de vue de l'organisation et du but poursuivi qu'à celui des conditions 
d'admission el des méthodes d enseignement, il existe des différences énor- 
mes. Aussi ne peut-il être question d'une étude complète, mais seulement 



1 Voirl'Bnseign. mathèm. du là janvier 1911, p. P2-71. 

1 1 fascicule de !•!> pages: 2 M. 6" : H. G. Teubncr, Leipzig. — Nous devons ce compte rendu 
à M. E. Sii-iwiwN [Genève 



.V /' /•; n ET DOCÙ M E N TS 1 55 

<l un choix de quelques établissements mettant à la base de leur enseigne- 
ment une certaine préparation en mathématiques et en sciences naturelles. 

En laissant de côté les écoles spécialisées sur une seule branche (écoles 
de milles, etc.. etc.), on peut distinguer les écoles inférieures, qiti se bor- 
nent à donner 'les faits et «les règles <le travail, et les écoles moyennes, où 
l'on poursuit plus essentiellement la culture scientifique, la démonstration 
des (ails. Pour ces dernières, la technique est une science naturelle appli- 
quée. Comme les écoles inférieures feront l'objet d'un rapport spécial, il ne 
sera question dans la suite que des écoles moyennes. 

Ces dernières sont nées vers 1820, sous l'impulsion de Ch.-W. Beuth. 
Réorganisées en l<sr>o et eu IS7(t, c'est en 1877 que quelques-unes évoluèrent 
en écoles réaies, donnant une instruction générale, les autres tonnant des 
écoles industrielles proprement dites, comprenant quatre semestres il étu- 
des. Des ISSU, la Société (les Ingénieurs allemands (V. 1). I.l commence à 
s occuper de ces dernières et leur indique comme but la formation d'em- 
ployés techniques et de conducteurs de travaux, dont l'industrie a un besoin 
constant. L'admission est accordée à tous ceux qui possèdent le droit au 
volontariat d'un an. et qui ont t'ait un stage pratique de deux ans dans l'in- 
dustrie. Dès 1890, onze écoles ont été réorganisées «n l'eusse d'après ces 
idées et portent le nom de « Ilohere Maschinenbauschulen ». 

En 1908, une conférence convoquée par le V. D. I., aboutit à la création 
d un « Comité de renseignement technique », qui s'aboucha avec le « Comité 
de l'enseignement des mathématiques et des sciences naturelles » et décida 
de proposer l'adjonction d'un cinquième semestre, afin de renforcer la pré- 
paration professionnelle dans ces écoles. Cette adjonction est maintenant 
faite et entrera en vigueur en 1911. 

Le chapitre se termine par quelques mots sur les écoles de même rang 
dans les autres Etats de l'empire, ainsi que sur les écoles privées, dont 
quelques-unes se distinguent par des litres ronflants et nue organisation 
fort médiocre. 

Le Chapitre II traite principalement des plans d études des 18 écoles gou- 
vernementales (environ 900 élèvesi et de 22 écoles municipales ou privées 
(environ 5000 élèves). 

Voici le programme officiel des onze écoles prussiennes, accompli jus- 
qu'ici en i semestres : 

.Mathématiques, 18 heures par semaine, réparties sur quatre semestres; 
physique et chimie, 10; mécanique générale, 17: mécanique appliquée. 43; 
électrotechnique, 9; construction du bâtiment, 13; géométrie descriptive, 
10; dessin de construction, 38; laboratoires, 8; enseignement commercial, 
2; hygiène et premiers soins, 1; ce qui donne un total de 169 heures par 
semaine sur » semestres, soit 42 heures par semaine. 

h école préparatoire, de. 2 semestres, comprend : 14 h. d'allemand, 36 h. 
de mathématiques, 8 h. de physique et chimie, 22 h. de dessin, soit un to- 
i.il de 80 heures par semaine sur 2 semestres, soit 40 heures par semaine. 

Les écoles de même rang, en dehors de la Prusse, ont un programme 
analogue. 

Il est exigé des maîtres des études universitaires complètes et un stage 
pratique de trois ans dans l'industrie. 

Les « Technikums », qui comprennent les établissements municipaux OU 
privés, ont des programmes d'études plus étendus et des exigences moins 
grandes pour I admission Ils ont, en général, un très grand succès, dû à 



156 N O I /. S /. T /)()({ M A' ,V T S 

l'élasticité de leur programme, qui s'adapte très rapidement aux évolutions 
de l'industrie, e1 qui sépare, presque an début des études, les spécialistes 
de la mécanique de ceux de L'électricité, L'enseignement dure 5 semestres, 

Il tant faire une place à part à l'Académie industrielle <le Chcinnil/. et au 
Friederichs-Polytechnikum de Côthen qui ont un but plus élevé, atteint 
en 7 semestres d'él ude. 

Le chapitre III s'occupe spécialement de l'enseignement mathématique. 
L'auteur caractérise la différence entre les écoles préparatoires à l'univer- 
sité et le> écoles techniques moyennes : les premières soûl des écoles 
d'éducation, d'humanités; les autres, des écoles professionnelles. 

Les établissements d'enseignement général traitent les mathématiques en 
branche éducative, les écoles professionnelles en font une science acces- 
soire, destinée à résoudre les problèmes techniques. Le savoir doit y faire 
place au pouvoir. Les applications sont le but suprême à poursuivre. L'en- 
seignement des mathématiques, des sciences naturelles et des branches tech- 
niques s v fait simultanément. 

Les faits mathématiques principaux doivent être énoncés et démontrés, en 
écartant systématiquement tous les sujets qui n'ont pas d'application tech- 
nique, tels que la trigonométrie sphérique. la géométrie synthétique, etc. 
L'expérience montre que les matières dont l'élève n'a pas reçu la démons- 
tration ue restent pas dans sa mémoire et qu'il reste impuissant au moment 
de les appliquer. 

Les exercices doivent être nombreux, aliu d'amener I élève à une certaine 
habileté technique ; il convient d'exclure le plus possible les calculs d ap- 
plication d une certaine règle, mais de donner des travaux avant un sens 
pratique et amenant peu à peu lélève à reconnaître la dépendance mutuelle 
des données et du résultai. Ne pas insister trop sur les chiffrages dont les 
résultais existent dans la pratique sous forme de tableaux. 

Si l'on ne peut pas complètement suppprimerla mémorisation de certaines 
règles, il convient cependant de restreindre cette mémorisation au strict né- 
cessaire,, et de revenir toujours aux définitions fondamentales, qui permet- 
tent de retrouver aisément les règles particulières. 

Quant au choix et à la limitation des sujets traités dans le cours, le cri- 
tère doit être celui de l'application pratique. A ce litre, les calculs les plus 
simples, les constructions géométriques les plus élémentaires doivent être 
exercées aussi bien que les parties soit-disant supérieures des mathémati- 
ques, tels que les éléments du calcul infinitésimal, dont l'emploi est cou- 
rant dans les publications techniques. 

Le chapitre continue par un programme normal détaillé des études ma- 
thématiques dans les écoles techniques moyennes, tel qu'il résulte des ex- 
périences faites et des divers programmes actuellement en vigueur. Soit dit 
en passant, ce programme est identique avec celui qui a été appliqué de- 
puis sa fondation, il y a plus de dix ans, à l'Kcole des Arts et Métiers de 
Genève. Un point, cependant, sur lequel il nous semble que l'auteur aurait 
dû insister, est l'emploi systématique du calcul abrégé et des tables de cal- 
culs tout faits que l'on emploie couramment en pratique (tables de carrés, 
cubes, racines, inverses, circonférences et cercles). 

Suit une liste de questions posées lors des examens finaux et un paragra- 
phe consacré à la forme à donner à renseignement. Les longs exposes 
oraux doivent être évites dans la mesure du possible. Le mode heuristique, 
par questions et réponses, avec notation immédiate par l'élève des résultats 



NO TES I. I DOC UMEN TS 157 

acquis, esl celui qui donne les meilleurs résultais. Un recueil d'exercices 
gradués rend de grands services. Les exercices d'application doivent être 
faits en classe; « - ■ i circulant dans les bancs, le mai Ire peut se rendre compte 
si tout a été compris et redresser les erreurs 



ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

la préparation des maîtres </>' mathématiques 

The préparation <>/' Collège and University instructors m mathematics, 
provisional report ofthe american subcommittee of'the international commis- 
sion < > 1 1 the teaching of mathematics 1 . — L'auteur dp ce rapport indique 
tout d'abord dans quelles conditions s'effectuait autrefois la préparation des 
maîtres, avant I extraordinaire développement mathématique de ces dernières 
années. C'est en 1880 que l'Université de Harvard eut l'idée d'envoyer en 
Allemagne des étudiants en mathématiques afin qu ils se rendissent compte 
des méthodes d'enseignement qui y étaient en vigueur. C'est alors «pi <• les 
mathématiciens américains s'aperçurenl de l'avance qu avaient sur eux les 
pays continentaux et ce fut l'origine d'un redoublement d'activité de leur 
part et du rapide développement scientifique dont nous parlons. 

Avant l<S,so, le champ «les mathématiques enseignées se réduisait à très 
peu de chose: le calcul, l'astronomie sphérique et pratique, les sections 
coniques de Salmon et un ou deux autres sujets. On n'exigeait guère plus 
du maître que ce qu'il avait à enseigner et il pouvait commencer son ensei- 
gnement immédiatement après avoir obtenu ses grades, sans préparation 
ultérieure. Dans l'enseignement, le système récitatif était en vigueur, le tra- 
vail était routinier, on ne développait pas suffisamment l'initiative des élèves, 
l'intuition géométrique et analytique, la rigueur, la puissance de générali- 
sation. 

Après que les mathématiciens américains eurent pris contact avec ceux du 
continent, ces conditions désavantageuses se transformèrent rapidement et 
l'on devint plus exigeant. Ces transformations se manifestèrent entre autre 
par un remaniement des programmes : une quantité considérable de nouveaux 
sujets turent introduits; par exemple, le programme des cours pour gradués 
est aussi vaste et peut-être même plus vaste qu en Allemagne. Des change- 
ments s'introduisirent également dans la méthode d'enseignement. Le système 
récitatif esl moins employé, on lui substitue l'enseignement par cours, dis- 
cussions, etc. 

Le nombre des élèves des classes de mathématiques esl relativement res- 
Lreint; on y trouve principalement des étudiants se destinant à l'enseigne- 
ment des écoles supérieures et collèges et quelques autres se proposant 
de devenir physiciens, ingénieurs, etc. 

L'auteur aborde ensuite plus spécialement la préparation des maîtres. 
L'introduction du système d'enseignement par cours [lecture methodj s esl 
faite d'une façon si rapide qu'il n'a pas été possible de coordonner les an- 
ciennes et les nouvelles méthodes eu un système d'éducation bien propor- 
tionné et consistant. Il en résulte deux dangers pour les mathématiciens. 



1 Bulletin ofthe American Commùsioners, n" -i. — Extrait du Bull. Ain. Math Soc., vol. 1T. 
n p 2. nov. 1910. — Résumé par J. H. Dcmi h (Genève), 



v o t t: s c r mu i me \ r > 

D une pari ou consacre nu. _. au vie partie de 1 activité scolaire aux 

recherches mathématiques Eûtes parfois sur des sujets ut> présentant que 
pe« ou même pas de valeur intrinsèque, cela au détriment de la forme et de 
la clarté. O autre part, le professeur est absorbe par son intérêt personnel 
pour l'étudiant et par le coté pédagogique et administratif de son travail, ce 
qui l'empêche de i . ss r et d élargir son érudition. 

si encore la coutume d habituer les débutauls à renseignement en les 
plaçant comme maîtres dans ! - sses élémentaires. Ce système qui présente 
certains avant ges si pas cependant sans inconvénients. Le jeune maître 
- souvent chargé d'une quiuzaiue d'heures et même plus, sans parler de la 
correct ioa des cahiers - travail routinier ne lui laisse pas le 

tenu - "Aire pour continuer son travail d'étude et du; -, :i et 

empêche la manifestation de sa vie intellectuelle. In autre fait regrettable, 
si que les maîtres de mathématiques ont très généralement en sus de leur 

- _ .Tient uue charge administrative qui leur prend beaucoup de temps. 
Kn ce qui concerne la méthode de préparation des maîtres, en outre des 

cours proprement dits, il faut citer les exercices pratiques, le séminaire et 

- lereiees pratiques n'occupent pas encore, aux Etats-Unis, 

la place qu ils devraient avoir: I initiative individuelle u est pas stimulée 

comme elle le devrait, or il n y a rien de tel que les exercices pratiques pour 

activer cette stimulation, c'est pourquoi il faut en recommander un us g 

plus fréquent. I.e < qui/ ■ consiste en une revue du contenu d une série de 

c em m e at, celte revue se taisant sous forme de dis- 

ssioa et échange de questions et réponses entre professeur et étudiant. 

Entre autres avantages, le * qui* ■ permet au maître d entrer en contact 

l'étudiant: on devrait le pratiquer également beaucoup plus fréquemment. 

- séminaires et pro-somiiisires sont des méthodes allemandes adapl 

au système américain. An séminaire, l'étudiant expose lui-même un sujet et 

l'on s'entretient ensuite sur certaines questions concernant son exposition. 

:is aussi les clubs de mathématiciens qui forment le point de ralliement 

- professeurs et étudiants gradués qui s y réunissent pour discuter ou 
rapporter sur différents sujets. Eiitin. dans beaucoup d'universités, les pla- 

tssis ts ijrégés oui été créées non seulement pour renforcer 

le c«>rps enseignant, mais aussi en vue de la préparation des mai In - 
Durant ces dernières .innées, on a reconnu l'importance du cote p< 
gique de renseignement et 1 on a introduit, dans les grandes université - 
dans beaucoup de collèges, des cours spéciaux pour maîtres l'eackers 
- - Dans quelques universités, ces cours spéciaux ont été sépares du 
corps principal et organisés séparément en un collège des maîtres Teacher s 
Collège . comme aux universités de Columbia, Chicago, Cincinnati, etc. (.'.eue 
préparation des maîtres es _ »nde importance, non seulement pour 

• stinent à 1 enseignement des classes élémentaires, mais aussi 
pour ceux qui professeront aux collèges et universités. En ce qui con- 
cerne tout spécialement les mathématiques, il ne suffit pas que le profes- 
sse son sujet, il faut encore qu'il sache le présenter d'une façon 
compréhensible. Jusqu'à présent, cependant. I influence des teackers' colle- 
. • sur la préparation des maîtres des collèges supérieurs el universit< - i 
KG • BCOre institue des cours qui auraient spéciale- 
ment en vue cette préparation. 

Kn ce qui s g - rist es rtes de litres aux Etats- 

ii de maître el celui de docteur mas set doctor's degrees Lan- 



NO TES II DOC I M I. .\ I S 159 

leur du présent rapport s'élève contre cette dîfférentiation beaucoup d'étu- 
diants se contentant 'in premier grade, alors qu il- seraient capables di 
poursuivre plus loin leurs études. Il est •< dés ire i également qui ceux qui 
mil nhteiiii le grade de docteur ne s en tiennent pas là, mais qn ils «-oiiii- 
nuenl .< èlai gir i i .1 approfondir leurs connaissances : 1 ar, il ne faut pa 
blier que le illeur âge pour la préparation d'un travail intellectuel d'or- 
dre élevé est entre vingt et trente on trente-cinq ans an plus. Mais, pour 
cela, il ne Faudrait pas 1 hargi 1 le jeune instructeur d'nn nombre trop con- 
sidérable d'heures de leçons corrections etc. 

Relativement aux places •)<■ maîtres de mathématiques asiate 

que les Forces disponibles -'>nt loin de satisfatn . tuelles. 

La cause de cette pénurie doit être recherchée tout d'abord dans le peu 
s, < 'ant donné les conditions de la vie Amé- 

rique. Ensuite, la carrièn _ eur sourit davantage .<<i mathématicien 

que celle de maître, car beauroup pensent qu'un homme 'I action v.iut mieux 
qu'un homme d idées. Cette seconde raison concerne plus spécialement les 
mathématiques appliquées, qui devraient avoir une place plus importante 
au point <ii- vue de l'enseignement » j « j • - celle qu'elles ont occupée jusqn 
sent. Il serait avantageux, semble-t-il, que l<- mathématicien et le ph 
ssenl un enseignement commun pendant une plus l< g riode. 

< >n pourrait souhaiter également qu il v eût une plus grande coopération 
entre le maître expérimenté et relui qui débute dans s<v _ nient. 

L auteur termine son rapport, en formulant le vœu qu'on disl _ 1 ave- 

nir, le mathématicien capable d un b - _-nemeut de celui qui est doué 

dn lalem d investigation les deux qualités n'étant pas tu ijo 1rs r 

AUTRICHE 

/■- Mathématiques dans l ■ - . ut primaire. 

Der mathematische Unlerricht an den Volts u.'Bûrgersctàlen S hulrat 

Konrad Kkai - — Cette étude - -.- de deux parties. Dans la première. 

M. Ki mus expose I et at actuel de l 'enseignement mathématique dans les écoles 
populaires et les écoles dites }>i.in_ - - primaires supérieures en Au- 
trîche; dans la seconde il étudies les tendance modernes de cet enseigne- 
ment et préconise quelques réfoi 

/ re Partie. — Les écoles primaires autrichiennes G * li ans ré vol - - 
divisent en deu\ grandes catégories ou tvpe- - des populaires et les 

écoles bourg - - 

Tontes deux ont pour but de développer les facultés de 1 enfant en vue 
des nécessités de la vie pratique. Dans les écoles bourgeoises on tient 
compte particulièrement de. l'industrie de la contrée el de son genre 
culture I.- s -• xes ne sont pas toujours séparés dans l< - - populaires. 

innée supplémentaire de 14 - est ajoutée à ces •. es S 

Forme de cours supplémentaire à tendance toute pratique. 
Voici d ailleurs une division plus complet- 

1° Ecoles populaires 6 à 1« ans révolus ; r les deux - 

2 Ecoles populaires de ô class* s - >ur les d< 



1 Berichte itbtr étn mmtkem. CmttrrUkt in f>tf!<rrfUk. Heft 1. p. <I-S*. — RêsaMê par M. 

J Paroi Oeni-vt . 



160 NO / /: s E T DOC UMEN I s 

3° Ecoles bourgeoises de garçons II à I \ ans); 

!■• Ecoles bourgeoises de filles II à l 'i ans); 

5° Cours complémentaires il » à L5 ans), sexes séparés. 

Les programmes d'enseignement sonl imposés par décrel ministériel. 

Dans les croies populaires, les enfants doivent être familiarisés avec 
l'arithmétique élémentaire, soii les quatre opérations fondamentales sur le* 
nombres entiers el décimaux, le calcul avec des fractions ordinaires simples, 
les proportions, les règles «le mélange el «I alliage el même la racine carrée. 

La g< élrie est surtout intuitive : connaissance des figures, des surfaces 

el des corps géométriques simples. 

L'enseignement de la géométrie comporte celui du dessin linéaire et à 
main levée. La géométrie et l'arithmétique sonl unies dans les degrés su- 
périeurs, dans le calcul des longueurs, des surfaces cl des volumes. On 
applique les notions de mathématiques aux calculs industriels ou agricoles 
simples et aux éléments de la tenue des livres. Le but visé est la sûreté el 
le fini dans la résolution orale ou écrite des problèmes pratiques. 

Dans les écoles populaires à 5 classes, le programme esi restreint à la 
connaissance des quatre opérations fondamentales de l'arithmétique, aux 
éléments de planiractrie et de dessin (19 heures pour les garçons. 16 poin- 
tes filles). 

Le programme des écoles bourgeoises de garçons est un peu moins 
restreint que celui des écoles populaires. En effet (programme de 1907), on y 
voit figurer les puissances, les racines cubiques, les éléments «In calcul lit- 
téral, les équations du premier degré à une inconnue simple, les problèmes 
d'intérêt, de sociétés et «les notions d'arithmétique commerciale (12 heures 
par semaine). La géométrie est enseignée un peu différemment que dans les 
écoles bourgeoises: on ne se borne pas à la géométrie intuitive, mais on 
commence la géométrie rationnelle, on aborde les théorèmes, les coniques 
sonl étudiées <l une façon élémentaire ainsi que les courbes usuelles que les 
élèves peuvent rencontrer plus lard dans la pratique de leur industrie. 
Outre le dessin géométrique (géométral, élévation, profil, coupe), on en- 
seigne le dessin géométrique ornemental el le dessin des machines (9 heures 
de géométrie et dessin géométrique). 

Le programme de l'enseignement mathématique dans les écoles bour- 
geoises de filles [9 heures d'arithmétique et 3 heures de géométrie) est à 
peu de chose près celui des écoles populaires, sauf qu'on y a ajouté des 
compléments sur la tenue des livres et l'arithmétique appliquée aux besoins 
domestiques, et qu'en géométrie on donne une idée sommaire de l'Ellipse. 
On s'attache surtout au dessin géométrique ornemental s'appliquant aux 
ouvrages féminins. 

Les cours complémentaires (de 14 à 15 ans) servent de raccordement avec 
les écoles supérieures. On développe le programme «le la dernière année 
des écoles bourgeoises, en particulier le calcul littéral. On apprend à ré- 
soudre les équations simples du deuxième degré. 

Aucune méthode spéciale d'enseignement n'est imposée, pas plus dans les 
«•«•«des populaires que dans les écoles bourgeoises. Autrefois régnaient les 
méthodes purement mécaniques el formelles qui ne s'adressaient qu'à la 
mémoire. Actuellement, on tend à éduquer la pensée par la Logique des 
démonstrations; <>" s'eflbrce davantage à intéresser l'enfant. 

Il est de toute importance que l'enseignement mathématique soil homo- 
gène, c est pourquoi le plan d'études est imposé par une loi. 



.V () T 1. s I. I DOCV M E N T s 1 6 1 

()n peul classer les différentes Façons d'enseigner eu trois méthodes 
actuellement régnantes. La première, I «■ plus ancienne, se base sur celte 
idée que tout calcul repose sur la numération, i.l. Strehl, Fv. Mocnik). La 
deuxième, «gui a un grand succès en Autriche, procède par monographies 
(Grubes, promoteur, suivi par .1. Nagel, Ambros, Kopet/ky, Streng). Le 
calcul entier est alors enseigné an moyen îles dix premiers nombres. Par 
exemple, le nombre - servira à établit' ï;> méthode p • enseigner les opé- 
rations sur les nombres de -^ à •>", le nombre •! pour les nombres de 30 à 

• el ainsi de suilc. 

Le premier qui délaissa les t\t[i\ méthodes régnantes lut H. Breutigam 
[1878] qui emploie comme moyen unique d'enseignement du calcul élémen- 
taire les boîtes à calcul de ïillich. 

La pauvreté de la méthode monographique conduisit quelques pédagogues 
à inaugurer une nouvelle méthode dans laquelle le nombre n'est plus consi- 
déré comme un individu isolé, mais plutôt comme le dernier terme d'une 
série commençant par l'unité (Kraus, Habernal Streng, Wintersperger, 
Breier, Legerer). Il restail encore un progrès à faire: J. Nagel el A. Kol- 
litsch, suivis de .1. Gauby, Kolar, Kraus-Haberna] l'onl accompli. On aban- 
donna la méthode monographique dans les degrés inférieurs pour revenir à 
la méthode basée sur la numération, méthode qui a toujours été conservée 
dans les degrés movens. 

D'après le programme, les tractions décimales doivent être enseignées 
avant les tractions ordinaires. On considérait alors les fractions décimales 
comme une extension des nombres entiers, on ne respectait pas ainsi leur 
qualité de tractions. Pour parer à cet inconvénient, MM. Kraus et Habernal 
relient intimement les fractions décimales aux sous-multiples des unités du 
système métrique. La nécessité' conduisit donc ces pédagogues à une mé- 
thode de calcul que l'on pourrait appeler en français objective dans [e sens 
littéral du mot (Sachrecheu-methode), c'est-à-dire qui rattache immédiate- 
ment les notions mathématiques abstraites à des objets concrets. On forlilîe 
ensuite ces notions par des calculs pratiques. 

Pour la géométrie dans les degrés inférieurs, on se borne au seul dessin 
sans définition abstraite; dans les degrés moyens, on enseigne les formes 
géométriques au moyen du dessin d'observation à main libre et du dessin 
géométrique. On cherche par ce moyeu à familiariser 1 élève avec la repré- 
sentation des corps dans l'espace. Dans les degrés supérieurs, on relie la 
géométrie à l'arithmétique parle calcul numérique (.Manuel méthodique d< 
C. Kraus). On employait autrefois la méthode dite synthétique qui procé- 
dait du point à la ligue, de la ligne à la surlace et de la surlace au volume. 
(Mocnik, Halbgebauer, Napravnik, Wortner, Jahne, Barbisch). D'après la 
méthode analytique, au contraire, on considère un corps et on étudie les 
surfaces et les lignes qu'il- comporte. [Kleinschuicht, Napravnik, Weng- 
hart |. 

On remarque que la méthode analytique est employée de préférence dans 
les écoles de filles et la méthode synthétique dans bs écoles de garçons. 
Mais, d'autre part, J. Pfau crée une géométrie qui présente des analogies 
avec la méthode de calcul que nous avons qualifiée d'objective, une sorte 
de géométrie matérielle, (lest dans celte direction que. suivant l'auteur 
de l'article, se trouve le progrès. Parmi les moyens d'enseignement les 
plus recommandés sont les moyens visuels. On se sert de l'appareil • 
calculer russe avec 10, 20, 100 boules, des boites de Tillich avec Uni prismes. 



162 NOTES ET DOCUMENTS 

des bâtons à calculer de Posuer. des 100 cubes de bois de l'appareil de 
Sehelinsky. M. Kraus trouve les faisceaux de bâtonnets de 10 ou 100 unités 
plus pratiques. Les moyens graphiques sont également en faveur (image 
des chiffres, 1 argent, le papier monnaie. 1rs timbres, les poids et mesures). 
On recommande surtout de ne pas abuser des notations symboliques. 

Autrefois On enseignait la géométrie uniquement à laide du tableau noir 
et de la craie, maintenant le maître a à sa disposition des modèles en 
carton, en bois ou en zinc, des modèles de mécanisme et des instruments 
d arpentage. On utilise également les bandes de papier de couleur pour les 
ornements géométriques. 

En fait de manuels on n emploie, dans les écoles populaires, que des 
recueils d exercices gradués. Dans les écoles bourgeoises, par contre, on 
emploie les manuels méthodiques de calcul ou de géométrie concurremment 
avec les recueils d exercices. Les livres qui s'adressent purement à la mé- 
moire sont proscrits. Parmi les manuels, on peut citer ceux de F. v. Mocnik, 
H. Halbgebauer. R. Neumanu, J. Nagel. P. Legerer, J. Xitter. F. Haupt- 
mann et F. Yillicus-Schiebel. Les recueils d exercices employés sont ceux 
de J. Ambros-Kopetzky et de J. Nagel. 

L enseignement mathématique est appliqué à des exercices théoriques 
tirés de la vie pratique, de l'industrie spéciale à la région où se trouve 
l'école. Les exercices pratiques consistent surtout en mesures de longueur, 
de surface, de volumes, arpentage et représentation des corps au moyen de 
réseaux. 

Le corps enseignant autrichien est en général très bien préparé à la tâche 
qui lui incombe. Les Ecoles normales délivrent un certificat de maturité- 
pédagogique qui procure une place de sous-maitre ou de maître. Après une 
pratique d'au moius deux ans et un examen, le candidat obtient une place 
définitive dans une école populaire. Pour obtenir uue place dans les écoles 
bourgeoises, il faut avoir pratiqué pendant '.i ans dans les écoles populaires 
et passer ensuite un examen satisfaisant. 

//me partie. — Dans la seconde partie de son travail. M. C. Kraus cri- 
tique surtout les méthodes d enseignement, il expose les tendances de l'en- 
seignement moderne en Autriche et il se fait l'écho des desiderata des 
pédagogues progressistes. En particulier, la revision du programme des 
écoles populaires est souhaitable et M. Kraus sous-entend. je crois, que 
c est surtout pour rendre plus effective l'application du programme. De 
même, le cours complémentaire ajouté aux écoles bourgeoises, dans le but 
de combler les lacunes qui existent entre renseignement donné dans ces 
écoles et les écoles supérieures n'a pas rendu les services qu'on en atten- 
dait, aussi a-l-on proposé d'étendre plutôt l'enseignement des écoles bour- 
geoises à i ans llO ans à 14 ans), au lieu de 3 ans d'études. D'autres pen- 
sent qu'il faudrait les transformer en écoles moyennes supérieures. 

La question de la co-éducation des sexes n'a pas été souvent agitée et ne 
semble pas préoccuper les pédagogues. 

M. Kraus trouve qu il n'est pas suffisant que les élèves connaissent les 
corps et les surfaces géométriques et qu'ils sachent en calculer les éléments, 
il faudrait qu'ils sachent les représenter. De même, il faillirait étendre les 
connaissances des élèves dans le calcul littéral. 

I.e calcul avec fractions ordinaires n'ayant pas une très grande importance 
pratique, il Faut en restreindre l'usage aux fractions à faible dénominateur. 
Les rapports et les proportions devraient, au contraire, avoir une place plus 



NO TES I. I DOCUM I \ I s |,, :; 

importante; on devra les appliquer aux calculs d'alliages, de uni. m. 
non pas en l'aire des calculs théoriques vides de sens <> M devrait supprimer 
remploi de la règle conjointe qui a ! esl d'aucune utilité. D'autre part, '>n 
devrait donner aux élèves une idée de la notion de (onction (par exemple, 

au yen des grandeurs proportionnelles), On pourrait, dans l«s degrés 

supérieurs des écoles bourgeoises, faire trouver des Fonctions empiriques. 
Les «aïeuls d assurance, d'arithmétique commerciale mil droit ù une plus 
grande place dans l'enseignement. La représentation graphique des fonc- 
tions aurait cet avantage de relier encore plus intimement qu'< I< fait 

l'arithmétique et la géométrie. Quand op aura introduit la géométrie des- 
criptive et représentative, on pourra alors laisser tomber cette ancienne di- 
vision de la géométrie en planimétrie et stéréométrie. Enfin, dans les c "s 

supplémentaires, il serait bon de donner aux élèves des notions pratiques 
d'arpentage et de triangulation. 

D'après M. Kraus il n'y a pas lieu de changer le système d épreuvi - i I 
d'examens actuellement en vigueur. On a abandonné l'idée d'instituer des 
examens finaux, car ce système, appliqué dans les .'roi.— supérieur) 
loin d'être satisfaisant. 

Quant aux méthodes, on s'accorde généralement à trouver que la méthode 
henristique esl la meilleure. Il faut chercher à appliquer ce précepte de 
Pestalozzi : < L'activité personnelle seule forme une instruction et non pas 
seulement l'étude mnémonique ». M. Kraus esl d'avis qu il faut faciliter la 
recherche par le dessin (Kraus-Habemal, I e ' Manuel de calcul, édition B 
Il insiste particulièrement sur les avantages de I enseignement géométrique 
base sur la représentation des corps et les exemples pris dans la vie écono- 
mique, commerciale ou industrielle. 

Parlant ensuite des relations des différentes branches de- mathématiques 
entre elles, M. Kraus pense que dans les école- populaires il faut séparei 
davantage la géométrie du dessin et la rapprocher plutôt de l'arithmétique 
et que dans les écoles bourgeoises il faut réunir dans la main du même 
maître l'enseignement des mathématiques et relui du dessin et ceci pour 
sauvegarder l'homogénéité de l'enseignement mathématique. 

Ou a déjà vu l'importance du dessin dans renseignement mathématique. 
M. Kraus souhaite qu'on se rapproche davantage de la nature et que l'on 
fasse 'lu dev>in d'après les corps usuels. Dans les degrés supérieurs on 
déviait abandonner la perspective cavalière pour adopter la perspective 
normale. M. Kraus applique le dessin géométrique et représentant ati\ 
levés 'le plans, à la triangulation, à la détermination des situations (plans 
d'irrigation, de construction, etc.), alors que jusqu'à présent, dans ce do- 
maine, on se bornait au calcul des prix de revient, des bénéfices et de la 
comptabilité. La physique également deviendra plus attrayante lorsque 
1 élève saura faire des mesures de longueur, d'angles, de surfaces, de den- 
sité, de poids, etc. De même, en géographie, les cartes cesseront d'être 
abstraites pour les élèves quand ils sauront lever le plan d.- leur «lasse. .1. 
leur bâtiment d'école ou même d'un terrain. Dans I. degré supérieur on 
pourrait même faire quelques observations astronomiques élémentaires el 
appliquer ainsi les connaissances acquises sur les angles sphériques Pous- 
sant son principe de la pratique jusqu'aux conséquences extrêmes M Kraus 
propose que l'on prenne «l«'s exercices de calcul dans !<• domaine économique 
«■t social, par exemple, l'offre et la demande, le crédit el I emprunt, l'impôt, 
!«■ cadastre, lés caisses «I épargne, les assurances, etc 



1 6 '. N o T i: S /•; T DOCD M /. N T S 

Le préjugé que beaucoup d'élèves nourrissent contre les mathématiques 
proviendrait, pense M. Kraus, il<' ce qu'on demande à toutes les intelli- 
gences ce que seules quelques intelligences peuvent fournir. Quand, dans le 
courant de la \ie les règles mécaniques el mnémoniques <l un enseignement 
purement formel sont oubliées, I esprit est incapable de les retrouver, 
tandis que si l'intelligence est en possession d'une méthode rationnelle, si 
elle a été éduquée, elle pourra plus facilement résoudre les difficultés. Il 
faut [jour cela que la marche de l'enseignement soit réglée sur les élèves 

eux-mêmes, de façou qu'aucune lacune ne subsiste dans leur instruction. 

Extrait de Bibliographie. — a) Manuels méthodiques — .1. Arobros, 
6 vol, 3e édit. — H. Brseuligam,2e édit., 1896. — J. Breier, 1908. — H. Fitzga, 
IS'.i: et 1898. — K. Kraus, 1895, 2« édit., 1906. — Kraus-Habernal, 2« édit.. 

1908. — Fr. Mocnik, 1880, revu par A. Kollilsch. 1903. — J. Nagel, 1902. 

— K. Schubert, 1879. — K. Streng-Zuckersdorser, 2 vol., :> c édit.. 1908. 

I>i Livres de calcul pour les écoles populaires. — J. Ambros-F. Kopetzky, 
.") cahiers, 15 édit. — J. Breier. 1908. — Kraus-Habernal, 1901 et édition B, 

1909. — P. Legerer, 3 parties. 1903. — F. V. Mocnik. revu par Kraus et 
llahernal. — J. Nagel. — lv. Slreng-Winlersperger, ti cahiers, 1905. 

c Livres d études pour écoles bourgeoises. — J. Ambros-Kopel/.kv. 3 ca- 
hiers. — Jahne-Bai biseh. .'! degrés. — P. Legerer, 3 parties. — F. v, Moc- 
nik, revu par H. Halbgebauer el R. Neumann, dessin géométrique, ;> cahiers. 

— J. Nage], :> cahiers. — F. Napravnik. — J. Niltner. — F. Villicus- 
E. Schiebel. — F, Worluer. 



Les écoles techniques supérieures . 

Der mat hem. Unterricht an den technischen Hochschulen* , von E. Czobkk. 
— En vue de la rédaction de ce rapport, l'auteur a adressé un questionnaire 
aux professeurs des différentes sections des écoles techniques supérieures 
d'Autriche. Dans son travail, il a surtout pris en considération l'école supé- 
rieure de Vienne, qui, du reste, peut servir de modèle. Les idées de réforme 
et les souhaits formulés dans les réponses au sujet de l'enseignement tech- 
nique ont été particulièrement signalés. 

Dans un premier chapitre, l'auteur nous parle de l'organisation générale 
des écoles supérieures techniques et de leur division en sections qui rappel- 
lent un peu les (acuités universitaires, mais qui en diffèrenl cependant sen- 
siblement au point de vue de leur organisation. 

Les mathématiques figurent dans les programmes de toutes ces sections. 
elles forment, pour ainsi dire, leur branche de ralliement, le terrain sur 
lequel les représentants de ces diverses sections peuvent s entendre. Consi- 
dérées à ce point de vue-là, les mathématiques jouent un rôle plus impor- 
tant dans les écoles techniques supérieures qu à l'université où elles ne sont 
représentées que clans une seule faculté. 

L'Autriche possède sept écoles techniques supérieures, qui sont les sui- 
vantes (on a indiqué la langue employée dans les cours el la fréquentation 
des semestres d'hiver et d'été de l'année I90n-1907i: 



1 Berickte liber den malhem. Unterricht in Œsterreick. Hefl ■'>. :'.'.i p. — Hésuiné par M. J.-P. 
Dumur (Genève 



.V O TES A' T I) <) ( / M EN r s 



I6ô 



Vienne 

Graz 

Prague 

Prague 

Brùnn 

Brùun 

I icnibei' 



(allemand l m .»s:: -27 'i S) 



(allemand 
(allemand 
I bohème : 
(allemand 
i bohème : 
(polonais : 



675-588) 
957-888] 

2470-2300) 
642-642) 
S00-343) 

1610-1339) 



Pour être admis, il faul présenter le diplôme de maturité d'un des établis- 
sements: « Gymnasium, Realschule ou Rcalgymna'sium ». 

Dans un deuxième chapitre, l'auteur aborde renseignement mathématique 
proprement dit, son but cl son étendue. Dans les écoles techniques supé- 
rieures, le principe de la liberté de 1 enseignement est en vigueur comme à 
l'université. Cependant, une explication est nécessaire, L'étudiant est bien 
libre, ihéoriquement, de choisir ses cours à sa fantaisie et de suivre dans un 
ordre quelconque ceux qui sont exigés pour l'obtention d'un grade; mais en 
réalité les choses se passent autrement et l'on recommande aux étudiants île 
suivre des plans d'étude où ils trouvent des indications précises sur les 
cours, l'ordre dans lequel il tant les suivre et le nombre de semestres qu'ils 
doivent consacrer à leurs éludes. 

Eu ce qui concerne les mathématiques pures, il faut distinguer deux cours 
principaux, l'un de quatre semestres pour- les ingénieurs et les étudiants 
pour la construction des machines, l'autre de deux semestres pour les sec- 
tions de construction (Hochbau)el de la chimie. 

En outre, un certain nombre de cours spéciaux viennent s'ajouter à ces 
cours généraux. Le cours de quatre semestres (Mathématiques I et II) com- 
prend le calcul infinitésimal el la géométrie analytique plane et de l'espace 
traités de façon à pouvoir servir de base aux autres branches de l'enseigne- 
ment : mécanique, physique, géodésie; à permettre à l'étudiant la lecture 
des livres techniques et à lui donner une indépendance mathématique suffi- 
sante. L'autre cours, de deux semestres (Eléments de mathématiques supé- 
rieures), comprend également le calcul infinitésimal el la géométrie analyti- 
que plane et de l'espace, mais seulement ce qu'il est nécessaire de connaître 
pour la compréhension des cours de physique et des éléments de mécanique. 

Voici, par exemple, pour Vienne, le nombre d'heures consacrées à ces cours 
principaux : 

Mathématiques I .... I. M, VK, GK 5. 

Mathématiques II I, M, VK 5. 

Eléments de mathématiques supérieures II, C 4. 

Les désignations I, .M, VK. (ilx, H, C signifient : ingénieurs, machines, 
technique des assurances (actuaires), géodésie, construction, chimie. 

L'auteur nous donne ensuite le programme détaillé de ces cours. On sait 
que durant ces dernières années la notion de fonction a été introduite d'une 

façon plus systématique dans les programmes des écoles mov< 's. ainsi 

que les éléments du calcul infinitésimal. La question se pose de savoir s'il 
rsi nécessaire que les écoles techniques supérieures reprennent ces sujets. 
L'auteur pense qu'il faut y répondre affirmativement ; il importe (pie le calcul 
infinitésimal soit repris dès le début afin (pi il constitue une hase solide 
pour l'enseignement ultérieur: Il ne faudrait cependant pas en conclure que 
son introduction était inutile dans les écoles moyennes, an contraire, les 



I.'Rnsoijrnrnioiii niiii licm., 13* année: 1911 



1 ,\ù .Y o T A' S B T DOC V M E N I s 

étudiants en comprendront mieux la portée Lorsqu'ils le reverront une se- 
conde l'ois. 

lui ce qui concerne les mathématiques appliquées, riions le cours sur la 
technique <1 assurance qui dure deux uns à l'école supérieure de Vienue el 
qui comprend, en outre des conférences de mathématiques pures, le calcul 
des probabilités, la slatîstiqueinalhémalique el les mathématiques des assu- 
rances. 

Av.mi d'aborder la question des cours n< bligaloires, l'auteur indique 

le rôle des écoles techniques supérieures dans la préparation des maîtres 
des écoles moyennes. Quant aux cours libres, donnés par des privat-docents, 
il- n'ont eu jusqu'à présent qu un développement très restreint; à l'excep- 
tion cependant de Vienne, où, depuis 1880. 76 cours de ce genre onl été 
annonces. 

L'auteur s'occupe ensuite de la question des examens. Relevons seulement 
que pour le doctorat les mathématiques peuvent entrer en considérai ion de 
deux laçons, soit comme branche de thèse, soit comme sujet d'examen iRi- 
gorosum . Apres cela on trouvera l'exposé des méthodes d'enseignement qui 
sont en vigueur dans les écoles techniques supérieures. Citons les biblio- 
thèques mathématiques qui rendent d'utiles services aux professeurs el étu- 
diants. On a également créé, ces derniers temps (sauf à Vienne/, des biblio- 
thèques spéciales i Handbibliotheken) qui sont à portée immédiate. Aces 
bibliothèques sont réunies des collections de modèles et divers instruments 
mathématiques. 

Enfin, dans un dernier chapitré, l'auteur s'occupe du corps enseignant. 
professeurs, privat-docents, assistants. Il est de première importance que 
le professeur de mathématiques dans les écoles techniques supérieures soit 
un mathématicien dans tout le sens du mot. A l'exception de (iraz, les chaires 
de mathématiques sont pourvues d'assistants dont la lâche est d'aider le 
professeur aux exercices pratiques et dans son travail administratif. 



SUÈDE 

Etablissements supérieurs de jeunes filles 1 . 

Die Mathematik an den kôheren Mddckenschulen in Schweden. — Sous 
ce titre ont été réunis deux rapports concernant l'un, les écoles supérieures 
de jeunes filles, par M" e A. RônsTRÔM, L'autre les écoles normales supé- 
rieures d institutrices, par M. O. Joskpuson. 

I. Ecoles supérieures de jeunes filles. — M" 1- Rônslrôm commence par un 
.aperçu historique du développement de l'enseignement mathématique dans 
les écoles de jeunes filles en Suède, développement dont l'origine est de date 
relativement ancienne, puisque déjà en 1805. les nouveaux programmes 
élaborés aceordenl une place importante aux sciences mathématiques et natu- 
relles, jusque-là passablement délaissées. 

Le plan d'études d'alors, dû à M. F.-YV. Hilton, comprend entre autres 
dans les classes supérieures, pour l'algèbre : les équations du 1 er et du 
2mè degré; pour la géométrie : 4 livres d'Euclide et la résolution d'exercices 
géométriques. Suivant ce plan d études, le luit de l'enseignement des malhé- 



1 Os rapports <>"t été résumés par M"- 11. Masson [Genève] 



not /. s E i docd .1/ e v / s 1 1,7 

matiques doit êlre de développer chez l'élève, la réflexion, l'exactitude du 
raisonnement el l'effort personnel. 

Après l'exposé historique M" e Rônstrôm aborde la question de l'ensei- 
gnement actuel. L'arithmétique est la seule branche des mathématiques qui 
soit enseignée dans toutes les classes des écoles déjeunes filles, son ensei- 
gnement occupe ■ majeure partie du temps consacré aux sciences. Dès la 

l rt ' classe, classe préparatoire (enfants de 6 à 7 ans) ', on lui attribue une 
place importante. 

L'ordre e) l'époque de l'enseignement des matières, entre autres pour 
les Fractions décimales et ordinaires, varie avec les écoles, mais dans la ma- 
jorité «les cas. on préfère commencer par une introduction intuitive des frac- 
lions ordinaires. L'étude des fractions est généralement lerminée avec la 
'i n,e ou 5 ,ue classe: elle est suivie de celle des règles de trois et bien souvent 
on perd un temps précieux en voulant appliquer ce calcul à des problèmes 
<|ui seraient résolus bien plus aisément à l'aide d'une équation. 

D'après le rapport publié en 1888 par la commission scolaire des écoles 
supérieures de jeunes filles en Suède, le calcul au moyen d'équations n'était 
alors enseigné que dans 18 écoles déjeunes filles ; actuellement il est ensei- 
gne presque partout, à des degrés très divers il est vrai, mais en moyenne 
<les la li"" - ou 7"" classe. Même, l'algèbre proprement dite, sous forme de 
calcul avec des lettres, est aujourd'hui enseignée dans les 2 dernières classes 
élémentaires [7" ,e et 8 ,1,e classes) de beaucoup d'écoles. Le programme de la 
majorité des écoles se borne aux réductions algébriques simples, nécessaires 
à la résolution des équations. Pour quelques écoles, cependant, il comprend 
le calcul algébrique fractionnaire, la racine carrée et les équations du 
2me degré. 

La géométrie est en général traitée comme si elle n'avait aucun rapport 
avec les autres branches des mathématiques et elle a rang de branche facul- 
tative, sans aucune raison apparente. En effet, le plan d'étude des écoles 
normales de 1865 ne la mentionne nulle pari comme étant une étude faculta- 
tive, et malgré cela, le rapport de 1888 de la commission des écoles de jeunes 
filles signale le fait que la géométrie est une branche facultative dans les 
écoles de jeunes filles et il se contente de conclure qu'il n'y aurait au reste 
aucun avantage à rendre cette étude obligatoire, tant que l'ancien manuel et 
sa méthode surannée seront eu vigueur. 

Il a paru depuis bien des manuels, mais l'étude de la géométrie n'en est 
pas moins restée facultative et réservée, à quelques exceptions près, aux 
classes supérieures. 

Le programme comprend ordinairement 3 ou 4 livres d'Euclide. 

La le/me de livre est parfois enseignée, soit dans les classes supérieures, 
soit surtout dans les classes complémentaires, (".es classes complémentaires, 
qui n'existent pas partout, ûe présentent pas un grand intérêt au point de 
vue de renseignement mathématique, celui-ci en ('tant presque complètement 
exclu. 

Le temps total accordé aux mathématiques dans les classes dites élémen- 
taires est en moyenne de 24 b. par semaine (de 30 heures en comprenant les 
classes préparatoires). 



1 Le cycle des études dans les ('•cotes de jeunes filles en Suède, comprend actuellement 3 
classes préparatoires et 8 classes dites classes élémentaires, la classe I correspond au degré 
inférieur, la classe 8 à la dernière année d'étude. 



1 68 N 1 i: S ET DOCV M E .Y T s 

Les écoles supérieures déjeunes filles n oui eu général pas d'examen pro- 
prement dit. Le certificat «le sortie de la dernière classe «le l'école normale 
de l'Etal pour jeunes lilles sert de diplôme de capacité, ei toutes les écoles 
supérieures déjeunes filles justifiant <1 une organisation équivalente à celle 
de l'école normale peuvent obtenir les mêmes droits pour leurs certificats de 

Sortie, soit une partie de ceux accordés au diplôme des écoles réaies ; de 
plus ils donnent, entre autres, accès au séminaire supérieur pour institutrices. 
Classes supérieures ou gymnases. — Il existe en Suède S écoles supé- 
rieures en relation avec des classes supérieures ou gymnases, préparant à 
l'examen de maturité. Parmi celles-ci 3 ont '2 sections, une section réale et 
une section avec du latin. Ceux de ces gymnases dont l'organisation est ter- 
ni inee sont formés de 3 ou de 4 degrés. 

Le plan de l'enseignement se basant sur les exigences de l'examen de ma- 
turité, le programme est presque identique à ceux des gymnases de jeunes 
gens et des écoles moyennes préparant à la maturité. 

Le dernier degré comprend le plus souvent, outre une revision générale, 
les éléments île planimétrie, de trigonométrie et 1 emploi des coordonnées 
cartésiennes ; pour la section réale des notions plus complètes de trigono- 
métrie, la stéréométrie et la géométrie analytique. 

Les programmes de ces gymnases subissent actuellement ches transforma- 
tions dont la principale est 1 Importance croissante donnée à la notion de 
fonction. La section réale aborde la notion de quotient différentiel déduite 
des applications graphiques. 

M" 1 ' Ronstrom termine par un exposé des méthodes en vigueur à l'Ecole 
supérieure élémentaire de jeunes lilles, à Lund. bien qu'elles diffèrent en 
bien des points de celles des autres écoles supérieures de jeunes tilles en 
Suède. 

Les fractions y occupent une place prépondérante. M 1,e Ronstrom expose 
les raisons qui ont amené à traiter les tractions ordinaires avant les frac- 
tions décimales. 

Les équations sont introduites, tout naturellement, dès la 5 me classe,, 
comme traduction en langage mathématique de la donnée des problèmes. 

Le cours de la classe supérieure résume les matières étudiées, fait res- 
sortir les relations entre l'arithmétique ei l'algèbre et met ainsi en lumière 
les lois générales du calcul mathématique. 

L'enseignement de la géométrie n'est pas facultatif, il commence déjà dans 
la troisième classe élémentaire (âge moyen : 11 ans). Font partie du pro- 
gramme : le théorème de Pylhagore, initiant aux nombres irrationnels; 
1 élude du cercle aux nombres transcendants, tels que 7r ; les théorèmes sur 
les proportions et leurs applications; enfin, des notions de géométrie dans- 
l'espace et, pour terminer, un exposé des ouvrages et des méthodes d'Kuclide. 
IL Ecole normale supérieure pour institutrices. — L'importance crois- 
sante qu'a pris renseignement des mathématiques dans les écoles supérieu — 
res de jeunes filles en Suède a comme corollaire naturel une extension de 
renseignement mathématique de l'Ecole normale supérieure pour institutri- 
ces, chargée «le former des maîtresses pour les écoles supérieures, ainsi 
que, depuis 1905, pour les écoles moyennes de lEtat (écoles réaies en 6- 
classes). 

Le plan d'études de ces écoles est actuellement en voie de transforma- 
tion, aussi M. Josephson donne-t-il un aperçu de ce qui a été jusqu ici. Le 
cours des éludes est de 3 ans et comprend des branches obligatoires pour- 



NO TES E I DOC UMEN TS 169 

ions el des branches pour le choix desquelles une certaine liberté esl lais- 
sée à l'élève. Les mathématiques) obligatoires la première année (3 heures 
par semaine), sonl facultatives les deux dernières. 

Il a naturellement fallu tenir compte, dans l'élaboration des programmes, 
de la préparation acquise par les élèves dans les «S classes élémentaires des 

écoles de jeunes lîlles, où lc> notions d'algèbre enseignées sont, | r le 

moment, généralement encore très élémentaires et où l'étude de la géomé- 
trie est, dans la majorité des cas, facultative II s'cnsuil que le programme 
«lu séminaire supérieur donne pour 1 année obligatoire : 

Arithmétique. Les \ opérations avec les nombres entiers et fractionnaires 
et Icms applications les plus simples (règles de irois, calcul de pour cenl 
el d'intérêt, règles de société et règles d'alliage). 

Géométrie. Application de notions intuitives à des problèmes en planimé- 
t rie el en stércomél rie. 

Toutes ces notions ont été naturellement étudiées déjà avant l'entrée au 
séminaire. Le but des études du séminaire est plutôt d'approfondir que 
d'étendre les connaissances, c'est pourquoi elles consistent en une revision 
systématique de l'arithmétique el de ses diverses applications; on y adjoint, 
■depuis une dizaine d'années, les éléments de la théorie des équations (équa- 
tions du l ep degré, principalement à 1 inconnue). Pour la géométrie, le champ 
parcouru correspond à peu près au I er et 3 me livre d Euclide; actuellement, 
les éléments <l Euclide ont été remplacés par un ouvrage plus moderne. 

Pour les deux dernières années, Le fait que, d un côté, les cours étant 
facultatifs, les élèves sont relativement peu nombreuses et que, de l'autre, 
elle-, montrent en général de réelles aptitudes, a permis d'embrasser un 
champ assez étendu. 

Les cours sont actuellement de * heures par semaine pendant les '1 années 
■et le programme rempli est équivalent à celui du gymnase réal : théorie des 
équations (1 er et 2 me degré à une et plusieurs inconnues), logarithmes, pro- 
gressions arithmétiques et géométriques avec application aux intérêts com- 
posés el annuités, trigonométrie plane et stéréométrie. Depuis quelques 
années il a même été possible de terminer ce programme déjà dans la 
'2 n ' v classe du séminaire, ce qui a permis de consacrer la 3 llie année à la géo- 
métrie analytique et aux éléments de calcul différentiel et intégral. Les cours 
facultatifs et obligatoires se terminent par un examen. A ces ',i années d'étude 
•est adjoint un i me cours de mathématiques qui est plus particulièrement des- 
tiné- aux maîtresses sorties en bon rang du séminaire et qui. après une ou 
plusieurs années de pratique, ont le désir et le loisir de poursuivre plus 
spécialement l'élude dune branche. Le programme de cette 4" le année est 
1res variable, il consiste soit en leçons proprement dites, soit en conférences 
sur certains chapitres de géométrie aualytique, de théorie des équations, 
de calcul différentiel et intégral, etc. Il est délivré des certificats spéciaux 
pour cette i"" année. 

Outre l'étude théorique pure, le séminaire comprend renseignement de la 
méthodologie des diverses branches, enseignement donné sous forme de con- 
férences par les maîtresses supérieures Spéciales des écoles normales de 
1 Etal pour jeunes tilles, tandis que l'enseignement théorique esl donné par 
des maîtres attachés au séminaire. 

La nouvelle organisation du séminaire supérieur pour institutrices entrera 
bieulôl en vigueur el marquera un progrès sur ce qui a été déjà accompli. 

Il est de plus ;'i prévoir que. en ce qui concerne les mathématiques, les 



170 NOTES ET DOCV M E N T S 

conditions d admission deviendront plus sévères et qu'il deviendra ainsi 
possible de terminer déjà dans le degré inférieur le programme parcouru 
actuellement dans la 3 me année d'étude; les 2 dernières années seraient 
alors employées à I étude, aujourd'hui réservée pour la i nu ', ce qui permet- 
trait d'étendre encore le programme de cette dernière. 



Ecoles réaies. 

Die Mathematik un dm schwedischen Kea.lschu.len, von E. Hallcrbn u. 

E. Gokansson. — Le rapport, dont nous indiquons ici les principaux traits, 
comprend 2 parties; la première, due à M. Hallcren, concerne les écoles 
réaies de .jeunes gens et la seconde, par M. Gokansson, l'enseignement ma- 
thématique dans les écoles réaies et mixtes. 

L'enseignement mathématique dans les écoles réaies pour jeunes gens. 
L'auteur montre le but de ces écoles, dont l'organisation actuelle date de 
1 90 * ; à celte époque les établissements d'enseignement supérieur en Suède 
on été divisés en Ecoles réaies et Gymnases et ceux de l'enseignement infé- 
rieur ont été transformés en écoles réaies. 

L'école réale est chargée de l'instruction publique moyenne eu dehors de 
1 école primaire. La durée des études y est de 6 ans et ce cycle se termine 
par l'examen d école réale « Realschulexamen ». L'enseignement mathéma- 
tique comporte 5 h. par semaine et par classe, sauf pour la l' e et la 5 me où 
ce nombre est réduit à 4. L'enseignement n'est plus, comme autrefois, basé 
presque totalement sur la mémoire, il doit, selon l'avis de tous, tendre à dé- 
velopper l'intelligence. 

L'enseignement sorti de la nouvelle organisation a changé de principe 
directeur. Son but étant devenu plus pratique, il ne doit plus être un ensei- 
gnement formel avec, comme seul idéal, la préparation à renseignement 
supérieur, mais il doit formel - un tout par lui-même, ce qui ne présente, au 
reste, pas d'inconvénient grave pour l'enseignement subséquent. Dans les 
écoles réaies l'enseignement mathématique comprend l'arithmétique et la 
géométrie. Le cours d'arithmétique des 3 classes inférieures comprend, 
comme auparavant, les 4 règles avec les nombres entiers et fractionnaires et 
leurs applications, règles de trois, calculs de pourcentage et d'intérêt, ainsi 
que le système métrique. L étude des équations commence dans la 4" ie classe 
et se continue dans les 5 rae et 6 me classes. Le calcul littéral, autrefois ensei- 
gné, a été supprimé, sauf dans la mesure où il sera jugé nécessaire pour la 
résolution des équations, ces dernières étant considérées non comme un but, 
mais comme un moyen Le programme comporte la résolution d'équations 
du 1 er degré à 1 et 2 inconnues. Dans la 6 me classe, les élèves abordent les 
racines carrées et leurs applications principalement à des problèmes du 
plan, ainsi que les calculs d intérêts composés pour lesquels il est fait usage 
de tables. Quelques notions de représentation graphique sont également 
données. Pour la géométrie un cours élémentaire sur les ligures planes et le 
cercle est donné dans les 3 dernières années. L'enseignement de la stéréo- 
in*l rie est limité à un aperçu sur les propriétés les plus élémentaires des 

corps gé étriqués dans l'espace avec, comme application, quelques mesures 

de surfaces et volumes. 

Le plan d'étude prévoit un cours complémentaire sur les principes fonda- 
mentaux de la géométrie dans l'espace, mais le manque de temps oblige à 



NO TES i: r doc i m i: \ i s 1:1 

le laisser de côté. L'enseignement de la géométrie est'; en général, de '_' h. 

par semaine dans lès i me et 5 me classes et de I h. dans la 6 Les élèves 

reçoivent également quelques notions de comptabilité. M. Hallgren revient 
encore à la question du but que doit poursuivre l'enseignement mathémati- 
que à 1 école réale ; !>m essentiellement pratique, qui nécessite dos méthodes 
d'enseignement pratiques, d'où l'emploi des équations Cependant, la résolution 

d'nn problème par équation ne doit pas exclure systématiquement le 

raisonnement lorsqu'il peut être utile, les 2 méthodes doivent se compléter 
et non s'exclure. L'élève devra être Familiarisé aussi bien avec le calcul écrit 
qu'avec le calcul mental. 

En ce (|ni concerne la géométrie, l'enseignement a aussi changé d'aspect ; 

né auparavant selon la méthode dite d'Euclide, il est actuellement préparé 

dans la .'!""' classe par des constructions pratiques et des exercices de me- 
sures pour devenir peu à peu plus théorique. M. Hallgren indique la place 
que doit occuper le dessin dans cette étude. Il termine son rapport parles 
conditions d'admission exigées des titulaires des chaires de professeurs à 
l'école réale. chaires qui comprennent - à :! branches d enseignement. 

La sous-commission suédoise de la commission internationale de l'ensei- 
gnemenl mathématique avait envoyé un questionnaire destiné à la renseigner 
sur l'opinion des maîtres des écoles réaies et M. Gôransson l'apporte sur le 
résultat de cette enquête, réponses émanant soit des directeurs de ces écoles, 
soit de la réunion des maîtres en question. M Gôransson passe en revue 
l'enseignement de 1 arithmétique, de l'algèbre et de la géométrie à la lumière 
des réponses obtenues; la place nous t'ait défaut pour donner un résumé de 
celle étude. Elle est suivie d un cliapilre contenant des observations géné- 
rale-., intitulé «vœux relatifs à l'enseignement mathématique»; L'opinion 
presque unanime est que le temps accordé à 1 élude des mathématiques est 
trop restreint, 'fous sont d'avis, à quelques exceptions près, qu'il est impos- 
sible de restreindre le programme des cours, il serait plutôt nécessaire d in- 
Iroduire a l'école réale l'étude des éléments de trigonométrie. 

M. Gôransson termine par une étude de l'enseignement mathématique dans 
les croies mixtes de l'Etat (écoles mixtes ou écoles de coéducation), 

I. ors de la réorganisation générale des établissements supérieurs d'ins- 
truction, en 1904, quelques écoles furent transformées en écoles mixtes. Ces 
écoles sont organisées comme les écoles réaies et se terminent comme elles 
par l'examen dévoie réale. 

En ce qui concerne les mathématiques, l'opinion prévalenle est. que seu- 
les ies jeunes tilles bien douées suivent avec fruit un enseignement mathé- 
matique qui ne fatigue pas les jeunes gens de capacités moyennes. Dans les 
:! classes supérieures spécialement, ou constate parfois une certaine incapa- 
cité, chez les jeunes filles, à profiter de cet enseignement d une manière sa- 
tisfaisante. 11 faut ajouter, cependant, que quelques rapports émettent l'opi- 
nion absolument opposée, disant qu'wil n'est pas rare que les jeunes filles 
se monlrenl supérieures aux jeunes gens dans les étude.- théoriques pures > 
ou encore que, si les jeunes filles réussissent moins bien pour les mathéma- 
tiques, cela s explique par le fait que, venant d'une école de jeunes filles et 
entrant dans une classe supérieure d'école mixte, elles sont retardées dans 
l'étude des mathématiques par une préparation antérieure insuffisante. 

Les écoles mixtes étant de création récente. M. Gôransson estime qu il 
est encore impossible de conclure en présence des affirmations contraires, 
émises par des personnes compétentes. 



172 NOT i: s /•: r doc i m i: v / s 



1rs mathématiques dans les universités suédoises. 

Die Mathematik nu den schwedischen Universitaten, von l) 1 ' A. YYimajs 
Upsala). — En Suède, les mathématiques sont représentées dans les uni- 
versités d'Upsala el «le Lund, universités tic l'Etat, et à l'Ecole supérieure 
de Stockholm, « Hochschule». Par contre, celle élude n'a pas de représen- 
tant à l'Ecole supérieure de Gotenburg. Chacun de ces trois premiers éta- 
blissements a une chaire comprenant la mécanique rationnelle et la phy- 
sique mathématique et possède ou possédera bientôt deux chaires de mathé- 
matiques pures 

Tandis que, pendant la dernière décade, à Lu ad, la tendance a été plutôt 
du côté de la géométrie; dans les '2 écoles supérieures suédoises du nord, 
I étude de l'analyse supérieure a prédominé. A Stockholm, le domaine d'en- 
seignement de l'un des professeurs doit être l'analyse mathématique supé- 
rieure, et. à Upsala, un édil royal de 1X99 décrète que l'un ries professeurs 
traitera spécialement l'algèbre et la théorie des nombres, et l'autre la théo- 
rie des fonctions. 

En ce qui concerne renseignement de l'astronomie, remarquons que ce- 
lui-ci est donné à Stockholm par les astronomes de l'Académie royale des 
Sciences. A Upsala et à Lund, il y a à cel effet un professeur et un astronome. 

M. Wiman donne des détails sur les exigences anciennes et actuelles au 
sujet des examens en philosophie et des certificats de capacité d'enseigne- 
ment. Il consacre également quelques chapitres à l'organisation des exa- 
mens, aux plans d'études, aux connaissances exigées et aux livres utilises 
dans ces établissements. Sauf pour les éléments, les livres se recrutent na- 
turellement surtout parmi les ouvrages de l'étranger. 

A propos des méthodes d'enseignement, il est maintenant établi que ce- 
lui-ci doit être conçu en vue des examens. Les branches qui seront sujet 
d'examen doivent, chaque année, être traitées daus des conférences et des 
exercices. Les cours publics consisteront, soit en une vue d'ensemble fai- 
sant partie du champ de l'examen, soit en une étude plus approfondie d'uu 
sujet spécial. 

Les universités possèdent des collections de modèles el des bibliothèques 
de séminaire. M. Wiman termine par un résumé des desiderata. 11 conclut 
entre autres qu'il est évident qu'une préparation de 7 semestres seulement 
est trop courte pour les examens concernant un diplôme, tel que le diplôme 
vénérai de capacité d'enseignement. 



IUHUOGKAIMI1K 



I.. Bekzoi.aki. — Geometria analitica, I; Il nietodo délie coordinale |Col- 
lecliou Manuali tfoepli). — I vol. 16°, 109 |> : •'! L.; Li. Hoepli. Milan. 

Ce nouveau volume de la Collection Hoepli est consacré à l'étude des mé- 
thodes de coordonnées en usage en Géoraélrie analytique et projective avec 
les applications à la mesure îles angles, des distances, des aires, etc. C'esl 
avec quelques compléments, la reproduction des leçons que l'auteur fail à 
l'Université de Pavie. 

A la fois 1res clair et très concis, 1 exposé de M Berzolari constitue une 
excellente introduction à la Géométrie analytique à deux et à trois dimen- 
sions. 

A. Bkh.i . — Vorlesungen zur Einfùhrung in die Mechanik raumerfùllen- 
der Massen. — l vol. in-8°, 236 p., 7 M. ; B. G. Teubner, Leipzig 

Excellent ouvrage destiné à Familiariser le jeune mathématicien avec les 
idées nouvelles qui se sont introduites récemment eu Mécanique et ont remis 
on discussion jusqu'aux principes mêmes de celte science. A côté d'un cha- 
pitre introductif consacré au point matériel et au corps rigide, où les idées 
de H. Hertz sont mises largement à contribution, l'auteur aborde successi- 
vement les divers chapitres de la Dynamique des milieux continus, fluides, 
élastiques, et quasi-élastiques (élasticité de l'éther lumineux dans la théorie 
de Mac-Cullagh), pour Unir par une exposition rapide de la théorie électro- 
magnétique de la lumière et le principe de relativité. 

Le traité du savant professeur de Tiibiugue peut être chaudement recom- 
mandé comme une introduction, à la fois concise et suffisamment complète. 
aux théories fondamentales de la Mécanique physique. C. Cailliïk (Genève). 

F. -G. Farault. — Astronomie Cambodgienne. — 1 vol. in-4°, 283 p. : 20 fr. ; 

Schneider, Saïgon. 

Cette étude historique représente un travail considérable, tant au point 
de vue des recherches de documents qu'à celui de la langue. Elle apporte 
d'importantes contributions, non seulement aux astronomes et aussi aux 
savants indianistes 

M. farault expose d'abord la méthode pour les mesures du temps les 
divisions du jour el de la nuit, la semaine, les mois lunaires et solaires, les 
années et leur nom dans la série duodénaire ainsi que le numéro dans la 
décade à laquelle chacune appartient et les dates de fondation des quatre 
ères connues des Rhmers : les mesures pour fixer dans le ciel la position de 
tous les Astres el le système planétaire. 

Sous une forme européenne, il donne et commente les formules empiri- 



i ; 'i /,• / />' /. / o G h a i> u 1 1: 

■ I ii i's qui servenl aux différents calculs des mouvements du Soleil et de la 
Lune el des aul res planètes. 

La première partie comprend : 

Les six principaux Eléments, base de cette Méthode astronomique, la dé- 
termination des longitudes, moyenne et vraie, du Soleil cl de la Lune; le 
Nakhattareux, le Tiilii. el leur application sur le zodiaque; les calculs pour 
fixer le commenceraenl de chaque année solaire et ceux pour dresser le ca- 
lendrier en mois lunaires, suivant trois types déterminés par les règles des 
anciens savants khmers ; l'application de tous ces calculs à la vérification des 
dates des vieux écrits, des inscriptions des monuments du Cambodge, <|ui 
peuvent également servira celle des monuments de Campa du Siam, de la 
Birmanie, de Java, el de plusieurs pays de l'Inde, dont la Méthode astrono- 
mique est la même que celle des Khmers. 

L'ensemble de ces articles constitue un travail absolument nouveau 
qu'aucun ouvrage publié jusqu'à présent sur l'Astronomie de ces différents 
pays d'Asie ne donne. Il complétera utilement les études épigraphiques et 
paléographiques en leur fournissant les moyens d'établir les dates exactes 
des documents historiques. 

Vient ensuite l'analyse des calculs d'éclipsés de Lune et de Soleil, avec 
exemples, el l'explication des nouveaux Eléments déterminés, puis enfin le 
zodiaque. 

Cet ouvrage comble une lacune importante dont l'intérêt sera certainement 
apprécié par le monde savant. 

C. Helm. — Die Grundlehren der hôheren Mathematik zum Gebrauch bei 
Anwendungen nud Wiederholungeu zusammeugestellt. — 1 vol. in-K°, 
'il 9 p.; 13.40 M. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig. 

Ce cours de mathématiques générales est destiné aux étudiants des Ecoles 
techniques supérieures allemandes ; il correspond à l'enseignement que 
l'auteur donne à Dresde aux étudiants architectes, ingénieurs ou chimistes. 
M. Helm a donc dû se limiter aux notions essentielles qui sont indispensables 
à 1 étude des branches techniques. Comme l'exige le but même de l'ouvrage, 
les problèmes el exercices sont empruntés au domaine des sciences appli- 
quées. 

Afin de donner une idée du contenu, nous indiquerons les titres des prin- 
cipaux chapitres: la notion de fonction; limites et dérivées, applications: 
intégration; vecteurs et moments; coordonnées polaires ; coordonnées recti- 
lignes; séries; dérivées partielles: intégrales multiples; géométrie analy- 
tique de la droite, de la circonférence el des sections coniques; équations 
différentielles; intégrales indéfinies et intégrales définies ; interpolation; no- 
tions de géométrie analytique de l'espace; la formule de Taylor, 

E. Lebon. — Paul Appell. Biographie. Bibliographie analytique des écrits. 
(Collection des Savants du -four). — 1 fasc. in-X", 71 p. avec un portrait : 

7 fr. ; Gauthier-Villars, Paris. 

M. E, Lebon vient d'ajouter un nouveau volume à sa belle collection des 
Savants <lu Jour, dont les trois premiers sont consacrés à MM. H. Poincaré, 
G. Darboux et E. Picard. Celte quatrième Notice donne d'intéressants ren- 
seignements biographiques, suivis de la bibliographie analytique des écrits 



H I li I. IOGRA /' Il I E 175 

de M. Paul A.ppkll, doyen el professeur de mécanique à la Faculté des 
Sciences de Paris. 

Nous avons déjà insisté sur la valeur historique <] u > • présentent ces No- 
lices en raison du soin tout particulier avec lequel l'auteur a l'habitude de 
réunir el de présenter 1rs unies bibliographiques 

Paul Natohp. — Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaften. 
— (Collection Wissenschaft und Hypothèse) I vol. in-16, il*> p. ; 6 M. 60; 
P>. ( > . Teubuer, Leipzig. 

Cel ouvrage fait partie de la Collection Wissenschaft und Hypothèse. 
Cette intéressante collection a débuté par la traduction de I.a Science et 
l'Hypothèse el de la Valeur de la Science de .M II Poincaré et contient, 
entre autres, un exposé historique el critique «le la Géométrie non-eucli- 
dienne, par M. 1!. Bonola el une étude îles fondements de la Géométrie par 

M. 1). Il II Kl' UT. 

M. Natorp examine les fondements des sciences exactes an point de vue 
purement logique du philosophe. Il fait une étude critique très approfondie 
sur les idées de quantité, de nombre, de continuité, d'infini, de temps et 
il espace. Toutefois, le lecteur y cherchera en vain un expose critique des 
contributions importantes que la Logique déductive doit à M. Peano et à 
ses disciples. 

M. ir'OcAGNE. — Notions élémentaires sur la probabilité des erreurs. — 

I fasc. in-8°, 'Al p.. 2 fr. ; Gauthier- Villars, Paris. 

II est indispensable que tous ceux pour qui les mesures de précision 
sont d'un emploi fréquent, se fassent une idée juste des erreurs. On com- 
prend «loue que le Ministère des Travaux publics français ait prescrit qu'à 
lEcole des Ponts et Chaussées île Paris, il soit consacré quelques leçons 
aux principes de la probabilité des erreurs.. C'est de cet enseignement 
qu'est né cet opuscule que nous signalons à ceux qui, sans approfondir le 
calcul des probabilités, désirent utiliser ses principes à 1 occasion de re- 
cherches expérimentales. 

L exposé est divisé en trois parties dont voici les objets traités 
I. Rappel de notions de calcul des probabilités. Objet de la théorie des 
probabilités. Définition de la probabilité. Principe des probabilités lotales. 
Principe des probabilités composées. Exemples de calculs de probabilités. 
Probabilité des ('-preuves répétées. Théorème de Bernoulli. Probabilités des 
causes. Théorème de Bayes. — II. Théorie de la probabilité des erreurs. 
Loi de Gauss. Mesure de la précision. Erreur probable. Erreur moyenne 
absolue. Erreur moyenne quadratique. Comparaison de lexpérience avec la 
théorie. Tolérance à admettre sur les déterminations expérimentales. Erreur 
moyenne résultante. Composition rigoureuse des erreurs. III. Principe de 
la méthode des moindres carres. Cas où il n'existe pas d'équation de condi- 
tion. Cas où il existe des équations de condition. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Publications périodiques: 

Annals of Mathematics, published under t ho Auspices of Harvard l niver- 
sii\. Second Séries. Vol. XI. — Cambridge, Mass.. K. L. 
X> 1. — W.-H. Jackson : The Theory of Sliadow Rails. — \V. Marshall : 
Ou a new Method of Computing ihe Roots Bessel's Functions. — E.-B. van 
Vleck : A Functional Equation for the Sine. — W.-H. Jackson : Periodic 
décimal Fractions. — W.-B. Fitk : Concerning tbe Invariant Points ofCom- 
mutative Collineations. — H. Schapper : A New Construction for Cyclôids. 

— G. Rutledge : Meiiic Classification of Conics ami Quadrics by Means of 
Rank. — P. -A. Lamberi : A Method of Solving Linear Differenlial Equations. 

Archiv der Mathematik und Physik, herausgegeben von E. Lampe, W.Meyer, 
E. Jahnke. 16. Band. — B. (i Teubner, Leipzig und Berlin. 
Hefte 2. :> u. ». — Shiiy : Zur Théorie der Riccalischen Schwar/.scheii 
Dilferentialgleichungen. — Fabeb : Zur Théorie der symmetrischeo Funk- 
tionen. — Sturm : Kleinste Poiardreiecke und l'olartetraeder. — Rf.vi; : 
Ueber Tetraeder, deren Kanten eine Flâche zweiter Ordnung berûbren. — 
Lœwï : Bemerknng /.um Satze von Fourier. — Schafhbitlin : Neue Einfûh- 
rung in die Kegelschnittlehre. — Goot : Zur Lehre von der Apolaritât. — 
v. Ignatowsky : Ueber ponderomotorische Wirkungen im elektrostatischen 
Felde. — Blaschke : Ueber einige nnendlicbe Gruppen von Transformatio- 
nen orientierter Ebenen im euklidischen Raume. — Schûssleb : Ueber die 
Konstruktion von Kegelschnitten, welche nurdurch imagina re Bestimmungs- 
stucke gegeben sind. — Kai.lza : Die Tschirnhauslransformation alge- 
braischer Gleichungen mil einer Unbekannten. — Wieleïtxer : Ueber mehr- 
fach perspektivische Dreiecke. — Steinitz : Ueber Konfigurationen. — 
Rezensionen. — Silzunsgsberichte der Berliner Mathem. Gesellschaft. 

Bulletin de la Société Mathématique de France. T. XXXVIII. Paris. 

Fasc. î{ et 4. — '■ Fontené : Système différentiel attaché à la coïncidence 
principale <\ un convexe. — H. Lkbesgue : Sur la représentation trigonomé- 
trique approchée des loue lions satisfaisant à une condition de Lipschilz. — 
R. Pbrrin ; Suc lev lia I plii'u ieniies ou expressions différentielles qu'annule 
L'opérateur caractéristique des covaiiants. — L. Zorretti : Sur les é<[ua- 
tions du mouvement non stationnaire d un fluide visqueux. — L. Zobretti : 
Sur la translation uniforme d'un corps de révolution dans un fluide visqueux. 

— E. Mwimi Sur le- fonctions asymptotiquemenl périodiques. — De 
Spakk : Note au sujef du pendule conique, — Traynard : Suc une surface 
hyperelliplique <lu quatrième degré sur laquelle trente droites sont tracées. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 177 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 

2 e semestre 191Q (suite). 22 août. — M. Fkkf.te : Sur un théorème de 

M. Landau 

12 septembre. — ('. Stôrmer : Théorème sur lis équations générales 'lu 
mouvement d'un corpuscule daus un champ magnétique ci un champ élec- 
trique superposés. 

26 sept. — A. Dumoulin : Sur les familles de Lamé composées de surfaces 
possédant «les points singuliers. — G. Darboux : Remarques sut- la comrou- 
nicalion précédente. — C. Stôrmer: Formes générales des équations du 
mouvement d'un corpuscule dans uu champ magnétique H un champ élec- 
trique superposés. 

:> octobre 1910. — E. Picard: Sur une équation fonctionnelle singulière 
du type de I équal ion de Fredholm 

lu ocl. — S. Berinstkis : Sur une généralisation des théorèmes de Liou- 
ville et de .M. Picard. — F. Robin : Loi de la résistance à l'écrasement de 
corps cylindriques en fonction de leurs dimensions. iVoir aussi séance du 
24 oct.). 

31 oct. — H. Larose : Sur l'extinction des discontinuités par réflexion 
aux extrémités d'une ligne télégraphique: 

7 novembre. — A. Demoulin : Sur certains couples de systèmes triples- 
orlliogonaux. — W. Stekloff : Sur le développement d'une fonction arbi- 
traire en série de fonctions fondamentales. 

I i nov. — L. Bachelifu : Mouvement d'un point ou d'un système matériel 
soumis à l'action de forces dépendant du hasard. 

21 nov. — E. C.vktan : Méthode du trièdre mobile appliquée au cas des 
développables isotropes. — ■ E. Fabrv : Recherches sur l'ordre des points 
singuliers d'une série de Taylor. — A. Chatelet : Quelques applications du 
calcul des tableaux à la théorie des ordres d entiers algébriques. — T. 
Lai. i sci) : Sur une méthode simple d'identification employée par M. B. Hey- 
wood dans 1 étude des noyaux résolvants. — M. Brii.louin : Recherches sur 
le mouvement discontinu de Helmhollz et le cas des obstacles courbes. 

— Vii.lat : Détermination de tous les mouvements permanents plans d'un 
fluide limité par une paroi fixe rectiligne indéfinie et dans lequel un obstacle 
lixe est immergé. 

28 nov. — G. Tzitzeica : Sur un théorème de M. Darboux — W. Stiki oi i : 
l ne application nouvelle de ma méthode de développement des (onctions 
fondamentales. — Paul Lévy : Sur linlégrabilité des équations définissant 
des fonctions de lignes. 

5 décembre. — P. E. Gau : Sur I intégration par la méthode de M. Dar- 
boux. d'une équation aux dérivées partielles fin second ordre quelconque. 

— T. Lalesco: Sur les pôles des noyaux résolvants (v. plus haut). — H. 
Yiii.AT : Sur les mouvements d'un fluide autour d un obstacle de forme don- 
née (v. plus haut). — Lambert : Sur une forme des équations du mouvement 
d'une petite planète. 

12 déc. — M. Servant: Sur les transformations des surfaces applicables 
sur les surfaces du second degré — E. Bu ni. : Sur I application de la mé- 
thode d'approximation de .Newton à la résolution approchée des équations 
a plusieurs inconnues. — L. Autonne : Sur les groupes coramutatifs et 
pseudo-nuls des quantités hypercomplexes. — Galbrun : Sur la représenta- 
tion asymptotique des solutions d'une équation aux différences finies | ' 



178 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

les grandes valeurs «le la variable. — W. Steklof* : Sur la condition de fer- 
meture des systèmes à fondions orthogonales. 

19 déc. — Distribution «les Prix de I Académie (V. la Chronique de YE. 
M. .In 15 janvier 1911). 

"27 lire. — M. Skrvant : Sur les transformations des surfaces applicables 
>ui- dis surfaces du second degré. — T. Lalesgo : Sur les noyaux symé- 
triques gauches. — <■ Kowalrwski : Sue les formules de Frenet dans l'es- 
pace fonctionnel. — L. Zoretti : Sur les équations du m oa vente ut d'un 
liquide visqueux. — A. Gaillot : Théorie analytique et Tables du mouve- 
ment de Jupiter par I." Verrier. Additions et rectifications. 

Zeitschrift fur das Realschulwesen, berausgegeben von Em. Czobkr, Ad. 
Bechtel un Mor. Gloser. — XXXV Jahrg 19Î0; Alfr. Hfilder, Wien. 

X os 7 à 12. — K. Fhosti. : Apparale fur pli ysikalische Schùlerùbungen. 

— E. Czuber: Die Scheileltransversalen des gleichseiligen Dreiecks. — - J. 
Dinkuaiskr : Physikajischc Schùlerùbungen an den ôslerreichischen Miltel- 
schulen. — R. Zdknek : Halbierung der DreiecksQache. — E. Heri.ng : Ueber 
die Erreichung lechnischer Ferligkctten als G-rundlage fiir physikalische 
Schùlerùbungen. — J. Opl : Eine einfache Darstellung der Fusspunkle der 
Normalen, die ans einem gegebenen l'uukte auf die Parabel~géfall werden 
konnen. — K. Mack : Einige Bemerkungen zum Geomelrie-nnterrichte. 

Aux d os 7. 9, 1(1 et U sont ajoutés comme suppléments les fasc. 2 à 5 des 
rapports de la sous-commission autrichienne de renseignement mathéma- 
tique. 

Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, 
herausgegeben von Dr. 11. Schottex. — B. G. Teubner, Leipzig. 
Jahrgang il, .Numéros 1 à 8. — Hack : Beispiele aus der Elenientarmathe- 

matik und verwandlen Gebieten zur Einfùhrting in den Funklionsbegriff. 

— K. Hacgk : Besondere Dreiecke, die mit dem goldenen Srhnitt in Be- 
ziehung stehen. — K. Bochow : Kettenwurzeln und Winkelfunklionen. — 
K. Tkaub : Anschaulicher Beweis fur den Inhall des konvexen Kreis- 
vierecks. — J. Schlesinger : Methodischer Beitrag zum Lehrsatze des 
Pappus. — José f Schlesinger. : Methodischer Beitrag zum Kapitel der 
Flàchenvergleichung ebener Figuren. — J. Dkuxes : Konstrtiktion der 
Doppelpunkte einer involutorischen Punktreihe 1. Ordnung. — W. Misar : 
Arithmelisches und gOometrisches Mit tel — Weill : Uber die graphische 
Bestimmuog der Kreisâache. — Grosse : Eulersche Méthode der Lôsung 
hoherer Gleichuogen. — Grosse : Der schiefe Wurf in der Matheraatik- 
stunde. — K. M. Happacii : Lehrsatze ûber vier Punkte auf einem Kreise. 

— Stillcke : Der Lehrsatz des Hippokrates und die Géométrie krumm- 
liniger Figuren des Leonardo da \ inci. — E. Eckhakdt : Ânalytische und 
geometrische Anflôsung des sphàrischen Dreiecks durch seine o Hôhen. 

— K. Uagge : Einfache Behandlung der Siebeozehnteilung des Kreises. 

— Ernst Meter : Zum Lehrsatz des Moivre. — K. Krusf. : Der Hôhen- 
schnittpunkt im Dreieck. — Fkitz Schùrer : Uber die ra-Ecke, denen 
unendlich viel regelraâssige n-Ecke einbeschrieben werden kônnen. — 
E. Mii.akcii : Elementare Ableitung der Sinusreihe und Kosinusreihe. — 
Wilbelm Lorei : Uber die Genauigkeit bei angevandten Aufgaben aus 
der Trigonométrie. — Joh. Schumacher : Uber Einheitswurzeln.' — K. 



B l I. I. E I I V H I H I. I <) i. 1! A I- Il I Q u I. I 79 

lU.i.i : Eiufache Behaudluug der 257-leilung des Kreises. \\ . Wkbeh 
Eine eiufache Bezichuog au der Parabel. — M. Wackkb u. Mondon : Ein- 
fache Methodenzur Besliinmuug von Kegelschnittsacbseu — 11 Scmn n \ 
Einige Beispielè zur graphischen Darslellung. — 11. \\ i isi : Die Nepersche 
Regel fur «lit* rechtwinklige dreiseitige kôrperliche Ecke. 
Lîterarische Berichle. — Pàdag. Zeituag. 

Archiv der Mathematik und Physik, lierausgegeben von E. Lampe, W. 
Meyek, I'. Jarnke, 17 Baud. — B. G. Teubuer, Leipzig and Berlin. 

Hefl I. — W. v. (gnatowski : Das Relalivilatsprinzip. — 11. Wjeneh : 
Geouaetrische Ableitung der Additionssiitze fur <lic tîyperbelfiinktionen. 

Hefl 2-3. — Bildnis von Eroil Lampe und Widmungsblatl zu seinem 70. 
Geburtstage. — II. Weber : Ueber die Gauss sche Méthode zur angenaher- 
ten Berechnung von [ulegralen. — F. -F. Martens : Bechnungsverfahren 
lui- arithmetische Analyse nach Fouricr. — Fr. Nôlke : Elementare Ablei- 
tung der astroiiomiseben Stôrungsgleichungen. — E. Lôffler : Die arithme- 
tischen Kenntnisse der Babylooier und das Sexagesimalsystem. — K. Kom- 
mekell : Beitrâge zur Pliichentheorie. — E. Fœthke: Anwendung des erwei- 
terten Euklidischen Algorithmus auf Resultantenbildungen. — O. Biehmann : 
Zor Lehre von den NâhcniDgsfuuktionen gegebcner Fuuklionen. — F. 
Kdi.mil : Ueber den planimetrischeu Oii des Kojlineationszentrums zweier 
Dreieeke, die einen Eckpunkl gemeinsam haben. i Lui n Beilrag zur Konstruk- 
tion rationaler Kurven vierler Orduung. — W. Bi.asc.hke : Ein Lehrsalz zur 
Kinematik. — J. Wellsteim : Zusammenhang zwischen zwei euklidischen 
Bildern der nichteuklidischeo Geomelrie. — G. -A. Miller : Groups invol- 
ving only a small number of sels of coujugate operalors. — O. Perron : Ein 
ueues Konvergenzkrilerium fur Jacobi-Ketten zweiter Qrdnung. 



îi. Livres nouveaux: 

H. Andotkr. — Cours d'astronomie. Tome I : Astronomie théorique. — 
2* édit. 1 vol. iu-8. VI-383 p. ; 12 fr. : A. Ilermann & lils. Paris. 

E. Beke und S. Mikola — Abhandlungen ùber die Reform des mathe- 
matischen Dnterrichts in Ungarn. — 1 vol. in-8, VI-160 p. : B.-G. Teubner, 
Leipzig. 

L. Bkrzolarj. Geometria Analitica. I : Il melodo délie coordinate. — 
1 vol. in-16, XV-'ill p.; Lire 3 ; l . Hœpli, Milan. 

R. Bkicard. — Géométrie descriptive (Coll. de l'Encyclopédie Scientffi- 
qne). — 1 vol. in-18, VI-269-X1I p. : 5 fr. ; O. Doin & fils, Paris. 

G. Darboux. — Leçons sur les systèmes orthogonaux et les Coordonnées 
curvilignes. — 1 vol. in-K". 567 p., 18 fr. ; Gauthier-Yillars, Paris. 

11 Di.-sglek. — Die Grundlagen der angewandten Géométrie. — Eine 
l atersuchung ùber den Zusammenhang zwischen Théorie und Erfahrung in 
den exakten Wissenschaften. — l vol. in-8°, VII1-160 p.; Akadeinische 
Verlagsgesellschaft. Leipzig. 

E. Fabry. — Théorie des séries à termes constants. Applications aux 
calculs numériques. -— 1 vol. in-8°, l'.'S p.; 6,50 fr.; A. Hermanu & fils, Paris. 



180 BVL I. E T 1 .V /,' 1 H I. I () G l: A P H IQU E 

C. Pârber. — Grundlehren der Mathematik, fur Studierende und Lebrer. I. 
Ici I : Die Grundlehren «lis Àrithmetik und Algebra. 1. I>an<l : Arithmetik. 

— 1 vol. in-8<>. XV-410 p.. 9 M.. 15. G. Teubaer, Leipzig. 

(.. Fhiedel. — Leçons de cristallographie. — 1 vol. in-8, IV-310 p. ; 
10 IV. ; A. Hermann & fils, Paris. 

Sir G. Grkenhill. — Report on the Theory of a Stream Une past a plane 
Barrier, ami ol the Discoulîuuily arisiug ai the edge, with an Application of 
the theory lo an aéroplane. — 1 vol. in-4°, 96 |j. : Wyraanel Sons. Londres. 

A Hess. —Trigonométrie fur Maschinenbauer und Elektrotechniker. 

— 1 vol. p. in-8, VII-128 p. : 2 M. 80'; .) . Springer, Berlin. 

L. Jacob. — Le calcul mécanique. — Appareils arithmétiques et algébri- 
ques. Intégrateurs (Coll, «le l'Encyclopédie scientifique). — 1 vol. in-18, 
'.28 p.; 5 fr.; O Doin cV (ils. Paris. 

V. Kommrrell und K. Kommerell. — Allgemeine Théorie der Raumkur- 
ven und Flàchen. II. Band. 4 (Collection Schubert, XLIV). 2"»«édit.— 1 vol. 
in-16, VI-188 p. ; 5.80 M. ; G.-J. Goschen, Leipzig. 

V. Kommrrell und K. Kommerell. — Spezielle Flàchen und Théorie der 
Strahlensysteme (Collection Schubert. LXII). — 1 vol. in-16, VI-171 p., 
4.80 M.: G.-J. Goschen, Leipzig. 

G. Lazzeri und A. Bassa.m. — Elemente der Géométrie (Unter Verschmel- 
zung von ebener und râumlicher Géométrie). — Aus déni Italienischen 
iibersetzl von P. Treutlein. — I vol. in-8. XVI-491 p.; B.-G. Teùbnêr, 
Leipzig. 

H. Mettler. — Graphische Berechnungsmethoden. ira Dienste der 
Naturwissenscbafl und Techuik. ■ — 1 vol. in-16, 71 p. ; 2 fr. ; G. Leemann 
& C°, Zurich-Sclnau. 

G. Noodt. — Leitfaden der Naturlehre, ffir Lyzeen (Hôhere Lehrerin- 
nenseminare) I. Band. — 1 vol. in-8°, 230 p.: 3,80 M.: B. G. Teubner, 
Leipzig. 

W. Ostwald. — Grosse Mànner. — Studien zur Biologie des Génies. — 
3«"»« et 4 ,ne édit. — 1 vol. in-8°. 424 p.; Akademische Vcrlagsgesellschaft, 
Leipzig. 

J. Sommer. — Introduction à la théorie des nombres algébriques. — 
Traduit de l'allemand par A. Leyy. — 1. vol. g. in-8. X-376 p. ; 15 IV. ; A. 
Hermann & lils. Paris. 

D 1 Slim. — La Confutazione délia Geometria non-euclidea e la Teoria 
Naturale délie Parallèle. — 1 fasc. in-8», 27 p., V. Porta. Piacenza. 

.1. Tanmkv. — Leçons d'Arithmétique théorique et pratique. — I vol. 
in-8°, 545 p , 7 IV.; Armand Colin. Paris. 

G. Vmlati. — Scritti di G. Vailati (1863-1909). — 1 vol. in-4, 66 et 972p. ; 
16 fr. 50 : J.-A. Barlh, Leipzig. B. Seeber. Florence. 

C. Voros. — Elementoj de la Geometrio Absoluta. — 1 vol. in-8, 106 p.; 

2 Sut : L. Kokai, Budapest. 

Andr.as Voigt. — Théorie der Zahlenreihen u. der Reihengleichungen. 

— 1 vol in-8, i:5:{ p. ; 4 M. ; G. J. Gœschen, Leipzig. 

C. Wakgny. — Trigonometria Esferica. — 1 vol. in-8», 219 pages, 6 fr. ; 
Valparaiso. 

C. Wakgny. — Los Metodos de la integracion. — 1 vol. in-8°, 2:53, p., 
5 fr.; Santiago de Chili. 




Chari.es MÉRAY 
L835-1911 



CHARLES MERAY 

(1835-1911 



Le savant dont le nom précède n'était pas un inconnu 
pour les lecteurs de Y Enseignement mathématique. A vrai 
dire, il ne Tétait pour aucune des personnes qui s'intéres- 
sent à la science et à l'enseignement, soit en Fiance, soit 
dans tous les pays où sont cultivées les mathématiques. Et 
l'on peut affirmer, sans nulle exagération, que la date du 
2 février 1911, celle de la mort de Mérav, doit compter 
comme un jour de deuil chez tous les mathématiciens. 

C'est un deuil plus spécialement cruel pour ceux qui ont 
eu le privilège de connaître l'homme et non pas seulement 
ses œuvres, et qui ont été si douloureusement surpris par la 
nouvelle de son décès. Malgré les années, sa robuste cons- 
titution, sa vigueur physique, égale à sa puissance intellec- 
tuelle, semblaient lui promettre encore de longs jours. Une 
opération chirurgicale, voulue par lui, mais à laquelle il eût 
peut-être été sage de ne pas se prêter aussi vite et aussi 
facilement, a amené l'issue fatale. 

Charles Méray était né à Chalon-sur-Saône le 12 no- 
vembre 1835. Il entra en 1854 à l'Ecole normale supérieure 
et fut, à sa sortie, professeur au Lycée de Saint-Quentin 
pendant deux années 1857-1859); mais la tournure person- 
nelle de son esprit inventif et original le destinait plutôt à 
l'enseignement supérieur, dans lequel s'est écoulée presque 
toute sa carrière et où il a si brillamment marqué sa place. 
Après un congé de quelques années, suivi d'un court pas- 
sage à la faculté des sciences de Lyon, il arrivait en 1867 à 
celle de Dijon, qu'il n'a plus quittée qu'à l'heure de sa re- 
traite, vers la fin de 1905, et où il comptait depuis lors 
comme professeur honoraire. 

L'Enseigneiwnt mathém., 13* aimée; 1911. I- 



182 C.-A. LA1SANT 

L'Académie des sciences lavait élu membre correspon- 
dant, pour la section de Géométrie, le 11 décembre 1899. 

Cette nomination était la consécration officielle d'une série 
de travaux d'analyse mathématique que cet esprit infatigable 
n'avait cessé de prodiguer sous l'orme d'articles, de notes, 
de mémoires dans la plupart des périodiques. Il les avait 
coordonnés ensuite dans ses Leçons nouvelles sur V ana- 
lyse infinitésimale et ses applications géométriques, dont les 
quatre volumes furent successivement publiés de 1894 à 1898. 
et qui resteront comme l'œuvre maîtresse de Méray aux 
yeux de la plupart des mathématiciens. C'est là que, don- 
nant un corps à toutes ses recherches précédentes, aux idées 
qu'il avait répandues dans son enseignement, il construisait 
une théorie des fonctions sur des bases nouvelles. Les élé- 
ments esssentiels de cette doctrine, dans leur domaine le 
plus simple, ont pénétré depuis dans l'enseignement officiel 
où figurent actuellement les fonctions définies par des séries 
entières. 

Cependant, malgré toute la solidité de cette œuvre, mal- 
gré la somme considérable de travail et la puissance intel- 
lectuelle qu'il fallait pour la mener à bien, je crois que ce ne 
sera pas le plus grand titre de Méray à la reconnaissance de 
la postérité, à l'admiration qu'on accordera justement à sa 
mémoire. Ce qu'il a fait pour la réforme de l'enseignement 
de la géométrie me semble avoir une portée bien plus con- 
sidérable encore, en dépit de l'apparence élémentaire du 
sujet. 

Les Eléments de géométrie, qu'il publia en 1874, furent 
accueillis dans L'administration de l'enseignement par une 
indifférence qui n'excluait pas l'hostilité. Toutes les puis- 
sances routinières, se coalisant, prirent à tâche d'organiser 
contre ce perturbateur la conspiration du silence. On l'ex- 
communiait, pour ainsi dire; on arrachait son livre des 
mains des maîtres ou des élèvos, si on l'y trouvait. Cepen- 
dant, des disciples tenaces s'étaient groupés autour de l'au- 
teur ; ils eurent la patience et le courage de persévérer, de 
propager dans l'enseignement la méthode nouvelle. Peu à 
peu, en présence des résultats excellents obtenus et qu'on 



(II. MER A ) 183 

ne pouvait contester, les résistances officielles fléchirent; et 
les idées de Merav ont lini par pénétrer dans les pro- 
grammes ministériels, sans que l'on ait eu la bonne loi de 
prononcer seulement son nom. 

Un nouveau volume concernant celte méthode d'enseigne- 
ment l'ut publié par lui en 1903, puis un autre encore en 
1906, sous le même titre : Nouveaux éléments de géométrie. 
Bien que la publication de 1906 ne soit présentée cj ne sous 
la forme d'une nouvelle édition, c'est, en réalité, une refonte 
complète, mieux adaptée à l'usage pédagogique. 

J'ai eu l'occasion d'exposer ici même, il y a longtemps 
déjà, sous le titre Une exhumation géométrique, les obser- 
vations que me suggérait la lecture de l'ouvrage de 1874, le 
seul publié alors sur ce sujet. Je ne saurais y revenir dans 
cette notice à laquelle je ne dois pas donner le caractère 
d'une analyse bibliographique. Mais il est bon, cependant, de 
faire remarquer les causes de la colère sourde, de l'indi- 
gnation même, que soulevait et que ne pouv.iit manquer de 
soulever la tentative de Méray. 

Depuis l'antiquité, le monde savant était à genoux devant 
le monument élevé par Euclide ; sa géométrie était, disait- 
on. la plus pure des sciences ; elle n'empruntait presque 
rien au monde extérieur, simplement une toute petite col- 
lection d'axiomes. Et sur cette base minuscule, par la toute 
puissance et la seule p'uissanee de la Logique, se trouvait 
élevé un merveilleux édifice, digne de l'admiration des 
hommes, triomphe de l'esprit scolastique. Devant une telle 
œuvre s'était prosterné tout le moyen âge et se prosternait 
encore l'Université, continuatrice du moyen âge. 

Et voilà qu'arrivait ce trouble-fête, ne craignant pas de 
dénoncer les sophismes, montrant qu'on escamotait les 
axiomes nécessaires, qu'il y avait beaucoup plus qu on ne 
l'avouait à emprunter au monde extérieur: affirmant qu'il 
est vain et puéril de vouloir fonder la science de l'étendue 
sans considérer la notion de mouvement, dont on ne sau- 
rait se passer. 

Au point de vue pédagogique, il montrait que d'un ensei- 
gnement qui aurait dû être attrayant, vivant, on avait fait 



184 C.-A. LAIS A NT 

une étude ennuyeuse et déconcertante, où la mémoire jouait 
un rôle à peu près exclusif. A tout instant l'élève était porté 
a se demander pourquoi on devait admettre ceci et démontrer 
cela, lorsque cela lui semblait au moins aussi évident que 
ceci. 

A une doctrine conventionnelle, Méray venait substituer 
une doctrine hautement scientifique. A une éducation de so- 
phistes, il en opposait une franchement rationnelle. Com- 
ment cet hérétique n'eùt-il pas soulevé des clameurs pres- 
que unanimes parmi les adorateurs du passé ? Les dévots 
n'ont jamais assisté sans fureur à la démolition de leurs 
églises. 

J'aurais voulu, après avoir indiqué ce qu'a été l'œuvre du 
mathématicien, dire ce que fut l'homme privé, mettre en 
relief les qualités de caractère et de cœur de l'ami, montrer 
cette intelligence en éveil sur toutes choses, associée cons- 
tamment à la plus exquise bienveillance. Il ne m'avait été 
donné d'entrer en relations personnelles avec lui que depuis 
un peu plus de dix ans, et dès lors s'étaient établis entre 
nous deux des rapports d'amitié tellement sincères qu'il me 
semblait comme un compagnon d'enfance, et que sa perte 
m'a affecté autant que l'eût fait celle d'un parent proche. 

Mon témoignage, dans ces conditions, pourrait sembler 
suspect et je ne sais trop si je parviendrais à exprimer ma 
pensée dans toute la mesure où je devrais le faire et sans 
paraître tomber dans l'exagération. Je préfère donc me 
livrer à quelques emprunts faits aux excellents discours 
prononcés lors des obsèques de Charles Méray. 

Voici comment s'exprime M. Bataillon, doyen de la fa- 
culté des sciences de Dijon : 

« C'est un culte que ses élèves ont eu pour lui, culte au- 
quel Méray répondit toujours par un dévouement sans 
bornes. Chez lui, le tempérament de l'homme valait celui du 
savant. Une figure comme la sienne supporterait mal le fard 
des éloges de circonstance. Nous devons à sa mémoire de 
ne dire que des choses auxquelles il pourrait souscrire. 



CH. MÉRA Y 185 

« Le cœur de Méray n'était pas ouvert à tout venant 
comme une simple hôtellerie. Prompt à se faire une opinion 
sur les hommes, il avait des répulsions arrêtées comme des 
amitiés définitives. Et l'amitié, chez lui, c'était la confiance 
absolue, une liberté d'allure juvénile, la franchise brutale de 
I expression dans les discussions les plus paradoxales. 

« ....Avec le sens pratique qu'il mettait en toutes choses, 
avec la belle franchise de ses jugements, avec l'originalité 
révolutionnaire de son activité intellectuelle, Charles Méray 
m'apparait homogène et exempt de tout trait banal. Ceux 
qui, comme nous, dans la pratique journalière, ont mieux 
apprécié le charme séducteur de cette grande figure, peu- 
vent mesurer le vide profond que la mort vient de ("reuser 
dans notre milieu scientifique. » 

« Sans ambition personnelle — dit M. Boirac, recteur de 
l'Université — sans ombre de vanité ou d'orgueil, conscient 
de sa valeur, mais n'éprouvant pas le besoin de la faire 
sentir aux autres, simple de manières, d'une franchise un 
peu rude parfois, mais toujours pénétré de délicatesse et de 
bonté, volontiers contredisant et paradoxal en ses propos, 
non pour le vain plaisir de surprendre son interlocuteur, 
mais pour mieux l'amener à envisager la vérité sous toutes 
ses faces ; un peu brusque, ou même bourru d'apparence, 
au fond très affectueux, très sensible, éternellement recon- 
naissant du plus petit service, touché jusqu'au cœur de la 
plus légère marque d'amitié, tel était l'homme que nous 
avions appris à aimer et dont tous ceux qui l'ont connu gar- 
deront pieusement le souvenir. 

« L'adhésion enthousiaste de M. Méray à la langue 

internationale Espéranto fut sans doute une autre suite de 
ce même esprit d'indépendance, de ce même besoin de lo- 
gique et de clarté qu'il apportait en toutes choses. Jusqu'à 
lui, l'œuvre du docteur Zamenhof n'avait guère rencontré 
chez les hommes de science, chez ceux qu'on nomme par- 
fois les intellectuels, qu'une dédaigneuse indifférence, sinon 
une hostilité décidée. La simplicité et la régularité de cette 
langue quasi géométrique séduisirent M. Méray plus encore 



186 CH. MER A Y 

peut-être que sa souplesse et son harmonieuse sonorité : 
mais ce qu'il vit en elle de plus précieux, ce sont les ser- 
vices quelle pouvait rendre à la science et à la civilisation, 
si elle devenait jamais l'instrument universel des communi- 
cations internationales. Aussi se dévoua-t-il à la répandre et 
à la défendre avec l'ardeur d'un véritable apôtre. » 

Voici enfin le croquis très juste que nous trace en quel- 
ques lignes M. Pionchon, professeur à la faculté des 
sciences de Dijon : 

« Caractère ouvert; bonne humeur; esprit lin. original, 
caustique parfois, mais toujours avec une foncière bienveil- 
lance; verve abondante, pittoresque, pleine du meilleur sel 
bourguignon; bonté délicate; cordiale confiance; absolue 
franchise : impeccable droiture ; dévouement à toute 
épreuve; bref, tous les dons les plus propres à~ attirer et à 
attacher à lui ceux qui étaient amenés à pénétrer dans son 
intimité, il les eut de façon privilégiée; et il en était si riche 
qu'il a pu les prodiguer toute sa vie sans les épuiser et sans 
pourtant que jamais ombre de banalité ait diminué la valeur 
des marques d'affection ou d'intérêt que recevaient de lui 
ses très nombreux familiers. Néanmoins, il savait nuancer 
ses sentiments et les proportionner, avec une très équitable 
justesse, aux vrais mérites de chacun, car sa bonté n'était ni 
faible ni aveugle, parce que sa haute intelligence n'abdiquait 
jamais ses droits. En lui, l'esprit géométrique coexistait 
avec l'esprit de finesse, si bien qu'il fut toujours un très 
avisé psychologue et, par conséquent, un très pénétrant 
connaisseur d'hommes. » 

L 'Enseignement mathématique, dont Charles Méray fut un 
dévoué collaborateur et qui a très probablement publié son 
dernier travail, se devait à lui-même de retracer rapidement 
cette belle figure d'un savant et d'un honnête homme. 

Il le fait avec tristesse, mais aussi avec l'espoir que 
l'exemple d'une vie aussi belle, aussi pure, ne sera pas perdu 
pour les jeunes générations de travailleurs. En s'inspirant 
d'un tel modèle, ils prendront pour constante devise : Aimer 
la science et faire le bien. G. -A. Laisant. 



LES PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE DES QUINCONCES 




Fig. I. 



1. On appelle quinconce l'ensemble indéfini des intersec- 
tions de deux systèmes de parallèles équidistantes, numéro- 
tées à partir de deux d'entre elles, prises comme directrices. 
elles-mêmes numéro- 
tées zéro (fig. 1). 

L'étude de celte ligure 
constitue une sorte de 
géométrie analytique en 
nombres entiers, dans 
laquelle les coordon- 
nées sont, non plus des 
longueurs, mais des nu- 
méros. 

Un quinconce étant 
défini par l'angle <p des directrices et les longueurs OA, OB 
des équidis tances, un point quelconque du quinconce se dé- 
signe par son numéro-abscisse .v et son numéro-ordonnée y, 
et se note .r, y). 

Si les deux systèmes de parallèles sont tracés, la figure 
est un réseau, divisant le plan en parallélogrammes égaux. 
Le réseau s'appelle plus particulièrement quadrillage, quand 
les directrices sont rectangulaires et les deux équidistances 
égales. 

Un quinconce n'est donc autre que l'ensemble des inter- 
sections d'un réseau. On comprend qu'à un quinconce quel- 
conque correspondent une infinité de réseaux, lesquels sont 
dits dans ce cas équivalents. 

2. Une droite joignant deux points quelconques d'un quin- 
conce, en rencontre une infinité d'autres, qui sont équi- 
dis/au/s. 



188 A. AVER Y 

3. Les nombres a et n étant premiers entre eux, la droite 
ax — ny = , déterminée par l'origine et par le point (n, a) 
du quinconce rencontre une infinité de points équidistants 
représentés par la formule Un, ka , U désignant les nombres 
± 1, ±2. ± 3, ... 

Z?Z/e ff'cfl rencontre pas d'autres; car puisque ax = ny, 
et que a et // sont premiers entre eux, a doit diviser y-, et // 
diviser x. 

La droite ax — //^ = af — ng , menée par le point (/*, #) 
du quinconce parallèlement à la droite précédente, est clans 
le même cas et rencontre le quinconce en une infinité de 
points équidistants. 

Soit af — ng= b ; on a ainsi graphiquement les solutions, 
en nombre infini, de l'équation ax — ny = b . 

4. Etant donné trois points quelconques x, y), x', y') et 
(x", y") d'un quinconce, on peut, de trois manières diffé- 
rentes, déterminer un quatrième point qui forme avec les 
trois premiers, un parallélogramme. Tel est le point 

(x' + x" - x y' + v" - y 



diagonal ement opposé au point (x, y). 

Il sufïit de remarquer que la demi-somme des ordonnées 
de deux sommets opposés est égale à celle des deux autres. 

5. L'angle des directrices étant <p ; que l'on pose cos o 

= —— et que les équidistances soient appelées \/a sur les 
y ac 

abscisses, et \/c sur les ordonnées; le quinconce repré- 
sentera la forme a, b, c) — ax 2 + 2bxy -f- cy 2 , a et c étant 
positifs; puisque le carré de la distance du point [x, y) à 
l'origine est {x\/a) % + (3/l/c) 2 + 2x\/a y\/c cos © ! . 

En outre, la surface de chaque parallélogramme élémen- 
taire est égale à \/A , A désignant la valeur de l'expression 
ac — b' 1 (Gauss). 

On verra facilement qu'aux formes (a, o, c) et a, /;, a) cor- 



1 < représente le nombre des divisions de l'abscisse ; y, celui des divisions de l'ordi b 

et non dis longueurs. 



GEOMETRIE DES QUINCOiSCES 



189 



y 


' 


' 


• 






. 


* 




i 


i:- . ' 


• 


o 




• 


x 



Fi K . 



respondent un quinconce rectangulaire et un autre quin- 
conce formé de losanges. 

6. Les directrices étant OX, OY, on peut rapporter le 
quinconce à deux autres direc- 
trices OX', OV déterminées par 
l'origine et deux de ses points 
M, N : il est alors défini par 
l'angle VOX' et les deux équi- 
distances OM, OX. 

1. L'ensemble des points 
x --. ax' -f- by\ y = ex* -f- dy\ 
expressions dans lesquelles a. 
b, c, d désignent des entiers 
fixes, x' et y' tous les entiers 
positifs ou négatifs, — figure 

un certain quinconce ^fig. 2) qu'on symbolise ainsi ', 

qui n'est plus rapporté à ses directrices 1 . En effet on a : 

>' + ai + b\y' -+- |5i] + \a\x' — a) + b(y' — (3)] = 2| ( (.r' + by') 
, ' + ai _j_ rf,,' + £|| + [c|.r' - a) + rf(j' — |3|] = 2(c.r' + rf/j . 

Ce quinconce représente les solutions de l'équation ax + by 
= ci , où x et // désignent des coordonnées, et / un coeffi- 
cient variable. 

L'expression ad — bc s'appelle la norme du quinconce et 

s'indique par la notation N ', : elle représente, comme on 

s'en assurera aisément, la surface de l'un des parallélo- 
grammes élémentaires. 



et 



on 



Si le quinconce , contient tous les points de , „ 

dit qu'il en est le multiple : de là, l'assimilation de cette re- 
présentation aux nombres premiers ou composés: ainsi le 

, . , [ah Aa'b'\ .Taa' + bc' ab' + bd'l 

produit des quinconces |^J et J^J est [ ca , + rfc , cb > + dd >\ 



1 Pour plus de simplicité, la figure suppose rectangulaires les axes de coordonnées: mais 
il est facile d'étendre la théorie an cas où les coordonnées ne se coupent plus sous un angle 
droit. 

x' et //' désignent les équidistances sur les axes de coordonnées, et 0P, 0Q celles sur le> 
directrices. 



190 A . A UBR Y 

Le quinconce est premier si sa norme est un nombre pre- 
mier. 

Par le moyen des substitutions x = a.v' + (3y' , [y = y.i' 

+ dy\ du quinconce \ ' , on déduit un autre quinconce 
lié au premier par la formule 



m 



■['£1=1* -*.«.[*]. 



de sorte que si x$ — /Sy — i , les deux quinconces sont iden- 
tiques; leur groupement seul diffère, étant effectué sur des 
systèmes de parallèles formant deux réseaux équivalents. 

Par des considérations d'un autre ordre, on arrive à une 
nouvelle interprétation analytique des quinconces. La lon- 
gueur du coté OP du parallélogramme OPMQ a pour expres- 
sion 

a(ai>r -f- 2/;mu -f- eu. 8 ) , 

en appelant am + bu et y.V/A les coordonnées rectangulaires 
du point P. Cette longueur représente donc la forme (/z, b, c), 
au facteur a près. 

Soient appelés (#, y) et (£, y;) les points P et Q; les côtés 
OP, OQ peuvent être ligures ainsi : 

t =r x + yi , r = Ç -f- rjt . 

L'expression [/, 7] ■== zt -j- Ç? représentera un quinconce, qui 
sera déterminé si on se donne les nombres 3 et Ç, et on aura : 

N [M] = .rr, - ?v . 

Posons 

« = <lt + /3t , »' = v' + f " T • 

on obtiendra un quinconce placé généralement et qui don- 
nera 

N[a . v] = iao — /3 T )i\[*, t] . 

O-lte géométrisation des formes quadratiques, — dont les 
éléments sont seuls donnés ici '. — est due à M. Poincaré 



1 A citer ces deux problèmes : reconnaître si un quinconce est identique a un autre quinconce 
donne, et trouver les transformations qui changent un quinconce en lui-même : l;i réduction des 
formes et leur composition. 



r, E <> M i: T R I E h E S QUI 2V CONC E S I v I 

./. E. P., L880 : elle a été retrouvée par M. Kl kih Vorl. ûber 
ausgew. Kap. der Zahlentheorie, Leipzig, 1895). 

8. Appelons quinconce de module n. la partie d'un quin- 
conce comprise entre les axes et les coordonnées portant le 
numéro n. 

Les nombres a et n étant premiers entre eu.v, et a < n, con- 
sidérons sur te quinconce de module n, les points x, y) pour 
lesquels l'ordonnée y est égale au reste de la division de ax 
pur n : ces n points sont disposés sur le quinconce suivant 
des parallélogrammes égaux Gand lïg. .'{ . Cela résulte de 




Fig. 3. 




Fig. 4. 

la régularité même de la construction : en effet, le premier 
point est à l'origine; sur la première ordonnée, on monte 
de a: sur la deuxième, on monte encore de «, et ainsi de 
suite, jusqu'à ce qu'on sorte du quinconce, et alors on com- 
plète l'ascension de a sur l'ordonnée suivante. 

La figure 4 fournit une autre démonstration intuitive de 
la proposition; car elle se réduit a la figure .'!. en rabaissant 
jusqu'à l'axe des v la partie située au-dessus de la droite 
y == n . puis la partie au-dessus de la droite y = 2« , et 



IH2 A. AU BRI 

ainsi de suite. Les diverses ascensions se trouvent reportées 
dans le quinconce inférieur, telles quelles, ou bien frag- 
mentées. 

L'ensemble des n points ainsi définis s'appelle un satin, 
nom qu'il tire d'un tissu d'origine chinoise bien connu et 
établi d'après ce principe '. La figure 3 représente le satin 7s 
correspondant aux données n = 7, a = 3 . 

9. Le satin n n _ a est te symétrique^ ou l'envers, du satin n ; , 

G AN U . 

10. Chaque parallèle a l'axe des x contient un point du 
satin et n'en contient qu'un (G and . Si on avait, par exemple, 
117/ = Gg fig. \ , il s'ensuivrait 2 Wh = Gg< et HH' serait à 
la fois de la forme nz et de la forme aw avec z < a et s\> < n ; 
or cela est impossible. 

Cette proposition n'est autre que le lenime fondamental. 

11. Les équidistances sur les parallèles étant appelées d et e, 
la surface de chacun des parallélogrammes formés de quatre 
points voisins est égale à nde, de sorte qu'il y a dans le satin 
n parallélogrammes égaux ou fragmentés (Gandj. Cela dé- 
coule immédiatement de ce que le quinconce a une surface 
de n 2 de. et que les // parallélogrammes sont égaux, par suite 
de la symétrie de la construction. 

En général, le parallélogramme dont trois sommets sont 
l'origine et les points (x, y et x\ y'), a pour surface (dx')(ey) — 
dx) ey' ; or on a ey = axd et ey' = axd ; d'où il suit que 
la surface est = . 

Le plus souvent, les axes sont rectangulaires et les équi- 
distances d et e sont égales et se représentent alors par le 
nombre 1 : on peut dire, dans ce cas, que la surface de 
chaque parallélogramme est égale à n. 

12. Le satin n a peut être considéré par rapport au côté OM 
pris comme axe des x (fig. 3>, et alors on a le symétrique 
d'un satin n u tel que. pour un point quelconque [x, y) du 
premier, qui est le point — ?/, x) du second, on a : 

a.r = %• , av = x . d'où CUL — i 



1 Los satins :' et n. ont rein 1rs noms particulier- de toile ou damier et de serge ou diago- 
nal?. Il n'en sera pas cpieslion ici. 

* On sous-rntendra partout la mention « imod n) ». 



G i: <> M /•: T H I E I) E s QUI .\ CO V r E s 193 

Ainsi le salin lz , de la figure 3, devient le satin 7s : 3 el 5 
élant les valeurs de la première ordonnée dans les deux sens. 

Les deux nombres a et a sont dits associés, il est clair 
que chaque entier a premier avec n, a son associé, c'est-à-dire 
un nombre a. tel que a% = i . Cette démonstration est 
d'Ed. Lucas. 

13. Il est facile de déterminer dans chaque cas, le nombre 
de satins d'un module donné // : on cherche les valeurs de a 
pour lesquelles ce nombre est premier avec n et inférieur à 
sa moitié 1 . On les groupe par associés deux à deux et on ne 
conserve que les plus petits termes dans chaque groupe. Ce 
nombre n'est pas susceptible d'être représenté par une foi- 
mule simple, sauf si // est premier, auquel cas il est — ~~ 

n — 3 , , 

ou — : — , selon que n est 4 ± I . 

14. Les axes seront maintenant toujours supposés rectan- 
gulaires, et les équidislances égales. 

Si n est la somme de deux carrés premiers entre eux, 
g 2 et h 2 , il existe une valeur f de a, qui donne a 2 + I =0, et 
les parallélogrammes du satin sont des carrés (Gand). Soit y 
l'associé de g\ de g 2 -\- h % = n , on tire, en multipliant par y 
et posant hy = / , la congruence / 2 -j- 1 = 0. 

Le carré de la distance des deux points (x, y et r'. //') du 
satin est égal à 

(/.y _ p.,-- _|_ ,.,-' _ .,.,-' _ { fi _|_ i H . r ' . .,.,-> = ,, 

chacun des parallélogrammes a ainsi une surface égale à //. 
et des côtés de la forme n\/ /»• , n\/ 1 , ce qui ne peut avoir 
lieu que si ces parallélogrammes sont des carrés. 

Le tableau suivant donne les satins carrés de modules in- 
férieurs à 100 : 

n — 5, 10, 13, 17, 25, 26, 29, 34, 37, il, 50, 53, 58, 61, 65, 7:5, Z\, 82, 
85, 85, 89, 97 ; 

f— 2, 3, 5, i, 7. 5, 12, 13. 6. 9, 7, 23, 17, 11. 8, 18, 27, 31, 9, 13, 38, 34, 22 . 



1 Inutile du chercher les valeurs > — . puisque lu satin «„_ a est le symétrique <ln -a tin n a 



l l .»'l 



A t H H Y 



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/~*"^^JJ I ~ 

— / — hn — ^ — 

- / ' '^■JCj -h — 

Z— I-^=X — 

ï j i 1 1 i I 1 L 



La ligure 5 représente le satin carré 10;s . 

Cor. I. Un sa fin carre reste identique à lui-même quand 

on le fait tourner d'un quart de 
tour; puisque de f- = — 1, on 
tire fx = y et fy == (n — x). 

II. Si on appelle q et r le quo- 
tient et le reste de la division de n 
par I'. o// r/ : q 2 + r 2 = et q = rf. 
Conséquences de la congruence 
fq = - r. 

15. Le satin n a peut être consi- 
déré comme le lieu des points 
x . y définis par la relation 
y = ax . 

Si // = g s -j- h 2 , c'est-à-dire si le satin est carré, on a 

X* -f y' 2 = X* + (rx' 2 = . 

Le nombre g~ -f- A 2 divisant .r 2 + y 2 , il divise aussi 

«*,.,-» _(_ v 2 i — v 2 ," 2 + //*, = £*.»•* — h* y* : 

il divise donc l'un des deux nombres A = gx -f- //J/, B = 
gx — A//; or il est facile de voir qu'il divise gA — //B : il 
divise donc A et B. On verra de même qu'il divise les deux 
nombres hx ± gy. 

Ainsi g et h désignant des entiers premiers entre eux, et n, 
le nombre g 2 + h 2 , /e //ew du point x. y défini en coordon- 
nées rectangulaires par l'une ou Vautre des quatre relations 



gx + ttv = it 



hx ± gy = 



est un salin carre. Il en est de même de ceux définis par 
une relation de la forme gx ± hy = gl ± hm , mais alors 
I origine des coordonnées n'est pas un point du satin. 

16. Si n divise un nombre de la forme x 2 — 1 , /r/ valeur 
a = x donne des losanges, et le satin est symétrique par rap- 
port à la diagonale (Gand). De a 2 — 1 = 0, on tire en ellét 
xy = a*xy ; d'où, en posant ax = y , cette autre relation 
r = <7// : les points ./, y et y. .»•) du satin /*„ sont donc sy- 
métriques par rapport à la diagonale. 



G I. O M É I B I /•' h I. s QUI N C ON C 1. s | 95 

Les satins suivants sont dans ce cas : 

n = H. 12, 15. 16, 20, 21. 2», 24, 24, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 39, 10, iO, iO 

\i. 14, '.:.. '.s. '*x, 'ik, 52 ; 
a = :i, 5, 4, :. '.•. s. :>. :. 11. 1:;, 11. 1."). 10, »;, 1:, n, 9, 11, 19, 13, 21, in. 

:. 17. 23, 25 . 

D'autres salins forment également des losanges, mais ne 
sont pas symétriques : tel est le salin 407 , et en général ceux 
pour lesquels la somme du quotient et du reste de la divi- 
sion de 11 par a est égale à a'- -f 1 . D'autres satins, d'une 
définition moins simple, sont dans le même cas. Voir Laisant, 
A. F., 1877. N 

17. Déformons le satin n a de manière que, la première or- 
donnée restant à sa place, l«\\ c , (/nia pour valeur a, devienne 
la '2 r : la « e , qui a /jour valeur (S, devienne la '.Y' ; la /5 e , qui a 
pour valeur y, devienne la 4 e ; ... la k e ordonnée sera = a k , et 
01/ aura de cette sorte le graphique des solutions de la con- 
gruence a x = y. Ainsi, pour a ±= 10, // n'étant ni pair, ni mul- 
tiple de 5, la figuration sera celle de la période décimale du 
quotient de I par// Laisant. 

De même, soit à trouver les restes de la division de a k par 
// : on cherchera ceux de la division par // des nombres a. 
'la. '.\a . ... : le reste de a est a ; celui a de a' est le a e reste: 
celui (S de a 3 est le x e reste ; ... Arnoux). 

18. La théorie des satins a été donnée par Gand en 1807, 
dans le Bull, de la Soc. d'Amiens. L'application suivante, due 
au même auteur {le Transpositeur ou Improvisateur de tissus, 
Paris 1871), montrera le parti qu'on peut en tirer dans l'in- 
dustrie textile, pour obtenir des motifs nouveaux, en nombre 
indéfini. 

I »n a une bande de papier divisée en vingt-neuf carres 
égaux, de diverses nuances fig. 6 , qu'on déplace successi- 
vement de sa largeur ; mais en la montant, la première fois 

de R 55 cases ! : la seconde fois, de R z -^- cases : la troisième 

3.12 112 

fois, de R -^r- cases; la quatrième, de R -~ cases : ... : on 



1 On entend par le symbole H - . le reste de la division de a par b. 



iy»3 



A . A V BKY 



aura ainsi un satin carré composé, de 2l> 2 cases, dont une 
partie est donnée, fig. 7. 

19. Si dans l'expression u 2 + Âv, u et v désignent tons les 
entiers imaginaires possibles, et /., l'imaginaire fixe o. + Ç>i\ 
cette expression prendra une infinité de valeurs de la forme 
X + yi\ qu'on représentera en hachurant la case [x, y), e'est- 




Fig. 



Fig. 6. 



à-dire la y e case de la x c colonne verticale. Si en outre, x + 
yi est divisible par a + (31, la case (.r, y) sera entièrement 
noire. Cette représentation a été proposée par Thiele, en 
1873. (Voir A. F. 1874.) 

Si A* ^= 1 -}- /, on aura un damier de cases noires et de 
cases grises. Si /3 = 0, le dessin est encore assez simple, car 
il dérive du damier. Mais dans le cas général, il présente un 
ensemble de motifs élégants mais compliqués, simulant 
chacun quatre spirales grises ou blanches autour de chaque 
case noire : voir par exemple les fig. 8 et 9 '. 



1 Voir aussi (op. cit.), outre ces deux figures, et celles qui seront décrites plus loin, surtout 
celles qui correspondent aux valeurs k = 8 + 5* . 8 + 7{. 10 -f i et 17 + 8«. données par 
Hroch. 



a e o m i: i n 1 1: i> i: s qui N < o v c /■: s 1 97 

20. On peut d'abord vérifier que les cases noires des des- 
sins de Thicle forment le salin carré de module n = « 2 + /5 2 . 
En effet, si x + yi est divisible par « -f- (Si, x + iji) {a — (bi) 




Fi g. 8 



Fig. 9. 



— 'ax + /S/y -f- {a y — fix i est divisible par (« + /5r (a — /3/; 
= a 2 + (3 2 , ce qui a lieu si les deux expressions A = ax + 
fiy et B = y.y — fix le sont, conditions qui n'en font qu'une, 
car on a : 

aA -f /SB — nx . 

d'où on conclut que la divisibilité de A entraîne celle de B. 
On a donc bien ax -f- (3y = , ce qui caractérise un salin 
carré 15 . 

Les cases grises correspondantes, dans les diverses répéti- 
tions du motif, forment des satins identiques, mais placés 
d'une manière différente. Soit en effet 



il viendra 
d'où 

a (OLE + /S VI 



11 ■=. u' -j- u" i , v z=z v' -f- v" i ; 
jlx -j- j3j" = xu' a -j- 2fiu'tt" — 7.11" 2 -f- uv' , 



= i?u' 1 + 2aj3a'«" — aV 2 = a 2 »' 2 + 2aj3«'a* + j5 8 « ffî 

= [au' + Su") 2 . 



Ainsi la case (x, y) est grise si a(ax + /Sy) es/ /<// résidu, ce 
qui permet d'exécuter la construction assez aisément. Mais 
les considérations qui suivent la rendent encore beaucoup 
plus facile. 



I.'F.nsoi^ncnicnt raathém., 13' année; 1911 



198 A. A VBR Y 

Soit ; . r, une case noire, c'est-à-dire telle que a£ + /3>] = 0; 
chaque case grise.(|, y de la même colonne est déterminée 

par la relation a (a| -f jS.y) = /", r désignant L'un des résidus 
de //. De là, la condition zfiy — i\ = /*. Or de a 2 + /3 2 = 
// = 0, on tire a + /3) 2 = 2a/3 ; 2«,6 est donc résidu, et a/3 est 
ou n'est pas résidu en même temps que 2. Le nombre a/3 
et par suite le nombre y — •/}, sont donc résidus si n est un 
nombre premier 8 + 1 {k = 4 + /, 5 + 4f, 8 + 3i, 8 + 5/. 
8 + 7*, !» + 4*, Il + 4*, 12 + 7*, 13 + 8/. ... et non-ré- 
sidu si // est un nombre premier 8 + 5(/f = 2 + i . 3 -f 2/. 
5 4- 2/\ 5 +'./.<; + /, 6 + 5/, 7 + 2/. L0 + «, 10 + 3«, 
10 -f- 7/. 10 + 9e. ...). Par conséquent, les valeurs de/' étant 
l. r, /'. / '". ... la l' re , la /•*', la /-' e , la /"«, ... case située au- 
dessus d'une case noire sera grise ou blanche, suivant les 
deux cas qui viennent d'être indiqués 1 . Ainsi 

2 rangs ; 

2 . i \ 2, 5 rangs ; 

\'i + •»/ / ° aSeS ' S rlses SOnt \ 1, 2, 4, € rangs ; 

. ' , . ' ( celles qui précèdent 1 2. 3, H, 10, 11. 12. 14 rangs; 

pour /, • = i 4- i , ) . < ., , 

| ou suivent les cases i f 1.2. i. , . <S. y, 11, là, li. 

5 + -' ' \ noires de / \ 15, 16. 18. 22, 25. 26. 28, 30, 

8 + 7 '. ) ! j 31, 32, 36, 41. 44, 49, 53, 

' 56 rangs. 

Les figurations de Thiele ne sont donc autres qu'une ap- 
plication très particulière ; — mais à la vérité très intéres- 
sante, — de la méthode de Gand, celle où la y e case de l'or- 
donnée mobile fig. 6) est grise ou blanche selon que y est 
un résidu ou un non-résidu. 

21. Les problèmes du tissage constituent une application 
des plus intéressantes de la théorie élémentaire des nom- 
bres et sont très propres à en l'aire saisir les méthodes. Il 
semble donc que la construction des congruences concrètes 
ainsi réalisées est un bon exercice, à différents points de 
vue, et qu'un mot sur les combinaisons de carreaux serait à 
sa place dans un traité sur les nombres. 



1 Dans le premier de ces deux cas. la figure ne change pas quand on la lait tourner d'un 
quart de tour : dans le second cas, les cases grises sont changées en cases blanches et vice 
versa. 



GEOMETRIE DES QUINCONCES L99 

La combinaison la plus simple csi le damier indéfini. On 
peut le généraliser en le déformant de plusieurs manières : 
par exemple on peut « upler les largeurs de la [kb) m ? colonne 
et de la l,b" u rangée, k prenant les valeurs ± t, ±2, ±3, ... 
Le cas de a = 3 et b = 5 est fréquemment employé. 

On aurait d'autres dérivés du damier de n 2 cases, // dési- 
gnant un nombre impair, en mettant noire ou blanche la 

casé r. v selon que I! - , ou H' — , etc., est pair ou 

impair : ou encore selon que vy est congru à un résidu ou 
;i un non-résidu. Cette étude sera développée plus lard. 

Les effets des diagonales donnent des motifs bien plus 
variés 1 . On peut réunir plusieurs bandes en diagonales; 
les couder en zigzags; les briser; les couder et les briser. 
a chaque coude ou à chaque rangée ; alterner les nuances, 
de /r rangées en k rangées. 

Mais c'est surtout avec la méthode si simple de Gand, 
pour les satins 18 , qifon obtient les résultats les plus élé- 
gants et les plus variés. Ainsi la fig. 6, qui par son ascension 
successive de douze cases, produit la fig. 7, peut en donner 
douze autres, en effectuant des ascensions de deux, trois. 
quatre cases; ces sortes de cristallisations différentes des 
mêmes carreaux de la fig. 6 étonneront par l'inattendu des 
motifs obtenus : celles qui correspondent aux nombres 3, 7, 
S. !». il, 13 surtout en donnent de très jolis. Pour plus de 
facilité, on ne prendra que les cases noires 2 . 

22. Le cas du satin dont le module n est un nombre pre- 
mier réel p, mérite un examen spécial. Il ne peut y avoir 
<dors, que dans un seul cas, un nombre a qui soit l'associé 
de son complément, c'est-à-dire tel que a- + 1 =0. Soit en 
effet b 2 + 1 = ; il viendra a 2 — b 2 = ou a + b) [a — b) 
= . d'où o + 6 = et b = p — a . Le groupe a , a = p 
— a ne peut donc se présenter qu'une fois. D'un autre côté. 



1 Voir par exemple le Cours de tissage, de Gand, ou le Traité de Bonna, etc. 

2 Le moyen mécanique suivant permet de construire un satin composé, sans aucun calcul, à 
l'aide de cubes noirs et blancs. Construisons avec ces cubes k colonnes identiques: montons 
de // rangs les k — 1 dernières colonnes et replaçons d'un bloc au-dessous les cubes qui 
dépassent en haut: montons de même de h rangs les k — 2 dernières colonnes et replaçons 
d'an bloc au bas les cubes qui dépassent au-dessus; montons de même les k — 3 dernières 
■colonnes et replaçons au bas les cubes excédents j et ainsi de suite. 



200 A. A UBR ) 

il n v a que les nombres I el p — 1 qui soient leurs propres 
associés, car la congruence .t a = l donne (j; + 1) (x — 1 =0, 
d'où x = I et x = — - 1. 

Si p est un nombre premier 4+1, les entiers 2, 3, 4, ... 

p - — 3 se partagent en '-—, — groupes de quatre nombres as- 

soeiés ou complémentaires, et en un groupe des deux nom- 
bres a, a, a la fois associés et complémentaires. On a ainsi 
a* +1=0. Donc tout nombre premier 4 + I divise une 
somme de deux carrés. 

Si p est un nombre premier 4 — l, les mêmes entiers se- 

partagent en '— — groupes de quatre nombres complémen- 
taires ou associés, et de plus distincts ; car autrement on 
amait plus d'une fois x(p — x) = 1. On ne peut donc écrire 
x 2 + 1 = et aucun nombre premier 4 — 1 ne divise une 
somme de deux carrés et à fortiori ne peut être une somme de 
deux carrés. 

Ainsi les seuls nombres premiers 4 + I divisent x 2 + I. et 
même y 2 + £ 8 , en faisant .r£ = y. Or dans ce cas, le salin est 
formé de carrés ayant tous p pour coté et inclinés sur les 
axes : p est donc lui-même de la forme r 2 + y 2 et on a la dé- 
monstration de ce théorème de Fermât : tout nombre premier 
4+1 est décomposable en une somme de deux carrés, — en 
même temps que la décomposition de p. (Ed. Lucas). 

On peut remarquer en outre que pour p — 4 — 1, les en- 
tiers 1 , 2, 3, ... p — I se partagent en '-—, — groupes de quatre 

termes g. y, p — g, p — y, tels que gy = /, et un groupe k et 
p — // tel que h 2 = / ou h p — h = /. Ainsi, pour p — 4 — l, 
on a, quelque soit t, l'une ou l'autre des deux congruences 
.v 2 = /, x 2 = - — /. Mais de t k p — t. il v a au moins deux 
valeurs, s, s + i, qui donnent lune y 2 =. s , z 2 =. — s + 1 : 
d'où, en additionnant, y 2 + z 2 + 1 = 0, ce qui démontre 
cette proposition d'EuLER : le nombre premier p = 4 — 1 di- 
vise toujours une somme de trois carrés, dont Vun est V unité. 
23. Désignant par I, a, b, ... n — L, les <j>(//) nombres plus 
petits que // et premiers avec lui ; traçons dans le quinconce 
module //, les droites y — x, y = ax, y = bx, ... et notons. 



<; ï: M i: TRI E l> E s QUI N < O N ( ' E S 20 1 

ces droites |>;ir les indications L, a, b, ... (fig. 10 <i 11); on 
aura la table de division mod. n ', de M. Aunoi \ F. Ariih., 



8 


1 








2 


" 






.") 


1 


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5 






1 


2 


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3 


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1 

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8 
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6 


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1 








5 


i 






8 


7 


1 


5 








~ 


2 






4 


8 



Paris 1894). Il est aisé de voir que le nombre (jc, y) satisfait 
à la condition .r(r, j/; = ?/, ce qui montre qu'il n'est autre 



12 


6 


'i 


3 


5 


2 


11 


8 


10 


9 


7 


1 


11 


12 


8 


6 


10 


4 


9 


3 


7 


5 


1 


2 


10 


5 


12 


9 


2 


6 


7 


11 


4 


1 


8 


3 


9 


11 


3 


12 


7 


8 


5 


6 


1 


10 


2 


4 


8 


'» 


^ 


2 


12 


10 


3 


1 


11 


(i 


9 


5 


7 


10 


11 


5 


4 


12 


1 


9 


8 


2 


3 


6 


(i 


3 


•) 


8 


9 


1 


12 


4 


5 


11 


10 


7 


5 


9 


6 


1 1 


1 


3 


10 


12 


2 


1 


4 


8 


'i 


2 


10 


1 


6 


5 


8 


7 


12 


3 


11 


9 


3 


8 


1 


4 


11 


7 


6 


2 


9 


12 


5 


10 


2 


1 


5 


7 


3 


9 


4 


10 


6 


8 


12 


11 


1 


7 


9 


10 


8 


11 


2 


5 


3 


4 


6 


12 


1 


2 


3 


4 


5 


6 
Fig 


il 


8 


9 


10 


11 


12 



<{ue le quotient par .r, du nombre y augmenté d'un certain 
multiple de //. 

Cette table jouit de nombreuses propriétés, dont celles-ci : 

Elle donne immédiatement la solution de l'équation ax — 
nz = b. 

Un terme quelconque est l'associé de son abscisse, car 
x -r. 1=1. 

L'une des diagonales ne contient que le terme 1, et l'autre, 



1 Kntrevni' par Enlrr el Gand. 



202 A . A VBR Y 

le nombre n — L. En général, dans une même parallèle à 
une diagonale, deux termes également éloignés des extrêmes 
sont associés, ce qui suit de ce que les relations 

, i vi = v et viv,.n=.*', x(x , y) = y 

et [n — y) \n — y . n — x) = // — x 

donnent par multiplication les suivantes 

(x , ri [y . x) = 1 et [x , y) [n — y , n — x) == 1 • 

De même, le produit de deux termes voisins dans La pa- 
rallèle la plus voisine de la diagonale y = x est congru au 
terme de la deuxième parallèle compris entre ceux-ci. En 
général, si on considère un carré de termes ABCD ayant le 
sommet A sur cette diagonale, le produit des nombres situés 
aux sommets B, C, est congru a celui du sommet D, c'est-à-dire 
qu'on a : 

(x . n — x + k) {x -j- k , n — x) = [x -f- k , n — x + k) . 

24. Si on déplace les colonnes de la table de division 
(mod n), de telle manière que les nombres de la rangée in- 
férieure soient à leurs places naturelles, on aura la table de 
multiplication (mod «), du même auteur, et dont un terme 



8 7 3 4 3.1 

7 5 18 4 2 

6 3 6 3 6 3 

5 1 2 7 8 4 

4 8 7 2 15 

3 6 3 6 3 6 

2 '. 8 1 5 7 

12 3 4 5 6 7 8 

Fig. 12. Fig. 13. 



12 


11 


10 


9 


8 


7 


6 


5 


4 


3 


2 


1 


11 


9 


7 


5 


3 


1 


12 


10 


8 


6 


4 


2 


10 


-j 


4 


1 


11 


8 


5 


2 


12 


9 


6 


3 


9 


5 


1 


10 


6 


2 


11 


7 


3 


12 


8 


4 


8 


3 


11 


6 


1 


9 


4 


12 


7 


2 


10 


5 


7 


1 


8 


2 


9 


3 


10 


4 


11 


5 


12 


6 


6 


12 


5 


11 


4 


10 


3 


9 


2 


8 


1 


7 


5 


10 


9 


7 


12 


4 


9 


1 


6 


11 


3 


S 


4 


8 


12 


3 


7 


11 


2 


6 


10 


1 


5 


9 


3 


6 


9 


12 


2 


5 


8 


11 


1 


4 


7 


10 


2 


4 


6 


8 


10 


12 


1 


3 


5 


7 


9 


11 


1 


2 


3 


4 


5 


6 


7 


8 


9 


10 


11 


12 



quelconque est défini par la relation (.r, y)=xy. La g" co- 
lonne de la première table est devenue la y e de la seconde. 
y étant l'associé de g (fig. 12 et 13). 



G /.' m i: 111 1 1: D i: S QUlNCONC i: s 203 

Les <'<>(>/ "données du terme I sont des nombres associés, 
puisque, dans ce cas, on a xy = 1. 

Les nombres de la diagonale y = x sont 1rs résidus de ri, 
e/ rvv/.r rfe l'autre diagonale, leurs compléments à n. 

25. (iviss. le premier, s'esl avisé du rôle <|ue peut jouer 
le quinconce pour représenter les lois des nombres entiers, 
quantités essentiellement discontinues auxquelles la géo- 
métrie ne semble jkis, à priori, pouvoir s'appliquer. Il parait 
même avoir, par ce moyen, l'ait quelques-unes de ses dé- 
couvertes, entre autres colle de la composition des formes. 

Eisensteun ainsi que Hermite et MlNKOWSKl ont également 
utilise le même moyen et se sont rencontres avec Gauss 
en plusieurs points. 

Bravais a employé les quinconces du plan et de l'espace, 
en vue de ses études cristallographiques (/. E. P., 1850 . 

Lebesgue s'en est servi pour expliquer la formation des 
tables de diviseurs numériques [Tables..., 1862 . 

Mais c'est surtout Ga.nd qui, par sa théorie des satins, en 
a montré l'importance, tant comme figuration du lemme 
fondamental, que par celle des propriétés des formes ..r; 2 — I 
et x- -\- 1. Son objectif était simplement la régularisation des 
procèdes empiriques suivis jusque-là dans l'industrie textile: 
mais Ed. Lucas a repris cette théorie au point de vue ma- 
thématique et avait projeté d'écrire une Géométrie du tissage, 
dont on n'a que quelques aperçus 1 . 

Comme cela a été dit plus haut, la théorie générale du 
quinconce a été pour-suivie ces dernières années jusque dans 
les applications les plus élevées de l'arithmétique. On étu- 
diera avec fruit sur ce sujet la Neuere Zahleniheorie de 
Il \cii\i \\ \ Leipzig, l!M)7 . 

L'idée de Thiele, de représenter les résidus quadratiques 

imaginaires 2 ne paraît pas avoir fixé l'attention, autant qu'elle 

le méritait : toutefois ce qui en a été dit plus haut semble 

suffisant pour faire connaître ce qrri pourrait en être dit 

dans un traité élémentaire. 

A. Aubry (Dijon . 



1 II a montré aussi les rapports de cette théorie avec celle de certains carrés magiques 
qu'il .i appelés diaboliques. 

! 11 a aussi montre à représenter les résidus cubiques, en employant trois directrices faisant 
entre elles des angles île 00°. 



UNE CONSTRUCTION DE L'HYPERBOLE 
COMME LIEU DE POINTS ET COMME ENVELOPPE 



Une considération de l'hyperboloïde de rotation à une 
nappe m'a fourni quelques relations qui peuvent être em- 
ployées pour une construction simple de l'hyperbole deux 

axes 2a et 26 étant 
donnés) et, en même 
temps, pour la con- 
struction des tangen- 
tes dans les points dé- 
terminés de la courbe. 
Comme les con- 
structions connues de 
l'hyperbole et de ses 
tangentes ne sont pas 
nombreuses, je donne 
ici encore cette con- 
struction nouvelle en 
espérant qu'on pourra 
en faire usage dans 
l'enseignement. 

Soit P un point de 
l'hyperbole, ayant .r, , ?/, comme coordonnées; désignons 
par a et b les demi-axes de la courbe. La tangente en P 




Ir .»!.» — a' 2 )\y 



a 2 lr 



coupe l'axe a (qui est situé sur l'axe des x) en un point T. 
ayant les coordonnées 



J = 



t ■ () N STRICTION I) /■: I. Il Y P E I! Il I. E 21 >5 

La droite x — parallèle à Taxe des y, coii[)e le cercle /. , 

décrit du centre avec a comme rayon, en deux points, 
dont I un seulement T, sera pris en considération. Les 
coordonnées du point T, seront, par rapport à l'équation 

(/i x* + y* = a" , 

les suivantes : 

«* a ./—, ; 

x = — . y = v x — ■ cr , 

•*i an ' 

La droite de jonction PT, aura l'équation : 

a , /— — 'O i + « V *\ — a' / „-' 

x t _ a * \ *ij 

i 

Elevons en T, la perpendiculaire (g) à PT, ; la droite g 
aura l'équation 



Y + - \A- - « a = - — ^= 



a"iTi + « l/*| — a 2 V ** 

En posant ici y =0, nous obtiendrons l'abscisse du point 
(M) d'intersection de la droite g avec Taxe des .r. On aura 

«v, \/j* — a- -f- — {x* — a 8 ) = (« 2 — x*)x + fa-" — « 2 , " 

1 .*! ' * * Xl 

alors, en posant ici 

ay t = + b \/x\ — a 2 

(ce qui résulte de l'équation de l'hyperbole donnée), nous 
aurons la distance cherchée OM 

x = ÔM = — b . 

Toutes les perpendiculaires g passent, par conséquent, 
par le point fixe M . 

Déterminons maintenant le point (TJ commun aux rayons 
UT, et PN, où N est le point sur l'axe des .r, ayant pour ab- 
scisse OiN = b. 



206 a. MAH l.x 

Nous aurons 



(OT,) v=- 

II 

L'autre rayon PN, comme droite passant par les points avec 
les coordonnées [x t . y t , (0. . aura L'équation 

iPNi v — v, = r^-- !■*• — .'V ■ 
b — > ^ 

En éliminant y entre les deux équations dernières, on 
obtient l'abscisse du point cherché T 2 : 

, aby t 



,.,-, _ \>\/x\ — a 2 + «v, 
et si l'on pose ici comme précédemment : 

ay t = + b\Z^T^ , 

on aura 

h* 



L'ordonnée y' du point T 2 sera obtenue à l'aide de l'équa- 
tion de la droite OT, en y remplaçant .v par sa valeur x' 
déterminée ci-dessus, or : 



La somme des carrés de r' et y' donne : 

•*' " + v - = -s • 
a 1 



Le point T, décrit alors un cercle h! dont le rayon est la 

h 2 

grandeur — , c'est-à-dire une fonction des demi-axes seuls 
de l'hyperbole. 

La longueur — = /■ peut être construite aisément, parce 



( .V STRUCT1 <> N D E I. Il Y P E II II <> I. E 207 

qu'on ;i 

li a 



h 
- - — tang •_ 



où <p désigne la moitié de I angle asvmptolique. 

Si Ton tire par le point .\ la parallèle à une asymptote, le 
point Q , commun à eelte parallèle et à Taxe des y. sera un 
point de la circonférence du cercle /.'. 

Voici donc comment on procédera dans la détermination 
constructive d'un point P oie l'hyperbole, donnée par ses 
axes. ( )n porte sur Taxe réel les segments OM = ON = b, 
et on décrit les deux cercles k et k' restant fixes pendant 
toute la construction. En taisant passer une droite quel- 
conque p) par le centre O, on obtient les points T, et T._, 
comme intersections respectives avec les circonférences k 
et k' . Si Ion tire les droites de jonction T,M et T 2 N et si 
l'on élève à la première une perpendiculaire (s) au point T, , 
les deux droites T. 2 N et s donnent en leur point commun P 
//// point de l'hyperbole. Le pied T de la perpendiculaire, 
abaissée du point T, sur l'axe réel, joint au point P donne la 
tangente t de la courbe au point P. 

La droite T 2 N étant une fois tirée, on déterminera aussi le 
deuxième point d'intersection T, avec la circonférence k\ et 
on obtiendra par le même procédé tout de suite encore un 
autre point de l'hyperbole. 

Une tangente t de l'hyperbole étant donnée, on détermine 
le point de contact P de la manière suivante. On élève une 
perpendiculaire sur l'axe réel par le point d'intersection 
de cet axe avec la tangente t. La perpendiculaire coupe le 
cercle /. au point T, . Si l'on joint ce point T, au point M et 
si l'on élève une perpendiculaire (s) surT,Mau point T, , 
cette perpendiculaire coupe la tangente au point de contact 
cherché P. 

On ne peut pas employer cette construction si l'on donne 
a = b ; la construction sera d'autant plus précise que la dif- 
férence ± [a — b est plus grande (pour les deux cas, où 
l'on donne a > b ou a < b). 

Georges Majcen Agram). 



REGIONS DEFINIES PAR UNE HYPERBOLE 



l. Objet. — Dans cette Note je me propose de construire 
la théorie de l'hyperbole sans faire aucun appel à l'intuition 
graphique; je me fonderai uniquement pour cela sur des 
propositions élablies — ou supposées telles — dans les 
premiers livres de géométrie. Parmi ces propositions, il en 
est de nombreuses qui ont pour objet des propriétés d'ordre 
(points sur une droite, sur un cercle, droites- autour d'un 
point de positions relatives des figures élémentaires (points, 
droites, cercles; et Vénuniéralion complète des cas possibles 
de figure. Toutes ces propositions se rattachent au deuxième 
groupe d'axiomes cTHilbert. 

Peut-être cet essai intéressera-t-il ceux qui réfléchissent 
sur la portée de l'enseignement de la géométrie élémentaire 
et qui ont pris parti dans le débat actuel institué sur le sens 
qu'il convient de lui donner. 

J'espère que « logiciens » et « intuitifs » trouveront un 
document dans ce chapitre de géométrie élémentaire, édifié 
logiquement sur des matériaux fournis par Y intuition t pen- 
seront ceux-ci, par le raisonnement déduetif déjà en fonc- 
tion, diront les autres. 

Et serait-il téméraire de penser qu'un exposé de ce genre 
pourrait être fait — après d'autres leçons — devant de bons 
élèves de mathématiques élémentaires afin de leur montrer 
comment on peut traiter certaines questions que leur carac- 
tère même semble mettre à part des problèmes qu'ils sont 
habitués à résoudre? Ce serait une excellente occasion de 
leur dire que cette étude est un problème simple de géomé- 
trie de si/ ludion topologie des courbes). 

Gomme la matière de cette étude est très élémentaire, je 



.s i ii i .v i: 11 > p E n /»* o i. E 



209 



me bornerai à une rapide esquisse s;ms souci de compléter 
les démonstrations quand une indication succinte pourra 
suffire; je demande cependant aux lecteurs de L'Enseigne- 
ment mathématique la permission île ne pas perdre patience 
si je j) rends la peine — en leur donnant celle ^\r me suivre — 
d'étudier complètement les cas, justement les plus simples. 

Uniformément, au début de chaque problème, je rap- 
pellerai brièvement les propositions que j'utilise; j'espère 
donner ainsi pi us de concision et de clarté à mon exposé. 

2. Définitions. — L'hyperbole est le lieu des centres des 
cercles tangents à un cercle fixe, le cercle directeur (pie je 
désignerai par Cf' et passant par un point fixe extérieur, le 
foyer F. .l'appellerai (F), (E), (F') les trois régions et (/ , / " 
les deux branches de l'hyperbole. 

Pbopositions rappelées. A. — a)L'un par rapport a l'autre, 
ileux cercles peuvent être : extérieurs, tangents extérieure- 
ment, sécants, tangents intérieurement, intérieurs, soit cinq 
positions. 

jS Quand on distingue les deux cercles, il y a lieu de consi- 
dérer deux circonstances pour les deux derniers cas, suivant 
que le premier est intérieur ou extérieur au deuxième. 

y) Si Ton astreint l'un des cercles à passer par un point 
extérieur à l'autre cercle, une seule circonstance peut se pro- 
duire. Dans ces conditions il y a donc seulement cinq cas 
possibles. 

Enumération des domaines. — Soit P un point quelconque 
(\u plan. J'aurai constamment à considérer et je désignerai 
par Cp le cercle de centre P passant 
par F. Le cercle Cp pourra occuper \ 

par rapport au cercle directeur Gf' (1v) 

Tune des cinq positions rappelées; cf') . 
chacune d'elle sera caractéristique 
des cinq domaines du point P. 

En voici rémunération : le cercle 
Cp est 1°, extérieur à Cp. le point P 
est dans la région intérieure (F) 
contenant F; 2°, tangent extérieu- 
rement à Cp>. P est sur la branche (/') voisine de F; 3°, sécant 




(E) 




(F) 



Fig. 1. 



210 p . i><> y i: i 

à Cf', P esl dans la région extérieure E); 4°. langent inté- 
rieurement à CFi P est sur la branche / voisine cfe F': 5° il 
renferme Cp», I* est dans la région intérieure F' conte- 
nant F'. 

Remarque, [/équivalence de ces définitions avec celles 
qu'on adopte ordinairement est évidente. 

3. Problème fondamental. — Position d'une droite par rap- 
port a l'hyperbole. Intersection. 

Propositions rappelées. B. — Je considère un cercle Cf', 
un point extérieur F et une droite D. J'appelle cp le symé- 
trique de F par rapport à D. Soit P un point mobile se dépla- 
çant dans un certain sens sur la droite I) et. comme ci-dessus 
Cp le cercle de centre P assujetti à passer par F, donc par <l>. 
Pour étudier la position relative du cercle fixe Cp et du 
cercle mobile Cp , je distingue deux cas : 

1° D ne passe pas par F'; 

T D passe par F'. 

B,. Premier cas. J'utilise les propriétés de Y axe radical. 

y. Un cercle est déterminé par un point et par Taxe radi- 
cal qu'il doit avoir en commun avec un cercle déjà tracé. 

La position relative de ces éléments suffit pour caractériser 
la position du cercle ainsi défini par rapport au cercle tracé. 

3 Tous les axes radicaux des couples Cp, Cp [Cp est fixe. 
Cp passe par deux points fixes] passent par un point fixe I 
situé à distance finie sur F<î>. Pour faire la discussion des 
divers cas possibles, il est avantageux de faire jouer à F et <l' 
des rôles dissvmélri<jues ' ; j'en omets ici le détail, j'en 
donnerai seulement les résultats ci-dessous en les utilisant. 

y Ayant déterminé la position du point I et connaissant le 
centre P du cercle mobile Cp on construit l'axe radical d'un 
couple CpCF-en abaissant de I une perpendiculaire sur F'P. 

d) On déduit de cette construction que l'axe radical tourne 
de 180° autour de 1, dans un sens déterminé, à partir de la 
position IF, quand P décrit toute la droite dans un certain 
sens. La discussion des différentes circonstances qui peuvent 



1 Cf (tuichard, Traité de géométrie, n° :fTH. 



N II! UNE 11 YPERBOL I. 



l\ I 



se produire constitue, relativement au premier cas. ['objet 
même du « problème fondamental ». 

B. : . Deuxième cas. L'étude peul être faite ici à partir des 
propriétés de la ligne des centres; elle se conduirait d'une 
manière tout analogue. 

a) Pour connaître la position relative de deux cercles il 
sullil d'étudier la position de leurs Intersections avec leur 
ligne des («entres. 

/S I) est constamment la ligne des centres des couples 

<:,,.. C P . 

y) Quand on connaît la position de 1* il est lies simple de 
construire les deux points du cercle Cf situés sur I). 

o Cette construction permet de suivre le mouvement des 
points sur l'axe (juand P décrit la droite D dans un certain 
sens. 

C. — Je considère un cercle Cf' et les deux tangentes 
issues d'un point extérieur F. 



( IV) 




a) Le cercle est tout entier à l'intérieur d'un angle des 
tangentes. 

(3 Une droite menée par le sommet F, à l'intérieur de 
l'angle, rencontre le cercle, menée à l'extérieur, elle ne ren- 
contre pas le cercle. 

y) Les réciproques sont vraies. 

$ Il serait aisé, dans la figure étudiée, d'énumérer les 
régions, leurs frontières et les points remarquables des fron- 
tières *. 



Voir Guichard, Compléments de géométrie, p. 294 



212 1> . 1>(> Y E I 

Discussion. — Je définis et je caractérise les positions di- 
verses de D par celles de 4>. 

Quand D passe par F. <1> coïncide avec F. il faudra se 
donner La perpendiculaire en F à D et les mêmes raisonne- 
ments demeurent. 

J'écarterai le cas où D passe par F', <I> se trouvant sur le 

cercle de centre F' et passant par F; s'il en était ainsi, on 

ferait une discussion semblable à la suivante; celle-ci est 

relative au premier cas, celle-là se rapporterait au second. 

Voir ci-dessus les propositions B.] 

La discussion [B, (3] amène à étudier (j> dans chacun des 
huit domaines définis ci-dessus [G â]. 

J'examinerai seulement les deux premiers cas; la méthode 
est uniforme. 

i er cas. <I> est à l'intérieur du cercle Gf- : région (I). 

Tout cercle Cp qui passe par $ coupe nécessairement le 
cercle Cf' [voir D y]. Donc tous les points de D sont exté- 
rieurs; ils appartiennent à (E). 

La droite est dite extérieure. 

? me cas. <î> est à l'extérieur de l'angle des tangentes : ré- 
gion II . La droite F<I> ne rencontre pas le cercle [C /5\ Le 
point I centre radical fixe est à l'extérieur du cercle [C«]. 
Du point I je mène les tangentes au cercle, la droite IF est 
située à l'extérieur de l'angle des tangentes [Cy]. Quand P 
se déplace sur D dans un certain sens. Taxe radical tourne 
de 180° autour de I à partir de la position IF dans un sens 
déterminé [B, oj et, d'après la remarque [B, «] , les deux 
cercles Cp et Cf # sont successivement : intérieurs, tangents 
intérieurement, sécants, tangents extérieurement, extérieurs, 
c'est-à-dire que le point P se trouve successivement dans 
les régions ou sur les branches : (F') (f) (E) (f) (F). 

Si P avait cheminé en sens inverse, on eut trouvé dans 
l'ordre inverse (F) (/') (E) (/' (F'). 

On dit que la droite est sécante aux deux branches. 

On discuterait de même les cas 3, 4, 5, G et 7 en ne dis- 
tinguant pas les domaines marqués d'un accent (voir la fig. 
ci-dessus). Le 8""' cas est parasite et se ramène aux précé- 
dents 2, 3 ou (>. 



SUR I. Il YPERBOLE 213 

Après avoir étudié les positions de <I> écartées an début, on 

a enfin le tableau complet suivant. 

Tableau résumant la discussion. — La droite est 
1" extérieur*' : ... E 

2" sécante aux deux branches: (F) (/) (E) (/') (F' 
3° sécante a la branche (/") : E) / F / E) 

ï" sécante a la branche /' : E /': F") /') (E) 
5° tangente à L'une ou l'autre branche : (E) (/) (E) ou 
E /' F 

6° parallèle à l'une ou l'autre asymptote: (E /') F) ou 
E) /') F' 
7" asymptote à la courbe : E . 
Remarque. La symétrie entre F et F', voilée dans toute 

l'étude précédente, réapparaît dans (-e tableau final. 
Coroll.urks. Propriétés des régions et des branches. 

I. Si le point P appartient à la région F) et si le point Q 
est extérieur à celte région, le segment PQ rencontre la 
branche (/), car la droite qui supporte le segment PO peut 
occuper seulement Tune ou l'autre des positions 2, '.). 6. De 
plus, le point d'intersection borne l'ensemble des points 
situés dans (F,; la branche /) est dite la frontière de la ré- 
gion I . 

II. Si P et Q sont dans la région (F) ou sur la branche / . 
tout le segment PQ est contenu flans (F). On dit que le do- 
maine F) est convexe. Le domaine F' jouit de la même pro- 
priété. 

III. On verrait de même que la frontière de la région (E) 
est composée des deux branches (/') et (/'). Si P et Q sont sur 
les deux branches, le segment PQ est tout entier dans F . 
Pour compléter l'étude de (E), il est nécessaire de résoudre 
au préalable un second problème. 

4. Autre problème. — Positions diverses des droites issues 
d'un point. Tangentes [voir la définition dans le tableau]. 

Propositions rappelées. D. — a. Quand une droite D 
tourne de 180° autour d'un point fixe P. le symétrique *P d'un 
poinl fixe F décrit toute une circonférence Cpde centre P pas- 
sanl par F. Le déplace ment angulaire de <ï> autour de P est de 
même sens et double du déplacement angulaire de la droite. 

L'Enseignement m. ■ t lu- m . 13" année; 1911. Ci 



21 i P. PO Y 11 

j8. Quand deux cercles se coupent, chaque circonférence 
est partagée en deux arcs par les deux points d'intersection; 
l'un des arcs est intérieur, l'autre est extérieur au second 
cercle. 

y. Réciproque. Quand une circonférence passe par deux 
points dont l'un F est à l'extérieur, l'autre <I> à l'intérieur 
d'une deuxième circonférence, les deux cercles se coupent. 

Discussion. — Les sept cas du tableau complet peuvent 
se résumer dans les trois suivants : 

l" <I> est à l'intérieur du cercle directeur Cf- ; la droite D 
est extérieure à l'hyperbole. 

2° <ï> est sur le cercle directeur Cp ; la droite D est tangente 
à l'hyperbole. 

3° $ est à l'extérieur du cercle : la droite D est sécante à 
1 hyperbole. 

De même, à cause de la symétrie de F et F'., on peut ré- 
duire à trois les positions d'un point par rapport à une hy- 
perbole : le point est intérieur, sur la courbe ou extérieur. 
Dans le premier cas, on montre que toutes les droites sont 
sécantes, dans le second, qu'on peut tracer une tangente, 
toutes les autres droites sont sécantes; enfin dans le troi- 
sième, qu'il y a deux tangentes distinctes, des droites sé- 
cantes et des droites extérieures. Je vais l'examiner en détail. 

Gomme le point P est dans (E , le cercle Cp coupe le 
cercle C t ' , et d'après la remarque [D /3] les deux points d'in- 
tersection limitent sur Cp deux arcs dont l'un est intérieur, 
l'autre extérieur à C F ' • Or, quand D tourne autour de P de 
180° dans un certain sens, $ décrit tout le cercle C P dans un 
sens déterminé [D^ en parcourant successivement les deux 
arcs. Les droites sécantes sont donc comprises dans un angle 
des tangentes, les droites extérieures dans l'autre. Cette pro- 
priété, démontrée ici pour l'hyperbole, a été admise pour le 
cercle [Col. 

Corollaire IV. Si P et Q appartiennent à la région (E) ou 
à sa frontière (/*) (/'), on peut tracer de P à Q un chemin con- 
tinu tout entier contenu dans (E), sauf peut-être les extré- 
mités. 

Je distingue trois cas. 



S un /.' h y i> i: n b o /. E 2 1 5 

1° L'un des deux [)oints est à l'intérieur du domaine (E , 
soit Q. On peut toujours tracer par P une droite p dont tous 
les points — sauf peut-être P — sont extérieurs, et par O 
une droite extérieure <j seulement assujettie à rester dans un 
angle, on pourra donc la choisir non parallèle à/?. Des seg- 
ments convenables de/; et <j réalisent le chemin cherché. 

2° Les deux points sont sur la même branche; les tan- 
gentes en 1* et Q ne sont pas parallèles [la démonstration 
complète en serait aisée] et fournissent un chemin satisfai- 
sant. 

3° Les deux points sont sur les deux branches; le seg- 
ment PQ est entièrement dans (E) [voir corollaire III]. 

On énonce la propriété précédente en disant que la ré- 
gion (E) est d'un seul tenant 1 . 

Remarques. I. On peut faire une première étude des ré- 
gions de l'hyperbole en n'utilisant que des droites issues 
d'un foyer 2 ; dans l'analyse plus complète qui précède, j'ai 
construit des chemins continus avec des droites quelconques; 
là se borne la puissance des méthodes élémentaires. 

II. On pourrait établir d'une manière aussi entièrement 
déductive toutes les propriétés de l'hyperbole. 

P. Poyet (Bordeaux). 



1 Voir Hadamakd, Géométrie dans l'espace. Ex. 772. p. 217. 

- Voir pnr exemple Vacquant et MacÉ i>k LÉpinay, Eléments île géométrie, p. 514 et suiv. 



LE PROBLEME DE TRANSON EN GEOMETRIE REGLEE 



Etant sur le point de faire paraître mes recherches per- 
sonnelles sur le Problème de Transon, ainsi que je l'ai 
annoncé dans diverses Notes publiées dans les Nouvelles 
Annales de Mathématiques de 1910, j'ai pensé qu'une expo- 
sition de l'histoire de ce problème important pourrait offrir 
un certain intérêt pour les lecteurs de Y Enseignement mathé- 
matique. Je vais donc résumer ici les recherches de Transon, 
de M. Darboux et de Lik. 

Le développement des études de géométrie néglée, en ce 
qui concerne les complexes, est certainement en retard par 
rapport à la théorie des congruences de droites, notamment 
du point de vue des propriétés métriques : la théorie des 
congruences, en effet, a donné lieu à de nombreuses recher- 
ches se rapportant surtout à la géométrie projeetive. « Les 
« propriétés infinitésimales des congruences, écrit M. G. 
« Kœmgs ', sont connues depuis beaucoup plus longtemps 
« que celles des complexes. Elles se sont présentées aux 
« géomètres dès les premières recherches sur la théorie des 
« surfaces. Dans son Traité de géométrie, M. Dahboux leur a 
<> consacré une place importante et a ajouté à l'intérêt que 
« les géomètres leur prêtaient déjà en les rattachant aux 
« recherches de Laplace sur les équations linéaires aux 
« dérivées partielles du second ordre. » 

Parmi les quelques recherches qui sont relatives aux pro- 
priétés infinitésimales des complexes, se trouve l'étude du 
problème considéré, pour la première fois en 1861, par Abel 
Transon et qui peut être énoncé ainsi : « Un complexe étant 
donné, déterminer toutes les congruences de droites qui 
appartiennent à ce complexe et qui sont des congruences de 



1 G. Kœnios, La géométrie réglée et ses applications, eh. IV. g 66, [Annales de la l'acuité des 
Sciences de Toulouse, t. VI. 1892, p. fiô). 



G É O M ETUI E J{ E C I. E E 217 

normales ». Outre le grand intérêt géométrique que présente 
cette question, elle offre aussi un intérêt physique, puis- 
qu'elle est équivalente à la détermination des systèmes de 
rayons lumineux jouissant dune propriété donnée. Au même 
problème de Transon, Lu: 1 rattache d'ailleurs le problème 
qui consiste à déterminer toutes les surfaces pour lesquelles 
les tangentes à une famille à un paramètre de géodésiques 
appartiennent à un complexe de droites donné. 

Dans son Mémoire sur Les propriétés d'un ensemble de 
droites menées de tous les points de V espace, suivant une loi 
continue-. Tkanson attache à tout point M '.r, y, z) de l'espace 
une droite D dont les cosinus directeurs X, Y, Z sont trois 
fonctions données des coordonnées de M. Si l'équation 

Xdx + Xdy + Zdz = 

est intégrable, on sait que la totalité des droites données se 
répartit en groupes respectivement normaux aux différentes 
surfaces particulières que renferme son intégrale générale. 
Mais la répartition des droites en de tels groupes n'est nulle- 
ment subordonnée à l'intégration de celte équation : quelles 
que soient les fonctions données, il y a toujours une infinité 
de manières de répartir l'ensemble donné, lorsque c'est un 
complexe, en groupes normaux à des surfaces distinctes et 
dans le cas même où l'équation ci-dessus est intégrable, la 
répartition qu'elle procure n'est qu'un mode particulier entre 
une infinité d'autres. Toute surface (S) — que Transon appelle 
résolvante — intégrale de l'équation linéaire 

îî _ t£\ f dZ _ ùX \ — oX ,lY 

ôz. 'VV V' 1 -*' i>zj" br i>x ' 

est un lieu de points de départ M de rayons D d'une certaine 
congruence de normales. 11 en résulte qu'à toute intégrale 
de cette dernière équation correspond une congruence de 
normales appartenant au complexe et réciproquement. 



1 Soi'HL's Lih, C'eber Complexe, insbesondere Linien-und Kngelcomplexe mit Anuendung au/' 
dit Théorie partielle/- Differientialgleichungen [Math. Ami., V, 1S72, § 52). 

'< i oinptes rendus. 1S61, LU, p. 245-247. Journal de l'Ecole Polytechnique, l*fil. XXII, 38* 
cahier, p. 195-308. 



218 i: TURRIÈRE 

Tel est le résumé du Mémoire remarquable de Tkv.nson, 
Mémoire qui l'ut l'objet d'un rapport de Chasles '. 

L'équation linéaire de TlUNSON est d'une forme digne 
d intérêt : je ferai remarquer que c'est l'équation des surfaces 
de tourbillon dans le champ de vecteurs (X. Y, Z) ; et j'ai pu 
obtenir cette équation en appliquant le théorème d'AMPÈRE- 
Stokes. Les caractéristiques sont les lignes de tourbillon et, 
dans le cas du complexe tétraédral convenablement défini, 
j'ai obtenu leurs équations sous la forme des trois équations 
d'EuLEK pour le mouvement d'un corps solide ayant un point 
lixe et qui n'est soumis à aucune force. L'intérêt de la 
méthode de Transon est donc grand, d'autant plus que j'ai 
pu obtenir une équation plus générale pour des coordonnées 
curvilignes orthogonales quelconques. 

Mais, à côté de certains avantages, se trouvent de très grands 
inconvénients, provenant principalement du choix des points 
de départ des droites du complexe lorsque celui-ci est défini, 
non plus analytiquement, mais géométriquement. J'ai bien 
pu obtenir des règles permettant de choisir des points de 
départ, dans divers cas particuliers, mais lorsqu'on se trouve 
en présence d'un complexe tel que le complexe de Painvin, 
on est d'abord embarrassé : il ne s'agit pas, en effet, de 
choisir des points de départ quelconques, mais ce qu'il ne 
faut pas perdre de vue c'est l'équation finale qui doit être 
simultanément simple et élégante. La méthode de Transon 
échoue totalement dans le cas du complexe de Painvin, alors, 
que par une autre méthode, j'ai pu obtenir une équation, non 
plus linéaire, il est vrai, mais possédant une intégrale qua- 
dratique; le problème est alors équivalent à la détermination 
des géodésiques pour un certain élément linéaire de sur- 
faces harmoniques. 

La définition d'un complexe à l'aide des points de départ 
présente aussi l'inconvénient de ne pas toujours fournir un 
complexe, mais parfois une congruence de droites : si l'on 
se donne, par exemple, une quadrique et si à chaque point 
de l'espace, on attache les focales du cône circonscrit à la 



1 Comptes rendus. 1801 , LU. |>. 1013-1018. 



t. /■: o m /•; 1 11 1 1: i; i: <; t. r: i: 2 1 9 

quadrique, on constitue une congruence isotrope remar- 
quable. 

Dans le ras où la méthode de TRANSON est praticable, on 
obtient, non pas les surfaces dont les normales appartiennent 
au complexe, mais les surfaces résolvantes qui, malgré l 'in- 
terprétation géométrique donnée par Ossian Bonnet 1 , onl 
des rapports plutôt lointains avec le complexe. Il est d'ail- 
leurs bien naturel qu'il en soit ainsi et que les surfaces 
résolvantes ne soient pas intimement liées au complexe, 
puisque les surfaces dépendent du choix des points de 
départ, lequel choix est arbitraire, dans le cas d'un complexe 
défini géo nié t rique m e n t . 

fl convenait donc de reprendre le problème sous un autre 
jour et d'avoir principalement en vue la détermination des 
surfaces dont les normales appartiennent au complexe. Ces 
surfaces, pour abréger, je les désignerai sous le nom de 
surfaces trajectoires. Le premier, en 1870, M. Oakboux 2 
énonça incidemment le théorème suivant : Etant donné nu 
complexe de droites dont on connaît a priori une famille à 
un paramètre de surfaces trajectoires, non parallèles, la 
solution complète du problème de Transon pour le complexe 
considéré s'obtient sans introduction de nouvelles quadra- 
tures. Des conséquences de ce théorème fondamental ont été 
développées par M. Darboux lui-même dans deux Communi- 
cations récentes à l'Académie 3 « Sur les congruences de 
courbes et sur les surfaces normales aux droites d'un com- 
plexe », qui, comme l'indique le titre, contiennent des résul- 
tats plus généraux et relatifs aux congruences de courbes 
quelconques. 

L'importance du théorème de M. Darboux n a point échappé 
à Sophus Lie 4 qui rattacha l'étude du problème de Transon 
à ses recherches sur les transformations de contact. Sous la 
dénomination de problème des normales, Lie 5 considéra le 
problème de Transon et établit que l'équation aux dérivées 



1 Comptes rendus, LU. p. 1082. 

2 G. DARBOUX, « Sur les systèmes de coniques et de surfaces du second ordre a (Bulletin <ies 
Sciences mathématiques, 1 X7< » . p, 351). 

: Séances des 15 el 'il novembre 1909. 

* Lih: et Schkffkhs, Géométrie der BerUkrungslransformationen, |> 2T:t et p. 675-685. 
5 Lik. L'eber Complexe, insbesondere Linien- und Kugeleomplexe, M. A. I872i. 



220 E. TURRtERE 

partielles du premier ordre dont dépendent les surfaces 
trajectoires est caractérisée par son invariance dans la trans- 
formation infinitésimale constituée par la dilatation. Je ferai 
remarquer que cela revient à dire que L'équation du problème 
de Transon, pour un complexe quelconque, est l'équation du 
premier ordre la plus générale qui possède une intégrale 
développante isotrope. 

Tel est le résumé des recherches qui furent faites sur le 
problème de Transon, pour un complexe quelconque. Il 
convient d'observer qu'en ce qui concerne des complexes 
particuliers on connaît, indépendamment de toute théorie 
générale, des surfaces dont les normales appartiennent à ces 
complexes : c'est ainsi que Monge l avait déterminé, bien 
antérieurement à Transon, les surfaces dont les normales 
appartiennent au complexe spécial des tangentes à une sur- 
face développable, ou à une sphère. Plus généralement pour 
un complexe spécial quelconque, le problème, qui est équi- 
valent à la détermination des lignes géodésiques de la sur- 
face de singularité, peut être considéré comme ayant été 
résolu par Geisenheimer, dans son Mémoire Sur les sys- 
tèmes de rayons formés par Les tangentes à une surface' 1 , et 
par tous les géomètres qui se sont occupés du problème des 
géodésiques. 

Dans le cas du complexe linéaire, le problème fut résolu 
par Lie et par M. E. Picard qui. dans sa Thèse de Doctorat 
(1877, p. 31), établit d'une manière purement géométrique que 
les surfaces trajectoires sont des hélicoïdes. 

Après ce résumé succinct de l'historique du problème de 
Transon, je ne crois pas devoir abuser en résumant ici des 
recherches que les lecteurs pourront lire dans un Mémoire 
plus complet. Ils trouveront d'ailleurs des exemples de pro- 
blèmes de Transon, résolus en appliquant le théorème de 
M. Dahboux, dans les Notes parues dans les Nouvelles Anna- 
les de 1910 auxquelles je faisais allusion au début de cet 
article. 

E. TurrièRE (Aleneon). 



1 Application de l'analyse à la géométrie, p. 246-321. 
- Zeitsehrlft f&r Mathematik und Physik, 1.S72. 



SUR LES FONCTIONS SYNECTIQUES 



L'objet île cette Note est de mettre en évidence une inter- 
prétation géométrique, ressortissant à la Géométrie réglée, 
des relations qui caractérisent les fonctions synectiques. 

Étant donné un système d'axes rectangulaires 0(.r, y, 3), de 
chaque point m de coordonnées .r, y, dans le plan O.ry, est 
supposée partir une droite d de cosinus directeurs p t , /> 2 , p 3 : 

p x = P cos + Q sin . 
p t = P sin — Q cos . 
>, = /l - P 2 - Q* ; 

P et Q, dans ces formules, sont deux fonctions, quelconques 
pour l'instant, des variables x et y; quant à 9, c'est un pa- 
ramètre constant et quelconque. 

Les droites d ainsi définies constituent, pour des fonc- 
tions P et Q données et pour chaque valeur du paramètre 9, 
une congruence de droites; lorsque 9 varie, la congruence 
précédente se déforme en engendrant un complexe de droi- 
tes; ce complexe peut être défini indépendamment de la con- 
sidération des congruences : il est constitué par les généra- 
trices de cônes de révolution de sommets situés dans une 
région du plan O.ry. d'axes parallèles à Oz, et dont les demi- 
angles V aux sommets sont déterminés par la formule 

• sin- V — P- -f- O- . 

Le paramètre 9 avant une valeur fixée, la congruence qui 
lui correspond n'est pas une congruence de normales, dans 
le cas général où les fonctions P et Q sont quelconques. Pour 
qu'il en soit ainsi, il faut et il sullil que l'expression 

pidx + p,dy 



222 E. TVRR1ÈRE 

soit une différentielle exacte, ce qui entraîne la condition 

56 _ ô _£ï = o 

by bx 

c'est-à-dire 

h — ) cos i) + ( — sin H = . 

1 by .vi ' \ by ,\>7 

Cette dernière relation est identiquement vérifiée quel que 
soit 9. lorsque P et Q sont liées par les conditions simul- 
tanées. 

bP bQ bP ^Q 



et dans ce cas seulement. Il en résulte donc que la condition 
nécessaire et suffisante pour que la congruence des droites d 
soit une congruence de normales, pour toutes valeurs du pa- 
ramètre 0, est que P et Q soient deux fonctions synectiques. 
En d'autres termes, P + î'Q doit être fonction de la variable 
complexe z = x -\- iy . 

Telle est la propriété qui constitue une interprétation géo- 
métrique des relations qui lient les fonctions synectiques. 
Je terminerai cette Note par une propriété du complexe des 
droites d. 

Soit 

P + ÎQ =f(z) : 

le complexe peut être envisagé comme défini par les géné- 
ratrices du cône de révolution, de sommets situés dans O.cy. 
d'axes parallèles à 0^. de demi-angles aux sommets déter- 
minés par la formule 

sin V = | f\z) | ; 

le point m est assujetti à Punique condition d'appartenir à 
la région du plan O.ry pour laquelle le module de la fonc- 
tion f\z) est inférieur à l'unité. D'après ce qui précède, le 
complexe est engendré par une congruence de normales 
variable qui dépend d'un paramètre ; d'un théorème de 
M. Darboux, il résulte donc que toutes les congruences de 



FONCTION S S Y \ /. i ri Q UE S 223 

normales qui appartiennent à ce complexe, sont délermina- 
bles immédiatement, sans introduction de quadratures mi- 
tres que celles qui pourraient figurer dans L'équation des 
surfaces trajectoires orthogonales des droites de la con- 
gruenee associée au paramètre 9. 

Ouant à ces dernières surfaces, il est aisé de les déter- 
miner. Soit M le point d'incidence de la normale d sur une 
des surfaces trajectoires, et soient X, Y, Z les coordonnées 
de ce point M; en introduisant la distance ///M = A inconnue 
et à déterminer, on a 

X = x -+- Xp t , Y = v -f- À/y 2 , Z = \p t ; 

en utilisant la relation 

pidX + p t dY + p t dZ = , 
il vient : 

— dl — [Vdx — Qrfjj cos 8 + (Qdx + Pdy) sin 8 ; 

de cette relation résulte l'expression de A 

2À = - | e-®ff{z)dz + e*ff[z )dz j + i-onsi . 

dans laquelle z désigne la variable complexe conjuguée 
de z; la distance A est donc définie par la formule 

À = — partie réelle de [e — ?(*)] + const , 

en introduisant la nouvelle fonction de variable complexe 

afin de faire disparaître tout signe d'intégration dans les for- 
mules finales. 

E. Turrikre .Alencon . 



DIFFÉRENTIELLE ET DÉRIVÉE 



Dans tous les pays civilisés, on s'efforce actuellement d'in- 
troduire, dans les écoles moyennes, des éléments du Calcul 
différentiel et intégral qui, autrefois, était entièrement réservé 
à l'université. Dans ces écoles, on suit généralement les 
mêmes procédés que dans les cours universitaires, et l'on 
peut se demander si cette façon de faire est bien conforme 
au but poursuivi. 

Tout d'abord, la notation présente déjà des difficultés 1 . 

car dans l'expression -^ ni dy, ni d.v, ni la barre de fraction 

n'a de signification, mais seulement le symbole entier; on ne 
doit pas non plus conclure des règles concernant les frac- 

.• dx , dy 

tions que -ï- = 1 : -/■ . 

1 dy d.v 

A ceci viennent se joindre immédiatement les règles sur 
la diffère ntiatîon des fonctions de fonctions, u . v et u : c, de 
telle sorte que l'élève a l'impression qu'il s'agit d'un calcul 
tout nouveau n'ayant aucun rapport avec celui qu'il a vu pré- 
cédemment. De même le calcul de 

dy .. Ar f[x + h) — /ï. 



. i j m — — rr Uni, 
dx sx=i> A.r *=< 



est facile, il est vrai, au point de vue mathématique, mais 
difficile à comprendre, car une vision claire du sujet fait 
encore défaut. Gomme exemple classique, je choisis la tan- 
gente en un point donné. La détermination d'une direction 
exige dans tous les cas deux points, ou une portion de droite 



1 Voir dans cette Revue, t. I, p. 106 a lin, un article de M. H. PoiNCARÂ, sur la Notation 
différentielle et l'enseignement, dans lequel l'auteur recommande que l'on commence par la 
notation des dérivées. — .V. de la Réd, 



DIFFÉRENTIELLE ET DÉRIVÉE 225 

aussi courte que l'on veut du reste ; tout le calcul ne peut 
donc avoir un sens que si 1 on utilise un point voisin du point 
donné, ou si la courbe se confond avec la tangente le long 
d'une petite portion de droite. Une méthode qui pose A* = 
nie parait obscurcir le véritable sens du problème. Il ne 
serait pas non plus permis de diviser par kx lorsqu'on aurait 
Ajî = 0. On rencontre donc; ici une difficulté provenant de 
cette façon purement arithmétique de traiter la chose, diffi- 
culté qui ne disparaîtra pas par le calcul, mais seulement 
par l'axiome que l'erreur peut être rendue plus petite qu'une 
quantité quelconque si petite qu'elle soit. Il est remarquable 
que dans l'enseignement, on ne mentionne généralement pas 
l'axiome à cette place, ou, lorsqu'on le fait, comme par 
exemple dans Hessexberg 1 , l'exposé qu'on en donne est 
trop peu clair pour les commençants. 

Toutes ces difficultés se présentent aussi dans le calcul inté- 
gral, car la définition F(.r) = f f x ilx lorsque , [ = f x) 

suppose connue la notion de dérivée. Ajoutons à cela que 
l'on suppose parfois que la dérivée est donnée, comme par 
exemple, la vitesse; mais dans la plupart des cas, c'est la 
différentielle qui forme le véritable point de départ. Il en est 
ainsi dans la détermination des moments de rotation et 
d'inertie et celle également des surfaces et des volumes. Ce 
sont là les raisons qui expliquent pourquoi le calcul intégral 
est beaucoup moins traité dans l'enseignement que le calcul 
différentiel, quoique tous deux présentent une égale impor- 
tance. Mais comme nous ne nous occupons dans renseigne- 
ment élémentaire que de fonctions qui sont développables 
en séries de puissances, nous pouvons faciliter l'accès au 
Calcul infinitésimal, si à côté de la dérivée nous considérons 
également la différentielle. 

Le mot « différentielle » est employé dans un sens diffé- 
rent. Je ne parle pas des fameuses quantités qui sont plus 
petites que toutes les autres sans cependant être nulles. 



1 Abhaiidlungcn dn- t'ries'schen Schule, 1906, p. 167, L'auteur i-criL 
I — h' <C_ <] lorsque x — a <Cp\ 



226 A. SCHVLKE 

ni des valeurs introduites par la définition dy=^f'(x) . dx; 
mais j'entends les petites quantités finies qui sont employées 
constamment^en Physique, Astronomie, Géodésie et dans 
toutes les Mathématiques appliquées, par exemple, le travail 
pour un déplacement ds, soit dW = Fds; le moment statique 
dS = dm . /•. L'expression « petite » sera caractérisée par le 
l'ait qu'on pourra négliger dx 2 et dx . dy relativement à dx. 
Etant donné cette hypothèse, le calcul ne sera tout d'abord 
qu'une approximation ; niais il se présente très clairement et 
n'exige aucune règle spéciale. Par exemple : 

a i 

1. — y =n — donne successivement 

x 

dy Y « 

(y + d> -i [x + dx\ = a , xdr + yd.r = , -/-=—- = ? . 

dx x x- 

2. — v 3= x + [/ x 2 — a* , y 2 — 'Ixy -f- .r 2 = .r 2 -«- a 2 . 

y 2 -\- lyây — 'Irv — 2xdy — 2ydx — — a 2 , dnv — x] =rrfa , 



Puis, lorsque l'importance du calcul aura été clairement 
établie par de nombreux exercices, on montrera qu'en choi- 
sissant un dx suffisamment petit (0,001, 10~ 6 , lO" 10 , 10- 1,w ...) 
l'erreur peut être rendue plus petite qu'une petite quantité 
quelconque, et que ce procédé, par conséquent ne fournit 
pas un résultat approché, mais bien rigoureusement exact. 
La notion d'intégrale vient alors faire directement suite à ce 
qui précède. Par exemple, pour la parabole y = ex 2 , la sur- 
face d'une petite bande sera 

dS = rdx -f- - drd-\ = cx*dx 

la surface sera donc S = -«- = ? ; il ne resterait qu'à con- 
sidérer les limites. 

On déterminera de la même façon les volumes engendrés 
par la rotation d'une surface plane autour d'un axe situé 
dans son plan, puis la vitesse, le chemin parcouru, le mo- 



M /.' /. A N (. E S E I 00 I! H l; S P .V /> A N ' E 227 

ment de rotation et d'inertie, le travail, etc. On peut facile- 
ment prouver à l'aide des sommes de puissances, ou par un 
procédé purement géométrique, que Terreur provenant du 
fait qu'on néglige de petits triangles ou anneaux, tend vers 
zéro; il en résulte que ces formules sont également rigou- 
reuses. On trouvera des développements plus précis dans 
mon recueil d'exercices '. 

A la place des trois notions différentes 

•— • y- . ClY = / l.( i dX 

A.» <ix 

que les commençants ont beaucoup de peine à distinguer 
les unes des autres, il suflit, pour les besoins de l'enseigne- 
ment et des mathématiques appliquées, d'introduire unique- 
ment les petites quantités d.r et dy, au moyen desquelles on 
obtient des résultats complètement rigoureux en négligeant 
les puissances supérieures. 

A. Schllke (Konigsberg, Prusse). 

(Traduction de M. J.-P. Dumdr, Genève.] 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Courtis Standard Test in Arithmetic. 

Un professeur américain, M. S. -A. Courtis, chef du départe- 
ment des sciences et mathématiques à l'Ecole de Détroit (Détruit 
Home and Day Schooh, a établi un système d'épreuves permet- 
tant de mesurer d'une façon pratique et rapide les résultats de 
l'enseignement de l'arithmétique, en se basant non pas sur le 
travail individuel des élèves, mais sur l'ensemble des travaux de 
la classe. Sa méthode d'enquête est le résultat d'une longue expé- 



1 Aufgaben-Sam mlung von A. ScHÙLKB. Leipzig, B. G. Teubner, 1910. 



228 



M E I. A S G E s ET C H R E S P O JV I) A iV ( ' E 



rience; elle peut rendre de grands services en permettant d'ap- 
précier le travail progressif d'une classe entière, de comparer 
diverses méthodes d'enseignement, ou d'établir un parallèle entre 
les classes correspondantes de plusieurs écoles différentes. 

Les examens habituels mesurent l'étendue de la connaissance 
d'un élève et l'augmentation de difficulté d'année en année. Les 
épreuves comparatives, par contre, mesurent non seulement ce 
que l'on sait, mais comment on le sait; on devra les faire exé- 
cuter, dans chaque classe et chaque degré, dans des conditions 
absolument identiques. Elles sont au nombre de 8 et comportent 
les sujets suivants : 1. addition, — 2. soustraction, — 3. multipli- 
cation, — 4. division, — 5. copie de chiffres, — (>. raisonnement, 
— 7. les quatre opérations, — <S. raisonnement. 

Les épreuves l, 2. 3 et 4 comportent un certain nombre d'opé- 
rations très simples; l'élève devra en résoudre un aussi grand 
nombre que possible dans un intervalle de temps limité. Dans 
l'épreuve 5, il s'agit de copier dans le temps indiqué le plus 
grand nombre de chiffres possible. Le n° 6 comprend 16 pro- 



SCORE 
80i 



COURT1S STANDARD TESTS 




8 9 10 
GRADES 



I 12 13 



blêmes qui peuvent être résolus respectivement par Tune des 
quatre opérations ; l'élève n'a pas à résoudre le problème, mais 
doit simplement indiquer le genre d'opération correspondant. 
L'épreuve 7 comporte un certain nombre d'opérations (additions, 
soustractions, multiplications, divisions plus compliquées que 



M /: L . l N G E s i: l CO II II E S P N DANC E 229 

celles des 'i premières épreuves; l'élève peut les résoudre sur un 
espace blanc réservé sur la feuille d'épreuve. Le n" -S. enfin, con- 
tient 8 problèmes qui peuvent être également résolus sur un 
espace blanc. 

Dix mille séries de ces épreuves ont été envoyées dans diverses 
écoles des Etats-Unis. On les fait exécuter par tous les degrés et 
dans les mêmes conditions, et les résultats sont renvoyés pour 
servira établir les moyennes et les graphiques correspondants. 
Nous reproduisons, à titre d'exemple, l'épreuve 3 et un graphique 
qui s'y rattache. 



SCORE 

Measure the efficience' of the entire schoul, not the 

individual ability of the few " No. nttcmptcd 

ARITHMETIC-Test No. 3. Speed Test-Multiplication No right 

Write on this paper, in the space between the lines, the answers to as many 
of thèse simple multiplication examples as possible in the lime allowed. 

2 3 9 7 95476 4 2 7 4 9 3 4905 
130 5 4 12805 19605 27826 



5 2754 25607 12708 128 15 

16 9 6 3 5 9 8 3 6 8. 7 6 3 9 5 7 1 3 

6 2 8 9 5 4 3 9 8 6 13 7 6 5 3 2 6 8 

17 4 7 2 6 7 4 2 5 8 9 14 7 15 

13 6 0.'! 16809 14804 7 3 9 2 '. 

7 i 8 9 4 2 8 7:; 54935 18903 

5 8 6 5 19 8 3 2 5 4 3 7 16 9 17 

12 3 9 4 3 2 6 '» 7 2 8 9 5 S 2 4 2 

9 5 4 7 6 2 3 9 7 3 4 9 5 4 2 7 4 9 

12 8 5 I 3 6 5 '. 2 7 8 2 6 19 6 5 

Name School Grade 



La courbe A représente, aux yeux de railleur, les résultats que 
devraient obtenir en juin les diverses classes placées smi> son 
contrôle (degrés 4-13). La comité H donne les résultats réels en 

L*Ensei<;ni!inpnt mathém., 13" année; 1911. 15 



230 CHRONIQUE 

septembre, début de l'année scolaire, et C les résultats en oc- 
tobre. D représente le graphique d'une autre école examinée éga- 
lement en octobre, la même semaine. 

(>s épreuves comparatives seront probablement utilisées en 
Angleterre, en Allemagne, en France et dans d'autres pays. Elles 
sont fournies, an prix de revient, par M. S. -A. Courtis, qui en- 
verra son Manital of instructions for Giving and Scoring the 
Courtis Standard Tests in Arithmetic, à tous ceux qui lui en 
feront la demande. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

I. — REUNION DE MILAN 
18-20 septembre 1911. 

Séances du Comité central. 

Lundi, 18 septembre, à 9 h. du matin ; éventuellement à 4 h. 
de l'après-midi, séance en commun avec les sous-commissions 
spéciales A et B. 

Réunion préparatoire. 

Lundi soir, 18 septembre, à 8 h. '■., le lieu sera indiqué ulté- 
rieurement dans le programme définitif qui sera adressé aux dé- 
légués au commencement de juin). — Cette réunion, qui est prin- 
cipalement destinée aux présentations, permettra aux mathéma- 
ticiens de prendre contact. 

Séances des délégués et des membres di;s sous-commissions 
nationales. 

Ecole polytechnique, place Cavour. 
1" séance. Mardi l!> septembre, à 9 h. du matin. 

1. Allocution du président. 

2. Etat des travaux dans les principaux pays ; présentation des 

rapports des sous-commissions nationales. — Discussion. 



CHRONIQUE 231 

2 me séance. Mardi L9 septembre, à \ h. de l'après-midi. 

1. Suite de la discussion. 

2. Les mathématiques dans l'enseignement moyen : 

Dans (juelle mesure peut-on tenir compte, dans les écoles moyennes liv- 
rées, collèges, gymnases, écoles réaies, etc.), de l'exposé systématique des 
mathématiques? — La question de la fusion des différentes branches mu- 
thématiques dans l'enseignement moyen. (Question A). — Discussion 

3""' séance. Mercredi 20 septembre, à h. du matin. 

1. La question des rapports à présenter au Congrès de Cambridge. 

2. L'enseignement mathématique théorique et pratique destiné aux 

étudiants en sciences physiques et naturelles et aux étudiants 
ingénieurs. iQuestion B). — Discussion. 

Séance générale publique. 

Mercredi 20 septembre, à 4 h. de l'après-midi, à l'Ecole poly- 
technique. 

1. Allocution d'un représentant de lltalie. 

2. Allocution de M. le prof. F. Klein, président de la Commission. 

3. Conférence de M. le prof. F. Emuques (Bolognei. 

Excursion aux Lacs italiens. 

Jeudi 21 septembre. — La réunion sera suivie d'une excursion 
aux Lacs italiens, organisée par les soins du Comité local. 

Les adhésions et les demandes de renseignements doivent être 
adressées au secrétaire-général, M. IL Fehk, Florissant, 110, 
Genève. 



II. — SOUS-COMMISSIONS NATIONALES 



Allemagne. — La sous-commission allemande vient de faire 
paraître le 10 me fascicule des Abkandlungen iiber den mathema- 
tischen Unterricht in Deutschlarid. C'est le 1 er fascicule du .':>"" vo- 
lume. Il contient la préface du 3 mc volume, par M. F. Klein, et un 
rapport sur le mouvement de réforme de l'enseignement mathé- 
matique en Allemagne, par M. R. Schimmack. (146 p. . En voici le 
titre : 

III. Band. Einzelfragen des hoheren mathematischen Unter- 
richts. Mit einem Einfùhrungswort von F. Klein. 

1. Ileft. Die Entw icklung der mathematischen Unterrichts- 
reform in Deutschland, von Dr. R. Schimmack. 



232 CHRONIQUE 

Autriche. — Le fascicule 7 des Berichte iïber den mathema- 
tischen Unterricht in Œsterreich vient de paraître. C'est un rap- 
port sur renseignement mathématique dans les universités, par 
M. R. v. Stbrnbck. 50 p. : 

7. Ileft. Der mathematische Unterricht an den Universitâten, 
von Dr. R. v. Stbrnbck. — Nous en donnons un résumé sous la 
rubrique « Xotes et Documents » du présent numéro. 

Suède. — La sous-commission suédoise a publié le 8 1 "'' et 
dernier fascicule de ses Berichte und Mitteilungen, Il est consacré 
à un rapport sur l'enseignement des mathématiques dans les gym- 
nases suédois, par M. E. Goransson. (51 p.). 

Die MathemaUk and den schwedischen Gt/mnasien, von Dr. E. 
Goransson, Oberlchrer in Stockholm. 

Le même fascicule contient une préface de M. le prof. H. v. Kocu, 
délégué suédois, pour l'ensemble des huit fascicules qui seront 
réunis sous le titre : Der mathematische Unterricht in Schweden. 

Russie. — La sous-commission russe vient de faire paraître 
le rapport suivant: Bericht iïber den mathemati.se/ien Unterricht 
an den russischen Realschulen, von Iv.-W. Vog-t, Direktor der 
II len Realschule in St-Petersburg 16 p.). 

IV e Congrès international de Philosophie. 

Le IV e Congrès international de Philosophie a été tenu à Bo- 
logne, du b' au 11 avril 1911, sous la présidence de M. F. Enriques. 
Un programme riche et varié avait attiré un grand nombre de sa- 
vants représentant presque toutes les branches de la pensée hu- 
maine. Il comprenait en première ligne des conférences géné- 
rales, parmi lesquelles il convient de citer ici celle de M. Henri 
Poincaré, sur Y évolution des lois, lue par M. Emile Borbl, et celle 
de M. Langevin, sur Yèvolution du mécanisme. 

Les rapports et communications avaient été répartis sur huit 
sections. Nous nous bornerons à signaler les travaux intéressant 
plus particulièrement les mathématiciens et présentés à la sec- 
tion 111, Logique et théorie de la Science: 

Giuseppe Peano (Turin , Stato attuale délia logica matematica . 
Les rapports de la Logique et de la Grammaire. — Gregorius 
[tblson Berlin , Grundzuge des Xomologismus. — Alessandro 
Padoa (Gènes), D'où convient-il de commencer l'arithmétique. — 
E. Gôbloi Lyon), Le raisonnement déductif. — D. Roustan (Bor- 
deaux), Déduction et induction. — Pierre Boutroux Paris), En 
quel sens la recherche scientifique est-elle une analyse ? — E.-S. 
R.USSELL Londres), On Vitalism. — R. d'Adhkmar Lille . Sur le 
point de vue philosophique dans les sciences positives; utilité et 
inconvénients. — Eederigo Enriques (Bologne^, S ni concetto di 



CHRONIQUE 233 

numéro. — Maximilien Winteb Paris . Note sur V infini mathéma- 
tique. — E.-E. Constance Jones (Cambridge , .1 new law of 
thought and its implications. — Gustavo Pecsi Esztergom-Hon- 
grie). Le f aise leggi di moto le quali servivano finora corne fonda- 
mento délie scienze naturali, e le vere leggi di moto. 

Plusieurs de ces communications ont donne lieu à d'intéres- 
santes diseussions sur lesquelles nous aurons peut-être à revenir 
dans cette Revue. 

V Congrès international des mathématiciens. 

Le Congrès aura lieu en Angleterre, à Cambridge, du 22 '/// 
28 août 1912. Il sera organisé par la Cambridge Philosophical So- 
ciety avec le concours de la London Mathematical Society. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — La Société mathématique allemande ( Deutsche 
MathemaUker-V ereinigung) se réunira eette année à Carlsruhe, 
du 24 au 30 septembre, sous la présidence de M. le prof. Schvjr. 
Le Comité d'organisation cherche à concentrer les communica- 
tions le plus possible sur deux branches, la théorie des fonctions 
automorphes d'une part, et la Mécanique, d'autre part. 

— La Société allemande pour le progrès de l'enseignement des 
sciences mathématiques et naturelles ( Verein zur Fôrderung des 
mathematischen u. naturwissenschaftlichen Unterrichts) tiendra 
sa XX""' assemblée générale à Munster i. W., du 5 au 8 juin 1911, 
sous la présidence de M. le prof. Thaer (Hambourg). 

— La 51 me réunion des philologues et professeurs allemands 
aura lieu à Posen du 3 au (> octobre 1911. Les travaux de la sec- 
tion des sciences mathématiques et physiques seront dirigés par 
MM. Spies et Thie.me. 

— M. A. Ackermann-Teibner Leipzig a été nommé docteur- 
ingénieur honoraire de l'Ecole technique supérieure de Darni- 
stadt. 

M. M. Dehn a été nommé professeur extraordinaire à l'Univer- 
sité de Kiel. 

M. Gast a été nommé professeur de Géodésie à l'Ecole tech- 
nique supérieure d'Aix-la-Chapelle. 

M. D. Hilbert, professeur à l'Université de Gœttingue, a été 
nommé membre correspondant à l'Académie des Sciences de 
Paris. 

M. E. Lampe a été nommé docteur-ingénieur honoraire de 
l'Ecole technique supérieure de Charlottenbourg. 

M. .1. Rosanes. professeur à l'Université de Breslau, a pris sa 
retrait r. 



23 i CHRONIQUE 

M. L. Schlesingbr, iioinmé à Budapest, a été nommé professeur 
à l'Université de Giessen. 
M. Th. Yahlex a été nommé professeur à l'Université de Greifs- 

wald. 

Angleterre. — Cambridge. La Commission des Prix Smith 

et Rayleigh a accordé une distinction honorable aux mémoires 
suivants : 

Sur la théorie des corps relatifs, par \Y. E. 11. Berwick, Collège 
de ("lare. 

Une théorie de la cause des orages magnétiques, par C. G. Dar- 
wix. Collège de Trinity. 

La dispersion d'un courant de particules minuscules par la ma- 
tière, par S. Lees, Collège de S' John. 

L'influence de la densité sur la position des lignes de rémission 
et l'absorption dans un spectre de gaz, par G. H. Livens, Collège 
de Jésus. 

Note de Géométrie projective, par A. W. H. Thompson, Collège 
de la Trinity. 

MM. Livens et Berwick ont été nommés respectivement premier 
et second « Smith 1 s Prizes », et le « Rayleigh Prize » est décerné 
à M. Berwick. 

Belgique. — J. Massau. L'Association des Ingénieurs sortis 
des écoles spéciales de Gand a décidé de réimprimer, en annexes à 
ses Annales, les « Leçons de Mécanique rationnelle », de J. Massau. 
M. L. Flamache, docteur en sciences, surveille l'impression et 
met l'édition en concordance avec l'enseignement du maître, tel 
qu'il le donnait pendant les dernières années de sa vie 1906-1907 . 
La première partie (Géométrie vectorielle, statique est en vente à 
la librairie Van Goethem, rue des Foulons, Gand, Belgique. Les 
autres parties (Cinématique, Dynamique) paraîtront dans le cou- 
rant de l'année. 

Espagne. — Les mathématiciens espagnols viennent de fon- 
der une Société mathématique dont le siège est à Madrid, 51, San 
Bernardo. La séance de constitution a eu lieu à l'Université de 
Madrid, le 5 avril dernier. M. José Echegaray a été choisi comme 
président. La Société publiera un Bulletin qui sera rédigé par 
MM. Cecilio Jiménez Rieda, Lui Octavio de Toledo, Augusto 
Krahe, Julio Rey Pastor. 

Hollande. — M. H. A. Lorextz, professeur à l'Université de 
Leyde, a été nommé membre associé étranger de l'Académie des 
Sciences de Paris et membre correspondant de l'Académie des 
Sciences de S'-Pétersbourg. 

Suisse. — M. G. Du Pasquier a été nommé professeur à 
l'Université de Neuchâtel. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

f'iinipte rendu des travaux des sous-commissions nationales 1 . 
10 e article. I 

AUTRICHE 

Les mathématiques dans les Lycées de jeunes filles. 

Der matkematiscke Unterricht an den Mâdchenlyzeen -, von |Prof. D r 
Th. Ko.nrath iWien). — La première partie du rapport de M. Konrath est 
consacrée à un tableau de l'état actuel de renseignement mathématique des 
jeunes filles en Autriche. Les établissements d'instruction supérieure pour 
jeunes filles sont : 

1° Les écoles primaires 16 à 14 ansi. 

2° Les écoles primaires supérieures (Il à li ans). 

o n Les lycées (10 à lti ans). 

4° Les gymnases (10 à 18 ans|. 

5° Les écoles normales (15 à 19 ans). 

6° Les écoles professionnelles (17 à 18 ans). 

Ces écoles donnent, soit une instruction identique à celle des écoles cor- 
respondantes pour jeunes gens, soit un programme mathématique plus res- 
treint. Le lycée seul na pas d'analogue dans les établissements pour jeunes 
gens, aussi M. Konrath se limite à l'étude de ces lycées de jeunes filles. 

Institués, en 1900, par un décret ministériel, sous l'influence du mouve- 
ment féministe, les lycées ont pour but d'ouvrir l'accès des universités aux 
jeunes filles. Leur nombre croissant, en 1901. 9 avec 1700 élèves, en 1910 
5o avec 9748 élèves, est une preuve indiscutable de leur raison d être. 

Les lycées de jeunes filles sont classés dans la catégorie d'écoles moyennes 
leur cycle est de 6 classes avec un âge d'admission minimum de 10 ans. L'ar- 
rêté ministériel indiquant, comme but de l'enseignement lycéal, plus spécia- 
lement la culture des langues et la culture générale, il u est pas étonnant 
que l'enseignement des mathématiques et des sciences naturelles y soit peu 
développé. 

Le programme mathématique est, en effet, extrêmement restreint cl cela, 



1 Voir Y Eus. math, du 15 janvier et du 15 mars 1911. 

3 Berichte iiber den mathem. Unterricht in Oesterreich, Hil't i. p. 1-16. — Résumé par 

M 1; Masso.n (Genève . 



236 .V o 1 1: s /■: T DOC l M E y T s 

en grande partie, sous prétexte que les jeunes fi lies n'ont pas d aptitudes 
pour les mathématiques, alors que les maîtres de mathématiques des jeunes 
tilles disent, an contraire, que c est renseignement qu'on leur donne qui ne 
leur est pas adapté. 

Les connaissances en arithmétique dont elles auront besoin dans la vie 
leur sont seules demandées, à lexclusion du développement logique et 
scientifique. 

Le programme de la dernière classe comprend des calculs d'intérêts com- 
posés à laide de tables (sans logarithmes! et des éléments de comptabilité 
et tenue de livres. 

La géométrie est encore plus mal partagée que l'arithmétique. Il suffit, au 
reste, de remarquer que I enseignement du français, seul, comporte 2 heures 
de plus que celui des branches mathématiques et physiques ensemble. 

Eu ce qui concerne les examens M. Konralh note qu'un arrêté ministériel 
de 1908 a supprimé les mathématiques de l'examen de maturité facultatif 
qui termine le cycle des études du lycée. 

11 aborde ensuite la question des méthodes d enseignement ; la méthode 
dogmatique tend de plus en plus à être remplacée par la méthode heuris- 
tique consistant à amener les élèves à trouver par eux-mêmes les notions 
nouvelles, et cela principalement dans les écoles de jeunes tilles. 

L esprit pratique étant, chez les jeunes filles, généralement plus déve- 
loppé que I esprit logique, celles-ci s intéressent plus au but et à la signi- 
fication d'une loi mathématique qu'à sa construction logique rigoureuse. Un 
plan d'étude purement déductif serait donc généralement déplacé mais il ne 
faudrait cependant pas le prohiber systématiquement. 

En ce qui concerne l'enseignement méthodique de chaque branche, M. Kon- 
rath est d'avis qu'il y a encore bien des progrès à réaliser. Il faudrait 
éviter I écueil consistant à attacher plus d importance au calcul d'uu cas 
particulier qu à la méthode de résolution du problème. 

Les manuels sont ceux des écoles moyennes, mais il en existe deux spé- 
cialement destinés aux lycées de jeunes filles. Basés sur la méthode dogma- 
tique, ni l'un ni l'autre ne semblent avoir subi l'influence du courant moder- 
niste. M. Konrath fait leur procès tant au point de vue théorique que 
pratique. 

Les lycées de jeunes filles faisant partie des écoles moyennes, le recrute- 
ment de leur personnel enseignant devrait être le même que pour ces écoles, 
mais on a créé des examens spéciaux pour les candidates à 1 enseignement 
dans les lycées de jeunes filles. 

Pour cet examen, les connaissances exigées en mathématiques se bornent 
aux mathématiques élémentaires l principalement le programme enseigné 
dans les lycées de jeunes filles). Le dessin géométrique comprend des no- 
tions de géométrie descriptive dans la mesure où elles restent intuitives. 
L obtention du diplôme est suivi d'un stage d'une année dans un lycée de 
jeunes filles ou dans un autre établissement d'instruction supérieure. 

La seconde partie de ce rapport traite des tendances modernes de réforme 
de 1 enseignement dans les lycées. 

Il est aujourd hui notoire que l'enseignement des lycées de jeunes filles 
n'est plus conforme aux exigences modernes, en tous cas pour les mathéma- 
tiques et les sciences naturelles. 

Deux courants de réforme lycéenne sont en présence. Le premier veut un 
développement de l'enseignement lycéal à 7 (éventuellement 8) années et la 



A r o te s e i i) o r v m /■: N r s ■!■:,: 

transformation du lycée eu une sorte «le gymnase réal. Le second conser- 
verait les li classes actuelles avec quelques modifications conformément au 
plan d'étude du gymnase réal. Ce lycée réformé (dans lequel le latin serait 
facultatif) serait suivi d'un cours de '1 ou :! ans sons l'orme de lycée supé- 
rieur (Oberlyzeum) lequel se consacrerait soit à préparer les jeunes filles 
à devenir étudiantes régulières à l'Université, soit à former par une année 
d'étude les élèves pour les écoles normales primaires. L'enseignement 
purement pratique serait assuré par une école ménagère. Ce lycée réformé 
aurait 1 avantage de conserver l'unité des écoles moyennes pour jeunes filles, 
la distinction en école préparant à l'Université, en séminaire et en école mé- 
nagère n'ayant lieu que dans le lycée supérieur. 

Au sujet de la question très controversée de la coéducation, M. Konrath 
estime que l'éducation séparée est généralement préférable, le but devant 
être d'obtenir non pas une instruction identique, mais une instruction équi- 
valente pour les deux sexes. 

Nulle part la réforme de 1 enseignement n est aussi urgente que dans le 
domaine de l'enseignement mathématique, les jeunes filles ayant terminé le 
lycée n'ont, par exemple, aucune notion des nombres imaginaires, des loga- 
rithmes de la trigonométrie, etc. ; il serait, au reste, relativement facile de 
remédier à cet état de chose et les quelques réformes qui ont déjà été ten- 
tées ont pleinement réussi. 

L'ambition est notablement plus développée chez les jeunes filles que chez 
les jeunes gens, aussi l'auteur estime que pour les écoles de jeunes filles le 
système d'examens et d'épreuves est utile et même nécessaire. 

La suppression des mathématiques pour l'examen de maturité ne semble 
pas être un progrès. 

Selon M. Konrath, si un maître sait rendre son enseignement intuitif et 
vivant, il lui sera facile de conduire les jeunes filles dans les domaines les 
plus complexes et de leur rendre compréhensible des discussions logiques 
quelconques. 11 préconise, pour la géométrie, l'élude simultanée dans le plan 
et dans l'espace. Il ne faudra pas négliger 1 la représentation graphique d'ex- 
pressions algébriques. L'histoire des mathématiques peut également -être 
enseignée avec fruit. Les exercices pratiques ainsi que les exercices de 
mesure et d'arpentage seront un précieux auxiliaire pour réaliser les prin- 
cipes de l'enseignement intuitif. 

L'avis unanime est que le privilège accordant 1 admission à l'Université 
aux jeunes filles sortant des lycées devrait être supprimé tant que l'instruc- 
tion qu'ils donnent reste ce qu'elle est. 

La préparation des professeurs de l'enseignement moyen. 

Die praktische Ausbildung fur dus hohere I.eliraml in Oesterreich ', von 
Landesschulinspektor D 1 ' J. Loos (Liuzl. — M. Loos étudie 1 organisation 
actuelle de l'année de stage, puis le développement qu'il faudrait lui donner. 
Le stage, pour les candidats au professorat, existe en partie depuis 1811. 
Son organisation a subi des transformations successives dont la plus impor- 
tante a été celle de 1856. M. Loos expose plus complètement les résultats 



1 Berichte liber den mathem. Uuterricht in Oesterreich, Hoft '«, p. 1T à :)T. — Résumé par 
M»«R. Massom (Genève). 



238 NOTES ET DOCUMENTS 

de la dernière transformation faite en 1897, transformation qui marque un 
progrès réel sur relie de ISTfi sans toutefois être 1res supérieure à celle 
■ le 1884. 

Actuellement, en théorie, le stage est indispensable pour obtenir une place, 
à l'exception île certains cas particuliers où les candidats ont eu l'occasion 
de taire leurs preuves, soit connue membre d'une école normale, soit comme 
maître auxiliaire, lin pratique le manque de maîtres pour les écoles moyennes 
a obligé parfois à ne pas tenir compte de ces exigences pour le choix des 
maîtres du gymnase et de l'école réale. 

L'auteur expose ensuite la manière dont est organisée l'année de stage. 
Le stagiaire, placé sous la direction d'un seul maître, assiste aux leçons, 
puis, après quelque temps, en donne lui-même. Il semble que des change- 
ments soient à désirer, soit dans les prescriptions elles-mêmes, soit sur- 
tout dans leur application. 

Le lait que le stagiaire est sous la direction d'un maître Unique, peut, 
évidemment, présenter de grands avantages, mais il peut, également, avoir 
de graves inconvénients. L élève dépend, dans une grande mesure, de la 
seule personnalité du maître. De plus, ce système supprime l'émulation, les 
stagiaires étant ordinairement seuls. Parmi les essais de réforme tentés, 
citons 1 introduction de la pédagogie pratique à l'université. Les candi- 
dats au professoral donnent des leçons, les jours de congé, à des élèves de 
bonne volonté, sous la direction du professeur de pédagogie. Willmau, à 
Prague, et Kulczinski, à Krakau, ont fait des essais dans ce sens. M. Loos 
estime que les succès qu'ils ont obtenus proviennent beaucoup plus de leur 
propre compétence que de la valeur du système lui-même. Des circonstan- 
ces aussi favorables étant l'exception, il faut trouver une autre solution. 

Soit en Allemagne, soit en Autriche, on a réclamé des écoles d'applica- 
tion adjointes aux universités. M. Loos propose que les futurs maîtres fas- 
sent des cours du soir aux ouvriers, pendant leurs éludes à l'université; ces 
cours traitant de sujets élémentaires, cela leur fournirait l'occasion de faire 
leurs premiers essais et de se rendre compte des dillicultés et de l'impor- 
tance de cet enseignement élémentaire, enseignement qui, sauf de rares ex- 
ceptions (Halle et Iéna), est complètement exclu des programmes du candi- 
dat au professorat secondaire. Les vues de M. Loos à ce sujet on été expo- 
sées dans sa conférence au 50 me Congrès des philosophes allemands en 1900, 
à (ira/.. 

Les propres expériences de M. Loos l'ont conduit à la conclusion que le 
meilleur remède à l'état de chose existant est la création d'un séminaire an- 
nexe aux écoles moyennes, séminaire de gymnase, appelé, actuellement en 
Autriche, Développement de l'année de stage. 

Eu Allemagne, on a reconnu la nécessité d'une préparation plus appro- 
fondie des maîtres, et une décision de 1890, complétée en 1908, a fait pré- 
céder l'année de stage d'une année de séminaire. En Prusse, il existe 115 
de ces séminaires de gymnases. En 1892, M. Loos avait été envoyé étudier 
la question en Allemagne, et, en 1893, il a été nommé directeur d'un gym- 
nase d'Etat à Vienne, avec le mandai d'organiser un séminaire de gymnase, 
qu'il a dirigé de 189.'J à 1898. Voici les caractères principaux de ce sémi- 
naire- 

Le directeur et un professeur de branche, sous la direction desquels 
chaque candidat "si placé, l'initient à la pratique à laide des moyens sui- 
vants : 



y o r i: s i: i doc v m ë n t s -n\) 

1" Les élèves assistent aux leçons. 

2° Ils donnent des leçons avec I aide et sur les indications du maître. 
3° A partir du 2"' e semestre, les élèves donnent des leçons sans aide du 
professeur. 

i" Conférences et discussions sur tous les sujets scolaires. 

Les candidats assistent aux conférences de maîtres et, une fois qu ils en- 
seignent, ont le droit d y prendre la parole. 

M. Loos a aussi présidé à la formation d'une sorte de séminaire aux gym- 
nases de l'Etat, à Lin/, et à Salzbourg, sous une tonne un peu différente de 
celle de Vienne. A Vienne même, le nombre plus restreint de stagiaires a 
nécessité des adjonctions et modifications subséquentes. 

Douze ans d'expérience ont amené M. Loos à conclure que celle organi- 
sation de séminaire peut être conservée dans ses mandes lignes, mais elle 
devrait maintenant passer à l'état d'institution définitive, sous le nom de 
séminaire d'école moyenne. 

Le moment serait propice pour créer, en Autriche, une dizaine de ces sé- 
minaires, le nombre des candidats étant actuellement assez considérable. 

Le rapport de M. Loos donne les traits principaux de la question; elle 
est présentée avec plus de développement dans son « Enzyklopâdischen 
llamlbuch ». 

M. Pries s'est également occupé de ce sujet ; au reste, M. Loos adjoint à 
son rapport la bibliographie du sujet. 

La préparation des candidats à l'enseignement est de toute importance, 
car. comme le dit M. Loos pour terminer : En tonnant soigneusement le 
personnel enseignant, on travaille pour la jeunesse; à quoi serviraient, en 
effet, les meilleurs programmes et manuels, si on ne peut les mettre entre 
les mains de maîtres capables de les appliquer et de les employer dans leur 
véritable esprit pour le bien des élèves. 

L'enseignement mathématique dans les universités. 

Der mathematische Unterricht an den Universitâten ', von Dr. R. v. Stek- 
neck. — Pour faciliter la préparation de ce l'apport, un questionnaire, ren- 
fermant 20 questions, a été envoyé aux universités autrichiennes, à tous les 
professeurs ordinaires de mathématiques et à quelques professeurs extra- 
ordinaires. 

Etant donné le caractère essentiellement iibre de 1 enseignement univer- 
sitaire, le rapporteur estime qu'il n'est pas possible d eu présenter un ex- 
posé uniforme; il faut, au contraire, tenir compte de l'enseignemeut spécial 
de chaque professeur, mentionner les diverses méthodes en vigueur et si- 
gnaler, au besoin, les propositions de réforme individuelles. C'est pourquoi 
le présent rapport doit être plutôt considéré comme la réunion d'un certain 
nombre de données concernant l'enseignement mathématique universitaire, 
qu'un rapport général détaillé. 

Dans un premier chapitre, l'auteur expose l'organisation générale îles 
huit universités autrichiennes; Vienne, Prague (allemande), Prague (bohème), 
firaz. Innsbruck, Czernowitz, Cracovie. I.emberg. et la répartition des pro- 



1 Berichte îiber den mathentatischen Unterricht in Œsterreich. Heft 7. on p. — Résumé par 
M. J.-P. Dumuk (Genève). 



240 .V O TE S ET DOCUM E A' TS 

fesseurs (professears ordinaires, professeurs extraordinaires et privât - 
docents). 

Les cours généraux (Hauptkollegien) ont un double but : 1° fournir les 
connaissances théoriques fondamentales aux eandidats qui étudient les nia- 
thématiques dans un but purement scientifique et se proposent de terminer 
leurs éludes par le doctorat; 2" préparer aussi les étudiants qui se desti- 
nent au professorat. 

Ea vue spécialement de ce secoud but, ces cours généraux sont, le plus 
souvent, constitués en cycles durant de 3 à 4 ans; mais on s'arrange avant 
tout, surtout si l'on dispose de plusieurs professeurs, à avoir chaque année 
un cours accessible aux commençants, et à leur enseigner le plus tôt pos- 
sible le calcul différentiel et intégral, nécessaire également pour l'étude de 
la physique théorique. 

Suit une liste des cours qui ont été annoncés dans les universités autri- 
chiennes, pendant les 5 dernières aunées 1905-06 à 1909-10. Bornons-nous 
à reproduire ceux de Vienne Chaque cours n'est indiqué qu'une fois, même 
dans le cas où il serait donné plus souvent, ou même par plusieurs pro- 
fesseurs. 

Université de Vienne. — Calcul différentiel et intégral, 5 heures pendant 

2 semestres. 

Théorie des nombres, 5 heures pendant 2 semestres. 

Théorie des équations différentielles, 5 heures pendant 2 semestres. 

Calcul des probabilités, 3 heures. 

Intégrales définies et calcul des variations, 5 heures pendant 2 semestres. 

Théorie des équations différentielles linéaires, 5 heures. 

Fonctions elliptiques, 5 heures. 

Théorie des fonctions, 5 heures pendant 2 semestres. 

Algèbre. 5 heures pendant 2 semestres. 

Géométrie analytique, 4 heures pendant 2 semestres. 

théorie des invariants avec applications géométriques, 2 heures. 

Courbes algébriques, 2 heures. 

Courbes et surfaces du 3 me ordre, 2 heures. 

Géométrie synthétique, 4 heures pendant 2 semestres. 

Géométrie différentielle, 2 heures pendant 2 semestres. 

Géométrie linéaire, 2 heures. 

Groupes continus, 2 heures. 

Géométrie non-euclidienne, 2 heures. 

Mathématiques d'assurance, 4 à 6 heures pendant 2 semestres. 

Statistique mathématique, 3 heures. 

Assurance contre les maladies et accidents, 2 heures. 

Voici, en outre, quelques détails sur ces cours généraux des professeurs 
ordinaires, en nous limitant toujours à l'Université de Vienne (le rapport 
donne également les détails nécessaires concernant les autres uuiversités). 

M. le prof. Eschkrich donne un cycle de cours qui dure généralement 

3 ans. La première année comprend le calcul différentiel et intégral 1 er se- 
mestre : théorie des nombres irrationnels, séries de puissances, calcul dif- 
férentiel ; 2 me semestre : calcul intégral!. La deuxième année traite le même 
sujet, mais d'une façon plus générale, en y introduisant également les quan- 
tités complexes; en outre, les intégrales multiples, les fonctions d'une et de 
deux variables, l'élude assez détaillée des ensembles, la notion de courbe, 
de surface, etc. ; vient ensuite le cours sur la théorie des fonctions, en par- 



NOTE S E T l) () C U M E N T S 2 '• 1 

tant, selon la méthode de Caurhy. de l'intégrale déflnîe, mais en utilisant 
aussi la théorie «le Weierst rass. Les Fonctions «Ion hlemenl périodiques et 
elliptiques ne sont traitées que d'une façon générale, en évitant les détails 
trop approfondis. — M. le prof. Mehtbns donne, en outre d'un cours géné- 
ral d'introduction sur le calcul infinitésimal, des cours détaillés sur l'algè- 
bre et la théorie des nombres, chacun de 5 heures pendant 2 semestres. — 
Enfin, M. le prof. Wirtinger, dans un cours de ti semestres, traite princi- 
palement de la théorie des fonctions et de celle des équations différentielles. 

Les éléments d'analyse sont traités d'une façon complète dans les cours 
du professeur Escherich. — Le professeur VVirtinger les traite également 
par une méthode analogue à celle qu'on trouve dans les ouvrages de De la 
Vallée-Poussin ou Goursat. — Le professeur Mertens, par contre, ne s'ar- 
rête par trop longtemps sur les éléments proprement dits afin de pouvoir 
aborder les chapitres plus élevés de l'analyse, de l'algèbre et de l'arithmé- 
tique. 

Le calcul numérique n'entre que très peu en considération dans les cours 
et exercices de l'enseignement universitaire. 

Les cours théoriques ne pénètrent guère non plus dans le domaine des 
mathématiques appliquées. A Vienne, le professeur VVirtinger traite, à 
l'occasion, dans ses cours, quelques applications de physique mathématique. 
Du reste, il n'est guère possible de s'y arrêter trop longtemps, étant donné 
le temps relativement restreint dont on dispose et qui souvent suffit à peine 
pour achever la partie théorique. 

En ce qui concerne les cours spéciaux (besondere Vorlesungen), citons 
tout d'abord ceux qui ont pour but de compléter et d'approfondir le champ 
des écoles moyennes qui précèdent l'université. Ces cours sont d'une très 
grande importance pour tous les étudiants en mathématiques. Actuellement, 
il n'existe qu'un cours sur les mathématiques élémentaires, il se donne à 
l'université de Graz et a été institué à la suite de démarches de la faculté 
de philosophie de celte ville. Il reprend la matière des écoles moyennes en 
la traitant de la façon la plus complète possible, en insistant sur les élé- 
ments qui servent de base à l'arithmétique et à l'algèbre. Dans ce cours, 
par contre, il n'est pas possible d'obtenir une rigueur aussi complète en ce 
qui concerne les principes fondamentaux de la géométrie; on cherche sur- 
tout à y acquérir un certain degré de rigueur et d'ordre logique, sans entre- 
prendre ces recherches théoriques difficiles concernant l'établissement des 
principes géométriques, comme, par exemple, l'indépendance des axiomes. 
— Comme la trigonométrie sphérique ne figure pas dans le programme des 
gymnases, on l'a introduite dans plusieurs universités. — La géométrie des- 
criptive semble également y pénétrer toujours davantage. Selon l'avis de 
bien des personnes compétentes, son introduction est nécessaire. M. le 
prof. E. Millier', entre autre, s'exprime ainsi : « Je suis absolument con- 
vaincu que tout maître de- mathématiques devrait avoir suivi la géométrie 
descriptive et le dessiu constructif. Pour rendre cela possible, il faut que la 
géométrie descriptive soit enseignée dans chaque université et qu'on y pra- 
tique également les exercices de construction qui s'y rapportent. — Citons 
encore pour Vienne le cours de M. le professeur Talber sur les mathéma- 
tiques d'assurance, de 'i à t> heures, pendant deux semestres, des cours Mil- 
le calcul des probabilités et la statistique mathématique qui ont lieu aller- 



1 Jahresberîcht der deutscheh ttatkeinatiker-Vereinigiing. Jahrgang 1910, \i. '23. 



2 S 2 .Y r E S ET DOC U ME N T S 

nativcmenl chaque semestre à raison de 3 heures par semaine, et un cours 
de 3 heures pendant deux semestres sur la statistique mathématique. — Il 
faut enfin mentionner les nombreux cours de privat-docents dont le rapport 
donne une liste. 

En outre des cours généraux et spéciaux dont on vient de parler, on pra- 
tique dans toutes les universités autrichiennes des exercices de séminaire. 
Ces exercices ont pour but de développer l'initiative des étudiants par lap- 
plication pratique de la théorie: ils se divisent en deux catégories, ceux 
qui sont destinés aux commençants (et qui constituent ce qu'on appelle 
quelquefois le « Proseminar », par opposition au « Seminar » proprement 
dit et ceux qui concernent les étudiants plus avancés. 

L'auteur aborde ensuite la question des examens. — Ils sont de deux 
sortes : les examens de doctorat / Doktorspriifnngen ) et l'examen de profes- 
sorat ( Lehramtsprûfung), Les premiers seuls doivent être considérés comme 
des examens universitaires proprement dits, tandis que les seconds sont 
organisés par une commission spéciale de l'Etat, dont les membres sont, à 
vrai dire, pour la plupart des professeurs à luniversilé, mais qui, en cette 
qualité, ne sont pas considérés comme faisant partie de l'université. Les 
conditions nécessaires à 1 obtention du doctorat sont indiquées dans les or- 
donnances des 16 mars 1899. 27 janvier 1900 et 22 avril 1902 du Ministère 
d'éducation et d'enseignement. L'auteur du rapport en donne les principales 
dispositions. — Il faut regretter que dans les universités autrichiennes le 
nombre des thèses de mathématiques et des examens sur cette branche soient 
très rares. La valeur pratique minime du doctoral envisagé comme tel, et la 
difficulté de présenter une thèse en mathématiques présentant quelque chose 
de nouveau, empêchent, en effet, souvent les étudiants d aborder un pareil 
travail. — Cela montre que trop souvent les mathématiques sont envisagées 
comme un simple gagne-pain et qu'on se borne le plus généralement à les 
étudier uniquement en vue de I obtention d'une place de maître dans les 
écoles moyennes. — Les conditions concernant les examens du professorat 
se trouvent dans l'ordonnance ministérielle du 30 août 1897. Bornons-nous 
à mentionner celles qui se rapportent aux mathématiques comme branche 
principale : connaissance de l'arithmétique générale, de la géométrie syn- 
thétique et analytique, du calcul différentiel et intégral et de ses applica- 
tions à la géométrie; éléments du calcul des variations; principes de la 
nouvelle théorie des fonctions. — Chaque examen comprend trois parties : 
le travail fait à la maison, 1 examen écrit, l'examen oral. Le rapport fournit 
d amples renseignements sur chacune de ces parties. 

En fait de moyens d'instruction, il faut signaler les bibliothèques mathé- 
matiques des séminaires, les collections de modèles et la littérature mathé- 
matique des bibliothèques universitaires. L'université de Vienne est la seule 
qui possède une bibliothèque de séminaire un peu complète, surtout en ce 
qui concerne la littérature mathématique moderne. — Les collections de 
modèles sont aussi très pauvres et se bornent la plupart du temps à quel- 
ques modèles de fils représentant les surfaces du second degré et quelques- 
uns de carton ; seule l'université d'Innsbruck est un peu plus privilégiée. 

Dans un dernier chapitre, l'auteur s occupe des tendances actuelles de 
réforme. Il est un point sur lequel tous les mathématiciens autrichiens sont 
d'accord, c'est la nécessité d'un plus grand nombre de chaires de mathéma- 
tiques dans les différentes universités. Dans l'année universitaire 1909-1910, 
les nombres des professeurs ordinaires et extraordinaires des universités 



NOTE s ET DOC Va »/ E N T s 2 i ! : 

autrichiennes, à l'exception de Vienne, n ont jamais nue somme supérieure 
à 2. Cet étal de chose a déjà engagé les Facultés de philosophie à présenter 
en 1 907 une pétition an Ministère d'éducation et d'enseignement. Le rapport 
qui l'accompagnait a été traduit et reproduit dans celle Revue', Depuis un 
demi-siècle, les exigences auxquelles l'enseignement mathématique univer- 
sitaire <loii taire face se sont profondément transformées ei multipliées. 

Cet enseignement ne «loit plus être simplement la continuation de celui 
des gymnases, les mathématiques élémentaires doivent aussi y trouver place. 
En outre, de nouvelles branches se sont développées, et les sciences mathé- 
matiques en se développant se sont divisées en plusieurs domaines. Four les 

mathématiques pures, on doit p • le moins distinguer : 1. la théorie des 

nombres et l'algèbre supérieure. — 2. 1 analyse supérieure, comprenant le 
calcul différentiel et intégral, la théorie ries équations différentielles, le 
calcul des variations, la théorie des fonctions, etc. — 3. la géométrie analy- 
tique et synthétique y compris la théorie des groupes de transformation. — 
Il faut y ajouter ceux des domaines des mathématiques appliquées qui ne 
peuvent être enseignés que par des mathématiciens de profession, c'est-à- 
dire, abstraction faite de l'astronomie théorique et de la physique mathéma- 
tique : J . le calcul des probabilités. — 2. la mécanique analytique. — .'{. la 
géométrie descriptive. — D'autre part, étant donné les conditions actuelles. 
l'enseignement des mathématiques comme branche secondaire doit avoir 
une organisation indépendante de celui des mathématiques comme branche 
principale. Si l'on tient compte de ces diverses considérations, on voit que 
les facultés de philosophie des différentes universités autrichiennes 
devraient posséder au moins trois chaires de mathématiques avec les attri- 
butions suivantes : 1. Théorie des nombres et algèbre supérieure. — 
2. Analyse mathématique. — 3. Géométrie. — En outre deux de ces chaires 
au moins devraient disposer d'assistants. De plus, certaines universités 
devraient posséder une organisation permettant de pousser plus loin des 
études scientifiques spéciales. Ces universités-là devraient posséder, en 
outre des chaires déjà citées : 1. une deuxième chaire ordinaire pour 
l'analyse supérieure. — 2. une chaire ordinaire, pourvue d'assistants, poul- 
ies mathématiques appliquées. 

Si Ton compare les nombres moyens des professeurs de mathématiques 
pures et appliquées dans les différents pays, on constate que l'Autriche est 
notablement en relard. Toutes ces raisons font ressortir l'absolue nécessité 
d une réforme dans ce sens. 

Le l'apport se termine par les propositions de réforme du professeur 
Escherich : 1. Pour la préparation des candidats au professorat, on devrait 
organiser, en outre des cours de mathématiques théoriques, des cours de 
mathématiques appliquées (géométrie descriptive, géodésie, méthodes gra- 
phiques). — 2. Des cours sur des sujets spéciaux, par exemple les mathé- 
matiques élémentaires y compris les principes, la géométrie descriptive, 
devraient être obligatoires pour les candidats à 1 enseignement. — 3. Donner 
une plus grande importance aux exercices, séminaires et proséminaires. — 
i. Remplir les conditions extérieures pour rendre possible renseignement 
ainsi conçu isalles de lecture, de travail, de séminaire, de dessin; collec- 
tions; nombre suffisanl île privat-docents et d'assistants). 



1 Rapport sur la réforme de l'enseignement mathématique dans les universités autri- 
chiennes. L'Ens. math, du 15 nov. 1908, p. 516-532. 



BIBLIOGRAPHIE 



F. Barbette. — Les sommes de p ié ">- r puissances distinctes égales à une 

„;*me puissance. — 1 vol in-4° ; 151 + XII p., 12 f'r. 50; H. Vaillant- 

Carmanne E. Gnusé, Liège, 1910. 

Les intéressants et difficiles problèmes que M. Barbette aborde dans son 
travail appartiennent à un domaine peu exploré où les théorèmes généraux 
sont assez rares et les méthodes générales font entièrement défaut. Quelles 
sont toutes les sommes de n ièmeB puissances distinctes, dont la plus grande 
est xv, égales à une p 1 *™* puissance ? Quelles sont toutes les sommes de 
pièmes puissances distinctes égales à une p iime puissance donnée ? Quelles 
sont les sommes de n ièmes puissances consécutives égales à une puissance 
yième ? 'l'elg sont les trois problèmes principaux traités par M. Barbette; 
d'autres questions se rattachant à celte étude, mais appartenant à des do- 
maines différents, plus connus et mieux explorés, sont étudiées à côté de ces 
problèmes, comme par exemple la résolution de certaines équations indéter- 
minées, qui jouent un rôle auxiliaire dans celte recherche, ou bien la dé- 
composition des nombres eu facteurs, qui en est une application. 

Dans 1 introduction, M. Barbette indique un procédé élémentaire, permet- 
tant d obtenir 1 expression des sommes des puissances semblables des pre- 
miers nombres naturels, à laide de relations récurrentes qui le conduisent 
aux polynômes de Bernoulli. Ces polynômes lui servent de base dans l'étude 
des trois problèmes. Deux cas sont en effet logiquement possibles: ou bien 
la somme de ^ ièm,s puissances, égale par hypothèse à une ^y ième puissance, 
contient la suite complète des puissances de l p à .W; le premier membre est 
alors un polynôme de Bernoulli : ou bien celle somme présente des lacunes: 
dans ce cas il suffira d'ajouter les termes qui manquent. Evidemment celle 
transformation affecte la forme du second membre, qui devient une somme, 
mais la recherche effective des solutions s'en trouve simplifiée. 

Dans la première partie de son travail, M. Barbette étudie, le cas de D — l , 
la seconde est consacrée au cas de p n 2 et la troisième au cas général dey? 
supérieur ;'i 2. Lorsque p = 1 , le polynôme de Bernoulli est un nombre 
triangulaire, les trois problèmes se traitent alors très facilement. C'est 
l'étude de ce cas particulièrement simple qui conduit M. Barbette à traiter 
de la décomposition des nombres en facteurs, en s'appuyant sur des consi- 
dérations présentant une certaine analogie avec celles dont s'est déjà servi 
Fermai. Dans le cas de D = '2, l'étude des trois problèmes et la recherche 
effective des solutions est évidemment moins facile, mais les vraies difficultés 
ne commencent que pour p supérieur à 2. Certainement les procédés de 
l'auteur permettent dans chaque cas particulier et quelle que soit la valeur 
de », de trouver- les solutions, si elles existent, mais déjà la recherche des 



/.' / />' 1. 10 G II A PHI I. 24ô 

si nés de i'* me " puissances ne dépassant pas /'; 4 exige des calculs assez 

longs, cl les difficultés ;i u» men I en I i\i| lidenienl polir j) Supérieur à i. Dans 

le cas de p = ."> M. Barbette se borne à la recherche des sommes donl lu 
plus grande ne dépasse pas ll J . el il retrouve lu solution comme donnant lu 
représentai ion de f2 8 . 

M. Barbette fait remarquera la lin de son travail que ses procédés s'ap- 

pliquenl égalemenl à l'élude des sommes des o ième ' puissances des i ibres 

polvgouaux Le rôle des polynômes de Bernoulli est joué dans ce cas par 
les sommes des puissances sembla Ides des premiers nombres polygonaux 
que l'auteur détermine dans la 't im el dernière partie de son travail. Enfin, 
M. Barbette donne, en annexe, une table des 5000 premiers nombres trian- 
gulaires. 

Les procèdes de recherche donl se serl M. Barbette sonl élémentaires el 
peuvent être rapprochés de ceux de M. Arnoux ou de M. Laisant dans son 
. Initiation Mathématique». La représentation graphique tient en effet une 

place importante dans son élude des so ies, surtout dans la recherche des 

diviseurs d'un nombre, bien que sou rôle soit moins considérable que dans 
les travaux de M. Arnoux. Les exemples abondent et le volume se lit facile- 
ment, malgré quelques lacunes dans la partie théorique el les démonstra- 
t ions. 

1) .M ikimanoi-f (Genève). 



Raoul Bkioa.ru. — Géométrie descriptive. iCollection de l'Encyclopédie 
scientifique). — 1 vol. in- 18, cart. toile, de 275 pages, avec 107 fig. 5 fr. ; 
O. Doin et Fils, Paris. 

On trouvera dans ce volume, malgré ses dimensions restreintes, uu exposé 
assez complet des méthodes de la Géométrie descriptive. L'auteur a surtout 
insisté sur les principes généraux, en les illustrant par des exemples con- 
venables. Il a laissé de côté l'examen des cas particuliers sans intérêt, les 
discussions plus longues qu'instructives. C'est ainsi, pour donner un seul 
exemple, qu à propos de la construction d'un 'trièdre déterminé par trois di- 
ses éléments, il s'est abstenu de rechercher les conditions de possibilité. 
Elles s'obtiennent beaucoup plus simplement par la géométrie élémentaire, 
et il n'y a aucun profit à les retrouver sur 1 épure. D'une manière générale, 
on a systématiquement éliminé tous les problèmes inventés en vue de con- 
férer à la géométrie descriptive une importance artificielle. La géométrie 
descriptive n'est pas une science qui trouve en elle-même son propre but. 
Elle est uniquement un instrument de représentation au service de la géo- 
métrie pure et des arts, et c'est en méconnaître le caractère que de la con- 
sidérer autrement. 

Les chapitres I à VIII traitent des principes fondamentaux, de la droite 
et du plan, des polyèdres, des cônes et des cylindres, de la sphère, des sur- 
faces de révolution, des surfaces du second ordre. Ce sonl. en ajoutant la 
théorie des ombres el celle des projections cotées. les matières qui consti- 
tuent le programme de notre enseignement secondaire (mathématiques élé- 
mentaires el mathématiques spéciales). 

Le chapitre IV contient des procédés de construction des polyèdres régu- 
liers, nouveaux ou du moins peu connus. Ils sont plus simples que les 
procédés généralement indiqués et sont immédiatement applicables à l'exé- 
cution de modèles solides. 

L'Enseijrni'inent innthéin., 13* année 1911. 16 



2i6 /»'//.'/. fOGSA 1> Il 1 1. 

Les chapitres IX à XII sont relatifs aux surfaces réglées, aux problèmes 
qui font intervenir la courbure des surfaces, uu tracé 'les ombres. 

Les trois derniers chapitres concernent les projections cotées et les sur- 
faces lopographiques, les projections (ou perspectives) axonométriques, et 
enfin les applications pratiques de la géométrie descriptive. 

Bûcher der Naturwissenschaft herausgegeben von Prof. Dr, Siegm. Gi.\- 
thkk. — Band 5, Licht und Farbe von Rob. Geicel; I vol. in- 1 6, 200 p.. 
i planches et 75 Bg. ; I M. - RandG, Der Sternenhiramel, von J, B. Mks- 
serschmitt ; l vol. in-lf'i. 196 p., 1 ■> [>l. et 24 lig. ; I M.: G, .1. Gœschen. 

Leipzig. 

Nous avons déjà signalé celte collection populaire de monographies pu- 
bliées sous la direction de M, le prof. Sigm. Gunthbk. Deux nouveaux volu- 
mes viennent de paraître. L un donne un aperçu des théories actuelles de la 
lumière et de la couleur. 

L'autre, intitulé : « Dec Slernenhimmel > (le ciel étoile), contient les no- 
tions élémentaires d'Astronomie; il traite des objets suivants : 

Sphère céleste. Mouvement diurne de la Terre. Mouvement annuel du 
il et de la Terre. Le système solaire. Précession. Nutatiou. Parallaxe 
Aberration. Les planètes. Etoiles fixes. La voie lactée. L'art de l'obser- 
vation. 

E. Fabkv. — Théorie des séries à termes constants. Applications aux 
calculs numériques. — 1 vol. in-8°. 198 p.; 6 IV. 50: Hermann et fils. 
Paris. 

Ce petit Traité des séries à termes constants rencontrera le meilleur 
accueil auprès des professeurs et auprès des étudiants. Il sera particulière- 
ment apprécié de ceux qui sont appelés à appliquer les séries aux calculs 
numériques. 

Après un premier chapitre consacré aux notions générales, l'auteur étudie 
les séries à termes positifs : il donne les principales règles de convergence 
avec de nombreux exemples Puis viennent les séries à signes variés, séries 
absolument convergentes, séries simplement convergentes, séries à signes 
alternés, séries imaginaires, séries de puissances. 

L<s calculs numériques et les transformations de séries font l'objet des 
deux chapitres suivants. On y trouve les méthodes classiques avec les appli- 
cations au calcul de 7.2. de - et de r: 1 . Les séries semi-convergentes sont 
examinées dans le dernier chapitre et donnent lieu à l'élude d'exemples et 
de constantes qui se rattachent à la fonction V ou LT[x). 

L'Ouvrage se termine par une Note supplémentaire sur la plus grande 
limite. 



\V. Gai.i \n v. — The modem Geometry of the triangle. — 1 vol. de 70 p. 

in-18 ; F. HodgSOu, Londres. 

Celte petite brochure contient un exposé clair et en quelques points nou- 
veau, des propriétés du triangle appartenant à la branche de la géométrie 
que l'on nomme : nouvelle géométrie du triangle. L'auteur a réuni dans ce 
volume la presque totalité des petites notes ou des questions qu'il avait 
publiées dans V E ducat ional Times, dans la Mathematical Gazette, dans 



ni B i IOG RA /'////: 247 

Mal lie sis el dans I American mathematical Monthly. Il y fait presque cons 
taminenl u -~;i l;< ■ des coordonnées normales, angulaires H Iripolaires el il 
montre clairemenl les ressources considérables qu'offre ce système. 

La brochure contient sept brefs chapitrés : dans le premier, il considère 
les points de Lemoine et de Brocard et le quadrilatère harmonique ; l<- 
second comprend un résumé de la théorie des coordonnées angulaires el 
Iripolaires el des applications aux triangles orthologiques, aux points hyso- 
dynamiques, etc Dans le troisième chapitre, l'auteur signale les triangles 
pédales el antipédales d un point et il en donne les applications à certains 
points singuliers; dans le quatrième chapitre, il donne plusieurs propriétés 
iln triangle médiale et du cercle des neuf points avec <\t-ux démonstrations 
remarquables du théorème de Peuerbach : dans le cinquième chapitre, il 
applique les coordonnées normales à l'étude de la droite de Simson et à la 
démonstration que l'enveloppe dune telle ligne est une hypocycloïde. Dans 
le sixième chapitre, il donne quelques propriétés et cas particuliers de 1 or- 
thopôle d'une droite; el enfin, dans le dernier chapitre, il fait un résumé de 
la projection orthogonale, suivant les recherches de M. Neuberg rontenues 
dans son Mémoire : Projections et contre-projections. 

C. Alasia (Albenga, Italie). 

Sp.-C. Haret. — Mécanique sociale. I vol. gr. in-8°, 256 p.; 5 fr, ; Gau- 
thier-Villars, Paris, et Gobi, Bucarest. 

M. Haret s'est proposé une tâche aussi difficile qu'intéressante : intro- 
duire la rigueur mathématique dans un domaine d'où elle parait exclue, en 
montrant que chaque théorème de mécanique rationnelle a son correspon- 
dant dans la science sociale. 

Si I on assimile un corps social, c'est-à-dire un groupe d'individus soumis 
à leurs actions réciproques el à des actions extérieures, à un corps maté- 
riel dont les atomes sciaient les individus, et si l'on représente les forces 
sociales par des vecteurs, on peut appliquer au corps social, en les inter- 
prétant par analogie, tous les théorèmes de la mécanique rationnelle. On 
admet ainsi que l'on peut définir la situation sociale d'un homme par un 
nombre ti ni de coordonnées et appliquer le calcul vectoriel aux forces socia- 
les. La critique logique de ce postulat nous éloignerait trop du point de vue 
strictement scientifique où s'est placé l'auteur; bornons-nous à faire remar- 
quer que pour appliquer cette théorie à un exemple concret, il faudrait pro- 
bablement connaître tant de coefficients que le calcul en deviendrait impos- 
sible. Ce n'est pas une raison de repousser une méthode qui, peut-être, 
complétera nos connaissances qualitatives sinon quantitatives des phénomè- 
nes sociaux. l£n attendant que l'expérience prononce, avouons toutefois nos 
craintes que M. Haret n'ait fait une assimilation surtout verbale du monde 
social au monde physique. ■ 

Le livre de M. Haret offre le grand intérêt de toute œuvre qui vise à 
ramener des choses complexes à des principes simples : il fait nue foule de 
rapprochements ingénieux ; il y a longtemps, par exemple, qu'on a remar- 
qué que les hommes veulent le maximum de jouissances avec le minimum de 
peines, mais il est piquant d'en chercher la raison dans le principe de la 
moindre action. 

On peut regretter que M. Haret n ait pas mieux tenu compte des travaux 
semblables aux siens. Walras et Jevons montrent qu'on peut raisonner en 



248 s in I loi. HA l> Il 1 1: 

mathématicien sans identifier l'économie politique à la mécanique ration- 
nelle. Les critiques adressées à l'école de Lausanne n'ont pas toutes grande 
valeur, faute d'émaner de personnes sachant assez bien les mathématiques 
pour comprendre la question : un mathématicien comme M. Haret. curieux 

îles questions <le méthode et versé dans les sciences sociales aurait discerné 
la pari «le vérité qu'elles contiennent. Son livre y aurait beaucoup gagné. 
Il faut savoir gré à M Haret d'avoir écrit sa Mécanique sociale; les mo- 
tifs qui l'y ont conduit sont des plus honorables. Obligé par ses fonctions 
ministérielles de tranchei fréquemment de graves questions, il a cruelle- 
ment ressenti le manque de principes scientifiques en politique : il s'efforce 
de remédier a cet état de choses. Sans se bercer du chimérique espoir de 
trouver une règle applicable dans tous les cas, il tente de poser les bases 
d'une méthode excluant le su bjecl ivisme des sciences sociales. Il sait tout le 
temps qu'il faut à un essai de ce genre pour porter des fruits. La nécessité 
de créer une bonne méthode pour les sciences sociales est telle qu'il tant se 
réjouir de tous les efforts faits dans ce but. On ne demandera pas la perfec- 
tion du premier coup si Ion songe à la peine qu'a causée aux Galilée, aux 
Descaries et aux Newton la création de la méthode de physique. 

S. Dimas i Berne . 

Haton m la Goupilltèhe. — Etude géométrique et dynamique des roulettes 
planes et sphériques. — 1 vol. in -4°, 107 p.; Gauthier-Villars, Paris. 

Cet ouvrage, comme l'indique son titre, est une étude des courbes obte- 
nues par le roulement d'une courbe mobile sur une courbe iixe. Une pre- 
mière partie comprend l'étude des roulettes planes à base rectiligne au 
point de vue de leurs propriétés géométriques. La seconde partie étudie ces 
mêmes roulettes au point de vue cinématique et dynamique et enfin la troi- 
sième et dernière partie traite des roulettes à base curviligne dans le plan 
et des roulettes sphériques. 

Le premier chapitre est consacré à la recherche de l'équation différen- 
tielle de la roulette engendrée par une courbe roulant sans glisser sur une 
droite. La roulante ou génératrice étant rapportée à des coordonnées po- 
laires emportées avec elle dans sou déplacement et l'équation de la roulette 
t'tanl exprimée en coordonnées rectangulaires rapportées à des axes fixes. 
Cette équation obtenue, il devient possible, même dans les cas où elle ne 
peut être intégrée, de résoudre les questions telles que la recherche du rayon 
de courbure et des coordonnées du centre de gravité de l'arc et de l'aire, la 
quadrature, la rectification. Ces résultats sont illustrés par des applications 
a un grand nombre de courbes, spirales, sinusoïdes de divers genres, etc.. 
qui permet lent de se rendre compte de la clarté et de la simplicité des mé- 
thodes. L'auteur introduit ensuite les coordonnées intrinsèques de la rou- 
lante pour exprimer les coordonnées x et y de la roulette, afin de simplifier 
l'étude de certaines courbes, entre autres des roulettes engendrées par la 
chaînette, des épicycloïdes, des courbes de genre parabole d'ordre quel- 
conque. Ce système de coordonnées facilite également la recherche du lieu 
des centres de courbure du point de contact et son application à certaines 
classes de courbes roulantes (comprenant comme cas particuliers, la déve- 
loppée rie la chaînette, la cycloïde, la tractricé roulante, la chaînette d'égale 
résistance) se présente sous une forme très claire et rapide. Le problème 
inverse, trouver la courbe qu'il faut faire" rouler sur une droite pour que le 



BIB i. 10 Gît A /'////: 249 

lieu des centres soit i courbe donnée d'avance, esl également traite ainsi 

que le problème inverse des roulettes soit la recherche d un profil lel qn< 
son roulemenl sur une droite engendre une trajectoire directement assi- 
gnée. 

Dans la seconde partie, I auteur quitte le point de vue usuel, consistant à 
envisager la génération des roulettes comme un simple l'ail géométrique, 

I ■ introduire In notion de vitesse puis celle de force; faisant ainsi 

passer successivement la théorie du roulemenl du domaine de la géométrie 
à celui de la cinématique el à celui de lu dynamique. Le premier chapitre 
théorie cinématique 'les roulettes, considère celles-ci en tenant compte 
de la relation mutuelle des deux vitesses enjeu, vitesse du parcours de la 
trajectoire et vitesse «lu roulement, relation déduite de l'expression <le lare 
«le la roulette et de celle de l'arc du roulement. Une génératrice quelconque 
étant contrainte à réaliser la loi cinématique îles aires, On obtient la loi de 

scription île la roulette. <*n peut égalemenl substituer un autre mode de 
roulement, par exemple, l'obligation pour le rayon vecteur de la génératrice 
île réaliser une rotation uniforme autour de son pôle p;ir rapport à I axe 
polaire mobile qu elle entraîne avec elle. Son application aux spirales sinu- 
soïdes ilonne. comme cas particulier, l'équatiou «le l'oscillation du pendule 
cycloïdal sons l'action de la pesanteur; à ce sujet l'auteur remarque la coïn- 
cidence de celle loi avec le roulement uniforme du cercle générateur par 
lequel on pourrait, dans ce cas. remplacer l'hypothèse; coïncidence qui le 
conduit à prévoir el vérifier qu'il eu esl de même pour le théorème de 
Newton généralisé sur le mouvement épicycloïdal isochrone dû à I action 
d'uïîe force centrale émanant du centre du cercle fixe proportionnellement à 
la distance. L'emploi des coordonnées intrinsèques simplifie l'étude de cet 
ordre de considérations et l'introduction d'un troisième mode de roulement, 
suit le tournoiement uniforme du plan de la génératrice. Dans le deuxième 
chapitre : théorie dynamique des roulettes, l'auteur conserve les notions 
précédentes el y adjoint, en outre, celle des forces capables de réaliser les 
relations de mouvement qu'on a en vue. 11 cherche quels efforts il faudrait 
appliquer au point décrivant pour produire, conformément à une loi donnée, 
le roulement de la génératrice. Ce problème comporte une infinité de solu- 
tions, mais M. de la Goupillière remarque qu'en supposant une loi cinéma- 
tique imposée à priori au roulement, la somme des projections langentielles 
des forces est invariable, ce qui lui permet de déduire, de la loi cinématique. 
l'expression do celte force tangenlielle à la roulette. Il applique les expres- 
sions obtenues pour les composantes de la force à des cas particuliers cor- 
respondants à des conditions variées : tournoiement uniforme des spirales 
sinusoïdes d'ordre quelconque dans leur roulemenl sur une droite, cycloïde 
engendrée par le tournoiement uniforme du plan du cercle générateur, etc. 
La force langentielle esl exprimée, dans le cas général, soit en fonction de v 
et de ses dérivées, soit eu fonction de lare. Les coordonnées intrinsèques 
sont également utilisées avec succès pour l'élude dynamique des roulettes. 

La troisième partie débute par la recherche de l'équation de la roulette 
en coordonnées polaires; les deux courbes, génératrice et base étant égale- 
menl connues en coordonnées polaires, l'une par rapporl à un système en- 
traîné avec elle, l'autre par rapport à un système fixe. Parmi les exemples, 
■ -lions le roulemenl d'une droite sur un cercle qui permet de retrouver un 
l heure me de Chas les. le roulemenl d une spirale sinusoïde sur un cercle fixe el 
enfin l'élude des é|,i- el hypocycloïdes allongées ou raccourcies dont d< - 



250 />' IB I. IOG /.'./ PU 1 1: 

parliculiers donnent la vériBcation de théorèmes et propriétés connus. Puis 
rient l'équation <li' la roulette i'ii coordonnées rectangulaires appliquée à 
une série d'exemples qui donnent lieu à des remarques intéressantes; entre 
autres le cas où la base li\<- est nne chaînette et la roulante une courbe 
quelconque, droite, spirale logarithmique, etc., ou bien la base est une para- 
bole semicubique ou une cycloïde on encore la roulante étant quelconque, 
la base est liée à elle par une relation telle que la roulette soit toujours 
recti ligne. Citons encore le cas inverse où la base est donnée el où la rou- 
lante s'en déduit (toujours avec la condition d'une roulette reclilignel qui, 
dans le cas particulier OÙ la base est une parabole conduit l'auteur a il llico- 
rème : * Si. sur une parabole d'ordre tout a fait arbitraire, on Fait rouler 
une spirale algébrique de degré Inférieur d une unilé. et de paramètre 
approprié, en parlant de la coïncidence de leurs deux pôles, celui d<- la spi- 
rale décrit une droite » (exception pour la base recliligne (wi = lu. 

Considéré en coordonnées exclusivement intrinsèques, le problème fournil 
l'équation naturelle de la roulette avec une quadrature. L'application au 
roulement d'un cercle sur un cercle, d'une spirale logarithmique sur une 
ligne quelconque, d'un cercle sur une développante d'ordre n quelconque 
d'un autre cercle <■! enfin d'un cercle sur une courbe compliquée, le tout en 
quelques pages, permet d'apprécier lélégance de la méthode. 

Les roulettes sphériques font l'objet des deux derniers chapitres, les trois 
courbes, base, roulante et roulette sont exprimées en fonction de la longi- 
tude et de la colalitude par rapport à un pôle fixe et à un pôle mobile. 
Parmi les applications, notons le roulement de deux loxodromies identiques 
l'une sur l'autre, la génération des épi- el hvpocvcloïdes, enfin la recherche 
de la base qui. associée à une roulante quelconque donnée, engendre une 
roulette qui soit un grand cercle de la sphère, avec, comme cas particuliers 
pour la roulante, la clélie de module quelconque ou la loxodromie qui 
donne le mouvement relatif des deux rouages de l'engrenage de roulement 
d'Euler. Dans le dernier chapitre, l'auteur envisage la «théorie dynamique 
ries roulettes sphériques», il se borne au cas du roulement dune génératrice 
quelconque sur le grand cercle équatorial, ce qui est l'analogee pour la 
sphère du roulement sur une base recliligue pour le plan. Ce qui reste im- 
muable étant aussi la force tangentielle, le problème ne diffère pas dans ses 
grandes ligues de celui du plan, quoique donnant lieu à des calculs plus 
longs. Comme exemple, l'auteur traite le roulement d'une loxodromie sur le 
grand cercle équatorial avec, comme loi cinématique donnée, la supposition 
que le déplacement progressif du point de contact sur la génératrice est 
uniforme en latitude. R Masson (Genève 

L. Jacob. — Le calcul mécanique. Appareils arithmétiques cl algébriques. 
Intégrateurs. (Collection de l'Encyclopédie scientifique.) — 1 vol. in-18 
de i-S p., avec 18 i fig. ; 5 fr. ; O. Doin &lils, Paris. 

L'idée de faciliter les calculs à l'aide de dispositifs mécaniques plus ou 
moins compliqués remonte à la plus haute antiquité, et. cependant, on peut 
dire que c est seulement vers le milieu du siècle dernier que 1 on a vu en- 
trer dans la pratique courante des appareils à calcul de quelque valeur. 

C'est que. dans ce domaine, non seulement il faut établir des principes, 
mais il est en plus nécessaire de les mettre sous forme de projet, puis de 
passera la construction. Or, abstraction faite de l'effort financier, il faut 



BIH I. I <> GRA l' Il I I. 251 

encore que les moyens d action permetlrul I exécution d'un travail eénéra- 
lement délicat. 

• »n conçoit donc que le développement du calcul mécanique n'ail pu que 
suivre celui des moyens mêmes de production de l'industrie mécanique de 
précision, De création relativement récente, ce mode de calcul est d'autant 
moins connu que les mécanismes qui permettent de le réaliser sont très va- 
riés el quelquefois complexes 

Le présent ouvrage est divisé, comme l'indique son titre, en trois parties 
relatives à la résolution îles questions d'arithmétique, <l algèbre ou <l analyse. 

I. auteur a, autant que possible, rapproché, dans les chapitres spéciaux . 
soii les appareils ayant un luit commun, soit 1rs appareils ayant le même 
but ci un principe commun. Le lecteur peul ainsi s orienter facilement. 

Dans les questions de <•<■ genre, le mode d'application «l'un principe esl 
aussi important que le principe lui-même, ;hism I auteur s'est-il attaché à 
donner, avec quelques détail», la description de certains appareils les plus 
employés ou les plus intéressants. 

C'est la méthode déjà appliquée par lui à ses ouvrages antérieurs, dans 
le but de présenter, aux personnes qui s'intéressent à ces questions, non 
seulement des idées, mais aussi des réalisations. 



Gust, Jaeger. — Theoritische Physik. II. i te Auflage. (Sammlung Gœschen). 
— 1 vol. cari, iu-12, 152 p.: 80 Pf. ; G. J. Gœschen. Leipzig. 

Tandis que le premier volume traite de la mécanique et de l'acoustique, 
le second, qui paraît en 4 me édition, est consacré à la lumière et à la cha- 
leur. Il contient les notions essentielles de la théorie de la lumière et île la 
chaleur et de la théorie cinétique des gaz. dette petite monographie conti- 
nuera à être très appréciée des étudiants pour une première initiation à la 
Physique mathémal ique. 



Eug. Netto. — Die Determinanten. [Mathem. physik. Schriften fur Inge- 
itir/ire a. Studierende. herausgegeben von E. Jab.nke). — 1 vol.cart., 130 p 

:! M. til»: B. G. Teubner, Leipzig. 

La collection de monographies entreprise par M. Jahmce, professeur à 
I Ecole des Mines à Berlin, est destinée, comme on sait, a donner aux tech- 
niciens de courts aperçus des principales théories des sciences mathémati- 
ques et physiques. 

M. Eug. Netto (Giessen), bien connu par ses travaux fondamentaux en 
Algèbre supérieure, s'est chargé du petit manuel concernant les détermi- 
nants. Il a tait un excellent choix de ce qui est utile aux étudiants des Eco- 
les techniques et il en donne une exposition claire, bien adaptée au but de 
l'ouvrage. 

L'énuinéral ion des chapitres donnera une idée suffisante du chemin par- 
couru : Délîuil ion et propriétés élémentaires îles déterminants. — Adjointes : 
théorème de Laplace sur la décomposition d'un déterminant. — Calcul d un 
déterminant. — Produit de déterminants. — Formes spéciales de détermi- 
nants. — Equations linéaires. — Résultants; éliminants; discriminants. — 
Substitutions linéaires. — Applications géométriques. — Différentiation de 
déterminants. — Déterminants fonctionnels. 



252 /;/ /,' /. /()(./; .1 PRIE 

P.-J. Richard. Etude sur l'assurance complémentaire de l'assurance 
sur la vie avec de nombreux développements sur les assurances contre 
la maladie et l'invalidité. I vol. pelii in-8°, lis p. : :; fr. 50. : A. Her- 
mann el (ils, Paris. 

Les compagnies d'assurances <>ni imaginé il y a quelques années nue com- 
binaison nouvelle : L'assurance complémentaire de ['assurance sur la vie. 
Moyennant une surprime, elles maintiennent la police m vigueur sans exi- 
de prime lorsque l'assuré tombe malade ou devienl invalide'. Il est inu- 
tile d'insister sur les services que rend celte combinaison en délivrant l'as- 
suré du souci de payer s;i prime au moment où la maladie diminue son gain 
tout en augmentant la valeur de l'assurance. 

Après avoir exposé dans son introduction le but de l'assurance complé- 
mentaire el en avoir fait un historique rapide, M. Richard consacre son pre- 
mier chapitre à l'étal actuel de la question et aux difficultés qu'en présente 
la solution. 

Dans le second chapitre, il fait brièvement la théorie mathématique de 
1 assurance contre la maladie et l'invalidité. Cette partie rendra de grands 
services à toutes les personnes qui voudront se mettre au courant de cette 
théorie sans l'approfondir dans tous ses détails ; «Ile l'orme une excellente 
introduction à l'étude des ouvrages plus étendus sur celte matière. 

C'esl dans le chapitre III que l'auteur aborde directement- son sujet. Il y 
applique les résultats obtenus dans le chapitre précédent au calcul, pour les 
principales combinaisons, de la prime d'assurance complémentaire. 

Dans le chapitre IV, nous trouvons de nombreuses tables numériques 
avec quelques indications sur la manière de les dresser : tables de morta- 
lité, de morbidité el d'invalidité, tables de commutation correspondantes, 
tables d'annuités viagères, etc M. Richard déduit de ces nombres la valeur 
de la prime d'assurance complémentaire dans quelques cas usuels et nous 
en montre ainsi l'ordre de grandeur. 

Le chapitre V ne lait qu'effleurer le calcul des réserves. Nous le regret- 
Ions d'autant plus que l'auteur nous dit que l'élude de cette question con- 
duit à des résultats très intéressants. 

Nos statistiques de l'invalidité sont si incomplètes que les assureurs pour- 
raient un peu craindre celte nouvelle combinaison. Nous croyons pourtant 
qu'avec les précautions que M. Richard recommande dans sa conclusion, ils 
peuvent l'essayer sans grand danger. L'expérience leur permettra peu à peu 
de perfectionner leurs tarifs et leurs conditions, .comme ce fut le cas dans 
toute l'assurance. 

L ouvrage de M. Richard vient a son heure combler une lacune dans la 
littérature scientifique de langue française. 

S. Dimas (Berne). 



A. Séférian, — Notice sur le système des six coordonnées homogènes 
d'une droite et sur les éléments de la théorie des complexes linéaires. 
— I fasc, T'.t p. in-8" ; 1 fr. 50; A. Denéréaz-Spengler & C°, Lausanne. 

L auteur, dans son introduction, constate que la Statique graphique des 
systèmes de l'espace, de M. |{. Mayor, suppose le lecteur familiarisé avec le 
système des six coordonnées homogènes d'une droite el avec la théorie des 
complexes linéaires. Son opuscule a pour but de mettre tout ingénieur en 



/; //./. fi / / .Y B l A' /. / G n APHIQUL 253 

ii. ii de lire I ouvrage précité el contienl en outre «| it«-I*| ti»--^ explications sur 
certains paragraphes dn même traité. 

Nous aimons à croire que la brochure atteint le but très spécial qu'elle se 
propose. Mais à nu poinl de vue plus généra), il ne nous semble pas qu'elli 
réalise un progrès sur les nombreux exposés antérieurs. 

M Stuyvaert (Guud). 

Taschenbuch fur Mathematiker und Physiker herausgegeben von F. Ai m 
bach Mini !!. Hothe. '1. Jahrgang, L911. — 1 vol. in-16 ; IX-567 p., relié: 
M. 7; B. G. Teubner, Leipzig. 

Nous avons déjà signalé cet annuaire des mathématiciens el des physi- 
ciens, à l'occasion de sa première année. Celle deuxième année (1911] qui 
débute par une Notice sur Hermann Minkowskj [avec un portrait), par 
D. Hilbert el II. Weyl, contienl de nombreuses tables, Formulaires e1 ren- 
seignements utiles à tous ceux qui s'pccupenl de sciences mathématiques el 
physiques. MM. Auekbach (Iéna] et Rothe (Clausthal) se sont assurés le cou- 
cours d'un grand nombre de collègues, parmi lesquels nous citerons 
MM Hessenberg (Note sur la théorie des ensembles!, Wieferich (le dernier 
théorème de Fermât], Tceplitz (Equations intégrales), Ziegel (Assurances), 
Lietzmann (Enseignemenl mathématique). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Publications p«M«ioilicjues : 

Acta Mathematica, dirige par Mittag-Lefler,.T. XXXIV. Stockholm. 

Fasc. 1 et 2. — N.-F. Xôrllnd : Fractions continues et différences réci- 
proques (p. 1-108). — Osk. Perron : Ueber lineare DiHerenzengleichungen. 
— '■ Id. : Ueber lineare Dïfferenzengleichungen mit ration. Koeflizienten. — 
K. K.nopp : Uivergenzcharactere Gewisser Dirichlet'scher Reihen. 

Fasc. 3. — C.-W. Osf.en : Sur les formules de Green généralisées qui se 
présentent dans l'hydrodynamique el sur quelques-unes de leurs applica- 
tions. — E. Netto : Ueber Pfaffsche Aggregate. 

Annaes scientificos da Academia polytechnica do Porto, dirigées par 

Gomes Teixeira. — Vol. V. 

N 0È 3 et i. — G. Servais : Sur les centres de courbure principaux de 
trois quadriques homofocales. — P. Appelé: Sur les polynômes l „,.,, d Her- 
mile el des polynômes X„ de Legendre. — D. PompeiU : Sur les fonctions 
représentées par fies intégrales définies. — F. Gomes Teixeira : Sobre o 
methodo de Gauss para o calculo approximado dos integraes definidos. — 
G. Pirondim : Essai d'une théorie analytique «les lignes non-euclidiennes 

Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Anno (".('.('.VII. Rendicouti. — R( 

2 e semestre 1910. — G. Abettj e ('. Cappello : La flessione del supporto 
dei pendoli nelle ilelerinina/.ioni di gravita relaliva. — Id. : Melodi proposti 



254 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

per la delerniinazione dîrclla délia Bessione «loi supporto dei pendoli gravi- 
melrici. — E. Almansi : Sulla dislribuzionc dell'elettricità in equilibrio neî 
oondultori. — L. Amoroso Alcuue osservazioni intorno alla leoria délia 
série Fourîer-Hilberl Schmidt. — T. Boccro : Sul gradionte di una omo- 
grafia vettoriale. — E. Bompiani : Sopra le funzioni permutabili. — C. Burali- 
Forti : Soll'operatore di Laplace per le omografie vetloriali. — P. Bur- 
gatti : Sulla trasformazione e sulla ridazione dei sistemi Hamiltoniani. — 
L'. Cisotti : Sulla variazione di curvatura délie geodetiche spiccate da an 
punto di una superficie. — U. Ciuhki.i : Su la vélocité angolare deî Buidi 
eterogenei, rotanti, limitaii da figura <li equilibrio. — A. Dell'Agnola : 
Délia conrergenza uuiforme ord maria — L. Ohlando : Sulla caratteristica 
dei risultante <li Sylvesler. — Ul. : Nuove osservazioni sul problema di 
Hurwitz. — /</. : Sull'equazione aile semisomme e sul teorema di Hurwitz. 
— Id. : Sopra alcuue question! relative al problema di Hurwitz. — G. Pava- 
mm : Sul polenziale ncwtonïaao di una circonferenza omogenea. — M. 
PiGONE : Sopra un'equazione intégrale di prima specie a limiti variabili con- 
siderata da Volterra. — G. Ricci : Sulla determinazione di varietà dotate di 
propriété intrinsecbe date a priori. — W. Stekloff : Solution générale du 
problème de développement d'une fonction arbitraire en séries suivant les 
fonctions fondamentales de Sturm-Liouville. — G. Vacca : Sopra un pro- 
blema di Huygens. 

Bibliotheca mathematica. Zeitsch. f. Geschichte der mathem. Wissenschaf- 
len berausgegeben von G. Enestrôm. — 3. Folge, Teubner, Leipzig. 

Band 10. Heft i. — G.-R. Kaye : The two Aryabhalas. — E. Wiedemans . 

Il)ii al Hailams Sehrift iiber <lie spliarisrhen Hohlspiegel. G. Enestrôm : 

Eine Légende von dem eisernen Fleisse Leonhard Eulers. — G. -A. Miller: 
Hisloiical sketch of the développement of the theory of groups of finite 
order. — G. Lokia : Giovanni Schiaparelli quale storico dell antica astro- 
nomia. 

Band 11. Heft I. — G. Enestrôm : Ueber Problème der mathematischen 
Geschichtsschreibung. — H. Sutek : Das Buch der Auffiudung dw Sebnen 
im Kreise von Abu 1-Raihau Muh. el-Biruni. — ])a\id-E. Smith : A note on 
Johannes Schonerus. — G. Enestrôm : Kleine Bèmerkungen zur letztèn 
Auflage von Cantors « Vorlesungen ûber Geschichte der Mathematik ». 



Bulletin of the American mathematical Society. - New-York. Vol. XVII. 

Fasc. 1 et '2. — YV.-R. Longley : Note on Implicil Functions Defined by 
Two Equations when the Functional Déterminant vanishes. — F. 11. Saffohd : 
Sturm s Melhod of [ntegrating dx : [ X -\- c/y : j/V . - F.-R. Siiaupe : A 
Property of a Spécial Linear Substilutiou. — L.-E. Dickson : Ou the Fac- 
torization of Intégral Functions wîth p-adic Coefficients. — F.-N. Cole : 
The Seventeenlh Suinmer Meeting of the American Mathematical Society. 
- The Préparation of Collège and University Instructors in Mathemalies . 
Commitlee Report. 

Fasc. 3 et i. — W.-D. Mac-Millan : A New Proof of the Theorem of Weier- 
strass Concernai g the Factorizationof a Power Séries. — R.-G.-I). Richakd- 
SON : (Jn the saddlepoint in the theorv of inaxima and ininima and in the 
calculus of variations. — ■ L. Inc.old : Note on Identifies Connecting certain 
intégrais. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 255 

Fasc. â. — ■ Université Courses in mathemalics and the Masler's Degree 
Committee Report. 

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par G. Darboux, E. Picard, 
.!. Tannery. —Tome XXXIV, 1910. Gauthier-Villars, Paris. 
Avril-Décembre 1910. M. Pi.ancherrj. : Remarques sur l'intégration de 
l'équation \u r— 0. — G. Haag : Sur les surfaces moulures applicables sur 
une surface de révolution. — J. Haag : Géométrie inliuitésimale. Sm- une 
démonstration de Joseph Bertrand. — II. Hostinski : Sm- les quartiques 
planes parallèles. — P. Levi : Sm- 1rs valeurs de la fonction de Green dans 
le voisinage «lu contour. -— Extrait il une lettre de M. Carrus. — Extrait 
■ I nue lettre il<' M. Haag. — E. Cartan : La structure des groupes «le trans- 
formations continus et la théorie du trièdre mobile. — G. Darboux : Un peu 
de géométrie à propos de 1 intégrale île Poisson. 

Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences de Paris. 

t er semestre 1911. — 3 janvier. — C Tzitzeica : Sm- les congruences W. 

— M. île Domeczky : Sur la théorie îles fonctions symétriques. — < '. Po- 
povici : Sur les mouvements permanents stables. — Leinekugel le Cocq 
Sur la théorie générale de deux solides indéformables suspendus d'où déri- 
vent les Formules applicables à tous les systèmes de ponts suspendus rigides 

— E. Esclagom : Sur un régulateur rotatif à vitesse fixeou variable. — Ch.- 
Ed. Guillaume : Sur la définition des unités électriques pratiques. 

9 janvier. — E. Picard : Sur une équation intégrale singulière. — Le 
Fort : Sur une formule d'interpolation établie en vue des applications pra- 
tiques. 

16 janvier. — C. Guic.hakd : Sur les surfaces dont les normales louchent 
uni quadrique. — G. Darboux : Remarque sur la communication de M. Gui- 
chard. — E. Caiiicn : Sur les séries intégro-enlières. 

23 janvier. — C. Russyan : Le système d'équations différentielles ordi- 
naires canoniques généralisées et le problème généralisé de S. Lie - 
P. Levt : Sur les dérivées des fonctions des lignes planes. — U. Cisotti : 
Sur la réaction dynamique d'un jet liquide. — L.-E. Bkrtin : Complément 
aux « lois générales du mouvement accéléré ou retardé des navires ». 

1)0 janvier. — Th. Ec.oroff : Sur les suites de fonctions mesurables. - 
J. Bosei.i.i : Vitesses de réaction dans les systèmes hétérogènes. — Tories 
Quevedo : Construction mécanique de la liaison exprimée par la formule 

-j- — tg w. — R. Bourgeois : Sur une cause d'erreur instrumentale des ap- 
pareils de mesure de base eu Géodésie. 

6 lévrier. — H. Villat : Sur le mouvement discontinu d'un fluide dans un 
canal renfermant uu obstacle. — A. Koris : L'état hélicoïdal de la matière 
électrique ; hypothèses nouvelles pour expliquer mécaniquement les phéno- 
mènes i 1er tro- magné tiques. 

13 février. — C. Guichard : Sur la déformation des quadriques. — P. 
Du ms : Sur les séries de polynômes et les singularités des fonctions ana- 
lytiques. — X. Sai ivkow : La théorie des caractéristiques et ses applica- 
tions. 

Jii février. — M. Gevrey : Sur 1rs équations aux délivres partielles du 
type parabolique. — A. Buiil : Sur les applicatii us géométriques de la for- 
mule de Slokcs. — C. Stôrmer : Sm- la structure de la couronne du soleil 



256 Ji ULL E 1 1 .v H l H I. I G i: A PHI QUE 

-' février. — J. Ciiazy : Sur l'indétermination des fonctions uniformes au 
voisinage de leurs coupures. — S. Brrstein : Sur l'approximation des 
fonctions continues par «1rs polynômes. — C. Cailles : Sur la pentasérie 

linéaire des corps solides. — M. d ()cac.m-: : Détermination nomogra- 
phique du chemin parcouru pap un navire en cours de mouvement varié. 

— Bertin : Observations sur la note de M. d'Ocagne. 

6 mars. — E. Boni i La structure des ensembles de mesure nulle. — T. 

L.vlesco Sur une équation intégrale du type Vollerra. — L. Roy : Sur la 

propagation des discontinuités dans le mouvement des (ils flexibles. — ('.. 

i.mi'u : La si inclure de la couronne du soleil dans la théorie d'Arrhénius. 

['■'< mars. — H. Villat : Sur le problème de Dirichlet relatif à une cou- 
ronne circulaire. — Gust. Dumas : Sur la résolution des singularités des 
surfaces, — Nicolau : Sur la variation du mouvement de la lune. — Z. de 
Goeczi : Contribution à la quadrature des surfaces courbes. — C. Gutton : 
Comparaison des vitesses de propagation de la lumière et des ondes électro- 
magnétiques le long des lils. 

— < ► mars. — S. Jamszkwski : Sur les continus irréductibles entre deux 
points. — R. Garmf.r : Sur les équations différentielles à points critiques 
Gxes et les fonctions hypergéométriquës d'ordre supérieur. 

27 mars. — C. GuiCHARD : Sur les réseaux C tels que les lignes d'une 
série soient courbes planes. — H. Lebesgue : Sur l'invariance du nombre 
de dimensions d'un espace et sur le théorème de M. Jordan relatif aux 
variétés fermées. — • G. Lkvy : Sur la fonction de Green pour un contour 
algébrique. — M. Precuet : Sur la notion de différentielle. 

•'! avril. — Th. De Dondek : Sur le multiplicateur de Jacobi. 

10 avril. — A. Biiil : Sur des volumes pris pour paramètres de points, 
de droites et de plans, d'après une méthode appuyée par M. Darboux sur la 
théorie des moments d'inertie. — G. Darboux : Remarque sur la note pré- 
cédente. — J. Le Roux : Sur les covariants fondamentaux du second ordre 
dans la déformation finie d'un milieu continu. 

Giornale di Matematiche di Battaglini, diretta da Erneslo Pascal, colla 
collaborazione di P. del Pezzo. A. del Ri:, H. Marcolongo, D. Montenaxa, 
(x. Torelli. Vol. XLYI1I il" délia 3«. Série). 

I". Pascal : Prefazione nella 3 a . série. — G. Torelli : Alfredo Capellî, 
Cenno neerologico. — E. Pascal : L integrafore meccanico per le equazioni 
difTerenziali. — C.-M. Piuma: Sui quadrali magici di nove interi. — 11 pros- 
simo congresso délie scienze a Napolî. — Avviso di concorso. — C. Spelta : 
Sulla determinazione di velocità e délie accelerazioni nel moto più générale 
di un corpo rigido. — S. Cherubino : Sulla costruzione dei sotlogruppi di 
un gruppo qnalunque cbe mino per ordine la massina polenza di un numéro 
primo. — G. Loria : Sulla topologia délie superficie trascendenti. — J.-B. 
Grakdpas : Sur les déterminants dont les éléments ont plusieurs indices. — 
E. Pascal : Piccole note bibliografiche. — E. Hicotti : Sulle série diver- 
gent! sommabili. — A. Yerckrio : Sul teorema del valor medio di Bonnel. 

— A. Cavaccim : Su cerle formazioni invariantive délia quartica binarîa e su 
cette série ricorrenti. — T. Riktti : Sulle operazioni distributive normali. 

— O. Nicolettj : IH equazione analoga all'equazione secolare. — E. Pascal : 
Sommarii dei Corsi monografici di Matematiche Superiori dettati nelle Uni- 
versilà [taliane nell'anno scolastico 1909-1910. — C. Mineo : Sulle super- 
ficie riferite a un sislema geografico, e sulla determinazione inlrinseca del 



BU l /. /. / / V /; t B 1.1 o G H APH 1Q.V E 257 

geoide. A I\i\iim : Sur l'approximation des racines des équations de 
degré supérieur, — R. Occhipisti : Su alcune semplirî relazioni Pra le 
radici ili una equazione algebrica e quelle délia derivala. T. Hayasim 
Démonstration élémentaire du théorème de M. Hadamard sm- la valeur 
maximum du déterminant. — E. Ciaki : Le curve piane di quarl ordine 
I. Ahokoso, SuI valore massimo di speciali determinanti. — Anl. Macci 

(i. Moi: i ka : 1 856- I 909. S. PlNUHERLI : Sopra lllia eslensione del COnCCltO 

<li divisibilità. L. Tonklij SuH'iterâzione. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monalsheften 
herausgegeben \ i m A ( i i rzMBK. Band 20, 1911. — B. G. reubner. I »ei 1 1 is 

Nos | ( .| 2. — K. Fueter : Die Klassenkôrper der komplexen Multiplika- 
liiin iiii«1 ihr Einâuss auf die Entwicklung der Zablentheorie. (Berichf der 
Deutschen Mathematiker-Vereinigung.) — Robert Haussner : Das mathe- 
matische Institut dt>\- Universilâl Jena. (Mil f> Abbildnngen im Text.) — 
lliiMiicu Liebmann : Die elementaren Konstruktiouen der nichteuklidischen 
Géométrie. — Hans Hahn : Bericht ùber < I i < * Théorie der linearen Integral- 
gleichungen. — Paul Stâckel : Geltung und Wirksamkeil der Mathematik 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von 
K. Henskl. Band CXXXIX. — Georg Reimer, Berlin. 

Hett 3 u. 4. — J. Schur : l eber die Darstellung der symmetrischen und 
alternierenden Gruppe dnrcb gebrochene lineare Subslitutionen (Fortsetz. 
u. Schluss). — P. Koebe : Ueber die Uniformisierung beliebiger analyt. 
Kurven, II. — R. Remak : Ueber die Zerlegung der endli.chen Gruppen in 
direkte unzerlegbare Faktoren. — D. Mirimanoff : Sur le dernier théorème 
de Fermât. 

Monatshefte fur Mathematik und Physik, herausgegeben von (i v. Es< m 
Hicii. F. Mertens u. W. Wirtinger. — Eisenslein & C°. Wien. 

XXII Jahrgang il'Jlli : L, 2. Vierleljahr. — A. Axer : T);is Analogon zur 
Funktion l.r) in einem zu vorgegebenen Primzahlen teilerfremden Zahlen- 
system, — A. Mrder : Zur Differentiation bestimmter Intégrale nach einem 
Parameler. — R. v. Mises : Ueber die Stabilitât rotierender Wellen. - 
.1. Radox : Ueber einige Fragen betrell'end die Théorie der Maxima und 
Minima naehrfacher Intégrale. — P. Roth : Ueber Beziehungen zwischen 
algebraischen Gebilden voni Gescblecbte drei und vier. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Laisant. C. Bot k- 
i.et et R. Bricard, 'i° série. — Gauthier- Yillars, Paris. 

Tome X, juillet-décembre 1910. — R. Alezais : Sur l'allure d'une courbe. 
R. d'ADHÉMAR : Etude élémentaire d'une série sur son cercle de conver- 
gence. — V. Jamet : Sur les lignes asymptotiques des surfaces réglées. — 
R. Bricard : Sur les Surfaces de Jamet réglées. — J. Hadamard Sur un 
problème de cinématique navale. — R. Bouvaist : Construction d'un centre 
de courbure en un point d'une si rophoïde. — A. Buhl. : Sur les surfaces do ni 
les lignes asymptotiques se déterminent par quadratures (3 e note). Aurk 
Note --tir la géométrie du triangle. — Cli. Halphen : Sur les accélérations 
successives. — G. Foxtexé : Théorie des fonctions hyperboliques. — V. 
Jamet: Sur l'équation aux dérivées partielles des surfaces réglées. — Emile 



■2:>* h i i. :. i: r i v />• / />• /. / o g ii APHIQU i: 

Turrièkk : lu cis particulier d'attraction d'un corps sur un point éloigné. 

— E. Keraval : Surfaces partiellement cylindroïdcs. 

Prcceedings of the London Mathematical Society. Série 2, vol. 9. 

Fasc. 1 à 5. — A. (.i inningham : On <S-vic. Ki-ic. C V<\ Residuacily. — W. 
H. Yoim; : On a ih\\ method in the theory of intégration. — M 11 '' H. 1'. 
Hcdso.n : ( 'u ihe 3-3 biralional transformation in tliree dimensions. — J. W. 
Nn noiso.N : The scallering ol light by a large conducting sphère. — H. W. 
Turnbtji i : Teruary Quadratic. — H. F. Bakir : An Expression of 1/ — e)~ 1 
by means «il Polynomials. — G H. Hardy : Theorem connected with Mac- 
laurin's Test for the Convergence of Séries. — H. F. Bakkk : Notes on the 
Theory of the Cubic Surface. — G. B. Mathfws : Relations between Arith- 
metical Biuary Cubic l'omis and their Hessians. — Miss Majorie Long : On 
Geiser s Method of Gênera ting a Plane Quartic. — W, P. Milm: : The 
génération of Cubic divers by Apolar Peneils ol Lin'es. — J. M. Hii.l and 
A. Berry : On Differential Equations with Fixed Branch Points. — A. E. 
Wbstkrn . Some crileria for the residues of eighth and other powers. ■ — 
ii. T. Iîin.m rr : l'he composition of fini te displacements and the use of 
axodes. — W. H. Young : On semi-integrals and oscillaling successions 
of functious. — W. H. Young and Grâce Chisholm Young : On the Kxis- 
li née of a Differential Coefficient. — G. T. Bennett : The Double Six 

— F. B. PiunicK : The Stabiiily of Roating Shalls. — \Y H. Young : A 
Note on the Property of being a Différentiel Coefficient. — S. Chapman : On 
Non-Inlegral Orders of Summability of Séries and [nfegrals. 

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Direttore fi.-B. Guccia. 

Tomo XXX i2'j semestre 1910). 

Pasc. '1. — R. W iri zi:.\ bock : Das Formensyslem der Korrelation im Pis 
P. Pizf.tti : Sul teorema di Malus pei raggi luminosi curvilinei. — A. Korn : 
Ueber die f.ôsung dey ersten Randwertaufgabe der Elasticilatstheorie. — 
A. Koiîn : Uebér die Eigenschwingungen eines elastischen Kôrpers bei 
verschwindenden Druckkoinponenteii an der Oberflache. — G. Bagnera el 
de Franchis: Le nombre p de M. Picard pour les surfaces hyperelliptiques 
el pour les surfaces irrégulières de genre zéro. — M. Stuyvaert : Sur la 
congruence de droites de troisième ordre el classe, de genre deux. 

Fasc. 3. — F. Sivkri : Complément alla teoria délia base per la toi alita 
délie curve di nna superficie algebrica. — M. Pla.ncherel : Contribution à 
l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales 
définies. — A. Kokn : Nachtrâgliche Bemerkung zu der Abhandlung : Ueber 
die l.osung der ersten Randwertaufgabe der Elasticilatstheorie». — G . Mit- 
i a'.-Lii ri.f-R : Sur un problème d'Abel (Extrait d'une lettre à M. Marcel 
Riesz|. — M.Riesz: Sur un problème d'Abel ( Extrait de deux lettres à M. G. 
Mitlag-Leffler). — C. Segre : « Aggiunta alla Memoria : Preliminari di una 
teoria délie varietà luoghi di spazi». — M. Picone : Sulle equazioni aile 
di rivale parziali del second ordine del tipo iperbolico in due variabili indi- 
pendili. — H. W'iti. : Ueber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte 
Konvergenz- pbanomene. 

Revue du Mois (La), dirigée par E. Borfl. 6 e année. — V. Alcan, Paris. 
10 janvier 1911. — E. Borkl : Jules Tannery. 
H) mars — Jules Taxnert : Pensées. 



/; (/./. E l I .v /; / /; /. / G i: A P il in V i: 2 59 

Revue générale des Scienceô pures et appliquées, fondée par I. Olivieh 
Librairie A rmand Colin, Paris. 

15 décembre L910. — - E. Bigourdan : La découverte des Lois de Kepler 
30 décembre, — Ph. Hatt : L'astrolabe à prisme. 

15 el 30 janvier 1911. — C 1 Paul Renard : Les aéroplanes |l ei " et 2 e articles). 
I ."i février. — J. Boslek : Les récents progrès des méthodes aslrophysi 
ques aux Etals-Unis. 

Zeitschrift fur Mathematik und Physik, herausgegeben von H. Mehmki u 
C. Rukge. — 59 Baud, 15. -<i. Teubner, Leipzig. 

lli li 1 . •— B. Rkismann : Ortsbestimmung aul photographischem \\ ege a us 
Auliialimen mil Zeuilmarke. — Horsi v Sanden : Zur Konstruktion der El- 
lipse .m s den A cli sci i — /</. Gegenseilige Orienlieruug von nahezu parallelen 
Aufnabmen in der Phologrammetrie — II. Rimmel : Konslruklion der 
SlrÔmungsbilder eines slromdurchflossenen Kreisringes, eines zylindrischen 
Solenoids und einer gleic^mâssig mil Masse belegten Kreisflaohe. — E. 
Waelsch : Konstruktion «les Krùmmuugs-miltelpunktes bei polytropischen 
Kurven. — A. Willers : Zum [ntegralor von E. Pascal. — 11. Blasius : Mil 
teiluitg zu meiner Abhandlung ùber : Funklionentheoretische Methoden in 
der Hydrodynamik. — P. Fillunger : Die Spannungsverleilung in keilfor- 
migen Kôrpern, nul welche eine Einzelkraft einwirkt, unter Beschrankung 
auf das ebene Problem. -- L. von Schrutka : Eine Méthode zur Auflôsung 
qnadratischer und kubischer Gleichuugen mil der Rechenmaschine. — A. 
Schulze : Ueber triinetrische Liuienuetze. — G. Mattaùsch : Zur Ermitle- 
lung der Stromverteiluug in Leitungsnetzen — R. Mehmke : Beitrage zur 
Kinematik starrcr und affin-veranderlicher Système, insonderheit ùber die 
Windung der Bahnen der Syslempunkle. 

Hefl 2. — A. Francke : Der hyperbolische Kosiuusbogentrâger jKetlen- 
linientrâger). — L'. Cisotti : Sopra la derivazione dei canaii. — P. Wiîkk- 
meister I eber graphische TaFeln fur Punktioncu einer Verànderlichen, 
insbesoudere ûber graphiscbe Logarithmentafeln. — S. Timoschenko : 
Erzwungfcne Schwingungen prismatischer Stâbe. — ■ H. Mkhmki: : Beitriige 
zur Kinematik, etc. iFortselzune). 



îi. Livrés nouveatrx : 

J. Andrade. — Le mouvement. Mesures de l'étendue et mesures du temps. 
— 1 vol. iu-H, o28 p.. c'art. : 6 IV.; F. Alcan, Paris. 

1). Behrendsen und E. Gôtting. — Lehrbuch der Mathematik fur hohere 
Madchen-Bildungsanstalten, I. Teit : Fut hwhexe Madchenschulen zugleîcb 
Unterstufe fur Lyzeen und Studienanstalten. — 2 e édil. 1 vol. in-S. VIII- 
■ )\X p.; :> M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

L. Ckelier. — Systèmes cinématiques (Collection Scientia — [n-8 de 
100 p., avec un portrait du colonel Mannheim ; cartonné; - IV. : Gaulhier- 
Villars, Paris. 

E. Duhont. — Arithmétique générale. Mesure des grandeurs géométri- 
ques : nombres naturels, qualifiés, complexes, lernions el quaternions. 
1 vol. in-S. XVII-275 p.; 10 fr.; Hermann & fils, Paris. 



260 BULL i: T 1 N H l H l.l O C, li A P 11 I <) U E 

P. Enb£t.HA.KOT. — l atersuchungen uber die im Schlussworl des Lie'schen 
Werkes Géométrie der Berùhrungstransformationen iingedcuteten Pro- 
blème. — I fasc. in-8, 65 p.; 2 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Paul 13. Fischer. - Koordinatensysteme [Sammlung, Gôschen Nr. 507). 
I v,.l in- If, ; 80 Pf. : G. .). Gôschen, Leipzig. 

R. Pdeter. — Die Klassenkôrper der komplexen Multiplikation and ihr 
Finfluss au 1" die Entwicklung der Zahlenlheorie. Bericlit zur Feier des 100. 
Geburtstags Eduard Kummers der Deutschen Mathematiker-Yereiuigung. 
— 1 fasc. in-8, 'i7 p.; 1,50 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Franz Hack. — Wahrscheinlichkeitsrechnung [Sammhuig GOschen, Nr. 
508 — 1 vol. in-16; 80 Pf. ; G. .1. Gôschen, Leipzig. 

Sp.-C. Baret. — Mécanique sociale. — 1 vol. in-8, 256 p.; 5 IV.; Gau- 
thier-Yillars, Paris. 

G. Jdkge. — Deber den Fehler bei logarithmischen Rechnungen. Beilage 
zuni Programm des kôuîg. Gymuasiums nebsl Realschule zu Landsberg a. 
W.. Osieru 1911. — 1 fasc. in-4. 19 p.: Dermietzel & Schraidt, Landsberg. 

M. Lecat. — Leçons sur la théorie des déterminants à n dimensions 
avec applications à l'Algèbre, à la Géométrie, elc. — 1 vol. in-4, 222 p. ; 
Ad. Host. Gand. 

H. Otti — Hauptfragen und Hauptmethoden der Kartenentwurfslehre 

miter besonderer Rùcksichtnahme auf die Abbildung der Scliweiz. Beilage 
/uni Jahresbericht der Aargauischen Kantonsschule. — 1 Tasc. in-4, 63 p. : 
Sauerlânder & C°. Aarau. 

P.-J. Richard. — Etude sur l'assurance complémentaire de l'assurance 
sur la vie. avec de nombreux développements sur les assurances contre la 
maladie et l'invalidité. — 1 vol. in-8, 118 p.; 3 fr. 50; A. Hermaun & fils. 
Paris. 

A. Skfériax. — Notice sur le système des six coordonnées homogènes 
d'une droite et sur les éléments de la théorie des complexes linéaires. — 
1 vol. in-4, 79 p. ; A. Dénéréaz-Spengler, Lausanne. 

H. YVebf.r u. J. Wf.llstein. — Encyclopàdie der Elementare-Mathe- 
matik. Fin Handbuch fur Lehrer und Studicreude, III. Angewandte Mathe- 
matik, l : Mat hem. Physik, 2"= Auflage. — 1 vol. in-4, 536 p. ; 12 fr. ; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

L. Zoretvi. — Leçons sur le prolongement analytique professées au Col- 
lège de France {Collection de monographies sur la théorie des fonctions, 
publiées sous la direction de M. Emile Boreli. — In-8 de YI-116 p., avec 
•'! figures; 3 fr. 75; Gauthier-Villars, Paris. 

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 

française dirigée par J. Molk. — J'orne 1, volume 2, fasc. 3 : Propriétés gé- 
nérales des corps et des variétés algébriques, exposé d'après l'article alle- 
mand de G. Landsberg, par J. Hadamard et .1. Kurschak. — Théorie des 
formes et des invariants, exposé d'après l'article allemand de Fr. W. Meyer. 
pai 1 .1. Dra.ch. — Teubner, Leipzig, et Gauthier-Villars. Paris. 

Taschenbuch fur Mathematiker und Physiker herausgegeben von F. 

Ai i kbach und R. Rothe. 2. J ah r gang, 1911. — 1 vol. in-16 ; IX-567 p.. relié; 
M. 7; 15. G. Teubner, Leipzig. 

B.-G. Teubner 1811-1911. Geschichte <ier Firma in dercn Auflrag heraus- 
gegeben von Friedrich Schulze. Leipzig im J a lire 1911. — 1 vol. in-4, 250 p. : 
Teubner, Leipzig. 



SLR LA DECOMPOSITION DES NOMBRES 
EN FACTEURS 



Dans notre ouvrage intitulé : Les sommes de p témcs puis- 
sances distinctes égales a une p îème puissance 1 , nous avons 
démontré que, quel que soit le nombre N, les équations 

_ X{X + I l __ y) y 4- 1 | 

* 2 '1 ' 

8N == x 2 — y* , 
N xx + 1) 

8Ns + 1 = v 2 , 

sont possibles en nombres entiers; nous en avons déduit des 
méthodes nouvelles de décomposition des nombres en fac- 
teurs. Ce sont ces méthodes que nous allons examiner et 
simplifier par l'emploi des résidus triangulaires ou quadra- 
tiques. 

l re méthode. — Considérons l'égalité 

N + .vjr+L. = -!£+!. 



et cherchons quel nombre triangulaire, nous devons ajouter 
à N, pour obtenir un autre triangulaire ; lorsque N est pre- 
mier, les seules valeurs de v et y satisfaisant à l'équation 
sont 

N 4- 1 N - 3 

•' = ~y~ ' -' = ~~ y~ ; 

et 

x = N , *• = N — 1 . 



1 Voir l'analyse dans l'Ens. math. <lu 15 mai l'.ill. i llett.i 
L'Enseignement mathém., 13* année ; 1911. 



262 E. BA HBE TTE 

Si N est composé, une décomposition de N en un produit 
de deux facteurs est donnée par l'égalité 

_ u - — ri \x 4- y + i 



Nous admettons N impair et débarrassé des facteurs 5, 
par suite terminé par 1, 3, 7 ou 9; le chiffre des unités des 
nombres triangulaires étant 0, 1, 3, 5, 6 ou 8. il s'ensuit que : 

si N est terminé par 1, les triangulaires • ^ 9 — à ajouter 

sont ceux terminés par et 5 et leurs rangs y sont 10 + 4, 
10 + 5, 10 + 9 et 10; 
si N est terminé par 3, les triangulaires •— ^— x à ajouter 

sont ceux terminés par 0, 3, 5 et 8 et leurs rangs y sont 
10 + 2, 10 + 4, 10 + 5, 10 4-7, ib + 9 et 10; 

si N est terminé par 7, les triangles J~ — à ajouter sont 

ceux terminés par 1, 3, 6 ou 8 et leurs rangs y sont 10 -j- L, 
10 + 2, 10 + 3, 10 + 6. 10 4-7 et 10 + 8; 

si N est terminé par 9, les triangulaires — ■— à ajouter 

sont ceux terminés pai* 1 et 6 et leurs rangs y sont 10 + 1, 
10 + 3, 10 + 6 et 10 + 8. 

Soient maintenant, pour le module S, 



de légalité (1), nous déduisons 

P + 2~- = \ ■ 

et nous devrions avoir 
y h + *> _ 



2 — r * 

ou 

rO + 4 ) _ 



• P n - p 



'•. • '. • '• '•„ 



DÉCOMPOSITION 1) E s NOMBRES 263 

en posant p. — p = r.; mais des résidus /• ainsi obtenus, 
nous ne pourrons conserver que ceux qui font partie de la 

suite p. puisque g — est un triangulaire; la suite des 

nombres triangulaires à ajouter à N se trouvera donc consi- 
dérablement réduite et cette suite se réduira pour chaque 
nouveau diviseur $ employé. 
Limite des opérations. Puisque 

2N = [x — y)[x + y + 1) , 

le facteur [x — y) est le plus petit diviseur de 2N ; si nous 
ne trouvons pas de solution y inférieure à une certaine 
limite <?, nous en conclurons 

y > a > 
par suite 

— 5 — > *• ^ ^ — d ou x > — ^ 

et 

^8N + [la + 11* -f- (2a + 1) 



2 



Af • 2N A 

Mais .r — ?/ = — ■ — - ; donc 

4N i/8N + |2« + li 2 — (2a + 1) 

.r — V < , : OU - : . 

|/8N + (2« -f- îp -f (2a + 1) 2 

Si 2s + 1 et 2a + 1 sont deux diviseurs de N dont le pro- 
duit égale N lui-môme, à ces diviseurs correspondent les 
deux solutions données par les systèmes d'équations 

l« r système : x — y = 2s -f- 1 ; 2 e système : x — y=2[2s-\-l) 

x + y + 1 = 2 (2a + 1) . .r + r + 1 = 2î + 1 . 

Par conséquent, si 1 < 2N < (?. + 1 2 , les diviseurs 
que les essais ont éliminés sont ceux compris entre 1 et 

j/8N + |2« + li» — |2« + ]) . . >- , 

; ! — ainsi que ceux compris entre —et 

l'SN + (2a + li 2 — (2« + 1] 



264 E. BARBETTE 

Mais si les diviseurs que nous cherchons sont les divi- 
seurs moindres que \/N, la limite inférieure de a sera la 
partie entière de la valeur de a satisfaisant à la condition 

yjx + ^ + ir-^+i,^- d . où . = *3bJ ; (2) 



2 

si nous prenons, comme première limite supérieure, la 
partie entière par excès de la valeur de a satisfaisant à la 
condition 

l/8N + |2« + l) 2 — (2a + l) À _,, . 8N — (X s + 2X) 

=: — d ou a = , M) 

2 2 4 À 

les diviseurs éliminés seront ceux compris entre \/~S et 

|/8N + (2a + 11 1 — [2« + Il „ j, . . . .. . , 

■ ■ . bn d autres termes, p étant le 

4 r 

plus grand nombre premier contenu dans cette dernière 
limite, il restera à essayer tous les diviseurs premiers non 
supérieurs à p, hormis les diviseurs des modules employés; 
et si le nombre N n'est divisible par aucun deux, nous en 
conclurons que N est un nombre premier. 

Les divisions les plus rapides sont évidemment celles par 

9 et par 11; aussi ce sont là les premiers diviseurs à em- 
ployer. En procédant par limites successives, à partir de 

a = — l — , on arrivera à décomposer avec facilité tout 

nombre, si grand soit-il ! 

Exemple. Soit à décomposer le nombre 40199; résolvons 
l'équation 

imm +-îl£+ii = -te+i! . ,4, 

Observons, avant tout, que 40199 n'est divisible par au- 
cun des nombres 3, 7, 11 et 13 que nous allons employer 
comme modules; de plus, 40199 étant terminé par 9, les 
triangulaires à ajouter occupent les rangs 10 + 1< 10 + 3, 

10 f 6 et 10 + 8. 

Puisque 200 2 < 40199 < 201 2 et 283 2 < 2 x 40199 < 284 2 , 
les relations (2) el (3) donnent pour limite inférieure a = 99 



DÉCOMPOSITION DES SOMBRES 265 

et pour première limite supérieure # = 213; considérons 
donc les nombres 



lui 


103 


106 


108 


111 


113 


116 


118 


121 


1 23 


126 


128 


131 


133 


136 


138 


141 


143 


146 


148 


151 


153 


156 


158 


161 


163 


166 


168 


171 


173 


176 


178 


181 


183 


186 


188 


191 


193 


196 


198 


201 


203 


206 


208 


211 


213 







Si du 101 e triangulaire au 213 e , nous n'obtenons pas de 

solution, les diviseurs restant à essayer seront moindres que 

l/8X + C2a + li» — (2« + 1) t/3215 92 + 182329 — 427 „ 

- — - — / U , ... , 

4 4 

donc non supérieurs à 67. 

Légalité (4) donne successivement : 
Pour le module 9, 

- , y [y + i) _ n t o c 

o -+■ — — — , 1 , 3 , b 

d'où nous devrions avoir 

ïk±i> S 4, 5,7,1, ' ■ 

mais 4, 5 et 7 sont des non-résidus triangulaires pour le 
module 9, par suite 

yjy + M 



d'oi 



= 1 (mod 9) 



r = 3 + 1 . 



Pour le module 11, 



5 _|_ - r( - r + 1( =0,1, 3,4,6, 10 



266 E. BARBETTE 

d'où il faudrait 

£&+*) = 6 , 7 , 9 , 10 , 1 . 5 ; 

niais 7. 9 et 5 sont des non-résidus triangulaires pour le 
module 11, par suite 



d'où 



. , 6 , 10 imod 11) 



y=ll+-l,3,4,6,7,9. 

Pour le module 7, 

5+ y(r + i)_ 0) 1>3 6 
d'où nous devrions avoir 

• V '- V + 1| = 2,3,5,l; 

mais 2 et 5 sont des non-résidus triangulaires pour le mo- 
dule 7, par suite 

• v, - v + ll = l, 3 (modT, 

d'où 

7 = 5 + 1,2,4,5. 
Pour le module 13, 

3 + - v( - v + 1( = , 1 , 2 , 3 , 6 , 8 , 10 



d'où il faudrait 



• Vl - V + 1 | = 10 , 11 , 12 , , 3 , 5 , 7 ; 



mais 11, 12, 5 et 7 sont des non-résidus triangulaires pour 
le module 13, par suite 

• >I - V I I " l ) =0, 3, 10 (mod 13) 

d'où 

y = 13 +- , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 . 



1) E ( ■ M I' s i i i o \ i) i; s y o m i: R /■; s 267 

Après avpir supprimé du tableau les nombres qui ne sont 

pas 3 + 1; Il + 1, 3, i, C, 7, 9; 7+1,2, i, 5; 13 + 0, 2. 
4, S. |(), 12, il ne reste plus que les nombres 



103 , 106 et 166 



Aucun d'eux ne fournil de solution : par suite, si 40199 est 
composé, son plus petit diviseur ne peut dépasser 07. Si 
nous prenons maintenant a =300 et si du 2l4 ième triangulaire 
au 300 ièm ", nous ne trouvons pas de solution, c'est que les 
diviseurs à essayer sont moindres que 

1/321592 + 361201 — 601 

=56 

4 

donc non supérieurs à 53; si, au contraire, nous trouvons 
une solution entre les limites considérées, le nombre N ad- 
mettra un diviseur plus grand que 53 et non supérieur à 67. 
Considérons donc les triangulaires dont les rangs sont les 
suivants : 

216 218 
221 22:i 226 228 

2:;i 2:;:; 236 238 

241 2 '.3 246 248 

251 253 256 258 

261 263 266 268 

271 273 276 278 

281 283 286 288 

291 293 29IÎ 298 

Après en avoir éliminé les nombres qui ne sont pas 3 -f- 1 ; 
11 + 1, 3, 4. 6, 7, 9; 7 + 1, 2, 4, 5; 13 + 0, 2, 4, 8, 10, 12, 
il ne reste plus que les nombres 

268 et 298 . 

Le triangulaire de ran^ 268, auarmenté du nombre 40199. 
donne le triangulaire de rang 390 ; par suite, 

_.„, r . ,. 390 2 + 390 268 2 4- 268 
40199 = 76245 — 36046 ou ^ ^ 

_ ,390 — 268] 1390 -+- 268 4- Il 
•> 

= (SI x 659 . 



268 E. BARBETTE 

2" ie méthode. — Nous avons démontré le théorème sui- 
vant : 

« Les nombres composés qui ne sont pas de la forme 2 k , 
pour k ^ 2, sont tous contenus dans l'expression 

u(2t> — u -\- 1 ) 



les nombres u et v satisfaisant aux conditions simultanées 
v ^ u ^ 3. 

Si nous posons 

~ " — ' = N ou tr — m(2v + li + 2N = 

nous en déduisons 

2v + 1 ± i/'|2t- + 11» — 8N 

« = . 

2 

Le nombre u n'est rationnel que si 

(2v + l) 2 — 8N = r* ou 8N -f j* = .» 3 i5) 

en posant 2c + 1 =.r; lorsque N est premier, les seules va- 
leurs de x et de y satisfaisant à l'équation sont 

x = N -f 2 , y = N — 2 ; 

et 

.r = 2N + 1 . r = 2X — 1 . 

Si N est composé, il existe au moins un carré impair 
moindre que (N — 2f qui, ajouté à 8N, donne un carré .r 2 ; 
une décomposition de N en un produit de deux facteurs est 
alors donnée par l'égalité 

_ U — r) |.r + y ) 

Nous supposons N impair et débarrassé des facteurs 5, 
donc terminé par 1,3, 7 ou 9 en sorte que 8N sera terminé 
par 8, 4, 6 ou 2 ; par suite les carrés impairs étant terminés 
par 1, 5, ou 9 : 

si 8N est terminé par 8, les carrés a ajouter seront ceux 



DECOMPOSITION DES A O M li li E S 269 

termines par 1, carrés dont les racines sont terminées par I 
et il; 

si 8N est terminé par 4, les carrés à ajouter seront ceux 
termines par l et 5, carrés dont les racines sont terminées 
par L, 9 et 5; 

si 8N est terminé par 6, les carrés à ajouter seront ceux 
termines par 5 et 9, carrés dont les racines sont terminées 
par 5, 3 et 7 ; 

si 8N est terminé par 2, les carrés à ajouter seront ceux 
termines par 9, carrés dont les racines sont terminées par 3 
et 7. 

Observons en outre que les carrés terminés par 1 sont 
aussi terminés par 01, 21, 41, 61, 81, — que les carrés ter- 
minés par 5, le sont par 25, — que les carrés terminés par 9, 
le sont par 09, 29, 49, 69, 89. 

Soient maintenant, pour te module $, 

8N = p et x 2 = pj , p 2 , p s , ... , p ; 

de l'égalité (5) nous déduisons 

P + }* = Pi. ?■>< P,- ••• - P„ 
et nous devrions avoir 



ou 



en posant p. — p = /•. ; mais des résidus r. ainsi obtenus, 
nous ne pourrons conserver que ceux qui sont quadratiques 
et font partie de la suite p. , puisque y 2 est un carré : la suite 
des carrés impairs à ajouter à 8N se trouvera ainsi considé- 
rablement réduite et cette suite se réduira pour chaque nou- 
veau diviseur § employé. 

Limite des opérations. Puisque 

SX = [x — y) (x + v) , 

le facteur .r — y) est le plus petit diviseur de 8N ; si nous 
ne trouvons pas de solution y inférieure à une certaine li- 



270 I- H AH BETTE 

mite a, nous eu conclurons 

v > a , 

par suite 
et 

Mais x — y - 

x — v <r 

• [/SX + « 2 + a 

Si 'ls + L et 2c- -f- l sont deux diviseurs de N dont le pro- 
duit égale N lui-même, à ces diviseurs correspondent les 
deux solutions données par les systèmes d'équations 

l" système : X — y = 2 {2s 4- 1) : 2 e système : x — y = 4(2* -}- 1) ; 

x + y = i(2a + 1) . x + v = 2(27 + 1) . 

Par conséquent si >. < 8N < (A + l) 8 , les diviseurs que les 

.... . X x l/8N + a* — a 

essais ont élimines sont ceux compris entre » et J — , 





•»■ > |/8i\ + '(" 


.1 


, + y > (/8N + a} + a . 


8N 


donc 


~ x + y ' 


SX 






ou I/8N 4- «* 



À . l/SN + a 2 — a AT • • , 
ainsi que ceux compris entre T et - . Mais si les 

diviseurs que nous cherchons sont les diviseurs moindres 
que {/S, la limite inférieure de a sera la partie entière de 
la valeur de a satisfaisant à l'équation 

|/8N + a 2 - a ,- ',- 

-!- ! = jA\ .1 où a = J/X ; Ibi 

si nous prenons, comme première limite supérieure, la partie 
entière par excès de la valeur de a satisfaisant à la condition 



[/8S + a 2 — a _ X . _ 32N 



l'où 



les diviseurs éliminés seront ceux compris entre {/ S et 
V " t " ~ fl . En d'autres termes, /; étant le plus grand 
nombre premier contenu dans cette dernière limite, il res- 



DECOMPOSITION DES NOMBRES 271 

tera à essayer tous les diviseurs premiers non supérieurs 
à p, hormis les diviseurs des modules employés; et si le 
nombre X n'est divisible par aucun d'eux, nous en conclu- 
rons que N est un nombre premier. 

Les divisions les plus rapides sont celles par 9 et par 1 I : 
aussi ce sont là les premiers diviseurs à emplover. En pro- 
cédant par limites successives, à partir de a = l/X , on ar- 
rivera à décomposer tout nombre, quelque grand qu'il soit! 

Exemple. Soit à décomposer le nombre 40199; résolvons 
l'équation 

8 X 40199 + v 2 = .,- ou 321592 -+- y* — x 2 . (8) 

Observons, avant tout, que 40199 n'est divisible par aucun 
des nombres 3, 7, 11 et 13 dont nous allons nous servir 
comme modules; de plus, 321592 étant terminé par 2, les 
carrés à ajouter sont ceux terminés par 9, carrés dont les 
racines sont terminées par 3 et 7. 

Puisque 200 2 < 40199 < 20 1 2 et 567 2 < 321592 < 568 2 , les 
relations (6) et (7) donnent pour limite inférieure a = 2<>0 
et pour limite supérieure a = 426 ; considérons donc les 
nombres 



203 


253 


303 


353 


'•03 


207 


257 


307 


357 


407 


213 


263 


313 


363 


413 


217 


267 


317 


367 


417 


223 


273 


323 


373 


423 


227 


277 


327 


377 




233 


283 


333 


383 




237 


287 


337 


387 




243 


293 


343 


393 




247 


297 


347 


397 





Si aucun de ces nombres ne fournit de solution, les divi- 
seurs restant à essayer seront moindres que 

l/8N + a* — a _ 1/321592 + 181476 — 426 _ „ 
4 V~ 

donc non supérieurs à 67. 



272 E. BARRETTE 

L égalité (8) donne successivement : 
Pour le module 9, 

4 + y = , 1 , i , 7 

d'où on devrait avoir 

y* = 5 , 6 , , 3 ; 

mais 5, 6 et 3 sont des non-résidus quadratiques pour le mo- 
dule 9, par suite 

r 2 = (mod 9) 

d'où 

y = 3 . 

Pour le module 11, 

— 4 + j* = , 1 , 3 , 4 , 5 , 9 

d'où il faudrait 

y* = 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 2 ; 

mais 7, 8 et 2 sont des non-résidus quadratiques pour le 
module il, par suite 

f = 4 . 5 , 9 (mod 11) 

d'où 

v = 11 + 2 , 3 . 4 . 7 . 8 , 9 . 

Pour le module 7, 

5 + ^ = 0,1,2,4 

d'où nous devrions avoir 

r s E 2 , 3 , 4 , 6 ; 

mais 3 et 6 sont des non-résidus quadratiques pour le mo- 
dule 7, par suite 

i- = 2,4 (mod 7) 

d'où 

y =2 7 H- 2 , 3 , 4 , 5 . 
Po///' /e module 13, 

11 _|_y* = o, 1, 3, 4, 9, 10, 12 

d'où il faudrait 

r 2 = 2, 3, 5 , 6 , 11, 12, 1 , 

mais 2, 5, 6 et 11 sont des non-résidus quadratiques pour le 
module 13, par suite 

v 2 = 1 , 3 , 12 (mod 13) 

d'où 

y — 13 -f 1 , 4 , 5 , 8 , 9 , 12 . 



décomposition d e s nom h h i; s 2 : 3 

Après avoir supprimé du tableau les nombres qui ne sonl 
pas 3: 11 + 2, 3, 4, 7, 8 ou 9; 7 + 2, 3, 4 ou 5 ; 13 + 1, 4, 
5, 8, 9 ou 12, il ne reste plus que les nombres 

207 , 213 et 333 . 

Aucun d'eux ne fournit de solution: par suite, si 40199 

est composé, son plus petit diviseur ne peut dépasser 67. Si 

nous prenons maintenant a = 600 et si pour cette limite nous 

ne trouvons pas de solution, c'est que les diviseurs restant à 

. , t/321592 4- 360000 — 600 r ~ 
essayer sont moindres que - = 5o 

donc non supérieurs à 53. Considérons les carrés dont les 
racines sont 





453 


503 


553 




457 


507 


557 




463 


513 


563 




467 


517 


567 




473 


523 


573 


427 


477 


527 


577 


433 


483 


533 


583 


437 


487 


537 


587 


443 


493 


543 


593 


447 


497 


547 


597 



Après en avoir éliminé les nombres qui ne sont pas 3; 
11 + 2, 3, 4, 7, 8 ou 9; 7 + 2, 3, 4 ou 5; 13 + 1, 4, 5, 8, y 
ou 12, il ne reste plus que les nombres 

537 et 597 . 

Le carré de racine 537, augmenté du nombre 321592, 
donne le carré de racine 781 : 

8 X 40199 = 609961 — 288369 ou 781 2 — 537* 

= (781 — 5371(781 + 537! 

= 244 x 1318 ; 
par suite 

40199 =61 x 659 . 



274 E. BARBETTE 

3" méthode. — L'équation 

a = ^±i . 

étant possible en nombres entiers pour toute valeur de N, 
soient pour le module $ : 

y = P et ^ = Pi • Pi ■ Pz P„ = 

de l'égalité (9 nous déduisons 

P z = Px • Pu • Ps- ■ ■■ > />„ 
d'oîl 

= = r, , r, . r a ..... / /( . |mod 5) 

Rappelons de plus que si M est composé, le multiplicateur 
x + t y + 3 

2 X 2 
z est moindre que — -^ ; si X est le plus grand en- 
tier contenu dans cette limite, nous éliminerons de la suite 
des multiplicateurs 

1,2,3,4 À (tO) 

ceux qui ne sont pas de la forme z pour le module $ et le 
nombre d'essais se réduira considérablement. Si nous ne 
trouvons aucune valeur de z comprise dans la suite (10) ainsi 
réduite, rendant le produit Nz triangulaire, nous en conclu- 
rons que N est premier. 

Observons que si N est terminé par 1, puisque le chiil're 
des unités des triangulaires est 0, 1, 3, 5, 6 ou 8, les multi- 
plicateurs z seront terminés par 0, 1, 3, 5, 6 et 8; que si N 
est terminé par 3, les multiplicateurs z seront terminés par 0, 

1, 2, 5, 6 et 7; que si N est terminé par 7, les multiplica- 
teurs z seront terminés par 0, 3, 4, 5, 8 et 9; que si N est 
terminé par 9, les multiplicateurs z seront terminés par 0. 

2. 4, 5, 7 et 9. 

Exemple. Soit à décomposer le nombre 4321; résolvons 
l'équation 

4321 X -. _^+Jj (11 ) 



I) /•: ( M P OSITJ o N h E s y M /»' /.' E s 2 : 5 

Si i32J est composé, cetle équation admet au moins une 
solution pour z ^ 540 ; de plus, le nombre à décomposer étanl 
terminé par 1, les multiplicateurs z à considérer sont ceux 
terminés par 0, L, 3, 5, 6 et 8. 

De L'égalité I L) nous déduisons successivement : 

pour le module 9, 

s = 0,1.3,6 d'où 5 = 9 + 0,1,3,6; 

pour le modale 11, 
9s = . 1 . .'{ . i , 6 , 10 d'où z = 11 + . 4', 5 , 6 , 8 , 9 ; 

pour le module 7, 
2; = . 1,3,6 d'où 3 = 7 + 0,3,4,5; 

pour le module 13, 

5z = , 1 , 2 , 3 , 6 , 8 , 10 d'où s = 13 + , 2 , 3 , 8 , 9 , 11 , 12 . 

Convenons de pi-endre les valeurs de z non supérieures 
à L50 et considérons la suite des multiplicateurs : 

1, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 20. 

21, 23. 25, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 

il. 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55, 56, 58, 60, 

61 , 63 , 65 . 66 . 68 . 70 , 71 , 73 , 75 , 76 , 78 . 80 . 

81 . 83 , 85 , 86 . 88 , 90 , 91 , 93 , 95 . 96 , 98 , 100 . 

101, 103, 105, 106, 108, 110, 111, 113, 115, 116, 118, 120, 

121 . 123 , 125 , 126 , 128 , 130 , 131 , 133 , 135 , 136 , 138 , 140 , 

141 . 143 , 145 , 146 , 148 , 150 . 

Si de cette suite nous supprimons les nombres qui ne sont 
pas 9 + 0, 1, 3, 6; 11 + 0, 4, 5, 6, 8, 9 ; 7 + 0, 3, 4, 5: 
13 + 0, 2, 3, 8, 9, I I, 12, i! reste les nombres suivants : 

28 ; 60 ; 63 ; 81 : 126 ; 138 . 

Le produit 4321x126=544446 représente le 1043 ,ème 
triangulaire; par suite 

4321 x 126 = 10 " * '"'''' 

et 

4321 = 149 x 29 . 



P* + 1 = P: 


• P 2 


p, , ... 


• P„ 




P" = Pi 


— t 


• P 2 - 


l , A - 1 . . 


••Pn-* 


s = r 


. r. 


r. , ... 


. '„ ■ 


(mod S 



276 fi. BARBETTE 

4"' e méthode. — L'équation 

8N* + 1 = v* , (12) 

étant possible en nombres entiers pour toute valeur de N, 
soient pour le module $ : 

8N = p et v 2 = p, . /», . p, . .- . p„ ; 
de l'égalité (12) nous déduisons 



par suite 



Rappelons que si N est composé, le multiplicateur z est 

N + i N 4- 3 

—£- x -f- 

moindre que — ™ — - — ; le chiffre des unités des nom- 
bres carrés étant 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, il s'ensuit que si N est 
terminé par 1, les multiplicateurs z seront terminés par 0, 
1, 3, 5, 6 et 8; si N est terminé par 3, les multiplicateurs z 
seront terminés par 0, 1 , 2, 5, 6 et 7 ; si N est terminé par 7, 
les multiplicateurs z seront terminés par 0, 3, 4, 5, 8 et 9; 
que si N est terminé par 9, les multiplicateurs z seront ter- 
minés par 0, 2, 4, 5, 7 et 9. 

Exemple. Soit à décomposer le nombre 4321 ; résolvons 
l'équation 

8 x 4321 x = + 1 = y' 1 ou 34568z + 1 = v 2 . (13) 

Si 4321 est composé, cette équation admet au moins une 
solution pour 3^540; de plus, le nombre à décomposer 
étant terminé par 1, les multiplicateurs z à considérer sont 
ceux terminés par 0, 1, 3, 5, 6 et 8. 

De l'égalité (13 nous déduisons successivement : 

pour le module 9, 

8 Z _|_ i = o , 1 , 4 , 1 d'où 8=9 + 0,1,3,6; 

pour le module i l, 
62 + 1 = 0, 1,3, 4, 5. 9 d'où z = 1 1 + , 'i , 5 , 6 , 8 , 9 ; 



i) /•; COMPOSJ ri <> y /) /■: s \ <> m h h e n -i" 

pour le module 7, 

2s + l=0,l,2,4 d où 8 = 7 + 0,3,4,5; 

pour le module l.' J >, 

s + l=0, 1,3, 4, 9, 10, 12 d'où 8 = 13 + 0,2,3,8,9, II, L2 . 

Si nous ne prenons, ainsi que clans la méthode précédente, 
que les valeurs de c non supérieures à 150, les valeurs sub- 
sistant après l'emploi des modules '.', Il, 7 et 13 sont encore 

2,S ; 60 ; 63 : SI ; 126 ; 138 . 

Un seul de ces nombres, z= 126, fournit une solution de 
l'équation et donne 

8 x 4321 x 126 + 1 = 4355569 ou 2087' 
8 X 4321 X 126 = 2086 X 2088 
4321 x 7 X 9 = 1043 x 261 ; 
par conséquent 

4321 = 149 X 29 : 

Observation. — Les deux premières méthodes se déduisent 
lune de l'autre, ainsi que les deux dernières : en effet, si 
nous posons x — y = u et x + y= 2e — u , l'équation 

x(x + 1) VIV+ll . wi2v — « + 1) 

— ' — : = A druciil — .\ ; 

2 2 2 

ensuite de l'équation 

N- = X{x + *> 

nous déduisons 



_ — 1 + [/\ + 8Ns 
et x n'est rationnel que si 

I + 8\; =f . 

Il est bon de remarquer que la série des nombres trian- 
gulaires s'obtient par additions successives el qu'il serait 
plus facile d'étendre la table des 5000 premiers triangulaires 
que nous avons créée que la table des carrés, déjà fort éten- 
due cependant. 

Edouard Barbette Liège . 



L'Enseignement mathém., 13* année; 1911. 



REMARQUE RELATIVE AU CALCUL 
DU RAYON DE COURBURE DUNE COURBE PLANE 



Les axes coordonnés 0{xy) sont rectangulaires; ds repré- 
sente l'élément linéaire d'une courbe; R est le rayon de 
courbure au point (.r, y). De la relation 



dx\* (dx 
7s) + U 

il résulte, par dérivation, que les deux rapports 

d 2 x m dy d'y m dx 

IV* : dl et 77* : dl n 

sont égaux en valeur absolue; leur valeur commune est la 
courbure ^ • Ces expressions de la courbure, qui semblent 

avoir été utilisées par Michel de l'Hospital, présentent de 
réels avantages dans la pratique. C'est ce que je me propose 
de mettre en évidence par la considération de nombreux 
exemples. 

Dans un grand nombre de problèmes de Mathématiques 
générales ou de Calcul différentiel et intégral, les étudiants 
ont à calculer la courbure d'une courbe plane, intégrale gé- 
nérale d'une équation différentielle du premier ordre qui 
admet pour transformation infinitésimale la translation pa- 
rallèle à une direction privilégiée du plan ; c'est, en d'autres 
termes, une équation réductible à la forme 

% = M ■ m 

dans laquelle ne figure qu'une seule coordonnée, y par 
exemple. 11 en résulte que -j- est une fonction Y de 3/, 



COURBURE I) UNE C U R H E PLANE 279 

connue et la plupart du temps fort simple. Souvent même 
c'est cette dernière équation 

dx 

qui sert de point de départ pour le problème posé et que 
Ion transforme, en vue de l'intégration, en l'équation diffé- 
rentielle (2). Comme exemples de courbes (2) et (3) présen- 
tant un intérêt historique, je citerai la cycloïde, la chaînette, 
la chaînette d'égale résistance de Coriolis, la courbe logis- 
tique, la courbe d'égale pression, la courbe élastique, la 
chaînette extensible en chaque point proportionnellement à 
la tension, la corde à sauter, la courbe de Delaunay, les 
courbes de Ribaucour, la méridienne de la surface pseudo- 
sphérique de révolution, la tractrice, la syntractrice, les 
méridiennes des surfaces de révolution applicables sur la 

sphère Dans tous ces exemples, les fonctions f(y) ou Y 

sont explicites ; dans d'autres cas, dans celui par exemple de 
la méridienne du solide de moindre résistance de Newton, 

c/v 

y et -r- sont liés par une relation de forme implicite. 

La remarque, que je me propose de signaler, est la sui- 
vante : dans le cas où l'équation différentielle considérée se 
présente sous la forme (3), ou bien est réductible a cette 
forme, il n'y a qu'à dériver la fonction Y de y pour avoir la 
courbure des courbes intégrales. Il résulte, en effet, des for- 
mules (1) et (3) que l'on a 

- — I — I 
R ~ \ dy\ ' 

J'ai cru devoir signaler cette formule qui me semble pou- 
voir être parfois d'une certaine utilité; elle présente, en tous 
cas, l'avantage appréciable de rendre l'expression de la 
courbure indépendante de l'intégration de l'équation diffé- 
rentielle et des erreurs de calcul qui pourraient avoir été 



commises dans cette intégration. 



E. Turrière i'Alencon') 



SLR LES POSTULATS 
DE [/ORDRE LINEAIRE OUVERT 



Un ensemble !.. dont les éléments seront appelés points, étant 
ordonné linéairement, on appellera ensemble initial toute portion ' 
de I. contenant tous les points qui précèdent chacun de ses 
propres éléments. On appellera segment initial et on désignera 
par S A l'ensemble des points qui précèdent un point déter- 
miné A: enfin on appellera arc initial et on désignera par cl A 
l'ensemble forme par un point détermine A et par k-s points qui 
le précèdent, de sorte que l'on a : cl A = 2> A -\- A. 

On va d'abord établir certaines propriétés des ensembles ainsi 
définis. 

J I. Parmi deux ensembles initiaux distincts quelconques if y en 
a toujours un qui est une portion de l'autre. 

Les deux ensembles étant distincts, il y en a toujours un & qui 
contient au moin- un point A qui n'appartient pas à l'autre &' . 
Un point quelconque de &' . étant alors distinct de A et ne pou- 
vant pas être précédé par A déf. des ensembles initiaux . doit 
précéder celui-ci et. par conséquent, doit appartenir à c? même 
définition : &', ne contenant ainsi que des points de & et ne con- 
tenant pas A. est donc bien une portion de &. 

J II. Parmi deux points distincts quelconques il il en a toujours 
un qui appartient a un ensemble initial au moins ne contenant pas 
Vautre point. 

En effet, les deux points étant distincts, il y en a un A qui pré- 
cède l'autre. B : l'ensemble formé par A et par les points qui pré- 
cèdenl A satisfait évidemment a la définition des ensembles ini- 
tiaux et ne contient pas IL qui est. par hypothèse, distinct de A 
et ne le précède pas. 

Les propriétés suivantes -ont quasi-évidentes. 

1. Tout point qui précède un autre point A appartient toujours 
a un ensemble initial au moins qui ne contient pas A. 

1. Pour qu'un ensemble suit initial, il faut et il suffit qu'il con- 
tienne tous les points du segment de l'arc) initial défini par chacun 

- propres points. 



unification de ce mot esl tr.m-parente. 



L'ORDRE LINEAIRE OUVERT 281 

3. Un arc (segment) initial (ne) contient (pas) le point qui le 
définit. 

'». Tout segment (arc) est un ensemble initial. 

5. in ensemble initial qui contient tous les points de e>(A) con- 
tient A ou est identique à 2>(A). 

En effet, si un ensemble initial & ne contient pas A, il ne peut 
contenir aucun des points qui sont précédés par A (déf. d«'s en- 
sembles initiaux ; il ne peut donc contenir que des points qui 
précèdent A, c'est-à-dire des points de 2>.(A) et, si en outre il 
contient tous les points de "S A , on a bien 3 = "S A . 

(i. Le segment initial 2>(A) est identique à l'ensemble des points 
de tous les ensembles initiaux qui ne contiennent pus A. 

Les propositions suivantes sont particulièrement importantes 
en raison du rôle qu'elles jouent dans la définition d'un ordre 
linéaire. 

B I. Tout point définit toujours un et seulement un segment (are 
initial. 

dette propriété résulte évidemment directement des caractères 
logiques de la définition des segments et des arcs initiaux. 

B II. Parmi deux segments (arcs) initiaux quelconques, il y en a 
toujours un qui est une portion de l'autre. 

En effet, parmi deux points distincts il y en a toujours un, 
soit A, qui précède l'autre, soit B, et qui, par conséquent, appar- 
tient à un ensemble initial au moins <£ ne contenant pas celui-ci 
L ; les points de & doivent alors appartenir à 2>(B) et à cl B 
(déf. des segments et des arcs initiaux) et, par suite, les points 
de 2> A et de cl(A), qui doivent tous appartenir à & (2), doivent 
aussi appartenir à 2>(B) et à cl (B). Mais e>(B) (cl B contient tou- 
jours au moins un point, savoir A(B), qui n'appartient pas à 
2> A cl A ) (3) ; 2> (A) est donc bien une portion de 2>(B et 
cl A une portion de Cl(B). 

Il est à peine nécessaire d'observer que des portions de L qui 
possèdent les propriétés B i et B II établies pour les segments et 
les arcs initiaux définissent toujours un ordre linéaire pour les 
points de L, sans être nécessairement les segments ou les arcs de 
cet ordre linéaire et même sans en être des ensembles initiaux, 
('/est ainsi que la définition classique de l'ordre de grandeur des 
nombres ne met en jeu. que les ensembles initiaux de l'ensemble 
des nombres rationnels. 

On peut aussi substituer à B II, pour la définition d'un ordre 
linéaire, les propositions suivantes. 

B 0. Tout arc (aucun segment ne) contient le point qui le définit . 

Parmi deux points distincts 

B II 1 il y en a toujours un 

B II 2 et un seulement qui appartient au segment ta Tare) initial 
défini par f autre. 



282 G. COMBEBIAC 

B II 3 . Si A appartient à "§ B) cl 15 . tout point de S A cl A | 
appartient aussi à "S B cl B 

Si l'on dé fin il un ordre linéaire en convenant qu'un point A en 
précède un autre B lorsqu'il appartient au segment à l'arc) défini 
par celui-ci, les trois dernières propositions ne sont évidemment 
qu'une expression des propriétés qui caractérisent l'ordre linéaire, 
savoir : « parmi deux points distincts il y en a toujours un et un 
« seulement qui précède l'autre; si A précède B, tout point qui 
« précède A précède aussi B. » 

La proposition B II est une conséquence des propositions BO, 
BIP, BIP et BIP. 

En effet, parmi deux points distincts il y en a toujours un. par 
exemple A. qui appartient au segment et à l'arc définis par 
l'autre BIP), soit à 2) (B) et à cl B ; alors tout point de S (A) ou 
de Cl (A) appartiendra à 2>(B) et à cl(B) (BIP), et B n'appartien- 
dra 'ni à S A ni à et (A) (BIP). Comme d'ailleurs ' C S\A ne con- 
tient pas A et que Ct(B) contient B (BO), S B cl B | contien- 
dra toujours au moins un point, savoir A (B), qui n'appartient pas 
à S A cl A . On a donc bien S(A) < $(B), cl (A) "< cl B . 

On va montrer enfin que des portions de L qui possèdent les 
propriétés exprimées pour les ensembles initiaux par les propo- 
sitions J 1 et J II permettent toujours de définir des portions de L 
qui possèdent les propriétés BI — B II et, par conséquent, per- 
mettent de définir un ordre linéaire pour les points de L 1 . 

11 suffît en effet de prendre comme définition du segment initial 
de cet ordre la propriété qui fait l'objet de la proposition (i en 
substituant aux ensembles initiaux les portions de L données, 
qui sont évidemment des ensembles initiaux de l'ordre ainsi dé- 
fini, mais peuvent ne pas comprendre tous ceux-ci. 

De la définition ainsi adoptée pour les segments initiaux de 
l'ordre considéré résulte immédiatement la proposition Bl. La 
proposition BII peut alors être établie de la manière suivante. 

Parmi deux points distincts il y en a toujours un, par exemple A, 
qui appartient à l'une au moins, soit 3, des portions données de 
L ne contenant pas l'autre point (BII), soit B; 2>(A) (nouvelle dé- 
finition! figurant évidemment parmi les dites portions et ne con- 
tenant pas le point A [nouvelle déf. de "S (A) ], est nécessairement 
une portion de ê(JI), qui, figurant parmi les ensembles consti- 
tuants de 2>(B) (cf. 6), doit être lui-même une portion de e>(B) ou 
être identique à ce dernier ensemble. Dans tous les cas on a bien 

2>|A) < & £ 'S(B) et, par suite, 2>(A) < 2>(B) . 

Enfin, d'après leur nouvelle définition, aucun des ensembles 






1 C'est le ras pour l'ensemble de tous les nombres, puisque l'un définit leur ordre de gran- 
deur au moyen des segments initiaux de l'ensemble des nombres irrationnels. 



/ OR D i: i: i i \ i: 1 1 1; /■; o U V E i; T 283 

>' A ne contienl le point qui le défini! ; ces ensembles sonl donc 
bien, d'après une remarque déjà faite, les segments initiaux de 
l'ordre linéaire ainsi défini . 

Il conviendrai! sans doute de caractériser par un terme spécial 
les ensembles <le portions «le L <|ni satisfonl aux propositions .1 I 
<•( .1 II prises comme axiomes; mais on ne saurail évidemment ap- 
porter trop de réserve dans l'introduction de nouveaux termes el 
l'on se bornera ici à ce <pii a paru strictement nécessaire. 



On appellera segment I ensemble des points compris entre A et 
H el tue L'ensemble formé par A, H ri les points qu'ils com- 
prennent. On désignera l'un e1 l'autre indifféremment de ces 
ensembles par Al! on BA. <>n reconnaîtra facilement que de la 

notion d'ordre linéaire ouvert et de la définition (les segments ei 

des ares résultent les propriétés suivantes. 

A", heur jiiiinis distincts quelconques définissent toujours un et 
seulement un segment tu rci et seront appelés ses extrémités. 

A ii. Tout urc (aucun segment ne) contient ses cet remîtes. 

Parmi trois points distincts 'l'un de l'outre, 

A I il y en u toujours un 

A II el un seulement qui appartient au segment (à l'arc I défini 
par les ileu.e autres. 

Trois points quelconques distincts l'un de l'autre étant donnes, 

AIN tout point qui appartient au segment m l'are) défini par 

deur de ses points et qui est distinct du troisième, appartient tou- 
jours aussi a I un au moins des deux autres segments laresi définis 
par les trois points AH - C ^ Jlt AC , BC • 

Al\ et ces trois ensemhles ont au plus un point commun 
(.0 AB, AC, BC) = au plus un point commun . 

Si C est un point de AH, 

A Y tout point de AC OU de BC appartient toujours à AH 

(JH(àc , bci <: a.b) 

et tout point de AH distinct de C appartient toujours 
A III 1 à l'un au moins des ensemhles AC et BC 

Ai: - C g Jïl(AC , BC 

AVI et ces deur ensemhles n'ont en commun aucun point dis- 
tinct de c lO ac . lu: C <» . 
Si C n'appartient pas à AH, 



28'. G. COMBE Fil AC 

A III 1 tout point de AB appartient à l'un au moins des ensembles 
AC et BC 

A. Vil c< tons les points de AB appartiennent à l'un des ensembles 
AC e* BC. 

A la suite de certaines des propositions précédentes ont été 
écrites des formules, qui les expriment dans la notation de 
G. Cantor, où, comme l'on sait, la lettre JVl signifie «ensemble 
des points de » et la lettre tO « partie commune de », la significa- 
tion des signes habituels étant d'ailleurs triviale. On a les rela- 
tions évidentes 

1O1K . E') < E . E' . cO[K . L>?:E . E')] = (D(E , E') . 

()n signale en outre la proposition suivante : 
Si l'on a E >> E', on a : 

Û>iE . E') = E' . (0(E , E") ^ C<?(E', E"| . 

Les deux propositions AV et A III 1 peuvent évidemment être 
réunies dans la suivante : 

Si C est un point de AB, cet ensemble est identique à l'ensemble 
des points de AC et de BC, au point Cprès. 

Une telle propriété peut être exprimée par la formule 

AB — C = Jîl(AC . BCi . 

le point C étant à retrancher ou non selon qu'il s'agit des seg- 
ments ou des arcs. 

A III n'est évidemment rien autre que le résultat de la réunion 
des propositions A III 1 et A IIP III = tO'HI 1 , III 2 |, la première 
étant d'ailleurs simplement l'application de A III aux points de 
AB et la seconde, son application à tous les autres points; en 
outre, A III- est évidemment une conséquence directe de AY1I 
III--- > VII). 

Les propositions A présentent d'ailleurs d'autres relations lo- 
giques qu'il importe d'établir. 

1. A II est une conséquence de AV et AVI II ^ (.0 (V, VI . 

Il sulîit d'établir que, si C est un point de AB distinct de A, 
ce dernier point ne peut appartenir à BC. 

En effet, tout point de AC doit alors appartenir à AB (AV et, 
par conséquent, devrait, en vertu du même axiome et si A appar- 
tenait à BC, appartenir aussi à ce dernier ensemble (AC <l ABf^BC), 
ce qui est incompatible avec AVI là plus forte raison avec A IV), 
à moins que AC ne contienne aucun point distinct de C. La pro- 



/. R h R E L I N E A l Ji E OV V E li T 28 5 

position est donc établie en général, mais la démonstration tombe 
en ilttaiit lorsqu'il existe des segments ne contenant aucun point, 
ce cpii est le cas pour les ordres linéaires discrets définis par leurs 
segments. 

2. A IV est une conséquence de AU et A III 1 (IV ^ CD (II, III 1 . 

Il suffît évidemment d'établir que, si deux points D et D' dis- 
tincts l'un de L'autre appartiennent tous les deux à AB et à AC, 
l'un des deux seulement peut appartenir aussi à BC. 

Puisque les points D et D' appartiennent à la fois à AB et a AC, 
D' doit au moins appartenir à AD ou bien à BI) et a CD A III 1 . 
et si. en outre, 1rs deux points D et D' appartenaient tous les 
deux à BC. D' devrait aussi appartenir, d'après le même axiome, 
à l'un au moins des ensembles BD et CD, de sorte que, dans ce 
cas. il devrait appartenir à deux au moins des ensembles AD. BD 
et CD. 

Pour des raisons semblables, D devrait aussi appartenir à deux 
au moins des ensembles AD', BD' et CD', de sorte que, parmi les 
trois points A, B, C il yen aurait au moins un définissant respec- 
tivement avec D et D' deux segments arcs! dont chacun contien- 
drait celui de ces deux points qu'il n'admet pas comme extrémité, 
ce qui est précisément la propriété écartée par l'axiome Ail. La 
proposition est donc bien établie. 

'A. AVI est une conséquence de A IV et A Y (VI ^ CD I\ . \ et, 
par conséquent, de AU, AII1 1 et AV. 

Si !» est un point appartenant à la fois à AC et à BC, tout point 
de CI) devra appartenir à la fois à AC et à BC et devra, en outre, 
si C appartient à AB. appartenir à AB A V . Il résulte donc de là 
que si AC et BC avaient en commun un point D distinct de C, 
tout point de CD appartiendrait aussi à la fois à AB, à AC et 
à BC, ce qui est incompatible avec A IV, à moins que CD ne con- 
tienne aucun point. La proposition est donc établie sous la réserve 
déjà formulée pour la proposition 1. 

4. Chacun des groupes de propositions AIL A\, A III 1 , 
AV. AVI. AIN 1 c/ A IV, AY, A1I1 1 complète par A" et AO per- 
met de définir un ordre linéaire pour les points d'un segment (arc} 
quelconque. 

En premier lieu, l'équivalence de ces groupes de propositions 
résulte du simple rapprochement des relations logiques expri- 
mées par les propositions 1, 2 et 3, et Ton peut remarquer aussi 
que. en appliquant aux formules qui figurent a la suite de ces 
propositions les propriétés indiquées pour l'algorithme ci? p. 28.'^ . 
on obtient les nouvelles relations logiques suivantes : 

£0(11. V. IIP) ^ cOiV, VI. IIP) __; cOiII, V. III 1 ) . 

<X>iV, vi, ni 1 . > cOav, v. HP) > cOiii. v, iii'i . 



286 . G . CO M II I. H l AC 

d'où L'on déduit évidemment 

(.0 II, V. HP] = tO V. VI, [II 1 ] = (.OiIY. V. III 1 ) . 

Enfin, les axiomes B I et BU de l'ordre linéaire seront bien sa- 
tisfaits pour les points de AH si Ton établit la proposition sui- 
vante : 

.">. Si C et D sont deux points distincts quelconques de AB. parmi 
les deux ensembles AC et AI) il y en </ toujours un qui est une por- 
tion de l'antre. 

( >n établira d'abord le lemme suivant : 

Lemme. Si C est un point de AB et est distinct de A et de B, AC 
est toujours une portion de AB. 

En effet, tout point de AC appartient à AB Y ; en outre, dans 
le cas des ares, B appartient à AB et. dans le eas des segments, 
C n'appartient pas à AC An. Comme d'ailleurs B n'appartient 
jamais à AC Ail et que C, par hypothèse, appartient à AB. ce 
dernier ensemble contient toujours au moins un point qui n'ap- 
partient pas à l'autre; AC est donc bien une portion de AB. 

Il importe pour la suite, d'observer que le lemme a été établi au 
moyen de Ad. Ail et A Y et. par conséquent, indépendamment 
de A III 1 . 

Quant à la proposition principale, elle est satisfaite, en vertu du 
lemme, si C appartient à AD. Dans le cas contraire, C doit appar- 
tenir à BD A III 1 et D, ne pouvant alors appartenir à BC A II . 
devra appartenir à AC A IIP ; l'on est donc ainsi ramené au cas 
précédent, les rôles des points C et D étant seulement intervertis. 

Il résulte de là que toutes les propositions visées dans l'énoncé 
de la proposition 4 sont toujours satisfaites, en particulier, pour 
un ensemble quelconque d'arcs ou de segments linéaires dont 
chacun est défini par ses extrémités, ainsi, par exemple, qu'un 
ensemble de segments rectilignes. 

6. A V est une conséquence de A II, A 11 P et A VI et, par consé- 
quent, de Aile/ A III Y^ tO(II, IIP, VI ^ cO II. III . 

1° En effet, si C appartient à AB, B ne peut appartenir à AC 
A II ; et, par suite, tout point de AC doit appartenir à l'un au 
moins des ensembles AB et BC A III 2 , et, s'il est distinct de C, 
comme il ne peut appartenir à BC A VI . il devra nécessairement 
appartenir à AB. Comme C appartient aussi d'ailleurs, par hypo- 
thèse, à AB, tous les points de AC appartiennent bien à AB et la 
même propriété se démontrerait évidemment pour BC au moyen 
d'un raisonnement en tout semblable. 

Des propositions 1, 2, 3 et résulte évidemment la suivante : 

7. Les trois groupes de propositions Ail, A III , A Y, AVI, 
A 111 et (A IV, AV, A III sont équivalents. 



L ' () R I) lï E I. I N É A IRE O l V E /.' / 



587 



La figure ci-contre réalise un ensemble de points pour lesquels 
toutes ces propositions sont satisfaites si l'on prend comme seg- 
ment défini par ilcux points quelconques de la figure le trajet 
simple qui les réunit. 

8. A VU est une conséquence de A I et A V. 

En effet, si C n'appartient pas à A.B, l'un des deux points A et 
B, par exemple B, doit appartenir au segment à l'arc défini 
par l'autre de ces points et par A Al. soit a A.C, et alors tous 
les points de AH devront bien appartenir a AC A Y . 

9. A I est une conséquence de A IV et A Vil. 

Si B n'appartient pas a AC ni A à BC, tous les points de \(. 
doivent appartenir à AB ou à BC et tous les points de BC à AB ou 
a AC (A Vil ; mais, à moins que l'un des ensembles AC et BC ne 
contienne pas plus d'un point, deux des quatre combinaisons 
ainsi définies sont à écarter A IV , parce qu'elles auraient pour 
conséquence que tous les points de AC ou tous les points de BC 
appartiendraient à la fois aux trois ensembles. Les deux seuls cas 
admissibles sont donc caractérisés par les formules 



AC < AB et BC < AB 



ou 



AC 



CB 




Mais, si C n'appartenait pas à AB, on devrait avoir aussi A VII : 
AB ^ AC ou ^ BC, relations incompatibles toutes les deux avec 
les précédentes pour le motif déjà invoqué ; A 1 doit donc bien 
être satisfait, toujours sous la réserve signalée pour les démons- 
trations des propositions 1 et 3 complétées par 3 et (i: 

On reconnaîtra facilement que des propositions 8 et !» résulte la 
proposition suivante : 

10. Sont équivalents les groupes de propositions A I. A II. A III 
et Ali, A1II, AVII ainsi que ceux que l'on obtient en y effectuant 
les substitutions dont la validité resuite de la proposition 7. 

Sans insister davantage sur les questions d'équivalence logique, 
je me bornerai maintenant à signaler l'identité des axiomes A I 
et II réunis et de l'axiome d'ordre II 3 adopté par M. Hilbert dans 
ses Grundlagen der Géométrie et enfin à établir que le second 
axiome d'ordre adopté par ce savant dans la première édition de 
cet ouvrage axiome II 4, p. !> et qui figure comme théorème 1 dans 



1 M. Hilbert indique dans un renvoi que cette proposition a été reconnue par M. H Moore 
(Transactions o)' the American Mathematical Society, 1902) comme étant une conséquence de 
certains axiomes planaires. 



288 G. COMBEBIAC 

la troisième édition théorème \ du chapitre 1. p. (i . peut être 
déduit des propositions de l'un quelconque des groupes qui font 

l'objet delà proposition 10; il est d'ailleurs licite d'invoquer toutes 
les propositions, car chacune d'elles est une conséquence de cha- 
cun des groupes. 

Axiome de M. llilberl. — Quatre points quelconques A, B, C, D 
d'une droite peuvent toujours être désignés d'une manière telle 
que B soit situé entre A et C et aussi entre A et D, et que C soit 
situé entre A et I) et aussi entre Be/D, 

Parmi les points A, B et C. il y en a toujours un, par exemple 
13. qui appartient a l'un des segments (arcs) définis par les deux 
autres A 1 . soit AC, et, si D est un quatrième point quelconque, 
il appartient a deux des segments (arcs définis par les trois autres 
points ou n'appartient à aucun A III). 

Dans le second de ces cas, puisque D n'appartient pas à AC, 
l'un îles points A et C, par exemple C, doit appartenir au segment 
a l'arc défini par l'autre de ces points et par D (AI), soit xVD, et, 
comme d'autre part B appartient à AC (hyp. initiale!, C ne peut 
pas appartenir à AB A II et, appartenant déjà à AD", il doit donc 
appartenir aussi à BD A III , ce qui était bien la dernière des 
propriétés à démontrer. 

Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque D appartient à deux 
segments arcs définis par A, B, C. par exemple à AC et à BC, il 
ne peut appartenir au troisième A. VI)-, soitàAB,etA, ne pouvant 
alors appartenir ni à BC ni à CD A II), ne peut non plus appar- 
tenir à BD .A III ; en outre, C n'appartenant pas à AB, B doit 
appartenir à AI) A I . L'axiome de M. Hilbert est donc encore 
satisfait moyennant une interversion des rôles des points C et D. 

11. Des portions d'un ensemble L qui possèdent les propriétés 
exprimées par les propositions A, AO et celles de l'un des groupes 
qui font f objet de la proposition 10, permettent toujours de définir 
un ordre linéaire ouvert pour les points de L. 

Lemme. Si A est un point distinct des deux points C et D et qui 
n'appartient pas à CD. parmi les deux ensembles AC et AD, il y en 
a toujours un qui est une portion de l'autre. 

En effet, parmi les deux points C et D, il y en a toujours un, 
par exemple C, qui appartient au segment à l'arc) défini par 
l'autre de ces deux points et par A [A I), soit à AD, et alors AC 
sera bien une portion de AD lemme de 5). 

Deux points A et B étant donnés, L peut évidemment être décom- 
posé en deux ensembles partiels dont l'un est formé des points 
tels (pie le segment l'arc déterminé par chacun d'eux avec B con- 
tienne A 1 , le second ensemble étant formé des autres points, y 



1 Cet ensemble partiel s'identifie, dans le cas des segments avec S (A), et dans le cas des 
es avec A A). 



/. O It I) li E LIN E A l R E OUV E H T 289 

compris B. Si C et D désignent deux points quelconques appar- 
tenant à un même ensemble partiel. A, qui, par hypothèse appar- 
tient à la fois à BC et à BI) ou n'appartient ni à l'un ni à l'autre 
de ces deux ensembles, ne doit pas appartenir à CI) A IV et A III 
et, par suite, l'un des ensembles AC et Al) devra être une portion 
de l'autre (lemme). On pourra donc, en égard aux axiomes B I et 
B II ;p. 281) relatifs aux segments arcs initiaux, définir un ordre 
linéaire ouvert pour tous les points au moyen des conventions 
suivantes : 

1° Si C et D sont deux points distincts l'un de l'autre et de A 
et qui appartiennent au même ensemble partiel, C précède D 
lorsqu'on a, pour tous les points du premier ensemble (AC con- 
tient B) AI) <; AC, et pour les points du second ensemble (AC ne 
contient pas B ":, AC <C AD. 

2" Tous les points du premier ensemble partiel précèdent tous 
ceux du second. 

.î" A est le premier point du second ensemble (cas des segments 
ou le dernier point du premier (cas des arcs). 



III 



On appellera ensemble connexe l'ensemble des points compris 
entre deux coupures consécutives d'un ensemble ordonne linéai- 
rement L, une coupure étant, comme on sait, définie par une dé- 
composition de L en deux portions sans point commun dont l'une 
est un ensemble initial (Cf. ,*i I . 

On reconnaîtra facilement les propriétés suivantes : 

". Un ensemble connexe confient toujours ou moins deux points. 

I. Si des ensembles connexes, en nombre fini ou transfini, ont ou 
moins un point commun, l'ensemble de leurs points est connexe. 

II. Si des ensembles connexes, en nombre fini ou transfini, ont 
une partie commune qui ne se réduit pas à un point, celle-ci est 
connexe. 

Parmi trois points quelconques distincts l'un de l'autre 

III. chacun appartient toujours à un ensemble conne.ee au moins 
qui contient l'un des deux autres points et ne contient pas le troi- 
sième 

IV. et il n'a a jamais plus d'un point appartenant à deux ensem- 
bles connexes dont chacun contient respectivement l'un des deu.x 
autres points et ne contient pas le troisième. 

On va maintenant établir (pie, réciproquement, des portions 
d'un ensemble I. qui possèdent ces propriétés, permettent ton- 



290 G. COM BE B I AC 

jours de définir un ordre linéaire ouvert pour tous les éléments 
de L, éléments que, selon la convention adoptée, on continuera à 
appeler points. 

1. // e. i/ste toujours un ensemble connexe qui contient deux 
points distincts quelconques donnés. 

En effet, A et B désignant les deux points, si C est un troisième 
point arbitrairement choisi et s'il existe un ensemble connexe 
contenant à la fois A et B, et ne contenant pas C, la proposition 
sera par cela même satisfaite: dans le cas contraire, il existera 
toujours (111) un ensemble connexe contenant A et C sans con- 
tenir B, et un autre contenant B et C sans contenir A. L'ensemble 
des points de ces deux ensembles connexes, qui ont au moins en 
commun le point C est connexe (I) et contient bien A et B. 

A". Définition. Deux points distincts quelconques, A et B définis- 
sent toujours hn et un seul ensemble de points appelé arc qui est la 
partie commune à tous les ensembles contenant à la fois ces deux 
points; ceux-ci seront dits les extrémités de l'arc, qui sera désigné 
par AB ou BA. 

I.a légitimité de cette définition résulte évidemment de la pro- 
position 1. 

Les propositions suivantes sont quasi-évidentes : 

A 0. Tout arc contient ses extrémités. 

2. Tout arc est un ensemble connexe (Cf. Ax. II). 

3. Pour qu'un ensemble de points soit connexe, il faut qu'il con- 
tienne tous les points de lare défini par deux quelconques de ses 
points et il suffit que cette condition soit réalisée pour un point dé- 
terminé et tout autre point de V ensemble (I, " et 1). 

4. Tout arc contient tous les points de rare défini par deux quel- 
conques de ses points (0, 1 et 2). 

5. Tout ensemble connexe dont tous les points appartiennent à 
AB et qui contient A ne contient pas B ou est identique à AB. 

Il ne peut, en effet, exister aucun ensemble connexe contenant 
à la fois A et B et qui soit une portion de AB (3). 

Parmi trois points distincts l'un de l'autre, 

A I il y en a toujours un 

A II et un seulement qui appartient à l'arc défini par les deux 
antres. 

1° En effet, si A n'appartient pas à BC, c'est qu'il existe un en- 
semble connexe au moins qui contient B et C et ne contient pas 
A A" et, si B n'appartient pas à AC, il doit exister de même un 
ensemble connexe contenant A et C et ne contenant pas B. L'en- 
semble des points de ces deux ensembles connexes, qui ont au 
moins en commun le point C, est connexe (I) et contient à la fois 
A, B et C. Le point A, appartenant à un ensemble connexe con- 
tenant C et ne contenant pas B, ne peut appartenir à aucun en- 
semble connexe contenant B et ne contenant pas C (IV), de sorte 



/. ' H I> H E L I NE A I /{ E O U V E li T 291 

que C doit appartenir à tous les ensembles connexes qui contien- 
nent à la fois A e1 B et, par suite, à l'arc AB. ha propriété AI est 
donc établie. 

2° Si C appartient à AB, il appartient aussi à tous les ensembles 
qui contiennent A et B et, par suite l'axiome 111 exige qu'il existe 
toujours un ensemble connexe qui contienne A et C et ne con- 
tienne pas B et de même un ensemble connexe qui contienne 
B et C et ne contienne pas A; il en résulte bien que B ne peut pas 
appartenir à AC ni A à BC. 

A 111. Trois points quelconques distincts l'un de l'autre étant 
donnes, tout point de l un des trois arcs qu'ils définissent appar- 
tient toujours à l'un au moins des deux autres de ces arcs. 

En effet, l'ensemble des points des arcs AC et BC. par exemple, 
est connexe (2 et 1 et contient A et B (AO) ; il doit donc contenir 
tous les points de AB (3), de sorte que tout point de ce dernier 
ensemble doit bien appartenir à AC ou à BC. 

11 résulte de là que les axiomes posés ont pour conséquence les 
propositions A", A 0, A I, A II et A III et, par suite (prop. 11 du S II), 
permettent bien de définir un ordre linéaire pour tous les points 
de L. 

Il est à remarquer enfin que l'axiome IV a été utilisé unique- 
ment pour la démonstration de la proposition A I, de sorte que 
les propriétés A II et A III, équivalentes, comme on l'a vu, d'une 
part à A III, A V et A VI et d'autre part, à A III, A IV et A V, sont 
des conséquences de 0, I, Il et III indépendamment de IV. 

G. Combebiac (Limoges). 



APPLICATION D'UNE PROJECTIVITÉ CYCLIQUE 
A LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 



1. — Tappello associés 1 par rapport au triangle ABC, les groupes 
de trois points ou de trois droites qui ont les mêmes coordonnées 
barycentriques ponctuelles ou tangentielles) permutées circulai- 
rement suivant un ordre constant. 

Je suppose, pour fixer les idées, que l'on associe les points M, 
N, P ou les droites m, n, p dont les coordonnées. \, V. Z sont 
disposées ainsi : 

(a, ,; , y) r : • a • P) 'P • Y • a l l' 1 

Jappelle aussi droites ou points alliés par rapport à un sommet 
ou un coté, des éléments qui ont la même coordonnée relative à 
ce côté, et les deux autres coordonnées échangées. Chacun des 
éléments a donc trois alliés, et les trois associés 1 ont les mêmes 
alliés, dont les coordonnées sont 

M'(a . v, p) N'(P , a, y) P'(y, } , a) : (2) 

on en déduit que M'. X\ P' sont aussi associes. 

Pour abréger le langage, j'appellerai triangle ci/clique le triangle 
formé par trois droites ou trois points associés, et nous verrons 
bientôt la raison de cette dénomination. Le triangle de référence 
ABC est cyclique. 

2. — Les équations 

ponctuelles des droites asso- tangentielles des points asso- 
ciées sont de la forme eiés sont de la forme 

l\ _|_ m \ _|_ „Z = ) IV + ",\ + «W = j 

„X + Il + mZ = (3) «U + /Y + mW = (3') 

,„\ + „y + /z = (i mV + wV -f /W = i 



1 Bien que <-e mot ait été employé déjà pour désigner d'autres objets dans la Géométrie du 
triangle : dans le travail actuel il n'y aura pas de confusion possible. 



G E M E T R I /; Dl TRIA N G I. E 293 

Par suite, si deux droites sont associées, les points de l'une ont 
leurs associées sur L'autre et corrélativement; 
Réciproquement : 

la droite qui joint les deux le point d'intersection des deux 

points associés précédents ou droites associées précédentes 

suivants de deux points quel- ou suivantes de deux droites 

conques, est associée de celle quelconques, est associé du 

qui joint ceux-ci. point commun à celles-ci. 

Les côtés du triangle dont les sommets sont des points asso- 
cies, ou bien les sommets du trilatère dont les côtés sont des 
droites associées (triangle ou trilatère cyclique) sont aussi asso- 
ciés. 

3. — Le rapport anharmonique de quatre points sur une droite 
s'obtient en projetant d'un sommet quelconque du triangle de 
référence. Il en résulte que les ponctuelles de points associés sur 
droites associées sont projectives. Il en est de même des faisceaux 
de droites associées dont les sommets sont des points associés. 

Si l'on remarque 

(jue la droite à l'infini est sa que le barycentre du triangle 
propre associée, il en résulte ABC est son propre associé, on 
que les ponctuelles mention- en déduit que dans les faisceaux 
nées sont en outre semblables. en question les rayons qui pro- 
jettent ce barycentre sont ho- 
mologues. 

Si nue droite ne passe pas par Si un point est à distance fi- 
le barycentre, il en est de même nie, il en est de même de ses 
de ses associées, et l'on a un associés, et Ton a un triangle 
trilatère cyclique. cyclique. 

Dans les deux cas, les divisions et les faisceaux homographiques 
ne sont pas perspectifs ; mais ils le seront certainement quand 

un des trois supports passe par un des sommets des faisceaux 
le barycentre, et alors les deux est à l'infini, et alors les deux 
autres y passent également. antres sont aussi à L'infini. 

Ceci arrivera quand la condition / -f- m -\- n = sera vérifiée. 

4. — Pour chercher les droites ou les points coïncidant avec 

leurs associés, il faut identifier les équations (3) ou 3'), et il en 

résulte : ou bien l = m = n, correspondant à la droite a l'infini 

X -f- Y -f- Z = 0, ou au barycentre U + V -f- "\Y = coordonnées 

ii -M l m n ... 

ponctuelles ou tanirentielles : ou encore — = — = — , en desi- 

' H'i "2 "'3 

gnant par n-, , w 2 , w z les racines cubiques de l'unité positive. 

L'Enseignement ma thé m.. 13» année 1911. 19 



294 •/ /* E Y PASTOH 

Il en résulte que 

outre la droite à l'infini, il y a outre le barycentre, il y a deux 

deux droites imaginaires conju- points imaginaires conjugués, 

guées qui passent par le bary- sur la droite à L'infini, et dont 

centre, et dont les équations les équations sont renfermées 

sont renfermées dans dans 

«' â X + n-,Y + Z = (4) *tU + w t V + \V = (4'J 

ir, et iv., désignant les deux racines cubiques imaginaires de 
l'unité. 

Les coordonnées de ces deux points ou droites coïncidant avec 
leurs associées peuvent s'exprimer par les relations : 



Y Z . U _ V _ W 

K'i il;, <'i «'« «'a 



(5') 



5. — Si nous prenons pour abscisse 

x d'un point quelconque à L'in- u de chaque droite issue du ba- 

fini le rapport '— des eoordon- rycentre le rapport ^ des coor- 

nées barycentriques des droites données barycentriques des 

qui y passent, les abscisses des points de cette droite, les ab- 

deux points coïncidant avec scisses des droites coïncidant 

leurs associés, sont vi> i et u\, : avec leurs associées sont iv 4 et 

et en regardant l'équation 

"■- + w + 1 == 16) 

(jui a pour racines les valeurs u-, et fv 2 , il en résulte que les deux 

points à L'infini mentionnés droites passant par le bary- 
sont doubles de l'involution centre sont doubles dans l'in- 

volution 

1 , 1 

xx' + - [x + x') + 1 = (7) uu' + - (« + u') -f-l = |7') 

dans laquelle sont conjuguées dans laquelle sont conjuguées 
les trois paires de points à l'in- les trois paires de rayons for- 
fini de chacun des côtés du mes par les médianes du tri- 
triangle de référence, et la mé- angle de référence, et les parai- 



GEOMETRIE DU TRIANGLE 295 

diane correspondante, puisque lèles aux côtes correspondants 
leurs abscisses sont : issues du barycentre, puisque 

leurs abscisses sont : 

l- 2,0) il . — Il 



On en conclut qu'il y a un triangle avec un sommet et le côté 
opposé réels et les deux autres sommets et côtés imaginaires con- 
jugues, dont les éléments coïncident avec leurs associés. 

6. — Donnons à présent quelques propriétés métriques des 
droites et des points associés, propriétés auxquelles n'est donc 
pas applicable la loi de corrélation. 

dl en vertu de la loi fondamentale existant entre les coordon- 
nées barycentriques d'un point M(a, fi, y), a -{- fi -\- y = 1, celles 

du barycentre du triangle cyclique MNP, sont égales à — . On dé- 
duit de là : Tous les triangles cycliques ont même barycentre, coin- 
dant avec celui du triangle de référence. 

bi Puisque deux points alliés quelconques ont une coordonnée 
commune, il en résulte que : 

les droites MP' NN' NM' sont parallèles au côté b 
MM' PP' NM' ». » c 

NP' MN' PN' » » a 

ci Les droites de chacun des ternes 

MM' NN' PP' (Il 

MP' NM' PN' (II! 

MN' NP' PM' (III) 

sont associées et forment trois triangles circonscrits en même temps 
à MNP et M'N'P'. Ces cinq triangles et ABC ont le même bary- 
centre qui est centre d'homohètie des triangles (I), (II), (III) et du 
triangle ABC combinés deux à deux. 

d) En désignant par Q, , R, , S,; Q, , R, , S 2 ; Q 3 , R 3 , S 3 , les 
sommets des triangles I . II), (III), Q, R, S sont respectivement 
les homologues de A, B, C, on en déduit les coordonnées suivantes: 

Q,{a, a . 1 - 2a) Q,{p , p, 1 — 20 ( „>. v . v . I — 2 T ) 

Rj|l — 2a , a , a] 

S, (a , 1 — 2a, a)- : 



296 



J . RE Y P A STOH 



Les rapports d'homothétie de chacun de ces triangles avec ABC 
sont donc 

l-3a, 1 — 3p , 1 — 3 T 



et par conséquent 



Q 1 A_R 1 B_S 1 C_ 

GA ~~ GB ~~ GC — * 



= 3p . 



... = -M 



ei Soient A a , |3 , y , A, «, . ^, . ;', , A. 2 a i , ^., , y 2 trois points 
quelconques et B y„ . a„ , § . B, y, , a, . 0, , B 8 y., . «., , /?,' leurs 
premiers associés. Si nous désignons par A A , A B les aires des 
triangles A A,A 2 et B.^B.,; et par A celle du triangle de réfé- 
rence ABC, on a les rapports suivants : 



A A = A 



■*o i-V, , n 
a l /l ",'l 
?2 ,-2 7 a 



A B = A 



To 


*0 


i J n 


",'i 


*1 


, ; i 


,'2 


*2 


3» 



c'est-à-dire 



A A = A B 



Cela posé, on peut sans peine étendre cette relation à deux po- 
lygones associés quelconques en les décomposant en même 
nombre de triangles associés; et encore aux aires limitées par 
des courbes associées quelconques. Donc, enfin, on peut con- 
clure : la transformation étudiée n'altère pas l'aire des figures 1 . 

7. — Voici un principe fondamental donnant des éléments as- 
sociés ; si par une suite d'opérations géométriques projectives 
exécutées sur un triangle ABC combiné avec divers points ou 
droites fixes, on obtient un point M ou une droite /«, et si l'on 
répète les mêmes opérations sous la permutation circulaire ABCi 
en faisant intervenir, au lieu des droites et des points primitifs, 
leurs associés successifs, on obtient deux nouveaux points M'. M", 
ou droites m' , /«", qui sont les associés des premiers M, m res- 
pectivement. 

En effet, toutes les opérations exécutées peuvent être exprimées 
analytique ment; et si Ion adopte les coordonnées barycentriques, 
les opérations mentionnées exécutées dans les trois cas pour ob- 
tenir les coordonnées des points M M' M" sont les mêmes, en y 
remplaçant X, Y, Z par Y, Z, X respectivement; par suite, si 
«. fi. y sont les coordonnées de M, celles de M' et M" sont y « jSj 
et fi y a), ce qui démontre le théorème énoncé. Un raisonnement 
analogue peut être appliqué au théorème corrélatif. 

Note. Comme la droite à Tin fini est sa propre associée, l'opéra- 



1 Cela d'ailleurs est évident en observant que cette transformation est affine. 



G E (> M E T H I E I) ( ' T H [ANGLE 



297 



tion de diviser un segment dans un rapport donné peut être com- 
prise parmi les opérations projectives en question. 

8. — Pour faire des applications de ce principe, je choisirai 
quelques exemples où l'on verra comment on peut simplifier plu- 
sieurs questions élémentaires de la Géométrie du triangle, dont 
les démonstrations ordinaires, bien cpie simples, sont abrégées 
considérablement. 

Voici trois questions proposées dans la Revista trimestral de 
Matemâticas. 

ni On prendra sur les trois côtés d'un triangle ABC des points 

A', B\ C divisant ces côtés dans un même rapport — . Les droites 

AA', BB', CC se coupent en M, N, P par lesquelles on mène les 
droites B,C,, C,A ( , AjB, respectivement parallèles à BC, CA, AB; 
les droites C 2 A 2 , A 2 B 2 , B 2 C 2 parallèles à CA, AB, BC ; et enfin 
A 3 B 3 . B3C3, C3A3 parallèles à AB, BC, CA. Démontrer: 1° que 
les sommets homologues des quatre triangles homothétiques 
ABC, AjBjC,, A 2 B 2 C 2 , A3B3C3 sont les médianes du triangle 
ABC. — 2° que les distances des sommets du triangle ABC aux 
homologues du triangle A , B , ( J , , sont moyennes proportionnelles 
entre les distances aux sommets homologues des triangles A 9 B 4 C 2 
etA 3 B 3 C 3 *. 

Il suffît d'observer que les points A', B\ C sont associés, de 
même que les points M, N, P ; et les points nommés A, , B 1 , C, , 
A 2 , B 2 , C 2 , A 3 , B 3 , C 3 , par l'auteur, sont respectivement les 
points Q, , R, , S t , Q 2 , R 2 , S 2 , Q 3 , R 3 , S 3 du paragraphe (6, d), 
ce qui démontre la première partie. Pour la seconde, en expri- 
mant que le triangle MNP est circonscrit au triangle ABC, on a, 
si afiy sont des coordonnées de M : 



1 



= 



ou bien er = $y ; relation qui, rapprochée des expressions du pa- 
ragraphe .">, d , justifie complètement l'énoncé. 

b) Sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC, on prend les 
points A, , B, , C, tels que 



A,C = 



BC 



R A - CA 



K 



Si M, N, P sont les milieux des côtés AA. , BB, , CC, , démon- 



1 Question 'J5'» proposée par M. H. von Auiski. dans le Progreso Matemâtico et 133 dans la 
Revista trimestral de Matemâticas in° 21), 1906. 



298 



J. IÎE Y PAS TOR 



trer que les triangles ABC, MNP ont le même barycentre, et ex- 
primer l'aire du triangle MNP en fonction de celle de ABC '. 

De même que dans la question précédente, les points A, , B, , C, 
et aussi les points M, N, P sont associés, et suivant (6, a) la pre- 
mière partie est démontrée. Pour la seconde .il suffit de porter, 
dans la relation 



Aj = A 



Y ! 



les valeurs 



l 
2K 



OU" ( 



2K 



c) En prolongeant les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC des 
longueurs CA, , AB i , BC, égales à leurs moitiés, on prend sur les 
droites AA, , BB, , CC, des points M, N, P tels que 



AM 
AÂ, 



BN 
BBt 



CP 
CC, 



et on mène par ceux-ci les parallèles aux cotés a, b, c ou aux 
côtés b, a, c ou c, a, b, ces droites passent par un même point Q 
ou Q' ou Q" a . 

Il suffit de noter que les points A, , B, , C, sont associés et aussi 
les points M, N, P ; les droites parallèles menées passent donc de 
trois en trois par les points alliés. 

9. — On peut aussi exposer cette théorie en partant de la défi- 
nition plus générale des coordonnées triangulaires 3 du point M 
(2) qui substitue à la droite à l'infini une autre droite quelconque. 
Dans cette hypothèse la correspondance établie est une homo- 
graphie dont les éléments doubles sont cette droite et deux autres 
imaginaires se coupant sur son pôle trilinéaire par rapport au 
triangle. 

Mais les propriétés exposées dans le cas particulier de l'affinité 
suffisent pour se faire une idée du parti que l'on peut tirer de 
cette théorie si simple pour démontrer plusieurs propriétés rela- 
tives à la Géométrie du triangle. 

Il est aisé de voir que la plupart de ces propriétés sont appli- 
cables au tétraèdre. Nous les omettons pour abréger; le lecteur 
fera sans peine la généralisation. 

Julio Rey Pastor (Madrid . 



1 Question 132 proposée par M. E.-N. Bahimi-:n dans la Hevista trimestral de Matemâticas 
(n« 21), 1906. 
8 L. de Alba. Question 127 de la Kev. Irim. de Math. 
3 M. Vegas. Tratado de Geometria analitica. Madrid, 1907. 



LEiNSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 
ET DE LA PHYSIQUE 

DANS LES ÉCOLES PRIVÉES DE POLOGNE' 



1. — Notice historique. 

Dans le programme de la Commission d'Education polonaise 
(1773-1702 , les mathématiques occupaient un rang- élevé et cor- 
respondant à l'esprit des temps, quoiqu'on ne puisse contester 
que le groupement des différentes parties de cette science n'ait 
été artificiel et incommode. 

On affectait les deux premières classes à l'arithmétique, et, 
outre renseignement à l'école, la jeunesse s'exerçait, les jours de 
congé, à la tenue des livres de ménage. Dans les III e et IV e classes, 
on enseignait la géométrie, et simultanément, on répétait la 
théorie des opérations arithmétiques, avec certains suppléments, 
par exemple la mesure des aires, la connaissance des instruments 
les plus simples. La seconde année était consacrée à l'enseignement 
systématique des théorèmes géométriques et aux travaux pra- 
tiques sur le terrain. Le cours de deux années de la V e classe était 
réservé à l'algèbre jusqu'aux équations du second degré; une 
partie du temps était consacré à la solution trigonométrique des 
triangles. Enfin, dans la dernière classe, on enseignait la phy- 
sique et surtout la mécanique pratique. 

Sous les auspices de la Commission d'Education, on avait forme 
une société ayant pour but l'édition de livres élémentaires et clas- 
siques, et qui, bientôt, fit paraître une série de manuels qui. 
pendant plusieurs dizaines d'années ne perdirent nullement de 
leur valeur, attestée d'ailleurs par leur nomhreuses éditions, par 
exemple : 

I., Huilier. Traduction de Gawrouski. Géométrie pour les écoles nationales 
(1780, 5 e édition en 18161. 
» Arithmétique. (1781, plus que 10 éditions, la dernière en 18'» 11. 

» Algèbre. (1782, 5 e édit. 1808). 



1 Rapport du Cercle mathéma tico-physiqae de Varsovie. 



300 L E S M A T II E M A TIQUES ET LA PII Y S I Q D E 

Zaborowski. Géométrie pratique (1786, 5 e éd. 18201. 

» Logarithmes pour les écoles nationales (1787, 2 e édit. 1807). 

Hibk Introduction à la physique (1783). 
Beccaria. Traduit par Jundzill : De l'Electricité (1786). 

L'emploi, pendant tant d'années, de ces manuels dans les 
fioles, atteste leur haute valeur ; et si nous considérons le nombre 
assez élevé des manuels qui vinrent après, comme on peut le voit- 
dans les articles y relatifs de l'« Encyclopédie de l'éducation », ils 
avaient, comme manuels, de réelles qualités. Les suivants, entre 
autres, méritent notre attention : 

Enseignement de l'arithmétique. 

Czech. iVilna, 1807, 6 e édition en 1827). 
Konkowski. (Varsovie 18Lli. 
Biklski. (Vilua, 1806, 5 e éd. en 1818). 
Przvbylski. (Varsovie 1818. 3* éd. : 1830). 
Radominski. (1821, 6 e édit. : 1858). 
Kakczewski. (Kielce, 1822). 

Brzostowski. D'après Vernier (Yilna 1833, 2 e éd. : 1839). 
Baranski. 1 Varsovie, 1843; 2 e éd. : 1856). 
Libelt. (2 tomes. Cours de mathématiques, Posen, 1844). 
Milewski. D'après Brettner iBreslau, 1846 ; 3 e éd. : Posen, 1865|. 
Steczkowski. (Cracovie, 1851. 2 e éd. : 1861, comprenant le tome I : Cours 
élémentaire de mathématiques). 

Pour l'enseignement de l'algèbre. 

S.niadecki. (Cracovie, 1783). 

Lacroix. (Vilna. 1804 1 . Traduit par Dahrowski. (Varsovie, 1 8 1 8 1 . 

Wyrwicz. |1821-1828) 1™= partie (2 e édition en 1828». 

Hreczyna. (Krzemieniec, 1830i. 

Libelt. (Comme plus haut). 

Steczkowski. (Cracovie, 1852. Voir plus haut). 

Pour l'enseignement de la géométrie. 

Czech. Préface de Sniadecki (Les Eléments d'Euclide. Vilna, 1807, 2 e éd. : 

1817|. 
Dabkowski. D'après Lacroix (Varsovie, 1813, 4 e éd. en 1834). 
Hreczy.na. D'après Potier. Vilna, 1817). 
Karczewski. (Kielce. 1823). 
Wyrwicz. D'après Legendre (Vilna, 1825-1829, 4 parties; l' e partie, 2 e éd.: 

1827). 
Lewocki. (Varsovie, 1X27, 2e éd. : 1830). 
Kra.ntz. (Varsovie, 1828). 

Kasterski. D après Legendre. 1 Varsovie, 1834. Stéréométrie). 
Libelt. (Yoir plus haut). 
Pankiewicz. D après Legendre. (Varsovie 1844, 4 e éd. : 1862. Planimétrie). 



ECO L E S P Il I Y É E S /) E P L G N E 30 1 

Nieweglowskj G.-H. (Posen, 1854. 2« édit. : Paris, 1808i. 
Przystanski. (D'après Clairaut (Varsovie, 185(5, 2 e . éd. : 1857|. 
Steczkowski. iCracovie, 1859, tome III e du Cours élémentaire de mathé- 
matiques). 

Pour la trigonométrie. 

Polinski. (Vilna, 1816, 3 e édit. : 1828). 

Si. m son. |A la 2 e éd. : les Eléments d'Euclide). 

Dabrowski. i Comme suite de la géométrie de Lacroix). 

Kiiaiz i Varsovie, 1828|. 

Kasterski. D'après l.efébure de Vourcy (Varsovie, 1836i. 

Libelt. iVoir plus haut). 

Bkknharot. D'après Lefébure de Fourcy (Varsovie, 1850). 

NlEWEGLOWSKI G.-H. (Posen, 1857). 

Steczkowski. Tome II I e du Cours de mathématiques (Voir plus haut). 

Pour renseignement de la physique, 

Osinski. (Varsovie, 1772. 3 e éd. : 1803. Augmenté par Bystrzycki). 
Kokzeniowski. D'après d Ilauy (Polotsk, 1802, 2 t., 2 e éd. : Vilna, 1806). 
Sieradzki. D'après Hiot I Vilna, 1816). 
Makkiewicz. iCracovie, 1819). 
Bystrzycki. i Varsovie, 1820). 
Drzewinski. (1823-1825, 'A tomes). 
Krzyzanowski. (Varsovie, 1825, 2 L ' éd. : 1828). 
Magier. (Varsovie, 1825). 

Makkiewicz. Cours des lycées (Cracovie, 1834). 
Radwanski. (Varsovie. 1837); du même 11839). 
Ckbanski. iLéopoi, 1849); du même (1851. 2* éd. : 1868). 

Traduction de Ganot sous la rédaction de Przystanski (Varsovie, 1860, 
2 e éd. : 1865). 

Pour l'enseignement de l'astronomie. 

Skomorowski. D'après Lalande (Varsovie, 1821). 
Karczewski. iCracovie. 1824). Du même (Vilna, 1826). 
Siawinski. | Vilna, 1826). 
Jastrzebowski. (Varsovie, 1817). 
Dzieko.nski. D'après Smith iVarsovie, 1857). 
Steczkowski. (Cracovie, 1861). 

Les défauts susmentionnés du programme de la Commission 

d'Education lurent corrigés par la répartition du Cours de ma- 
thématiques entre toutes les classes ; la géométrie et l'arithmé- 
tique furent enseignées simultanément à partir de la l re classe 
jusqu'aux sections coniques inclusivement, dont la théorie, outre 
les travaux susmentionnés de Sxiadecki, (Théorie du calcul algé- 
brique applique au.v lignes courbes. Cracovie, 17<S.'î était traitée 
analytiquement dans les ouvrages de Wyrwicz (Vilno, L819-1829) 
et de Krzyzanowski (Varsovie, 1822). Quant à la géométrie syn- 



302 /. E S M A T II E M A T IQV E S fi T I. A P tl Y S IQV E 

thétique, Bahamkcki a Sections coniques», Varsovie, L885), oe 
cite que les leçons du professeur Baye» à Lukow, 1857. 

Dans les écoles du royaume de Pologne, depuis 1815, le pro- 
gramme a suhi peu de changement. L'arithmétique était ensei- 
gnée dans les 4 premières classes, l'algèbre en IV e , V e et VI e 
classes avec la théorie des progressions et logarithmes ; on 
commençait la géométrie en 11'' classe, on finissait la planimétrie 
en IV' classe, ensuite le cours de la V'' classe comprenait la trigo- 
nométrie reetiligne avec les éléments de la géodésie, et la suite 
en VI e classe, la stéréométrie. Lors du changement des écoles 
départementales en écoles gouvernementales, ce programme fut 
entièrement maintenu; et lors de l'ouverture des gymnases réaux, 
le programme des mathématiques lut considérablement élargi. 
L'arithmétique et la théorie des logarithmes avec leur application 
au calcul des intérêts composés se terminaient dans la IV e classe, 
la planimétrie était enseignée dans les 11'' et III e classes, la stéréo- 
métrie et la géodésie dans la IV e classe, la trigonométrie en V* 
classe, en V e et VI e classes les sections coniques. Dans ces deux 
dernières classes, on enseignait aussi l'algèbre avec l'analyse 
combinatoire et la théorie du binôme de Newton. 

La dernière étape dans le développement de l'Ecole polonaise 
fut la réforme de Wielopolski, directeur de la Commission de 
l'Instruction publique réorganisée en 186.1. On donna aux écoles 
moyennes le type des gymnases de 7 classes. Dans ces gymnases, 
en ce qui concerne les mathématiques, le programme suivant était 
admis : arithmétique, I e , II e , III e , IV e classes ; géométrie, II e , III e , 
IV e , V" classes; géodésie, IV e , V e classes ; algèbre, IV e , V e VI, VII e 
classes; trigonométrie en VI e classe, géométrie descriptive, VI e , 
VII e classes; géométrie analytique, VII e classe; physique, V e , VI e 
classe; géographie mathématique, VI e classe. Outre 13 écoles 
complètes, on ouvrit, aux chefs-lieux d'arrondissement, toute une 
série d'autres écoles, d'une durée de cours de 5 ans, avec 3 ou 4 
classes inférieures de gymnase, et les 2 dernières ou simplement 
la V e classe avec un cours légèrement modifié qui visait la spécia- 
lité choisie par l'élève. 

Parmi ces écoles, il y en eut quelques-unes de normales, dont les 
élèves de la V e classe enseignaient, sous la direction de leurs maî- 
tres, aux élèves de l'école élémentaire attachée à l'école princi- 
pale ; on créa le premier Institut supérieur de jeunes fdles. On 
ouvrit aussi une quantité de gymnases de filles avec le même 
programme et 6 classes, et dont les élèves se préparaient à l'en- 
seignement de la manière ci-dessus mentionnée ; l'étude des ma- 
thématiques était limitée à l'arithmétique (y compris la tenue de 
livres), à la physique, à la cosmographie. 

En 1807, on supprima renseignement en langue polonaise et on 
introduisit la langue russe. Le Département scolaire officiel de 



/.COL/: s PRIVEES DE POLOGNE 303 

Varsovie remplaça la Commission de L'Instruction; l'Ecole supé- 
rieure polonaise fui transformée en université russe dont les 
chaires vacantes Cure ni occupées exclusivement par des Russes. 
En même temps, sous le ministère Tolstoï, l'enseignement dans 
la langue officielle et les programmes copies sur ceux des écoles 
allemandes, turent introduits. L'enseignement des mathématiques 
et des sciences naturelles dans les gymnases comme dans les 
écoles réaies fut réduit; l'histoire naturelle ne fut continuée que 
dans quelques gymnases avec une heure de leçon par semaine. 
Quant aux écoles privées, dont la création était extrêmement dif- 
ficile par exemple en dehors de Varsovie, on ne permettait que 
la formation d'écoles à 4 classes et même à 2 classes , les règle- 
ments oiïiciels seuls y étaient admis. 

Une liberté relativement plus grande régnait dans les écoles 
professionnelles qui n'étaient pas soumises au Ministère de l'Ins- 
truction publique. La conséquence en fut la création de nom- 
breuses écoles commerciales, qui se différenciaient des écoles 
réaies par le manque exclusif de sections de mathématiques dans 
les classes V ,ne et Vl mes . 

Le niveau de la littérature scientifique polonaise après 1870, 
contemporaine de la réforme susmentionnée du ministre Tolstoï, 
prouve l'excellence de l'école Wiélopolski et surtout de l'Ecole 
supérieure, qui, avec ses 7 années d'existence, contribua puis- 
samment au relèvement de la science polonaise. Nombreux furent 
ses élèves qui émigrèrent en Galicie ; celle-ci, grâce à l'autono- 
mie accordée à cette époque, commença à se relever, à revivre 
après la répression antérieure. Une partie des élèves de l'Ecole 
supérieure de Varsovie se fixa à Paris, ils y fondèrent la « Société 
des Sciences exactes », enrichissant la littérature scientifique po- 
lonaise d'une série d'éditions de la Bibliothèque de Kurnik. Ceux 
qui demeurèrent à Varsovie, durant de nombreuses années, popu- 
larisèrent ardemment les sciences exactes dans les revues scienti- 
fiques et littéraires, etc. 

Nous remercions également les élèves de l'Ecole supérieure et 
le premier recueil consacré aux mathématiques pures, Bibliothè- 
que physico-mathématique, créée par feu Baraniecki et continuée 
par MM. A. Czajewicz et S. Dickstein, en même temps que les 
Prace matematyczno fizyczne et les Wîadomo&ci matemalyczne, 
créées et rédigées par M. Dickstein. 

De nouveau reconstituée en 1905, l'école polonaise privée s'est 
imposé le but de restaurer les brillantes traditions du passé. Pour 
relever l'enseignement des mathématiques, on constitua le « Cer- 
cle mathématico-physique », qui rédigea le programme provisoire 
qui parut dans la «Revue pédagogique» (1905, pages 2o(i. 253, 
1267. 2<Sl , et qui édita, en 1907, un programme raisonné de l'en- 
seignement de l'arithmétique. Outre les communications scien- 



::■■'. LES MATHEMATIQUES ET LA PHYSIQUE 

tifiques, le Cercle, dans ses séances mensuelles, traita différentes 
questions liées à renseignement des mathématiques. Pour élar- 
gir et développer L'enseignement scolaire au moyen des élé- 
ments de l'Analyse supérieure, M. Szczepanski, après avoir exposé 
>es idées, écrivit un cours complémentaire de mathématiques 
élémentaires 1906 . Quant à la question de la géométrie analy- 
tique, le Cercle, après l'audition des rapports de MM. Kwiet- 
mkwski et Straszbwicz, a exprimé le besoin d'introduire cet ob- 
jet, non comme une matière indépendante, mais seulement comme 
un instrument pour illustrer le cours des fonctions. On s'est aussi 
prononce pour l'introduction, dans l'enseignement scolaire, des 
éléments de la géométrie nouvelle et de la notion du groupe. En 
1909, M. Danielewicz présenta un rapport prouvant l'utilité d'in- 
troduire dans l'enseignement les éléments du calcul des probabi- 
lités. Ce rapport de M. Danielewicz, comme aussi son précédent 
rapport « Sur l'enseignement des quantités irrationnelles »,ont été 
publiés dans les « \\ iadomosei matematyczne », tome XIII, 19<)'.> : 
XI, L907. Parmi tous les autres rapports concernant ]es différentes 
branches mathématiques enseignées, nous citerons : 

Sawicki. Du programme de physique dans les écoles secondaires. 

Kv% ietmewski. Des représentations graphiques. 

Stkaszewicz. De renseignement de la géométrie nouvelle dans les écoles 
secondaires. 

Pozari>ki. De renseignement de l'électricité et du magnétisme. 

Zakzecki. Résumé de quelques rapports de la Commission allemande. 
Axiome et postulat dans les éléments d Euclide. 

Czlbalski. « L initiation mathématique < . de M. Laisant. 

Zakzecki. Du développement de la pensée fonctionnelle dans l'enseignement 
des mathématiques à 1 école secondaire. 

Landau. Exercices de physique à l'école secondaire. 

Zarzecki. De 1 application de la méthode d'inversion. 

Koknilovvk.z. Programme du dessin technique. 

Czuba.lski. Programme de la commission allemande pour l'enseignement 
mathématique. 

Zakzecki. De quelques considérations sur les fondements de la géométrie. 

Czubalski et Zakzecki. Elemenlar-Mathematik vom hôhereu Slandpuukte aus, 
von F. Klein. 

Zakzecki. Illustration géométrique de la propriété des racines de 1 équation 
du second degré. 

GrUTKOWSKi. théorie des erreurs relatives dans leur application à la phy- 
sique. 

J. Kierski. Origine et essence des axiomes géométriques. 

En outre, le président du Cercle. M. Dickstein, a fait, presque 
a toutes les séances, un compte rendu des principales œuvres de 
la littérature mathématique polonaise et étrangère. 

Accomplissant le but dans lequel il a été créé, le Cercle a orga- 



ECOLES PRIVEES DE POLOGNE 305 

nisé en 1906 une commission <l<'s programmes, el celle-ci s'esl 
chargée de réunir les programmes des écoles actuelles pour les 

étudier en détail. 

La création de la Commission internationale de renseignement 
mathématique a provoqué, au sein de notre Société, une ardeur 
nouvelle pour L'action. Notre commission, composée des quelques 

membres de la Société et de quelques professeurs délégués des 
écoles privées susmentionnées de \ arsovie, dans la session pré- 
paratoire, s'est proposée, avant tout, de faire un tableau de l'état 
actuel de l'enseignement des mathématiques dans les écoles pri- 
vées. Dans ce but, on envoya aux écoles de province une adresse 
dans le sens ci-dessus, en y joignant le programme <lc la Com- 
mission internationale ; ({liant aux programmes des écoles de 
Varsovie, les membres de la Commission se les procurèrent, en 
cherchant les différents types d'écoles et, selon ces types, se divi- 
sèrent en une série de sections, en s'engageant à étudier, dans 
chaque section, les programmes des écoles du type donné et à 
indiquer leurs divergences d'avec le programme normal. Indépen- 
damment de cela, conformément aux blanches enseignées, les 
membres de la Commission formèrent deux sous-commissions : 
mathématique et physico-astronomique. Il fut en plus décidé que, 
dans les rapports présentés par chaque section, on devrait avoir 
égard à l'histoire des écoles de l'ancien type ; que, pour se facili- 
ter à l'avenir le travail, la Commission devrait collectionner les 
manuels polonais pour l'enseignement des mathématiques, ainsi 
que tous les articles d'ordre didactique parus, tout au moins dans 
ces derniers temps. En conséquence de cette dernière résolution. 
M. Laparewicz, membre de cette Commission et rapporteur, a 
préparé une « Bibliographie », qui parut dans le tome W\ des 
1 1 iadomosci matematyczne. 



11. — Compte rendu de la Commission des Programmes: 

A. — Sous-commission des Mathématiques. 

Le programme des branches des mathématiques dans les écoles 
privées de jeunes gens correspond, dans ses traits généraux, à 
celui des écoles officielles du même genre. 

Le cours de huit années de mathématiques dans les gymnases 
philologiques officiels comprend : l'arithmétique classes 1-111 ; 
l'algèbre (cl. III-VIl : la géométrie cl. IV-V1 et la trigonomé- 
trie VII . La dernière année cl. VIII est consacrée à la répétition 
du cours avec quelques suppléments. 

Dans les écoles réaies, section des mathématiques, parallèlement 
à la géométrie cl. IV-VJ . nous avons encore, deux heures par 



306 L E S M A T II Ê M A T I Q U ES ET LA PII Y S l Q U E 

semaine, de dessin comprenant la solution, à l'aide de construc- 
tions, des problèmes de la planimétrie, etc., le dessin projectif ou 
géométrie descriptive. Ordinairement, pendant un semestre de la 
cl. VI . Quant à la trigonométrie, elle est enseignée en V me cl. au 
lieu de l'être en \ II"" ; le coins de la VII cl., à part les derniers 
chapitres de l'algèbre, embrasse l'application de la géométrie ii 
l'algèbre, ou encore les éléments d analyse. Dans la section com- 
merciale des écoles réaies, les mathématiques sont au même ni- 
veau que dans les gymnases. Dans les gymnases privés la diver- 
gence d'avec le programme officiel a trait à l'unique changement 
dune heure de leçon de la VIII" U cl. dans la \ me , consacrée à 
l'étude plus fondamentale des chapitres suivants de la planimé- 
trie : Proportionnalité des segments et similitude des figures, 
surtout des figures régulières, ensuite la mesure des aires. Cepen- 
dant une pareille diminution du temps consacré à l'enseignement 
mathématique dans la VIII me classe a forcé de supprimer du pro- 
gramme les éléments d'analyse. C'est, paraît-il, l'école de Lublin 
qui a trouvé la plus heureuse solution à ce problème. Eliminant 
de L'arithmétique la théorie des proportions et la règle de trois, 
et passant directement à la propedeutique de l'algèbre, les chapi- 
tres correspondants d'algèbre purent être enseignés, par consé- 
quent, dans la classe inférieure, et le temps ainsi gagné fut con- 
sacré aux éléments du calcul différentiel et du calcul intégral. 

Les notions élémentaires du calcul des probabilités comme 
aussi leur application à la pratique des assurances, sont ensei- 
gnées depuis plusieurs années au gymnase du général Chrza 
nowski à Varsovie. 

M. Ciechanowicz, professeur de ce gymnase, membre de notre 
Commission, nous présente les remarques suivantes, concernant 
le but de l'enseignement des mathématiques dans les écoles 
secondaires : 

« Nous ne perdons pas de vue que le but principal de renseigne- 
ment des mathématiques dans les écoles secondaires, quelqu'en 
soit le type, doit être le développement systématique des capacités 
intellectuelles de l'élève qu'il faut habituer au raisonnement exact 
sur les matières du domaine de sa connaissance mathématique et 
dont le savoir intellectuel doit être, simultanément et progressi- 
vement, enrichi d'une certaine somme des faits de ce domaine; 
en un mot, la culture mathématique de l'esprit, c'est-à-dire la 
préparation et l'impulsion vers les travaux personnels futurs. 
Sous le rapport méthodologique, nous sommes d'avis que l'appro- 
priation intellectuelle du savoir est avant tout psychologiquement 
intuitive puis, au niveau supérieur, formellement logique. Cela 
expose, au commencement de l'étude des différentes branches des 
mathématiques, c'est-à-dire l'arithmétique dans la l re classe, l'al- 
gèbre dans la III e classe et la géométrie dans la IV e classe nous 



ECO I. E s i> HIV i: E s h /•; i> o i. o r, y /. 



:{<»: 



enseignons la propedeutique géométrique, en passant aux Leçons 

de dessin dans 1rs II' el III' classes . nous rejetons ;i priori les 
définitions abstraites des notions introduites <|iii dépasseraient le 
niveau intellectuel de ces classes: nous nous efforçons le plus 
souvent possible d'appliquer la méthode heuristique tendant à 
créer dans l'esprit de l'élève le besoin de former la notion géné- 
rale et sa définition sur la base de faits déterminés par des preuves 
et des observations particulières. 

« Tout à côté, comme un autre trait caractéristique de ce stade 
d'enseignement (l'arithmétique . nous attirons l'attention sur la 
nécessité de créer chez l'élève une certaine habileté pour le calcul, 
en appliquant souvent dans ce but, des problèmes mentaux de 
différents types. 

A un niveau supérieur, nous nous efforçons de faire sortir 
plus évidemment l'élément théorique, insistant sur les notions et 
les méthodes mathématiques, sur leur caractère abstrait et géné- 
ral, la relativité de leurs hases, et eti même temps sur la continuité 
de l'enchaînement des anneaux du raisonnement les lois des opé- 
rations mathématiques, l'induction complète en opposition à l'in- 
duction ordinaire, postulats et axiomes, etc. 

Simultanément nous commençons systématiquement, dirons- 
nous, a saturer l'enseignement par les notions des fonctions, et à 
habituer la pensée à l'association fonctionnelle des grandeurs 
considérées. Dans ce but, nous débutons par les exemples con- 
crets de la physique, ensuite nous insistons sur les parties de la 
géométrie métrique quoique au détriment de la méthode de la 
_ unétrie moderne pour laquelle le temps manque) et expliquant 
les premiers éléments de la géométrie analytique, nous préparons 
ainsi a l'intelligence du cours de la variabilité des fonctions par 
la méthode graphique, dans le traitement des différents chapitres 
du cours : discussions des équations, théorie des logarithmes, 
maximum et minimum des fonctions du second degré, théorie des 
fonctions trigonométriques. En ce qui concerne la théorie des 
fonctions trigonométriques, nous estimons qu'il convient deviser, 
dans la \ I'' classe, à un degré de préparation mathématique qui 
permette le traitement général et immédiat de la trigonomé- 
trie, sans devoir la subdiviser en trigonométrie des angles aigus 
et en trigonométrie générale, ainsi que l'exposent la plupart des 
manuels. En géométrie, nous considérons comme nécessaire la 
démonstration des modèles de corps et des théorèmes stéréomé- 
triques. dans le but de parfaire chez les jeunes gens d'habitude 
peu riches en imagination spatiale, la faculté de comprendre les 
rapports spatiaux. 

\<>us traitons l'algèbre formelle au point de vue de la géné- 
ralisation progressive de la notion du nombre, jusqu'au nombre 
complexe inclusivement. Enfin, nous dirons que le chapitre sup- 



308 /, E S M A T U E M ATIQU E S E T LA P 11 Y S IQV E 

plémentaire (éléments de l'analyse supérieure place en tête du 
programme, a été ensuite retranché. Ne pouvant admettre l'idée 

de la suppression des éléments du calcul infinitésimal, quoique 
en passant, nous donnons aux élèves une idée des infiniment 
petits et de leur ordre, comme aussi des opérations qu'ils permet- 
tent dans quelques problèmes, par exemple preuve de la formule 
de l'aire du triangle comme la limite de la -somme des rectangles 
infiniments petits, comme aussi du volume de la pyramide, etc. 

« Comme desiderata postulats des réformes rationnelles des 
programmes des mathématiques dans les écoles philologiques, 
nous désignons : 1° approfondissement de la théorie de l'arithmé- 
tique en VII e ; 2" la théorie des séries pour le besoin de la théorie 
des nombres irrationnels et des logarithmes qui sont devenus 
déjà la partie intégrale des mathématiques élémentaires ; 3° pre- 
miers éléments de la géométrie nouvelle; 4" les premiers éléments 
des calculs supérieurs. » 

Dans Y école commerciale de VII e classe de l'Union-des commer- 
çants de Varsovie, le programme des mathématiques présente 
quelques divergences avec le type général exposé plus haut des 
établissements qui sont proprement des écoles réaies, mais sans 
cours fondamental. Dans la III e classe on commence l'algèbre par 
la solution des équations et à leur application aux plus simples 
problèmes; dans l'étude subséquente, on attire l'attention sur la 
représentation graphique des formules et des équations ; la VII e 
classe, outre la trigonométrie, comprend la répétition des cha- 
pitres étudiés des mathématiques. 

Les écoles de jeunes filles, de l'initiative personnelle de leurs 
directrices, ont introduit, en 1909, la réforme qui les mit sur le 
même pied que les écoles de jeunes gens. Le nombre d'heures de 
leçons a été élevé à 4 dans chacune des 7 classes. Dans le o pre- 
mières classes, parallèlement à l'arithmétique. la propedeutique 
géométrique est enseignée par reprises. L'étude de l'algèbre com- 
mence dans la IV e classe et se termine dans la Y II 1 ' classe par la 
théorie des logarithmes, les permutations et le binôme de Newton. 

L'enseignement systématique de la géométrie se fait dans les 
IV e - VI e classes ; de plus, en VII e classe on enseigne la goniomé- 
trie avec applications aux problèmes fondamentaux de la trigono- 
métrie. 

Séminaires. — Il convient de classer, au nombre des écoles 
secondaires, les séminaires, écoles normales pour la formation 
d'instituteurs primaires, avec 4 années d'études, et dans les- 
quels peuvent être admises les personnes possédant la connais- 
sance des opérations sur les nombres entiers et les fractions les 
plus simples. Au premier cours, avec 5 leçons par semaine, lors 
de la solution par les élèves eux-mêmes des problèmes sur les 



E C o I. E S /' HIV E /•; n I) E P (J I. <) G N E 309 

nombres entiers, on attache une grande Importance à L'écriture 
soignée el systématique des nombres, ainsi qu'à la discussion des 
problèmes-, on habitue, en onde, les élèves à une exposition 
claire et détaillée. Lors de l'examen des propriétés de la somme. 
de la différence, etc., on donne la première idée de la notation 
algébrique. L'enseignement systématique de l'arithmétique com- 
mence par la théorie des opérations avec fractions, précédée de 
la théorie de la divisibilité des nombres entiers. L'étude de l'al- 
gèbre continue par les opérations sur les monômes et les poly- 
nômes; en plus on déduit les propriétés des quantités positives 
et négatives d'où découlent immédiatement les lois des opérations 
sur des nombres relatifs. Au reste, on arrive aux propriétés fon- 
damentales des équations par la considération, principalement, 
des équations du premier degré à une inconnue et par les appli- 
cations à la solution des problèmes. Les élèves étudient en outre, 
à ce cours, les éléments de la planimétrie appliqués sur le terrain 
pour tirer les lignes, la mesure de leur longueur et la construction 
des perpendiculaires et des parallèles, la mesure des angles, et se 
familiarisent ainsi avec la chaîne d'arpenteur, l'équerre et la 
boussole. 

Le second cours 5 heures de leçons comprend, en arithméti- 
que, l'étude des proportions et des règles ; en algèbre, le système 
des équations, la représentation graphique de l'équation du pre- 
mier degré à 2 inconnues et des phénomènes menant à la Ligne 
droite; on passe ensuite à des constructions plus compliquées, a 
la règle de l'extraction de la racine carrée d'un nombre donné et 
à la théorie des équations du second degré à une inconnue. En 
géométrie, on étudie la théorie des segments proportionnels et le 
reste de la planimétrie, avec l'application à la prise des plans, et 
aux instruments susmentionnés s'ajoute l'emploi du rapporteur. 

Le troisième cours, outre la stéréométrie, comprend la métho- 
dique arithmétique 2 heures: qui apprend aux élèves à connaître 
les méthodes typiques d'enseignement et les manuels, et leur per- 
met de donner des leçons d'épreuve, dans une école modèle, avec 
de^ conférences convenables avant comme après pareille leçon. 

Le quatrième cours 2 heures est surtout consacré aux exer- 
cices pratiques dans l'école modèle. Les élèves y font la connais- 
sance de la méthode de la propedeutique géométrique. 

En outre, dans les trois premiers cours, on consacre deux heures 
de leçons par semaine à la physique ; au quatrième cours, une 
heure à la physique et une heure à la cosmographie. A la tin de ce 
cours, l'élève a le droit de se présenter à l'examen officiel d'insti- 
tuteur primaire. 

Ecole Rudzka. — Lu 1906, M"" Rcdzka ouvrit dans son pen- 
sionnat de demoiselles, un cours dune durée de deux ans. destiné 
a former des institutrices avec sections d'humanités et de sciences 

1. Fnseijjnement rnalhém.. 13* année: Util 20 



310 / E S M AT HE M ATI Q V E S ET LA P H Y S /QUE 

mathématiques et naturelles. Y sont admises les élèves des pen- 
sionnats de demoiselles qui subissent les épreuves préalables. 

A la section des sciences mathématiques et naturelles, les élèves 
de chaque cours ont trois heures de leçon par semaine. Au pre- 
mier cours, 2 heures sont consacrées aux connaissances supplé- 
mentaires d'algèbre, omises dans le cours moyen, par exemple la 
division continue entre des expressions algébriques, les équations 
indéterminées, les éléments de la théorie des nombres; les frac- 
tions continues et leurs réduites comme 2 séries de nombres 
convergents vers la limite; l'application des fractions continues à 
la solution des équations exponentielles, la représentation gra- 
phique des fonctions du premier et du second degré et des fonc- 
tions exponentielles. La troisième heure de mathématiques est 
consacrée à la géométrie dans laquelle en plus de l'application de 
la trigonométrie aux différents problèmes de la planimétrie et de 
la stéréométrie, sont exposées les méthodes géométriques, et, 
complétées les notions de géométrie nouvelle. 

Au deuxième cours, une leçon d'une heure est consacrée à l'al- 
gèbre (combinaisons, binôme de Newton, éléments du calcul des 
probabilités, enfin discussion du minimum et du maximum de la 
fonction du deuxième degré accompagnée des notions de la déri- 
vée) ; restent deux heures consacrées à l'arithmétique et aux 
leçons modèles des classes inférieures du pensionnat. 

Le même programme est approximativement admis aux cours 
pédagogiques de demoiselles de M. Milkowski qui possède, en 
plus, un cours préparatoire. 

Dans Yècole mècanico-technique H. Wawelberg et S. Rotwand, 
au cours préparatoire, l'algèbre et la géométrie sont enseignées 
outre une partie du cours de physique. En algèbre, lors de la solu- 
tion des équations du premier degré avec 2 inconnues, on expli- 
que la dépendance fonctionnelle de ces inconnues par construc- 
tion et par la solution graphique d'un système de 2 équations à 
2 inconnues. Dans la solution des équations du deuxième degré, 
on explique les moyens de construction delà fonction correspon- 
dante à la fonction trinôme du second degré. La solution d'un 
système à 2 équations du second degré se fait au point de vue des 
chapitres ultérieurs de la géométrie analytique, chapitres sur la 
détermination des points d'intersection des courbes du second 
degré. Le cours de géométrie élémentaire se complète par l'étude 
de la théorie géométrique du centre de gravité, et cela dans le but 
de faire des déterminations de la surface et du volume des corps 
de rotation, en insistant sur les problèmes de construction dont 
les exercices sont le fondement du dessin technique. 

L'enseignement de la trigonométrie au premier cours dure un 
semestre; on y traite en détail les transformations des formules 



/: COL E S P R/V E E s n E /' o l. (> G N E 3 1 1 

goniométriques, les fonctions sin ./ et cos ./ sont développées en 
séries, à L'aide du calcul différentiel commencé en même temps. 
La géométrie analytique comprend 2 semestres au premier cours, 
et vise spécialement la ligne droite, les coniques, les cycliques et 
la chaînette, comme ayant le plus d'emploi technique ainsi que la 
droite et le plan dans l'espace. Dans le calcul différentiel et 
intégral enseigné pendant les deux semestres du premier cours, 
on attache une importance capitale à la différentiation et l'in- 
tégration de la fonction d'une variable, comme aussi à l'appli- 
cation ;i la géométrie pour la détermination de la tangente, du 
rayon de courbure, de la longueur de l'arc, des aires et du volume ; 
on vise aux besoins ultérieurs des coins de mécanique, la résis- 
tance des matériaux et la physique. 

En géométrie descriptive il en est de même au premier cours, 
durant les 2 semestres), on étudie en détail les projections ortho- 
gonales suri, 2, 3 plans; l'axionométrie orthogonale, la géométrie 
projective plane et les projections centrales avec des construc- 
tions rencontrées en technique. Enfin, dans les chapitres corres- 
pondants de la mécanique et de la physique, on expose les notions 
du calcul vectoriel. 



B. — Sous-commission de la Physique^ . 

Lors de l'examen des programmes de physique admis dans la 
plupart des écoles privées polonaises, la commission s'est con- 
vaincue de ce que la matière étudiée ne s'écartait pas du type en 
usage depuis longtemps dans les écoles; cependant, dans la dis- 
tribution de la matière et dans la méthodique de l'enseignement, il 
existe des différences assez considérables. Dans le but d'unifor- 
miser les programmes et simultanément d'élargir et d'approfondir 
quelques chapitres de physique, la commission en est arrivée à 
certains postulats généraux qui sont déjà réalisés dans quelques 
écoles. Ces postulats sont les suivants : 

1. L'introduction de l'enseignement préparatoire de la physique 
dans les classes inférieures est absolument désirable; en effet, un 
nombre considérable d'élèves bornant leurs études à la IV e classe, 
il est inadmissible de les priver des connaissances élémentaires 
de physique et de chimie qui se présentent constamment appli- 
quées dans la vie journalière et dans la technique. 

2. L'enseignement à un degré inférieur doit être expérimental, 
basé sur des expériences simples et concluantes, les exemples 
numériques doivent être choisis avec à propos, et éclairer le côté 
quantitatif des phénomènes. 



1 Rapporteur M. s. Landau. 



312 LES M A T II É M ATIQU E S E T LA P H Y S I O V E 

3. Etant donné que nos gymnases philologiques ne donnent 
pas une instruction purement classique, et que les études y durent. 
une année de plus que dans les écoles réaies, l'enseignement de 
la physique n'y doit pas être moins important que dans ces der- 
nières, tant sous le rapport du nombre d'heures que sous celui de 
la matière. 

4. Il est indispensable de ranimer l'étude de la physique. Les 
problèmes numériques doivent correspondre à la réalité. Les 
exemples donnés dans renseignement doivent se rapporter aux 
phénomènes réels qui intéressent immédiatement les élèves. Il 
faut rejeter absolument les descriptions détaillées des méthodes 
expérimentales n'ayant pas de réalité pour les élèves, comme 
aussi la description des instruments surannés exclusivement inté- 
ressants au point de vue historique. Par exemple, différents 
moyens de déterminer la densité des vapeurs, de l'air et des gaz, 
la méthode de Ramsden pour déterminer le coefficient de dilata- 
tion des corps solides, le calorimètre de Lavoisier et Laplace, les 
aréomètres à volume constant, etc. Il est de même superflu de 
citer les différentes corrections de mesures qui n'intéressent nul- 
lement l'élève. 

Il est cependant indispensable que le professeur, au moment 
opportun, attire l'attention sur l'ordre de grandeur des erreurs 
expérimentales et dans quelques cas sur l'importance des collec- 
tions. Par exemple dans une pesée, tenir compte de la pression 
hydrostatique de l'air; en parlant du photomètre, calculer les 
erreurs qui proviennent du peu de sensibilité de l'œil, etc. 

5. Le pas en avant le plus important dans l'étude rationnelle de 
la physique sera sans doute l'introduction d'exercices obligatoires 
personnels et pratiques. Sous ce rapport, certains progrès ont été 
réalisés dans ces derniers temps, à Varsovie comme en province; 
cependant, le nombre des écoles possédant des laboratoires de 
physique est encore restreint. 

Sans doute qu'en l'occurence, les diflicultés matérielles rem- 
portent. Il convient cependant d'avoir en vue que, dans le cas qui 
nous occupe, les instruments les plus simples, et par conséquent 
peu coûteux, suffiraient : la densité des corps solides et liquides, 
par exemple, peut être déterminée à l'aide d'une vulgaire balance 
de pharmacien; on peut parfaitement vérifier à l'aide d'un verre 
ordinaire acheté chez l'opticien pour quelques dizaines de eopecks 
la formule des lentilles, un petit calorimètre donnant une cha- 
leur spécifique avec une approximation de quelques ° , coûte 
quelques dizaines de eopecks. D'ailleurs aucune démonstration 
faite a L'aide d'instruments remarquables et d'une valeur de plu- 
sieurs centaines de roubles, ne pourra remplacer l'expérience per- 
sonnelle et indépendante de l'élève. 

Nous convenons que les expériences prennent du temps, ce qui 



É C (> I. E S P A* / VE E S I) E PO 1.0 G NE 3 1 3 

peut avoir une certaine influence sur le savoir général de 1 élève ; 
cependant, avec un tel système d'enseignement on parvient à 
approfondir la matière, et l'élève acquerra ainsi l'initiative et l'in- 
dépendance dans son travail, tout en taisant connaissance avec 
les méthodes d'investigation. La pédagogie rationnelle qui a pour 
but l'instruction de L'individu et non pas de lui entasser dans 
La tête une ([nantit*' de connaissances qui se trouvent dans les 
Livres, doit donc considérer le moyen pratique d'étude comme le 
seul désirable. 

Pour mènera bien la solution de la question de l'introduction 
des exercices pratiques dans l'étude à l'école, le Cercle mathéma- 
tico-physique a installe dans son domicile (« (Jrania » rue Bracka, 
Y L8, à Varsovie , un laboratoire de physique qui donne gratui- 
tement toutes les informations et renseignements désirables, 
pour l'organisation de ces exercices; chaque professeur trouvera 
au laboratoire trente problèmes classés, essayés et expliqués. Les 
professeurs sont admis gratuitement au laboratoire; les élèves, 
moyennant une modique redevance. 

Les programmes ci-dessous enseignement préparatoire et sys- 
tématique donnent une idée de l'étendue admise de l'enseigne- 
ment, mais non de son ordre qui dépend seulement de la manière 
de voir personnelle du professeur. La commission cependant est 
d'avis (pie, dans certains chapitres, l'ordre ne pourrait pas être 
interverti sans préjudice quant aux résultats de l'enseignement. 
Cela concerne avant tout la mécanique qui doit être traitée en 
deux degrés. 

La mécanique est en grande partie le chapitre le plus abstrait 
de la physique; l'esprit qui n'est pas bien exercé dans le raison- 
nement mathématique, rencontre de nombreuses difficultés pour 
se rendre maître du côté formel de l'objet enseigné. Du reste, le 
contenu des problèmes par exemple les formules liées avec le 
mouvement variable) est tellement profond, qu'un esprit jeune 
n'en peut avoir de. compréhension que tout à fait superficiel- 
lement et par la mémoire ; la répétition de ces questions dans 
la classe supérieure, le lien de l'idée de vitesse et d'accélération 
à l'idée de la dérivée en mathématiques, sont choses néces- 
saires. Une étude approfondie de la mécanique, dans le début, 
est impropre et pour la raison que l'élève attend de la physique 
tout autre chose que ce que lui donne l'étude de la mécanique; 
la jeunesse s'intéresse avant tout aux phénomènes de la nature, 
afin de connaître les principes des nombreuses constructions 
techniques qu'on rencontre à chaque pas dans la vie. Une pensée 
profonde, une généralisation vaste peuvent intéresser seulement 
des esprits bien dressés, possédant de nombreuses connaissances 
positives. Et voila pourquoi, afin de ne pas créer d'inutiles diffi- 
cultés et de ne pas décourager tout au début les élèves, il sera 



314 LES MATHEMATIQUES ET LA P H Y S I Q U E 

bon de consacrer la première année à l'étude de la mécanique, 
en ce qui est indispensable à la compréhension des chapitres 
ultérieurs de la physique et en reportant l'autre partie à la troi- 
sième année. Lors d'une étude plus approfondie de cet objet, il 
est impossible d'omettre un chapitre si important que la théorie 
Au mouvement vibratoire auquel sont intimement liées l'acous- 
tique et l'optique physique. L'interférence de la lumière et cer- 
taines notions sur la diffraction, la considération de la lumière 
comme un cas particulier d'un rayonnement électro-magnétique 
ne peuvent être omis, en aucun cas, dans l'enseignement secon- 
daire. C'est d'ailleurs une question trop importante pour la science 
et trop capitale pour l'instruction générale. On pourrait, peut- 
être, tomber d'accord sur une diminution de quelques parties de 
l'optique géométrique ; l'abréviation, par exemple, de la théorie 
des lentilles. La formule des lentilles devrait éventuellement être 
donnée telle qu'elle, sans démonstration, avec sa seule preuve 
expérimentale. Il suffit aussi de donner des notions générales sur 
la polarisation et la diffraction de la lumière; d-ailleurs, étant 
données leur difficulté et leur étendue, ces chapitres répondent 
peu à l'enseignement secondaire. 

Si le programme ci-dessous diffère quelque peu de celui qui est 
généralement admis, c'est parce que, sans doute, l'étude de la 
chaleur contient les notions de l'équilibre entre les différents états 
d'agrégation des corps, et quelques données sur la théorie des 
solutions, à l'exception, d'ailleurs, des travaux deRaoult. L'ordre 
des leçons sur la lumière et le rayonnement peut paraître très 
original; cependant, dans cet ordre, la pensée se développe par- 
tout logiquement; il n'y a ni omission ni retour au même sujet. 
En somme, l'ordre ci-dessous indiqué est un des plusieurs pos- 
sibles et admissibles. 

a) Programme de l'enseignement préparatoire de la physique. 

Phénomènes de la nature. Sens. Observation des phénomènes. Etals 
d'agrégation des corps. Influence de la chaleur sur le volume des corps 
solides (anneau de Gravesande), des liquides (thermomètre à mercure I, <lrs 
corps gazeux (thermomètre à gaz). Bons et mauvais conducteurs de la cha- 
leur. Fonte de la glace. Gelée. Solidification et vaporisation des liquides. 
Absorption de chaleur pendant la vaporisation. Ebullition des liquides ; 
points d ebullition. Condensation de la vapeur. Transformation de l'eau dans 
la nature : nuages, pluie, neige, grêle, rosée, givre. Applications de la 
vapeur d'eau. Sources de chaleur (le soleil, le frottement). 

Mouvements uniforme et varié des corps. Chute des corps. La verticale. 
Centre de gravité. Equilibre des corps, équilibre stable, instable, indiffé- 
rent. Poids des corps; balance ordinaire, pesée, contrôle de la balance. Unité 
de poids, leviers, exemples, applications des leviers, poulie fixe. Equilibre des 
liquides. Surface des niveaux. Vases communiquants, fontaines, puits arté- 






E (OIE s P li I V E E S I) E I' () I. O (. .Y E 315 

si. us. Vases capillaires. Pression tics liquides sur le fond. Pression des 
liquides vers le haut. Corps immergés dans un liquide (loi d'Archimède). 
Flottement des corps sur l'eau. Densité des corps relativement à l'eau. 
Détermination de cette densité. 

Propriétés des gaz. Densité des gaz par rapport à l'eau, à l'air. Expansi- 
bilité des gaz. Influence du volume des gaz sur leur élasticité. Diffusion des 
gaz. Pression atmosphérique (baromètre, loi d'Archimède pour les gaz, 
ballons). Ondes aériennes, le son, tons, interférences, résonnateurs, vitesse 

du son. Echo. 

Le soleil. Sources de chaleur et de lumière. Hayons lumineux. Propagation 
rectiligue de la lumière. Corps diaphanes et opaques. Ombre. Pénombre. 
Image au travers d'une petite ouverture. Réflexion de la lumière dans les 
miroirs plaus. Images imaginaires. Réflexion de la lumière dans les miroirs 
concaves et convexes. Réfraction de la lumière des lentilles. Foyers de la 
lentille convergente. Images réelles et imaginaires. Courte explication des 
instruments d'optique. Dispersion de ta lumière. Spectre, douleurs du 
spectre continu. Arc-en-ciel. Couleurs des corps. 

Electrisation des corps par le frottement Pendule électrique. Deux genres 
d'électricité. Electricité par influence. Machines électriques. Etincelle (la 
foudre, le tonnerre). Idée sur le courant électrique (courant dans un con- 
ducteur unissant les pôles de la machine électrique!. Piles galvaniques, bat- 
terie, application du courant électrique, lampes électriques. Electro- 
aimants, sonnerie électrique, aimants artificiels et naturels. Pôles des 
aimants. Zone neutre. Aiguille magnétique, boussole. 

(D après le programme des branches enseignées dans l'école de commerce 
de jeunes filles A. Werecka. Cours de la II e classe). 

bj Programme de physique des classes supérieures. 

Première année (3 leçons par semaine). — Introduction. Phénomènes phy- 
siques et chimiques. Propriétés des corps. Grandeurs physiques. Rapports 
entre des grandeurs physiques. Observations et expériences. Lois physi- 
ques. Mesures physiques. Système métrique. Vernier à ligne. 

Mécanique Mouvement. Chemin. Mouvement uniforme, sa vitesse. Mou- 
vement rectiligne et mouvement curviligne. Genre du mouvement par rap- 
port au chemin. Mouvement uniforme et varié relativement à la vitesse. 
Mouvement rectiligne uniforme. Formule du chemin parcouru. Dimension 
de la vitesse. Représentation graphique du mouvement uniforme. Mouve- 
ment rectiligne varié. Mouvement uniformément accéléré sans vitesse ini- 
tiale. Accélération. Formule de la vitesse et du chemin parcouru (démons- 
tration par procédé graphique). Lois du mouvement de Newton. Première 
loi. Inertie. Deuxième loi. La masse. Formule de la force. Unité de force. 
La force comme quantité dirigée. Indépendance de Faction des forces. La 
force au point de vue statique. Dynamomètres. Troisième loi. Composition 
et décomposition des mouvements et des forces. Loi du parallélogramme. 
Projection horizontale. Composition des forces parallèles. Couple de forces. 
Notions générales sur la gravitation universelle. Poids des corps. Centre 
de gravité. Poids spécifique. Densité des corps. (Méthodes de détermination 
— voir plus loin). Equilibre des forces. Notion du moment statique. Equi- 
libre des corps pesants appuyés à un point sur le plan. Machines simples. 



3 1 6 /. B S M A T H /•; .1/ A T I Q V E S E T I. A P fi V S I Q U E 

Leviers. Balances. Poulie multiple. Cabestan. Roues déniées. Plan incliné. 
Coin. Notion de la vis. 

Le travail. Formule du travail. Unité de travail. Représentation graphique 
du travail. L'effet. Son unité. 

Energie. Energie potentielle et cinétique. Transformation de lénergie. 
Principe de la conservation de lénergie. Propriétés des corps solides, 
liquides et gazeux. Division des corps en solides, liquides et gazeux. Défor- 
mations élastiques. Corps solides. Hypothèse de l'agrégation moléculaire. 
Corps cristallisés et amorphes. Genres de déformations des corps solides. 
Elasticité. Loi de Hnoke. Résistance. Notions générales du frottement des 
solides. Liquides. Surface libre. Pression. Son unité. Compression des li- 
quides. Loi de Pascal. Presse hydraulique. Pression hydrostatique sur le 
tond et les parois latérales des vases. Equilibre des liquides dans les vases 
communiquants. Sources. Fontaines. Conduits d'eau. 

Loi à'Archimède. Conditions du flottement des corps. Méthodes de dé- 
termination de la densité et des poids spécifiques des solides et des li- 
quides. Mesure directe et pesée, pesée hydrostatique. Aréomètres. Pykno- 
mètres. Phénomènes expliqués par l'action des forces inlermoléculaires. 
Tension superficielle. Pression superficielle. Humidification. Equilibre des 
liquides dans les tubes capillaires. Notions générales sur la viscosité des 
liquides et sur le mouvement des liquides. Loi de Torricelli. Distribution 
«le la pression dans un tuyau (aspirateur). Diffusion et osmose des liquides. 
Corps gazeux. Pression atmosphérique. Expérience de Torricelli, de Gue- 
ricke et de Pascal. Baromètre à mercure (à siphon, de Fortin). Baromètres 
métalliques (Vidi, Bourdonl. Barographes. Pompes à piston et à mercure. 
Loi de Boyle, limites de son exactitude. Représentations graphiques. Ma- 
nomètres fermés et ouverts. Manomètres à ressorts. Appareils basés sur 
1 élasticité des gaz. Pipette. Siphon. Pompes, pompes à main. Notions sur la 
densité des gaz. Loi d'Archimède dans les gaz. Ballons et aérostats. Résis- 
tance de l'air. Aéroplanes. Dilfusion des gaz. Loi de Dallon. 

Chaleur. Thermométrie. Thermomètres. Thermomètre à mercure. Echelles 
thermométriques. Thermomètres à différents liquides. Thermomètres métal- 
liques. Thermographe. Thermomètre à maxima et à minima. Dilatibilité des 
corps solides. Coefficients de dilatation, de longueur et de volume. Dilatation 
des vases et des règles. Dilatabilité apparente et réelle des liquides. Dila- 
tation du mercure (par la méthode de Dulong et Petit t , dilatation de l'eau. 
Corrections barométriques. Dilatation des gaz. Loi de Charles (Gay- 
Lussac). Echelle absolue des températures. Thermomètres à gaz. Equation 
de Clapeyron {pv = RT|. 

Deuxième année |3 heures de leçon par semaine). — Chaleur (suitei. 
I nité de cbaleUr. Chaleur spécifique. Calcul. Détermination de la chaleur 
spécifique d'un corps solide. Calorimètres à glace (Bunsen) et à eau. Chaleur 
spécifique des gaz. Transformation des différents états d'agrégation. Con- 
gélation. Fusion et solidification. Point de solidification de 1 eau. Cha- 
leur latente de fusion. Surfusion. Changement de volume dans les phé- 
nomènes de la fusion. Deux catégories de corps. Influence de la pression 
sur le point de fusion. Représentation graphique de la dépendance de la 
pression de la température de fusion. Fonte de la glace et solidicalion de 
l'eau dans la nature. Point de fusion des alliages. Vaporisation et ébullition. 
Point d ébullition. Chaleur latente de la vaporisation. Relard de l'ébullition. 
Etat sphéroïdal. Changement de volume dans la vaporisation. Dépendance 



écoles i» ii i v i: i: s /> /•: polo g N E 3 1 : 

du point de vaporisation de la pression. Représentation graphique de cette 
dépendance. Chaudière de Papin. Distillation. Propriétés de la vapeur. 
Vapeur saturée et non saturée. Condensation de la vapeur. Sublimation. 
Représentation graphique du changement des points d'agrégation d'un corps 
simple, de l'eau par exemple. Condensation îles gaz. Expériences de Fara- 
day, d Andrews. Température critique. Représentation graphique. Derniers 
applanissements des difficultés expérimentales. Machine pour la liquéfac- 
tion de l'air. Solutions non saturées, saturées, sursaturées, leur congélation. 
Point eutectique. Mélanges réfrigérants. Ebullition des solutions. Moteurs 
thermiques. Machines à vapeur. Chaudière à vapeur. Moteurs à alcool, à 
benzine, à gaz (en général). Côté énergétique des processus thermiques. 
Hypothèse sur la nature de la chaleur. Travaux de Mayer, Joule, Helm- 
holtz. Equivalent mécanique île la chaleur. Idées générales sur les deux 
principes de la thermodynamique. Propagation de la chaleur. Conducti- 
bilité des corps solides. Conductibilité des liquides et des gaz. Quelques 
considérations sur le rayonnement (voir troisième année). Humidité de l'air, 
absolue et relative. Corps hygroscopiques. Méthodes de détermination de 
l'humidité atmosphérique (Loi de Dallon par rapport à l'air). Point de 
rosée. Hygromètre. Psychromètre d'Auguste. Hygromètre Saussure. Mé- 
téores atmosphériques. 

Electricité et magnétisme. Aimants artificiels et naturels. Aiguille aiman- 
tée. Pôles d'un aimant. Loi de Coulomb. Unité de la masse magnétique et 
sa dimension. Champs magnétiques. Ecrans magnétiques, Paramagnétisme 
et diamagnétisme. Magnétisme terrestre. Déviation et inclinaison des lignes 
du magnétisme terrestre. Composante horizontale du magnétisme. Lignes 
isogones et isoclines. Variations du magnétisme terrestre. Phénomènes élec- 
Iriques causés par frottement (et quelques mots sur d'autres sources d'élec- 
tricité). Conducteurs. Non-conducteurs. Loi de Coulomb. Unité de la niasse 
électrique. Electroscopes. Electromètres. Distribution d'une charge électrique 
(électroscopes, électromètres). Influence électrique. Potentiel électrique et 
son unité. Champ électrostatique. Electrophore. Machine à frottement. Ma- 
chine à influence. Capacité électrostatique. Théorie du condensateur. Diélec- 
triques. Bouteille de Leyde. Décharge électrique. Courant électrique. Dé- 
charge et étincelles. Electricité atmosphérique. Expériences de Galvani et de 
Voila. Pile de Volta. Force électromotrice au point de vue de la différence de 
potentiels. Déviation de l'aiguille aimantée sous l'influence du courant. Lois 
d'Ampère. Direction du courant. Galvanomètre à aiguille aimantée. Polari- 
sation de l'élément de Volta. Dépolarisateurs. Eléments à dépolarisateurs. 
Eléments secs. Eléments réversibles Accumulateurs (en général — voir plus 
loin). Intensité du courant (quantité, force). Boussole des tangentes. Unité 
de force du courant. De l'unité éleclrolytique (voir plus loin). Ampère- 
mètre. Résistance des conducteurs. Lois d'Ohm. Unité de résistance. Résis- 
tance des corps solides, liquides et gazeux. Résistance interne des éléments. 
Groupement des éléments en séries parallèles et groupements mixtes. 
Moyen le plus avantageux des groupements. Les dérivations du courant. Lois 
de Kirrhholf. Pont de Wheatslone. Détermination de la grandeur des résis- 
tances. Electromagnétisme. Action du courant sur les aimants mobiles (voir 
plus haut), action des aimants sur les conducteurs mobiles. Application dans 
lu construction des galvanomètres. Champs magnétiques autour des conduc- 
teurs à courant. Propriétés des sélénoïdes. Action mécanique des conducteurs 
à courant sur d'autres conducteurs à courant. Electro-aimants. Sonnerie élec- 



AlS 1 E S M A 1 11 E MA TIQU E S E T 1. A V H Y S IOI E 

trique. Télégraphie électromagnétique. Courants induits. Mouvement du 

condncteur dans le champ magnétique. Règle de Lenz. Force électromo- 
trice. Selfînduction. Courants de Foucault. Téléphone. Microphone. Dyna- 
mos. Machines à courant variable et constant. Collecteurs. Système dyna- 
moélectrique de Siemens. Moteurs électriques et leurs applications dans les 
constructions techniques et la locomotion. Courants alternatifs. Transforma- 
teurs. Bobine de Ruhmkorlf. Transport d'énergie électrique à dislance. 
Thermo-électricité. Eléments et batteries thermo-électriques. Thermomètres 
(pyromètres) électriques. Transformation de I énergie électrique en chaleur 
cl en lumière. Les unités employées aux mesures d'énergie électrique. 
La puissance dans les phénomènes électriques. Lois de Joule Chauffage el 
éclairage électriques. Electrolyse. Ions. Réactions secondaires. Loi de Fa- 
raday. Applications de Téleclrolyse. Polarisation des électrodes. Réactions 
électroly tiques dans les éléments et les accumulateurs. 

Troisième année i'J heures de leçon par semaine). — Compléments de 
mécanique. — Mouvement varié Approfondissement de la notion de vitesse 
et d'accélération. Mouvement uniforme circulaire. Force centripète. Figure 
de la terre. Lois de Kepler. Gravitation. Coefficient de la formule de New- 
ton. Variation du poids. Projection oblique. Répétition de la théorie des ma- 
chines. Bascule. Généralisation du principe de la conservation de l'énergie. 
Sur les systèmes d'unités en physique. Considération répétée des unités en 
mécanique et électricité. Mouvement harmonique simple. Vitesse et accéléra- 
tion du mouvement pendulaire. Cas les plus simples de sommation des mouve- 
ments harmoniques. Pendule mathématique. (Indication sur I existence de la 
longueur réduite du pendule physique sans démonstration mathématique.) 
Horloge à pendule. Expérience de Foucault. Explication de cette expérience 
au pôle. Sur la propagation du mouvement pendulaire. Etude des ondes. 
Vibrations longitudinales et transversales. Longueur des ondes. Principe 
d Huygens. Théorie de la réflexion et de la réfraction des ondes d'après 
Huygens. Interférences. Ondes stationnaires (nœuds, veulres). 

Le son. Sources du son. Conditions de la propagation des ondes sonores. 
Vitesse du son dans de différents milieux. Réflexion des ondes sonores. 
Interférences. Battements. Ondes stationnaires. Caractères du son. Intensité 
du son. Hauteur du son (sirènes). Principe de Doppler. Timbre. Analyse 
et synthèse du son (de la résonnance). Echelles musicales. 

Vibrations des corps. Vibrations des barres (diapason). Vibrations des 
plaques (figures de Chladni). Lois des vibrations des cordes (expérimentale- 
ment). Vibrations des colonnes d'air (tuyaux à anches et flûtes). L oreille 
et la trachée artère. Phonographe. 

Lumière et énergie rayonnante en général. Propagation de la lumière. 
Vitesse de la lumière. Méthode de Rœmcr et méthode de Fizeau. Couleur. 
Décomposition de la lumière blanche. Recherches de Newton. Analyse cl 
synthèse de la lumière. Couleurs des corps. Parties ultra-violette et ultra- 
rouge du spectre et moyen de les déceler (Réactions photochimiques). Fluo- 
rescence. Application des méthodes électriques. Radiomètres. 

Décomposition de la lumière blanche indépendamment de sa dispersion. 
Théorie ondulatoire de la lumière. Interférences de la lumière. Expérience 
de Young. Longueur de l'onde lumineuse. Rapport entre la couleur el la 
longueur de Tonde. Couleurs des couches minces, anneaux de Newton isans 
formule mathématique). 

Sous-divisions de l'optique en optique géométrique et optique physique. Dit- 



É COL E s /' RIV i: i: s n i: i> o i. G N i: 31 9 

ficullé de la définition «I» rayon lumineux. Phénomènes expliqués par la pi opa" 
galion rectiligne de la lumière : ombre, pénombre, images à I aide de petites 
ouvertures ichambre obscure). Lois do la réflexion de la lumière. Diffusion 

de la lumière. Miroirs plans. Méthode de Poggendorff de la mesure des 
petits angles. Formule des miroirs. Discussion de la formule. Construction 
des images. Réfraction de la lumière. Coefficient de réfraction. Réflexion 
totale. Explication à l'aide de la réfraction et de la réflexion de la lumière 
■ le quelques phénomènes cosmiques : réfraction astronomique, mirages. 
arc-en-ciel (notions générales). Passage «les rayons à travers une plaque aux 
plans parallèles. Prisme. Angle de la déviation minima (traiter comme fait 
expérimental). Réfraction de la lumière sur une surface sphérique. Lentilles. 
Formule des lentilles. Discussion de la formule. Construction des images 
(expliquant la théorie des lentilles très minces, admettre l'existence du 
centre optique comme une chose évidente). Défauts des lentilles. Aberra- 
tion sphérique. Astigmatisme. Aberration chromatique. Instruments d'op- 
tique Chambre noire. Photographie. Explication des procédés de la photo- 
graphie. Idée de la photographie des couleurs. L'œil. Construction anato- 
mique (vision). Accommodation des objets éloignés et rapprochés. Défauts 
«le l'œil. Lunettes. Vision binoculaire. Stéréoscope. Quelques remarques 
sur la physiologie et là psychologie de la vue. 

Loupe. Agrandissement. Microscope. Télescope. Caractères communs et 
différences. Construction. Formation des images. Agrandissement. Télescope 
terrestre. Lunette de Galilée. Lorgnettes prismatiques. Côté énergétique du 
rayonnement. Rayonnement de la chaleur (par incandescence et luminescence). 
Relation entre le pouvoir émissif et le pouvoir absorbant de l'incandescence 
(Expérimentalement). Questions pratiques sur l'éclairage. Unité de l'intensité 
de la lumière. Eclairage. Comparaison des différentes sources de lumière. 
Photomélrie Spectres d'émission et d'absorption (spectres continu el li- 
néaire). Mentions sur les spectres à bandes. Analyse spectrale et sa signi- 
fication. Spectre solaire. Lignes de Fraunhofer. Constitution du soleil. Ana- 
lyse spectrale d autres corps célestes. Principe de Doppler. Mention sur 
les phénomènes de diffraction de la lumière. Les réseaux de diffraction. No- 
tions sur la polarisation de la lumière. Polarisation par réflexion. Double 
réfraction. Polarisation par double réflexion. Spath d'Islande. Nicol. Rota- 
tion du plan de polarisation et application pratique de ce phénomène. No- 
tions sur la théorie électromagnétique de la lumière. Idées de Faraday et 
de Maxwell. Expériences de Hertz. Ondes électromagnétiques, leur pro- 
duction, leur découverte et leurs propriétés: leur application à la télégra- 
phie sans fil. 

Quelques mots de l'influence du champ magnétique. Sur les phénomènes 
lumineux. Polarisation rotatoire magnétique. Phénomène de Zeeman. Nou- 
veaux genres de rayons. Rayons X. Rayons cathodiques. Corps radioactifs. 
Electrons. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

I. — RÉUNION DE MILAN 

\<>us rappelons ici les grandes Lignes du programme dont nous 

avons déjà donné le détail dans le numéro de mai. 

Lundi i8 septembre, à 9 h. du matin, séance du Comité central. 
4 h. de L'après-midi, séance du Comité central avec les sous-com- 
missions spéciales A et B. 

Le soir à 8 1 ', h., réunion familière des participants. 

Mardi IV septembre, le matin à 9 h. et à 4 h. de l'après-midi, 
séances des délégués et des membres des sous-commissions na- 
tionales. 

Le programme comprend, comme on sait: 

1. La présentation des rapports élaborés par les sous-commis- 
sions nationales; elle sera suivie d'une discussion. 

2. La question des rapports à présenter au Congrès de Cam- 
bridge. 

3. La discussion des deux questions suivantes mises à l'ordre du 
jour par le Comité central : 

A. — Dans quelle mesure peut-on tenir compte, dans les écoles 
moyennes lycées, collèges, gymnases, écoles réaies, etc.), de 
l'exposé systématique des mathématiques .' — La question de la 
fusion des différentes branches mathématiques dans l'enseignement 
moyen. 

B. — L'enseignement mathématique théorique et pratique des- 
tine aux étudiants en sciences physiques et naturelles. 

Mercredi 20 septembre, le matin à 9 h., séance des délégués et 
des membres des sous-commissions nationales. Suite de la dis- 
cussion. 

A \ h. de l'après-midi, séance générale publique, dont voici 
Tordre du jour : 

1. Allocution d'un représentant de l'Italie. 

2. Allocution de M. le prof. F. Kleix, président de la Commis- 
sion. 



CHRONIQUE 321 

3. Conférence de M. le prof. F. Enriqubs Bologne . sur les Ma- 
thématiques et la Théorie de la connaissance. 

Les séanees ont lien à l'Ecole polytechnique, place Cavour. 

Jeudi 21 septembre. — La réunion sera suivie d'une exclusion 
au Lac Majeur organisée par les soins du Comité local. 

l-es adhésions et demandes de renseignements doivent être 
adressées au secrétaire-général, M. II. Pehr, I LO, Florissant. 
(ienève. 



IL — SOUS-COMMISSIONS NATIONALES 

Allemagne. — Berichte und Mitteilungen : Le fascicule VI 
vient de paraître, il comprend la traduction en allemand, par M. 
W. Lietzmann, de la circulaire n° 4 (mars 1911 mise au point jus- 
qu'en mai 1911 l't p. . 

Abhandlungen iïber den mathematisclien Unterricht in Deutsch- 
land: Deux nouveaux fascicules viennent de sortir de presse, ce 
qui porte à douze le nombre des fascicules parus. Ce sont : le 
3 e fasc. du 1 er volume, sur les examens d'état et la préparation 
pratique des mathématiciens, par M. W. Lorey et le 3 e fasc. du 
3 e volume, sur l'enseignement du dessin linéaire et de la géométrie 
descriptive, par M. P. Zlhlke. En voici les titres : 

I. Band. Heft 3. Staatsprufung und praktische Ausbildung der Mathema- 
tiker an den hôheren Schulen in Preussen und einigen norddeutschen Staa- 
ten, von Prof. Dr. W. Lorey illS p.). 

III. Band, Hefl 3. Der Unterricht im Linearzeîchnen und in der darstel- 
lenden Géométrie an den deutschen Realanstalten; von Dr. P. Zuhi.ke (92 p.). 

France. — La Sous-Commission française vient de faire pa- 
raître un premier volume de ses rapports. C'est le Tome III. con- 
sacré à Y enseignement supérieur (123 p.), et publié sous la direc- 
tion de M. A. de S'-Germaix. 11 est édité par la maison Hachette. 
En voici le sommaire : 

Aperçu général suc l'enseigneman! supérieur des Mathématiques, par M. 
A . de S'-Gkrmain . 

Rapport sur l'enseignement «lu Calcul différentiel et intégral, de la Méca- 
nique rationnelle, de l'Astronomie et des Mathématiques générales dans les 
Facultés des Sciences en France, par M. E. Vessiot. 

Rapport sur les Enseignements mathématiques d'ordre élevé dans les 
Facultés îles Sciences des Universités françaises, par M. Emile Bokei.. 

Faculté des Sciences de Paris : programme des Certificats d'études supé- 
rieu res pour l'année 1911. 

Rapport sur les Diplômes d'études supérieures de Sciences mathéma- 
tiques, par M. A. de S'-Germain. 

Rapport sur L'Enseignement mathématique dans les Instituts techniques 

des Facultés «les Sciences, par M. H. Yogt. 



322 CHRONIQUE 

Rapport sur L'Enseignement dos Mathématiques à 1 Ecole normale supé- 
rieure et sur l'Agrégation des Sciences mathématiques, par M. Jules Tan- 

NKRY. 

Note sur l'Enseignement mathématique au Collège de France, par M. A. 
de S'-Gkkmain 

Rapport sur I Enseignement mathématique à l'Ecole polytechnique, par 

M. G. HuMBERT. 

Rapport sur l'Enseignement mathématique à l'Ecole nationale des Ponts 
et Chaussées, par M. Maurice d'OcAGME. 

Rapport sur l'Enseignement des Mathématiques à l'Ecole nationale supé- 
rieure des Mines, par M. René Garmer. 

Rapport sur l'Enseignement mathématique à l'Ecole nationale des Mines 
de Sainl-Etienne. par M. M. Friedel. 

Note sur l'Ecole d'application du Génie maritime, par M. A. Ja.net. 

Hollande. — La Sous-Commission hollandaise publie l'en- 
semble de ses rapports en un volume, qui vient d'être distribué 
aux membres de la Commission internationale. Les rapports sont 
rédigés en français : en voici la liste : 

L'Enseignement mathématique à l'école primaire. 

L'Enseignement mathématique aux « Burgeravondseholen », écoles profes- 
sionnelles, écoles de dessin, écoles professionnelles pour filles et écoles 
techniques. 

Ecoles de marine. 

Ecole moyenne à trois années d'études. 

Ecole moyenne à cinq années d'études. 

Ecoles moyennes pour jeunes filles. 

L'Enseignement mathématique aux Gymnases. 

Les Universités. 

Académie technique. 

L Enseignement mathématique aux Instituts militaires de l'armée de terre 
dans les Pays-Bas. 

Ecole de Machinistes pour la Marine à Hellevœtsluis. 

Institut Royal de Marine à Willemsoord. 

Rapport complémentaire sur les propositions de la Commission d'Etal 
pour la réorganisation de renseignement, établie par Arrêté Royal du 
21 mars 1903. n» 49. 

Italie. — La Sous-Commission italienne vient de publier 
deux premiers fascicules de ses rapports. L'un traite du doctorat 
et de la préparation des candidats à l'enseignement, par M. S. Pin- 
cherle; l'autre des cours de mathématiques à l'université pour 
les étudiants de 1" année, par M. C. Somigliana. 

Sugli studi per la laurea in Mateiuatica e sulla sezione di Matematica 
délie Scuole di Magistère — Relazione di S. Pincheri.e. Prof, nella R. Uni- 
versita di Bologna il6 p.). 

Intorno all'ordinamento degli Studi Matematici nel primo bienno univer- 
sitario in Italia. — Relazione di C. Somigliaka, Prof, nella R. Universita di 
Torino II p.). 



CHRONIQUE 323 

K.u«!*ie. - La Délégation russe nous adresse deux nouveaux 
fascicules contenanl chacun deux rapports-, rédigés en français. 

1. L'Enseignement mathématique dans les Ecoles primaires el les Ecoles 
normales, par M. S ancien directeur d'Ecole <t instituteurs (24 p.). 

2. L'Enseignemenl mathématique dans les Gymnases du Ministère de 
1 Instruction Publique el dans les lusiituis de jeunes lillrs du ressorl <li-s 
établissements de l'Impératrice Marie, par M. Kondratiev, directeur «In 
8 € Gymnase «le S*-Pétersbourg i5 p.). 

I. L'Enseignemenl des Mathématiques dans les corps de cadets, par 
M. Poprugenko. lieutenant-général attaché à la Direction générale des 
Ecoles militaires i 16 p.). 

'1. Notice sur les cours pour la préparation ries maîtres des corps de 
cadets, par Z. Makchéev, directeur du Musée pédagogique des Ecoles mili- 
laires à S'-Pétersbourg (4 pi. 



V e Congrès international des Mathématiciens. 

Nous venons de recevoir, en date du 5 juillet, la première cir- 
culaire concernant le Congrès international des mathématiciens. 
Ainsi que nous l'avons annoncé en mai, le Congrès aura lieu à 
Cambridge, du 22 au 28 août 11)12. Le Comité d'organisation est 
compose de MM. G.-H. Darwin, Président; J. Larmor, Trésorier; 
E.-W. Hobsox et A.-E.-H. Love. Secrétaires; H. -F. Baker et 
A . B e iî ii v . 

( >n prévoit une série de conférences destinées à donner une 
idée de l'état actuel des principales branches mathématiques et 
de leurs applications. Elles seront faites par MM. E. Borei., 
Ë.-W. Brown, A. Kneser, E.-G.-H. Laxdau, J. Larmor. Sir VV. 
\\ mite. Les sujets seront indiqués ultérieurement. 

Les travaux seront répartis sur quatre sections : 

I. Arithmétique, Algèbre, Analyse. — IL Géométrie. — 111. 
Mécanique, Physique mathématique. Mathématiques appliquées. 
— I\ . Questions philosophiques, historiques et didactiques. 

La carte de membre est de 1 L. ; elle donne droit au volume des 
comptes rendus. Les personnes qui accompagnent un membre du 
Congrès auront les mêmes avantages sauf le volume des comptes 
rendus . moyennant une carte de 12 Sh. 

Pour tous les renseignements concernant le Congrès, s'adresseï 
au Secrétaire-général, Prof. E.-W: Moisson, Christs Collège, 
Cambridge, Angleterre. 

Le Congrès sera place sous les auspices d'un Comité interna- 
tional. La circulaire donne une première liste de noms qu'il y 
aurait lieu de compléter afin que tous les pays qui prennent une 
pari active aux congres internationaux des mathématiciens soient 
représentés dans ce Comité. 



CHRONIQUE 



Universités allemandes. — Thèses de doctorat ; 1909-1910. 

Le Bulletin oflhe American mathem. Soviet;/ publie la liste des 
thèses de mathématiques acceptées par les universités allemandes 
pendant l'année scolaire 1909-1910. D'après ses indications, les 
thèses se répartissent comme suit : 

Berlin 0, Bonn 0, Breslau 3, Erlangen 3, Fribourg-i-B. 0, Gies- 
sen 1, Gottingue 7, Greifswald 1, Ilalle-a-S. 2, Heidelberg 1, 
Jena 0, Kiel 1. Kônigsberg-i-Pr. 2, Leipzig 2, Marbourg 0, Mu- 
nich 3, Munster 1, Rostock 3, Strasbourg-i-Ë. 6, Tubingue I, 
Wurzbourg 1. En voici les titres : 

Breslau. — R. Dittrich, AJbstandsôrter im Polarraume. — 
E. Jurbtzka, Die Entwickelung unstetiger Funktionen nach den 
Eigenfunktionen des schwingenden Stabes aufGrund der Théorie 
der lntegralgleichungen. — Nelly Neumànn, Ueber das Flâchen- 
netz 2. Ordnung nnd seine Korrelative Beziehung aufeinen Strah- 
lenbiindel. 

Erlangen. — R. Baldus, Ueber Strahlensysteme, weïche unend- 
lich viele Regelflâchen 2. Grades enthalten. — C. Gerstenmeibr, 
Beitràge zur Théorie der linearen DilTerentialgleichungen mit 4 
und 5 singulâren Stellen. — A. Gkus, Die eindeutigen Transfor- 
mationen der ebenen Kurve dritter Ordnung in sich, invarianten- 
und funktionentheoretisch behandelt. 

diessen. — IL Wehrheim, Ueber das kombinatorische Produkt 
dreier Kollineationen in der Ebene. 

Gœttingue. — L. BiEBEHnACH, Zur Théorie der automorphen 
Funktionen. — R. Courant, Ueber die Anwendung des Dirich- 
letschen Prinzipes aufdie Problème der konformen Abbildung. — 
E. Frelxdlich. Analytische Funktionen mit beliebig vorgeschrie- 
benem nnendlich-blàttrigem Existenzbereiche. — M. Jjbger, Gra- 
phische Integrationen in der Hydrodynamik. — Grete Kahn. Eine 
allgemeine Méthode zurUntersuchung derGestalten algebraischer 
Kuiven. — Klara Lobknsi ki.v Ueber den Satz, dass eine ebene, 
algebraische Kurve 0. Ordnung mit 11 sich einander ausschlies- 
senden Ovalen nicht existiert. — A. Wink, Ueber die Diskonti- 
uuitâtsbereiche der Gruppen ans linearen nicht infinitesimalen 
Substitutionen. 

Greifswald. - Th. Beyer, Die Integrationen der simultanen 
linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koellizienten. 

Halle. — P. Lehmann, Beitràge zur Théorie der Daistellnng der 
stetigen Funktionen durch Reihen von ganzen rationalen Funk- 
tionen. — E. Rœser, Die Verfolgungs kurve auf der Kugel. 

Heidelberg. — .1. Carlebacu, Lewi ben Gerson als Mathema- 
tiker. 



CHRONIQUE 325 

Kiel. — \V. Kocn, Beitrâge zur affinen Géométrie der Flàchen 
zweiten Grades. 

Kônigsberg. — \Y. Gjsdecke, Die invcrsen Flàchen der Mittel- 
punktsflàchen 2. Ordnung. — E. Schimanski, Die algebraischen 
[nvarianten der projektiven Gruppen der Ebene und die geome- 
trische Charakterisierung dièser Gruppen. 

Leipzig. — H. Albbrti, Die Grundlagen des Systems Spinozas 
ira Lichte der kritischen Philosophie und der modem en Mathe- 
raatik. — \V. Feyer, Ueber die Holderschè Funktion 

+ ■'■ , 

Fk= e" • ] j(l — u/n)" ■ e u + ï u ' 2/n \ 



!!= — £. 



und einige verwandte Transzendente. 

Munich. — Ch. -H. Ashtox, Die Ileinesehen 0-Funktionen und 
ihre Anwendungen auf die elliptisehen Funktionen. — A.Lœhrl. 
Ueber ko n forme und aquilonge Transformationen im Raum. Ein 
Beitrag zur Géométrie der Kugeln. — A. Rosbntal, Unter- 
suchungen iiber g-leichflaehige Polyeder. 

Munster. — F. Ferrari, die geometrische Losung der Aufgaben 
dritten und vierten Grades mittels des Lineals und einer festen 
Kurve dritter Ordnung mit Rùckkehrpunkt oder reellem Doppel- 
punkte. 

Hostock. — W. Dlker, Ueber Beziehungen der Strahlenkom- 
plexe zweiten Grades zu den Flàchen zweiter Ordnung. — C. 
Nadler, Ueber den Zusammenhang der Raumkurve vierter Ord- 
nung erster Spezies mit ihrem Polartetraeder. — H. Wolff, Be- 
handlung des Vorganges, dass eine ebene elektromagnetische 
Welle, die auf die ebene Oberflëche ci nés Korpers, insbesondere 
eines Leiters auftrifift, von diesem reflektiert wird, auf Grund der 
Maxwell schen Gleichungen unter ausfuhrlichem Eingehen auf 
die Art der stattlindenden Energiefortpflanzung. 

Strassbourg. — Wanda Braùn, Bestimmung der Kôrperdis- 
kriminante in einem kubischen Zahlkôrper. — 11. Burgwedel, 
Ueber die Kulersehen und Gaussschen Methoden der Primzahl- 
bestimmung. — |L. Giroo, Das sphârische Analogon der Hypocy- 
kloïdenbewegung des Cardanus und sein Zusammenhang mit der 
Théorie eines verallgemeinerten Hookeschen Gelenkes. -A. 
KiKirii, Die Einfuhrung der horaogenen Koordinaten durch 
K.-W . Feuerbach. — 11. Plate, Punktausgleichung und Fehler- 
bestimmung noch graphischen Methoden in ihrer Anwendung 
auf Ortsbestimmung durch Standlinien. — O. Stampfli, Der 
Zweiteilungskôrper <l<'r elliptisehen Funktionen. 

Titbingue. — F. Blum, Die infinitésimale Biegung von Flàchen 
bei vollstàndiger Starrheit eines Kurvensystems. 

L'Enseignement mathém., I3« année: L9H. -' 



'326 CHRONIQUE 

Wurzbonrg. — G. Grabnbr, Algebraische Bertrand-Kurven cind 1 
algebraische Kurven konstanter Torsion. 

Dans le Jahresbericht der Deiitschen Matkematiker-Vereinigung 
M. lr Prof. Gutzmer l'ail remarquer que cette liste est sans doute 
incomplète et qu'il y aurait lieu d'ajouter, pour l'Université de 
llitllc : E Gorges, Die Zusammensetzung der Krà'f'te. — K. Krie- 
mi.ki:. J.-Il. Lamberts Philosophie der Mathrematik. 

Bien que ees travaux soient plutôt de nature philosophique, ils 
doivent être attribués aux mathématiques au même titre que celui 
de Alberti Leipzig . 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — l niversitè de Gœttingue. Les mathématiques 

seront bientôt dotées d'un institut spécial. Les fonds destinés k la 
construction du bâtiment se montent déjà à 200,000 Mk. ; la So- 
ciété de mathématiques et de physique appliquées de Gœttingue 
a donné 100,000 Mk. et deux grandes usines ont souscrit chacune 
pour 50,000 Mk. 

— M. F. Bernstein, privat-docent, a été nommé professeur 
extraordinaire à l'Université de Gœttingue. 

M. G. Cantor, de l'Université de Halle, a été nommé membre 
correspondant de l'Institut royal de Venise. 

M. K. Schmidt, professeur à l'Université d'Krlangen, a accepté 
un appel à l'Université de Breslau. 

Autriche. — M. Laska a été nommé professeur à l'Université 
bohème de Prague. 

Belgique. — Manifestation en l'honneur de M. le professeur 
J. Neuberg. — Ainsi que nous l'avons annoncé, M. J. Nrurerg a 
pris sa retraite et vient d'être nommé professeur émérite de l'Uni- 
versité de Liège. A cette occasion il s'est constitué un comité en 
vue d'organiser une manifestation en l'honneur du savant mathé- 
maticien. Ce comité vient de lancer une circulaire dont voici le 
principal passage : 

« Un des Maîtres les plus distingués de l'Université de Liège. 
M. .1. Neuberg, vient d'être promu à l'éméritat. 

« Pendant près d'un demi-siècle, il s'est consacre avec un rare 
dévouement à l'enseignement des Mathématiques; ses travaux de 
Géométrie lui ont acquis une réputation enviable parmi les ma- 
thématiciens de toutes les nations. 

Membre de l'Académie Royale de Belgique depuis 1891, il est 
directeur de la (lasse des Sciences pour la période actuelle; direc- 
teur de la revue Mathesis, il a rendu les plus grands services à la 



CHRONIQUE 327 

science età l'enseigne m enl des Mathématiques; membre du Con- 
seil de Perfectionnement de l'Enseignement moyen et président 
des Jurys «les Sections normales moyennes, il a eu une heureuse 
influence sur la formation des professeurs en Belgique. 

« Par ses belles leçons, tant a l'Athénée qu'à l'Université, il a 
su inspirer le goût des mathématiques aux générations d'ingé- 
nieurs qui se sont succédé pendant plus d'un quart de siècle, et il 
est peu de professeurs qui se soient, autant que lui, concilié l'es- 
time et l'admiration de leurs auditeurs. 

C'est pourquoi un groupe d'élèves, d'anciens élèves et d'amis 
a pense qu'il convenait de faire appel à tous ceux qui profitèrent 
de ses leçons ou de ses conseils, comme à ceux qui ont pu l'ap- 
précier dans les différents domaines de son activité scientifique 
ou professorale, afin d'offrir à M. J. Neuberg son portrait et une 
adresse contenant les noms des souscripteurs. 

La souscription minima est fixée à dix francs; chacun des 
souscripteurs recevra un portrait du jubilaire et un Liber Memo- 
rialis en souvenir de la cérémonie. » 

Les souscriptions sont reçues auprès de M. Ed. Barbette, Direc- 
teur de l'Institut Franken, 18, rue Darehis, Liège. 

France. — Jubilé Darboux. — « Cette année, l'un des plus 
éminents géomètres de notre époque, M. Gaston Darboux, aura 
accompli sa cinquantième année de services dans l'enseignement 
public : depuis plus de vingt-cinq ans. il est membre de l'Acadé- 
mie des sciences, depuis dix ans il en est le Secrétaire perpétuel. 

Sa vie tout entière a été consacrée à la science et à l'ensei- 
gnement. Ses beaux travaux d'analyse mathématique, de méca- 
nique rationnelle, de géométrie infinitésimale l'ont placé au pre- 
mier rang des savants de tous les pays. Par ses ouvrages, par ses 
cours à la Sorbonne, par ses conférences à l'Ecole normale supé- 
rieure et à l'Ecole normale de jeunes filles de Sèvres, il est devenu 
le maître aimé et admiré d'un grand nombre de mathématiciens 
de nationalités diverses, et de la plupart des professeurs de ma- 
thématiques de France. Dans ses fonctions de doyen à la Faculté 
des Sciences de l'Université de Paris, de membre et de vice-pré- 
sident du Conseil supérieur de l'Instruction publique, il a rendu 
les plus grands services à l'enseignement dans tous ses degrés. 

C'est pourquoi un groupe d'élèves, d'admirateurs et d'amis de 
M. Gaston Darboux croit devoir faire appel à ceux qui ont étudié ses 
ouvrages ou suivi ses leçons, comme à ceux qui ont pu apprécier 
sa bienveillante influence dans l'ordre scientifique ou dans l'ordre 
administratif, pour lui offrir à l'occasion de ses noces d'or uni- 
versitaires et de ses noces d'argent académiques, une médaille 
reproduisant son effigie, avec une adresse portant les signatures 
des souscripteurs. » 

Les adhésions et les souscriptions sont reçues auprès de M. Gi i- 



328 CHRONIQUE 

chaud, professeur à la Sorbonne, au secrétariat de la Faculté des 
Sciences, Sorbonne, Paris. 

Lue souscription de vingt-cinq francs donne droit à une mé- 
daille de bronze, et une souscription de cinquante francs à une 
médaille d'argent, réductions de celle qui sera offerte à M. Dar- 
boux. Le Comité espère envoyer à tous les souscripteurs, quel que 
soit le montant de leur souscription, un exemplaire de la bro- 
chure commémora tive. 

— M. Cosserat, directeur de l'Observatoire de Toulouse, a été 
nommé membre correspondant de L'Académie des Sciences, en 
remplacement de M. Ch. Méray. décédé. 

M. Hkxxequix est chargé des conférences de mathématiques à 
la Faculté des Sciences de Caen. 

M. Lattes, chargé de cours, est nommé professeur de Méca- 
nique rationnelle à l'Université de Toulouse. 

Etats-Unis. — Columbia University. M. .1. Hadamard, pro- 
fesseur au Collège de France, donnera des cours en octobre et 
novembre prochain sur les sujets suivants : Calcul des variations 
mardi et jeudi de 4 h. à 6 h.). — Equations aux dérivées partielles 
de la physique mercredi et vendredi de 4 h. à (i h. . — En outre 
quatre conférences ayant pour objet : Des solutions des équations 
aux dérivées partielles linéaires par les conditions aux limites; 
Applications récentes de certaines théories mathématiques à des 
problèmes physiques; Analysis situs ; Solutions élémentaires des 
équations aux dérivées partielles et fonctions de Green (samedi 
de 10 h. '/, à midi ' ', . Toutes les personnes s'intéressant aux 
mathématiques seront admises aux conférences du samedi. 

Hongrie. — M. Fejéb, professeur à l'Université de Klausen- 
bourg, a été nommé professeur à l'Université de Budapest. 

Italie. — M. Levi-Civita. professeur à l'Université de Padoue, 

a été nommé membre correspondant de l'Académie des Sciences 
de Paris. 

M. F. D'Aiîcais, professeur à L'Université de Padoue. a été 
nommé membre ordinaire du Reale Institut Veneto. 

M. D. Montes ano, professeur à l'Université de Naples, a été 
nommé membre ordinaire de l'Académie royale des Sciences de 
la même ville. 

M. V. Volterra, professeur à l'Université de Rome, a été élu 
associe étranger de la National Academy of Sciences de Wa- 
shi ngton. 

Russie. — Ecole tusse de Paris. — Le gouvernement russe a 
décidé d'envoyer à Paris, avec une bourse de .">(><)<> fr. , une ving- 
taine d'étudiants russes qui, pendant trois ans, poursuivront leurs 
études de droit et de mathématiques. Ces pensionnaires forme- 



NOTE S E T DOC U M E N T s 329 

pont l'Ecole russe de Paris, à l'instar de l'Ecole française 
d'Athènes. Ils participeront ensuite ii L'enseignement donné dans 
les universités russes. La Revue scientifique, à laquelle nous em- 
pruntons ces renseignements, ajoute une statistique qui montre 
l'importance de la colonie russe à l'Université de Paris: en 1910, 
on compte 1635 étudiants russes, dont 301 en sciences; en 1911, 
1555 étudiants russes dont 2.">(i en sciences. 

Suède. — La 2 e Réunion des mathématiciens Scandinaves aura 
lieu à Copenhague, du 28 au 31 août prochain. 

Suisse. — M. Michel Plancherei., privat-docent à l'Univer- 
sité de Genève, est nommé professeur extraordinaire à l'Univer- 
sité de Fribourg. 

Nécrologie. 

\\. Bonola. — Nous avons le regret d'apprendre la mort de M. 
11. Bonola, survenue à Bologne le 16 mai dernier. Agé de 36 ans 
seulement, il venait d'être nommé professeur de mathématiques à 
l'Ecole normale supérieure de jeurwes filles de Rome. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Année universitaire 1911-1912. 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Columbia Dniversity iNew-York). — Prof. C. J. Keyser : Modem théories 
in geometry, 3 h. ; The principles of mathematics, 3 h. — Prof. T. S. Fiske : 
Advanced calculus, introduction lo the theory of fiinctions ofa real variable. 
3 h. ; Theory of fonctions of a complex variable, 3 h. — Prof. F. N. Cole : 
Theory of Groups, 3 h.; Theory of invariants. 3 h. — Prof. James Maclay 
Higher algebra, 3 h. : Elliptic fonctions, 3 h. — Prof. D. E. Smith: History 
of mathematics, 3 h. — Prof. Edward Kasner : Difl'erential équations. 3 h., 
second halfyeàr: Dynamical geometry, 3 h. — D 1 N. J. Lknnes : General 
theory of assemblages, 3 h. 

The mathematiral colloqiiinni will mect at intervals of a bout two weeks. 

M. .1. Hadamard, professeur au Collège dé Fiance, donnera une série de 
conférences en octobre h en novenbie 1911 (voir p. 32N de ce fascicule, 
Réd.\. 



330 N O TE S ET D O C L' M E N T s 

Cornell University (Ithaca, New-York). — Prof. J. McMahon : Mathema- 
lical physîcs, 3 h. — Prof. J. H. Tanner : Teachers 1 course, 3 lt. — Prof. 
J. I. Hitchi.ns.on: Elliptic fonctions, 3 h. — Prof. V. Snyder : Projective 
geometry, 3 h. — Prof. F. R. Sharpe : Mechanics, 3 li. — Prof. W. B. 
Carver : Theory of numbers, 3 h. [firsl term) ; Conjugate coordinates, 3 li 
second term). — D r I). C. Gillespie: Theory of fonctions of a real variable, 
3 h. — D' C. F. Craig : Âlgebraîc curvés, 3 1.. — D' F. W. Owens : Diffe- 
rential équations, 2 b. — D r J. V. McKelvey . Analytic geometry, 3 h. — 
I) r L. L. Silver.man : Infinité séries, 3 h. (firsl term); Algebra, 3 h. (second 
term). — D 1 \V. A. Hlrwitz : Differential équations of mathematical phy- 
sics. 3 h. — D r E. J. Miles : Advanced calculus, 3 h. 

Johns Hopkins University (Baltimore). — Prof. F. Morlev : Higher geo- 
metry, 3 b.; Theory of fonctions, 2 h.; Vector analysis, 2 h. — Prof. A. B. 
Coble : Theory of Groups, 3 h.; Theory ol correspondences, 3 h. — D r A. 
Cohen: Elementary theory of fonctions 3 h.; Differential équations 2 li. ; 
Differential geometry. 2 li . 

University of Illinois (Urbana). — Prof. E. J. Townsend : Theory ot fonc- 
tions of a complex variable. 3 h.: Seminar in spécial topics iu the theory of 
fonctions. — Prof. S. W. Shattuck : Differential équations and calculus of 
variations. 3 h. — Prof. G. A. Miller : Theory of numbers, 3 h. — Prof. 
H. L. Rietz : Theory of statistics, 3 h. — Prof. C. H. Sisam : Solid ana- 
lvlic geometry. 3 h. — Prof. J. B. Shaw : Theory of potential and relaled 
fonctions, 3 h. ; Seminar course in gênerai algebra. — Prof. A. Emch : Pro- 
jective geometry. 3 h, — D r A. R. Crathorne : Theory of fonctions of a real 
variable, 3 h. — D r R. L. Bôrger : Invariants and higher plane curves, 3 h. 
D r E. B. Lytxe : Teachers course in mathematics, 2 h. (second semester). 

Indiana University (Bloomington). — Prof. S. C. Davisson : Theory of 

fonctions, 3 h. la. w, s). — Prof. D. A. Rothrock : Contact transforma- 
tions, 2 li. (a, w); Differential équations. 3 h. fa, w); Fourier séries, 3 h. 
(*). — Prof. U. S. Hanna : Elliptic fonctions, 2 h. (a. w, s); Advanced cal- 
culus, 3 h. fa, w, s). — Prof. R. D. Carmichael : Linear differential équa- 
tions, 3 h. fa. w, s): Différence équations, 3 h. (a, ir, s), la. w, s = an- 
iiiidii. winter, spring). 

Princeton University. — Prof. H. B. Fine : Theory of élimination. 3 h. 
(first term). — Prof. H. D. Thompson : Infinitésimal geometry, 3 h. : Coor- 
dinate geometry, 3 h. — Prof. L. P. Eisenhart : Mechanics. 3 h.; Partial 
differential équations, 3 h. (firsl term): Vector analysis, 3 h. (second term). 

— Prof. O. Veblen : Projective geometry, 3 h.; Theory of fonctions of real 
variables. 3 h. — Prof. G. D. Birkhofe : Analysis, 3 h.; Linear differential 
équations, 3 h. — Prof. W. Gillespie: Theory of substitutions, 3 h. (firsl 
term). — Prof. J. G. Hun : Analytic projective geometry, 3 h. i second term). 

— Prof. E. Swift: Differential équations, 3 h.; Calculus of variations, 3 h. 
second term). — Prof. J. H. McL. Wedderburn : Theory of fonctions of a 

complex variable, 3 h. — Prof. O. Veblen : Seminar in géométrie group 
theory. both terme. — Prof. G. D. Birkhofi : Seminar in linear différence 
équations, both ternis, — Prof. F. P. Adams : Analvlic mechanics, '■'< h. 

Yale University (New-Haven, Conn.). — Prof. J. Pierpont : Theory of 
fonctions of a complex variable, 2 h.; Modem analtyie geometry, 2 h : Ad- 
vanced differential équations, 2 h.; Theory of numbers, 2 h. — Prof. P. F. 



.v o r /■; s /; / i> o < r m i: v fs 331 

Smith : Differential geometry, 2 li. ; Ge trie analysis, I h. — Prof. E. W. 

Brown : Mechanics, 2 h . Advanced calculus, 3 II: Celestial mechanics, 2 II 

— Prof. W. R. Longley : Calculus of variations, 2 h. — D r H. F. Mac- 
Neish : Differential équations, I II — D r G. M. Conwell : Foundations of 
geometry, 2 h. — D r G, F. Gundelfinger : Analytic geometry, '1 II — D r 
I). I). Leib : Transformations <>l space, 2 h. — I) 1 H. II. Mitchell : A.dvan- 
< - cil algebra, 2 h. — Mr. \N . A. Wilson : Theory of functions of a real 
variable, 2 II 

ITALIE 1 

Bologna ; Università. — Arzela : Matematiche superiori 2 , 3. — Bi r- 
«.vtti : Dinamica dei corpi rigidi con applicazione ;il moto (Ici pianeti; 
Bquilibrio di una massa fhiida ruotante, 3. — - Donati : Esposizione compa- 
ra ti va délie varie teorie eleltromagnetiche e délie recenti ricerche sul prin- 
cipio di relatività. 3. — Piischerle : Teoria délie funzioni analiliche; Equa- 
zioni differenziali lineari, 3. — Scakpis : Gruppi di operazioni e loro appli- 
cazioni alla teoria dei numeri, 3. 

Catania ; Università. — De Franchis : Cenni di geometria sulle curve e 
superficie algebriche e sugli integrali relativi ; Superficie iperellittiche, 4. — 
Pen.nacchietti : Dinamica dei corpi solidi : Meccanica dei corpi deformabili. 
4. — Severi.m : Equazioni integrali e loro applicazioni all'analisi. 4. — 
X. N. : Fisica malemalica, 4. 

Genova ; Università-, — Levi : Teoria elemenlare délie funzioni di una e 
più variabili complesse ; Problema dell uniformizzazione délie funzioni po- 
lidrome, 4. — Loria : Curve e superficie algebriche e trascendenti, 3. — 
Tedone : Metodi d'integrazîonc di Riemann-Volterra ed applicazione alla so- 
luzione di problemi con condizioui al contorno, 3. 

Napoli ; Università. — Amodeo : Sloria délie matematiche nell' evo niedio 
Isecoli XI1I-XYI), 3. — Del Re : Analisi di Grassmann ad /; dimensioni, 
con applicazioni alla Geometria ed alla Meccanica degli spazî a curvatura 
cos tante, 4 '/g . — Makcolongo : Applicazione dei metodi délie omografie 
vetloriali a question! di idrodinamica teorica, 3. — Montesâno : Teoria gé- 
nérale délie superficie algebriche: Superficie di 3° e 4° ordine, 4 '/s . — 
Pascal: Capitoli scelli di analisi superiore, 3. — Pinto : Eleltrostatica, 4 1 /î. 

— Torelli : Teoria analitica dei numeri (seconda parte), 3. 

Padova ; Università. — D'Arcais : Teoria générale délie funzioni ; Fun- 
zioni ellitliche, 4. — Cisotti : Teoria matematica dell' elasticità con appli- 
cazioni tecuiche, 3. — Gazza.mca : Teoria dei numeri, 3. — Levi-Givita : 
Teoria délie onde nei suoi differenti aspelti, 4 l jt. — Ricci : Metodi di cal- 
colo difl'erenziale assoluto , Teoria dei potenziale. 4. — Skveri : Teoria délie 
funzioni algebriche di due variabili e dei loro integrali (seconda parte), 4. — 
Veronf.se : Foudamenlî di geometria (seconda partel, 4. 



1 Les cours généraux itds que ceux d'Analyse algébrique et infinitésimale, de Groométrie 
analytique, projective, descriptive, Mécanique rationnelle. Géodésie) ne sont pas indiqués 
dans la liste. 

2 Une indication plus précise fait défaut à cause de l'état de santé de M. Arzelà. Nous lui 
souhaitons prompte guérison. 



332 N OTE S E T DOC U M E N T S 

Palermo ; Università. — Bagnera : Teoria générale délie funzioni anali- 
tiche : Funzioni algebriche di nua variabile, 3. — Gebbia : Elastieità ; Teoria 
oudulatoria délia luce. 4 '/«• — Guccia : Teoria générale délie eurve e délie 
superficie algebriche. 4 */». — Yentuki : Forma dei pianeli con spéciale ri- 
guardo alla terra; (eorie di Pratt, di Stokes, di Helmert ; isostasi ; marée 
délia seorza : gravita. 3. 

Pavia ; Università. — Berzolari : Trasformazioni birazionali nel piano e 
nello spazio. 3. — Gerbaldi : Generalità sulle funzioni di variabile complessa ; 
Funzioni ellittiche. 3. — Yiva.nti : Calcolo délie variazioni ; Equazioni inte- 
grali, 3. — X. N. Fisica matematica, 3. 

Pisa ; Università. — Bertini : Geometria sopra una superficie (seconda 
parte). 3. — Bianchi : Teoria aritmetica délie forme quadratiche (binarie e 
temarie) ; Principii di aritmetica analitica ; Aritmetica dei corpi algebrici, 
4 */î- — Dini : Funzioni sferiche e cilindriche. 4 l j%. — Maggi : Equilibrio 
e movimento dei corpi elastici ; Applicazione alla teoria dei fenomeni lnmi- 
nosi, 4 '/2- — Pizzetti : Principii di astronomia sferica ; Determinazione 
délie orbite planelarie ; Teoria meccanica délia precessione e délia nuta- 
zione ; Teoria délie marée, 4 1 J2. 

Roma ; Università. — Bisconcini : Studio differenziale délie curve e délie 
superficie, 3. — Castelnuovo : Geometria differenziale, 3. — Lauricella 
Problemi al contorno, 3. — Orlando : Elementi fisico-malematici délia na- 
vigazione aerea, 3. — Silberstein : Fondamenti di termodinamica ; Elettro- 
magnetismo ed ottica ; Meccanica e principio di relatività, 3. — Volterra : 
Oltica, 3. — Applicazione délia meccanica teorica a questioni geofisiche, 3. 

Torino ; Università. — Boggio : Figure d' equilibrio di masse fluide ruo- 
tanti. 3. — Fubi.m : Teoria délie equazioni a derivale parziali nel campo 
reale e nel campo complesso : Problemi di Cauchv ; Problemi al contorno, 3. 

— Sannia : Applicazioni geometriche délia teoria délie forme algebriche, 1. 

— Segre : Gruppi continui di trasformazioni, 3. — Somigliaxa : Teoria délia 
propagazione dei calore ; Termodinamica, 3. 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

Compte rendu des travaux des sous-commissions nationales l . 
(4 e article.) 

AUTRICHE 

Les mathémathiques dans les gymnases 2 . 

On sait qne de nouveaux plans d'études ont été adoptés en Autriche poul- 
ies trois types d établissements secondaires supérieurs: gymnases, gymnases 
réaux et écoles réaies. Ils tiennent compte, dans une large mesure, des ré- 
formes qui ont été proposées au cours des dix dernières années. Ces pro- 



1 Voir VEns. math, du !."> janvier, du 15 mars et du 13 mai 1911. 

1 Der mathematisthe Vnterricht an den Gymnasien, von D r Erw. DlNTZL. — Beriohte ttber 
den mathem. Internent in Oesterreich, Heft 3 (78 p.t, Holder. Wien, 1910. 



N O T E S E T DOCV M E N T N 333 

grammes sout entrés en vigueur dès l'année scolaire I '.'09-10 dans les classes 
inférieures. Dans son numéro de juillet 1910 L'Enseignement mathématique 
ip. 326-341)) a reproduit entièrement, avec les observations qui l'accom- 
pagne, le programme des écoles réaies, en le taisant suivre d'un aperçu du 
rapport que la sous-commission autrichienne consacre à ces écoles. 

Les nouveaux plans d'études ne présentent que peu de différences pour les 
trois types d'établissements. Nous pouvons donc nous borner à signaler très 
brièvement l'intéressant rapport de M. Dintzl sur les gymnases autrichiens. 

Dans la t re •partie il examine d'abord la situation qui est faite aux mathé- 
matiques par rapport aux autres branches. Le gymnase comprend huit an- 
nées d'études ; l'âge d'admission est de 10 ans révolus pour- la classe infé- 
rieure et l'âge moyen de sortie (obtention du certificat de maturité) de 19,7 
(en 1907-08). Dans chaque année il est consacré 3 heures par semaine aux 
mathématiques, sauf pendant la dernière année (2 h). On estime avec raison 
que ce temps est insuffisant. 

L'auteur établit ensuite un parallèle entre le plan d'études de 1900 et celui 
de 1909. Tandis que depuis près de 60 ans on avait suivi le principe de deux 
cycles d'études (le cycle propédeutique et le cycle de l'exposé plus systé- 
matique) le nouveau plan d'études cherche à adapter les programmes encore 
plus étroitement au développement des élèves en instituant trois cycles. Le 
cycle propédeutique dure trois ans, puis vient un cycle intermédiaire de 
deux ans formant un acheminement à 1 étude plus systématique qui embrasse 
les trois dernières années. 

Dans la 2 me partie. M. Dintzl passe en revue le programme des diffé- 
rentes branches en l'accompagnant de renseignements et d'observations qui 
seront lus avec beaucoup d'intérêt par les professeurs de l'enseignement 
secondaire. Nous terminerons en reproduisant le sommaire de ce rapport : 

I. Allgemeiner Teil. — 1. Die àussere Stellung der Mathematik als Un- 
terrichtsgegenstand am ôsterreichischen Gymnasium. (Fragen der Gesamt- 
organisation; Verhâltnis zu den iïbrigen Lehrfâchern ; Stundenzhal ; Priï- 
fungen ; I.ehrbefahigung der Malhemaliklehrer). — 2. Die Lehrplàne aus den 
Jahren 1900 und 1909. — Die gegenwàrtigen Ziele des mathematischen Un- 
lerrichtes. — 4. Allgemeine methodische Bemerkungen. 

II. Besonderek Teil. — A. Arithmetik und Algèbra. — 5. Der Rechenun- 
terricht auf der Dnterstufe. — 6. Die arithmetischen Grundoperalionen der 
ersten, sweiten und dritlen Slufe und der Zahlbegriff. — 7. Die algebrai- 
schen Problème des Interrichles. — 8. Zahlentheoretische Fragen. — 9. Nu- 
merisches Rechnen. 

B. Géométrie. — 10. Der propaedeutische Unterricht in der Géométrie auf 
der Unterstufe. — 11. Planimetrie auf der Mittelstufe. — 12. Stéréométrie 
auf der Mittelstufe. Darstellende Géométrie. — 13. Trigonométrie. 

C. Analysis. — 14. Analytische Géométrie. — 15. Der Funktionsbegrifl*. 
— 16 Differential- und Integralrechnung. 

D. Angewandte Mathematik, Geschichte der Mathematik. — 17. Die An- 
wendungen der Mathematik im Unterrichte. — 18. Das historische Moment 
im Unterrichte. 

Anhang. — Stundenùbersicht. — Auszug aus dem Lehrplàne fur Mathe- 
matik vom Jahre 1909. — Literaturverzeichnis. 



334 N T E s E T DOCV M E N 1 S 

RUSSIE 

Ecoles réaies. 

Bericht ûber den mathematischen Unterricht an den russischen Real- 
schulen 1 , von K. W. Yogt. — Fondées en 1872, les écoles réaies russses 
n'avaient, à l'origine, pour but que l'enseignement conforme aux exigences 
de l'instruction pratique et technique. 

Mais, peu à peu, leurs plans d'études se sont transformés, et, actuelle- 
ment, presque toutes les écoles réaies de Russie comprennent 7 classes et 
préparent non seulement les élèves pour les écoles supérieures techniques, 
mais aussi les futurs étudiants de la Faculté physique-mathématique de 
l'Université. Au reste, les autres Facultés de l'Université sont accessibles 
aux élèves ayant suivi l'école réale, après un examen complémentaire de latin. 

L'enseignement mathématique, à l'école réale, embrasse l'arithmétique, 
l'algèbre, la géométrie et la trigonométrie. Depuis 1906. des éléments de 
géométrie analytique plane et de calcul infinitésimal sont enseignés dans la 
7 me classe (classe complémentaire). 

Le nombre d'heures consacrées à renseignement mathématique est, par 
semaine : 

Classe préparatoire (arithmétique), 6 heures. 

Classes I et II (arithmétique), III (arithmétique et algèbre), chaque classe: 
4 heures. 

Classe IV i algèbre, géométrie, dessin géométrique I, 7 heures. 
» V (algèbre, géométrie), 6 heures. 

VI (algèbre, géométrie, trigonométrie), 8 heures. 
» VIL classe complémentaire (arithmétique, algèbre, trigonométrie, 
géométrie analytique, calcul infinitésimal), 5 heures. 

•M. Vogt donne ensuite un aperçu du champ des études mathématiques à 
l'école réale. y compris la section commerciale. 

Remarquons, en passant, que les opérations sur les nombres complexes 
fout partie du programme d'algèbre de la 7 me classe. 

M. Vogt indique également l'organisation des examens dans ces écoles, 

A propos de la méthode et des manuels d'enseignement en usage, fauteur 
remarque que. dans les classes inférieures, la méthode intuitive est prépon- 
dérante ; les règles arithmétiques sont expliquées par des exemples, les 
démonstrations étant laissées de côté au moins jusqu'à la 3 me classe, on la 
méthode déduclive commence à être appliquée. On réserve cependant pour 
la dernière classe certaines démonstrations telles que celles se rapportant à 
la divisibilité. 

L'algèbre, introduite dès la 3 me classe, n'est, au début, qu'une généralisa- 
tion de l'arithmétique au moyen d'exercices. Par exemple, la notion de 
nombre négatif est amenée par la généralisation de la soustraction à tous 
les cas, celle de nombre irrationnel par l'extraction de la racine carrée, 
ainsi que celle de limite. 

Dans la '.i«' e classe, la résolution des équations est limitée aux équations 
numériques du I e1 ' degré à une inconnue, les équations littérales n'étant 
abordées que dans la i""' classe. 



1 Késumé par M n « H. Masson (Genève). 



NOTES ET DOCUMENTS 335 

L'enseignement de la 7 ,m ' classe reprend les notions déjà acquises pour 
les compléter et les généraliser. 

L'élude de la géométrie est purement systématique dès le début i'i""' 
classei. l'intuition, dans ce domaine, étant laissée pour la leçon de dessin. 

Le but de l'enseignement géométrique est. d'après le plan d'études 
k l'acquisition systématique des vérités géométriques el des méthodes de 
démonstration des principes géométriques ». 

Les manuels de géométrie employés s'éloignent peu de la méthode de 
Legendre et ne semblent pas avoir subi L'influeuce des méthodes de la géo- 
métrie moderne. 

Les notions de coordonnées et de fonctions ne sont encore introduites 
que dans la 7 mL ' classe, par les éléments de géométrie analytique et de cal- 
cul inlinitésimal. 

Au sujet de la préparation des maîtres, M. Vogt noie que 1 on exige il eux 
des éludes universitaires. Etudes purement scientifiques, qui ne leur don- 
nent aucune préparation pédagogique; pour remédier à cette lacune, il a 
été organisé, depuis 1909, des cours d'une année en vue de la préparation 
des maîtres de gymnase et d'école réale. Les candidats à l'enseignement 
ayant achevé leurs études universitaires y reçoivent un enseignement péda- 
gogique et pratique. 

L'enseignement théorique consiste en conférences sur la logique, la psy- 
chologie, la pédagogie et l'histoire de la pédagogie. L enseignement spé- 
cial, pour chaque branche, se donne dans une école moyenne (gymnase ou 
école réale), sous la direction d'un maître expérimenté, entre autres sous 
forme de leçons d'épreuve et de remplacements de maîtres absents. 

Universités et Ecoles techniques supérieures. 

L'enseignement mathématique dans les Universités, les Ecoles techniques 
supérieures et quelques unes des Ecoles militaires de Russie, par E. Posse 1 . 
— Dans la l re partie, l'auteur examine les Universités russes, dont la pre- 
mière a été fondée, à Moscou, en 1755. 

Sont venues ensuite : 

2. L'Université de Juriew (ci-devant Dorpat), en 1802, 

3. » » Kazan, en 1804, 

4. » » Kharkow, en 1805. 

5. » » S'-Pélersbourg, en 1819, 

6. » » St-Wladimir, à Kiew, en 1834, 

7. » » la Nouvelle Russie, à Odessa, en 1865, 

8. » » Varsovie, en 1869. 

9. » » Tomsk. en 1888, 
10. » » Saratow, en 1909. 

« Les deux dernières n'ont pas encore de Facultés physico-mathémati- 
ques, et il n'y est pas donné d'enseignement mathématique. L'Université de 
Varsovie, après sa clôture temporaire, en 1905, n'est pas encore reconsti- 
tuée en entier, et ne fonctionne maintenant qu'avec les quatre premiers se- 
mestres, un nombre incomplet de professeurs et un plan d'études réduit. 

« Dans toutes les Universités russes, la Faculté physico-mathématique se 



1 In fasc. du lim p. : Imprimerie Trenké et Pusnot, S'-Pétcrsliourg. 



336 NOTES ET DOCUMENTS 

compose de deux sections : Section des sciences mathématiques et Section 
<li s sciences naturelles. 

A 1 exception d'un Cours général de physique et d'un Cours général de 
chimie, professés pendant une année communément aux étudiants de l'une 
et de I autre section, toutes les autres matières de ces deux sections sont 
différentes. 

Dans les Universités de Moscou, de S'-Pétersbourg, de Kiew, de Khar- 
k(i\v. (I Odessa, on a introduit, à diverses époques, un cours succinct des 
mathématiques et, dans les deux premières, encore un Cours d'éléments de 
la mécanique pour les étudiants-naturalistes. 

« Le temps consacré à c es cours est différent dans les Universités men- 
tionnées; le plus long est à S'-Pétersbourg, savoir 3 heures par semaine 
pendant deux semestres pour les mathématiques et 2 heures pendant deux 
b< mestres pour la mécanique. 

u Remarquons, en passant, que le premier semestre, nommé semestre 
d automne, dure du 1 er septembre (ancien style) jusqu'au 20 décembre ; le 
second, dit du printemps, du 15 janvier jusqu'à la lin d'avril, avec 15 jours 
de vacances à Pâques. 

« Ainsi, la durée d'une année scolaire comporte 26-27 semaines. Au mois 
de mai, ordinairement, il n'y a plus de cours, mais les travaux dans les la- 
boratoires, ainsi que les examens, ont encore lieu. En juin, juillet et août, 
tous les travaux scolaires sont suspendus. La durée d un cycle complet 
d études universitaires est de 8 semestres. 

Revenant sur les cours de mathématiques pour les naturalistes, remar- 
quons que ce cours est obligatoire (ainsi qut le cours de mécaniquei poul- 
ies étudiants de la subdivision de chimie de la Section naturaliste, c'est-à- 
dire qu il est exigé aux examens. 

L introduction de ces cours dans le plan d'études de la Section natura- 
liste, au moins pour les chimistes, est une preuve que la nécessité des con- 
naissances des éléments du calcul infinitésimal et de la géométrie analytique 
est depuis longtemps conçue par les naturalistes. » 

Le chap. I se termine par un exposé des conditions d'admission qui sont 
exigées par les Universités. 

\ ieunent ensuite (chap. II i les plans d'études et les programmes des Uni- 
versités de S'-Pétersbourg, de Moscou, de Kharkow, de Kiew, d Odessa. 
de Kazan et de Juriew ; puis, dans le chapitre suivant, un exposé de l'orga- 
nisation des examens, notamment de ceux qui conduisent aux grades de pro- 
fesseur de renseignement secondaire et de maître es sciences. 

Les chapitres IV et V traitent des méthodes d'enseignement et du rôle 
des Universités dans la préparation des professeurs d'enseignement supé- 
rieur et secondaire. M. Possé examine ce que fournit 1 Université à ceux dt 
ses élèves qui vont entreprendre une carrière pédagogique dans l'enseigne- 
ment secondaire. 

« On peut dire d'emblée, écrit-il, qu'elle ne leur donne, dans le cas le 
plus favorable, qu'un déveh j peinent scientifique général et des connais- 
sances spéciales dans un domaine plus large que celui de leur propre ensei- 
gnement. Personne ne doute qv.e ces conditions sont nécessaire s pour un 
pédagogue, mais sont-elles aussi suffisantes ? 

«On n'est pas d'accord sur celte question. Deux opinions opposées s'y 
font entendre. 

•i Selon l'une, pour être bon pédagogue, il suffit d'avoir du bon sens et de 



N O T E S E T DOC V M E N T S :::;: 

savoir bien la matière de son enseignement, dans un volume plus large que 
celui (ju on doit transmettre aux élèves, le reste viendra avec l'expérience 
et ne peut être enseigné dans aucune école supérieure ; les résultats dépen- 
dent du talent individuel du maître. 

« Cette opinion est très répandue dans nos sphères pédagogiques, parmi 
les professeurs des Universités et des écoles secon daires. 

« Couronnement à cette opinion, on ne trouve, dans les plans d'étude de 
la Faculté physico-mathématique, aucun cours d'un caractère pédagogique, 
comme : Histoire de la philosophie et de la pédagogie. Logique, Psycholo- 
gie, Méthodique de renseignement, Hygiène scolaire, <■'.(•. 

« Selon l'autre opinion, la profession d'un pédagogue, aussi bien que- 
toute autre, demande une préparai ion spéciale. Les partisans de cette opi- 
nion verraient avec satisfaction l'introduction, dans le plan d'études de la 
Faculté physico-mathématique, de cours de Pédagogie. Logique, Psychologie, 
selon le vœu émis par la réunion des membres de la Société des natura- 
listes et médecins allemands, à Dresde, en 1907 (V. Gutzmeb, Die Thâtigkeit 
der Unterrichtscommission der Gesellschaft d eulscher Naturforscher und 
Aerzte, 1908 V » 

Dans la 2 e partie, l'auteur fait une revue rapide de l'enseignement mathé- 
mathique dans quelques écoles techniques super ieures de différents types. 

« Jusqu à 1885 il n'y avait que huit écoles techni ques supérieures en Rus- 
sie ; il y en a maintenant dix-sept, sans compter les écoles supérieures agri- 
coles où il n'est pas donné d'enseignement ma thé mat ique. Nous avons cinq 
Instituts polytechniques composés de 4-6 sections, savoir: les Instituts po- 
lytechniques de St-Pétersbourg. Riga. Kiew, Varsovie et Novotcherkassk, 
nommé Douskoï; trois Instituts technologiques à St-Pétersbourg, Kharkow 
etTomsk, dont les deux premiers ont deux sections : mécanique et chimique. 
et le troisième quatre ; un Institut des ingénieurs des voies de communica- 
tions à St-Pétersbourg et une Ecole supérieure des ingénieurs à Moscou : 
un Institut des Mines à St-Pétersbourg et une Ecole supérieure des Mines à 
Ekatérinoslaw; un Institut électrotechnique à St-Pétersbourg; un Institut 
des ingénieurs civils à St-Pétersbourg; un Institut forestier à St-Péters- 
bourg ; une Ecole technique supérieure et l'Institut Constantin d'arpentage 
à Moscou. 

« Chacune de ces écoles est destinée à former «les ingénieurs appelés à di- 
riger les institutions et travaux techniques et industriels, à pourvoir aux 
emplois techniques de l'Etat et aux chaires d'enseignement spécial dans ces 
écoles mêmes. 

L'étude des sciences mathématiques n'est pas le but principal des ingé- 
nieurs, mais elle leur esl indispensable comme étude auxiliaire, les Mathé- 
matiques étant la base de toutes les sciences terlin iqnes précises. 

Officiellement la durée du cours complel esl de 4 ans pour les Instituts 
polytechniques et 5 ans pour les autres écoles supérieures, excepté l'école 
supérieure des ingénieurs à Moscou, où elle n'esl que de '■'< ans. En réalité, 
le séjour d'un él udiant à l'école technique supérieu re dure au moins « > — T ans. 
grâce au surchargeaient des (dans d'études dont nous aurons encore à parler 
plus loin. La condition nécessaire pour l'admission aux écoles supérieures 
est I instruction préliminaire dans une école secondaire, gymnase, école 
réale ou école commerciale, ayanl les mêmes droits que la précédente 



1 V traduction dans VBns. math, du 15 janvier 1908, p. 1-49. 



338 -V O T E S ET DOC U M E N T S 

Or, celte condition n'est plus suffisante, grâce à l'afflux énorme des can- 
didats, surpassant presque partout le nombre des places. Cette circonstance 
a provoqué l'établissement de différents genres de conditions supplémen- 
taires 

Parmi les écoles militaires comportant un enseignement mathématique, 
l'auteur examine principalement l'Académie de marine de St-Pétersbourg. 

L'enseignement des Mathématiques dans les Ecoles de Finlande. 

Ce Rapport 1 a été rédigé par une Commission instituée par le Sénat im- 
périal de Finlande. Il donne un aperçu de l'enseignement mathématique dans 
toutes les école- depuis l 'enseignement primaire jusqu'à l'enseignement 
universitaire : 

1. Ecoles primaires. — 2. Ecoles populaires supérieures. — 3. Ecoles 
préparant aux écoles normales primaires, en formant les maîtres d école 
ambulants. — ». Ecoles normales primaires. — 5. Etablissements d'en- 
seignement secondaire. — 6. Formation des professeurs d'enseignement 
secondaire. — 7. Ecoles de jeunes (illes. — 8. Ecoles commerciales. — 
9 Ecoles techniques <•! inférieures, et écoles professionnelles. — 10. Ecoles 
techniques supérieures. — 11. Université d'Helsingfors. 

Nous nous bornerons à quelques indications concernant l'Université 
d'Helsingfors, qui comprend quatre Facultés : théologie, droit, médecine 
et philosophie. Celle-ci comprend trois sections, dont une de physique et 
de mathématiques. L'âge moyen des étudiants à Feutrée est d'environ 19 ans. 
L'expérience avant montré que les cours de mathématiques dans plusieurs 
Lycées du pays n'ont pu être étudiés à fond en raison du temps considé- 
rable absorbé par les langues, on a été obligé à l'Université de revoir et de 
compléter certaines parties du cours et surtout de la trigonométrie. Vient 
ensuite un cours d'un an de géométrie analytique, qui part des premiers 
éléments. La trigonométrie sphérique est en général enseignée en connexion 
avec la géométrie analytique de l'espace : on la reprend plus tard dans le 
cours d'astronomie sphérique. En même temps que la géométrie analytique 
commence le coins différentiel et intégral. Le cours s'étend sur une période 
de deux ans avec i heures par semaine, et 2 heures d exercices. 

Tous les deux ans il se fait un cours sur la théorie des équations diffé- 
rentielles. L'enseignement de l'algèbre et de la théorie des nombres com- 
mence en général en seconde année 

Tous les deux ans il se fait aussi des leçons sur la théorie des fonctions 
analytiques. A côté de ces branches qui reviennent régulièrement, il se tait 
des coins sur d'autres domaines des mathématiques. 

L'auteur examine en terminant la question de la préparation des candidats 
à renseignement dans les écoles moyennes. Nous le citerons textuellement : 

« La moitié environ des étudiants de la Faculté de philosophie se des- 
tinent à la carrière de l'enseignement secondaire. L'éducation profession- 
nelle des futurs maîtres n'a cependant pas été jusqu ici prise sensiblement 
en considération dans renseignement universitaire, qui a presque exclusive- 
ment un caractère scientifique général. Pendant ces derniers temps on a 
néanmoins visé à modifier cet état fie choses. Dans renseignement des nia- 



1 Un fascicule de 52 pages; imprimerie de la Société de Littérature finnoise. 



.v o T E s e r DOC V m i: n r s 339 

thématiques, en particulier, on a attaché plus d'importance qu autrefois aux 
parties du cours qui ont une importance spéciale. pour la formation profes- 
sionnelle des futurs maîtres. Cependant, fournir le nombre «les chaires ordi- 
naires de mathématiques à l'Université — il y a un professeur ordinaire et 
un professeur-adjoint — ne suffisait pas à assurer, outre l'enseignement 
purement scientifique, ces besoins pédagogiques spéciaux, on créa en 190S 
une chaire nouvelle de professeur-adjoint île mathématiques, dont le titu- 
laire, d'après le texte de l'ordonnance, « participera à l'enseignement géné- 
ral dans cette matière, et aura pour tâche spéciale de faire des cours et de 
diriger des exercices pratiques pour les futurs professeurs de mathéma- 
tiques dans les établissements d'enseignement secondaire ». Le titulaire 

sera nommé au cours de la présente année 

Le titulaire du nouveau poste traitera dans des codrs peu étendus, com- 
prenant deux à trois leçons par semaine pendant un semestre, de questions 
ayant un lien direct avec le programme de mathématiques des écoles, ou 
d une importance spéciale pour la formation professionnelle des professeurs. 
Les éléments du sujet enseigné devront être éclaircis d'une manière appro- 
fondie, et les méthodes d'exposition applicables dans les écoles discutées en 
détail. D'autre part, le professeur exposera le développement ultérieur du 
sujet et ses relations avec d'autres branches des mathématiques. A côté des 
points de vue pédagogiques, le développement historique sera envisagé d'une 
manière aussi étendue que possible. A chaque cours seront rattachés des exer- 
cices pratiques où les questions d'un intérêt pédagogique devront tenir une 
grande place. 

« Parmi les matières convenant au cours en question on peut citer : 
en géométrie : les axiomes de la géométrie euclidienne; les principes de la 
géométrie projective; un coup d'oeil sur les divers systèmes géométriques: 
un exposé systématique des méthodes élémentaires de résolution des pro- 
blèmes géométriques ; l'histoire de la géométrie élémentaire ; 
en trigonométrie : le développement historique de cette science : 
en arithmétique: les méthodes de calcul numérique; le développement 
historique de l'arihmétique élémentaire; l'extension de la notion de nombre; 
dans l'algèbre et la théorie des nombres :,la notion de divisibilité dans la 
théorie des nombres et l'algèbre : le développement historique de l'algèbre 
et de la notation algébrique; l'application de l'algèbre à la résolution de pro- 
blèmes de construction géométrique à l'aide de divers instruments. 

Le nouvel adjoint devra aussi dans son enseignement rendre compte des 
reformes de l'enseignement mathématique à l'école qui ont été introduites 
ou proposées dans les principaux pays étrangers et qui semblent avoir une 
valeur durable ». 

SUÈDE 

Gymnases. 

Die Mathematik an den schwedischen Gymnasien '. von D r E. Gôransson. 
— ('.r rapport fait suite à l'exposé du même auteur sur les écoles réàles en 

Suéde ». 



1 Nins devons ce résumé à M 1|e R. Massok Genève 

• Voir l'Eus, math, du 15 mars 1911. 



3*0 NOTES ET DOCUMENTS 

La création des gymnases suédois est due à Guslave-Adolplie ; le pins 
ancien date de 1620 et les premiers règlements scolaires de 1649. 

Le titre de gymnase, cependant, a pris son acception actuelle depuis les 
règlements scolaires île 1905. 

M. Gôransson indique le but que se propose l'enseignement des gymnases 
d'après les règlements de 1905 : « L'enseignement du gymnase se base sur 
les connaissances acquises dans les 5 classes inférieures de l'école réale et 
a comme tache spéciale, outre l'instruction générale commencée par les 
écoles réaies, de poser les bases des connaissances scientifiques qui seront 
développées ensuite dans les Universités, dans les écoles techniques supé- 
rieures ou dans les écoles militaires. » 

La nouvelle organisation des établissements supérieurs d'instruction est 
la suivante. 

Pendant les cinq premières années, il y a un enseignement unique, celui 
des 5 classes inférieures de l'école réale (point de latin), puis vient le choix 
(vers l'âge de 15 ans| entre, d'un côté, la 6 e classe de l'école réale, classe 
de lin d études, et, de l'autre, le gymnase, qui se subdivise dès le début en 
uvmnase réal et gymnase latin, et qui est formé de 4 classes ; enfin ce der- 
nier comprend encore, pour les deux dernières classes, une sous-section 
dite section classique pure, avec le grec, et sans mathématiques ni dessin. 

La réforme la plus caractéristique de l'enseignement du gymnase con- 
cerne les branches facultatives. 

Avant 1905, le choix d'une branche entraînait la renonciation à l'étude 
d'une autre. Depuis 1905, l'élève a le droit d'étudier toutes les branches, 
mais il a aussi le droit d'en abandonner. 

L expérience a démontré que les élèves de la classe III du gymnase ont 
une assez grande maturité de caractère pour profiler de la liberté de choix 
et en comprendre la responsabilité, ce qui ne serait pas le cas dans les de- 
grés inférieurs. 

Les règlements scolaires préconisent une liberté de plus en plus grande 
en ce qui concerne le choix des études. Cependant le nombre maximum de 
branches qui peuvent être supprimées est de 2. formant un maximum de 
6 heures par semaine. 

M. Gôransson expose les raisons multiples pour lesquelles, malgré une 
vive opposition, on a conservé les mathématiques parmi les branches pou- 
vant être laissées de côté, et cela même au gymnase réal, ainsi que celles 
qui ont fait supprimer totalement les mathématiques des deux dernières an- 
nées (III e et IV e classes) de la section classique pure du gymnase latin. 

L'auteur indique (ensuite le temps accordé à l'enseignement |la durée 'le 
scolarité annuelle est de 38 semaines| et la distribution des vacances H 
jours de congé : en plus de ceux-ci, le directeur, d'accord avec lis maîtres, 
peut, deux à trois fois par semestre, dispenser une ou plusieurs classes des 
travaux à domicile, afin de permettre à la classe de se livrer à des exercices 
de sport et à des jeux en plein air. 

En général, il n'y a pas de travaux à domicile pour le lundi, et le travail 
à domicile des autres jours ne doil pas excéder 2 à 3 heures et demie par 
joui' pour les élèves de force moyenne. L enseignement des diverses bran- 
ches ne doit pas dépasser 6 heures par jour, y compris le dessin. 

Les leçons, d'une durée de 45 minutes, sont séparées par une récréation. 

M. Gôransson traite ensuite la question des examens. L'examen de matu- 
rité comprend des examens écrits et des examens oraux ; les écrits se fonl 



1 


n 


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IV 


7 


6 


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6 


5 


i 


4 


5 


30 


31 


33 


33 



y O T E S E T Doc U M E N T S 3'i 1 

simultanément et sont identiques pour toute la Suéde. Depuis 1910, la géo- 
métrie et I algèbre tout l'objet d'une seule ('•preuve, pour laquelle il est ac- 
cordé *') heures et demie, et qui comporte 8 à 9 problèmes embrassant les 
diverses parties du programme; 3 d'entre eux au minimum doivent être ré- 
solus d'une manière satisfaisante pour l'admissibilité. 

L'auteur indique ensuite les tendances de l'organisation et ses transfor- 
mations depuis 1870. 

La seconde partie du rapport est consacrée au programme des études 
mathématiques du gymnase. 

L'auteur donne un aperçu du développement de l'enseignement mathéma- 
tique des gymnases, avec ses fluctuations correspondant aux diverses idées 
prédominantes, spécialisation, surmenage, etc. Cet enseignement était, 
d'une manière générale, jusqu'en 1905, un peu moins étendu pour les ma- 
thématiques que celui «les écoles correspondantes dans d'autres pays. 

Le plan d'études de 1905 a réalisé des changements importants, principa- 
lement en mathématiques et sciences naturelles. 

La distribution des heures consacrées aux mathématiques est. par se- 
maine, de 



Gymnase réal 

» latin 

Pour tontes les branches réunies 

Au sujet de la distribution de renseignement mathématique, M. Gôransson 
donne les raisons qui ont tait désirer une répartition un peu différente de 
celle ci-dessus, telles qu'elles ressortent de 1 empiète faite auprès des maî- 
tres de mathématiques, enquête dont .M. Gôransson s'est déjà occupé dans 
son rapport sur renseignement mathématique des écoles réaies. 

Relativement an programme des études mathématiques, il insiste surtout 
sur l'emploi de la notion de fonction. On cherche à faire de plus en plus 
des mathématiques enseignées à l'école un tout homogène, et, bien que cela 
ne soil pas indiqué formellement. le plan d études tend à donner à la notion 
de fonction la place de notion centrale fondamentale. 

Il semble que l'expérience ait démontré que la notion d'intégrale elle- 
même peut être enseignée à des élèves de capacités moyennes et qu'elle peut 
être pour eux d'un grand intérêt et d'une réelle utilité. Les élèves se desti- 
nant aux études techniques supérieures, entre autres, abordent celles-ci 
avec plus de facilité lorsqu'ils ont eu le temps de se familiariser avec les 
notions fondamentales du calcul infinitésimal. 

Dans un chapitre consacré à des remarques sur quelques points particu- 
liers, l'auteur note que le plan d'étude recommande d'insister, dans tous 
les domaines des mathématiques, sur la clarté et la rigueur ipour autant 
que cette dernière ne nuira pas à la clarté). Le choix des matières doit être 
basé autant sur leur valeur scientifique que sur leur importance pour les 
applications pratiques. Les exercices doivent être simples et naturels. Cha- 
que sujet doit être illustre par un grand nombre d'exemples, sans oublier 
cependant qu'un choix judicieux permet d en restreindre notablement le 
nombre. 

Chaque connaissance nouvelle doit amener des applications nouvelles. 

Il tant se borner aux points essentiels de' chaque sujet, ne pas s'arrêter 

L'Enseignement mathém., 13 e année: 1911. 22 



342 NOTE S ET DOCUM E N I s 

trop sur des détails, alin que L'enseignement mathématique puisse profilera 
tous Les élèves él cela î-.ms surmenage. 

La méthode heuristique doit être fréquemment employée, surtout pour 
introduire des sujets nouveaux. 

L'auteur termine par les manuels d'enseignement. A ce sujet, il note le 
fait «pu' la question de renseignement de la géométrie descriptive par le 
maître de mathématiques, soulevée il y a plusieurs années, a été écartée 
par un compromis, les deux maîtres, celui de mathématiques et celui de 
dessin, travaillant ensemble. 

M. Gôransson rappelle que la préparation des maîtres de dessin et l'en- 
seignement du dessin au gymnase a été traitée par M. P. H. Henriques dans 
un rapport et dans un manuel de dessin géométrique. 

Au rapport de M. Gôransson est jointe la Préface que M. le prof. II. von 
KoCH a licite pour l'ensemble des 8 fascicules concernant l'enseignement 
mathématique en Suède. 

M. v. Ivoch remarque que la Suède n'est pas restée en dehors de la vague 
de réforme de renseignement mathématique qui agite lEurope depuis dix 
ans. les nouveaux plans d'études en font foi. 

LU caractère important de ces plans d'études est l'introduction de la no- 
tion de fonction et, pour le gymnase réal, celle des éléments du calcul infi- 
nitésimal. 

Ecoles industrielles élémentaires. 

Die Mathematik an elementartechnischen Geuerbesckulen in Sckweden '. 
von I) r K. L. Hagstkôm. Ing. G. Erikson und D r C. HeGman. — Le rapport 
est divisé en trois chapitres rédigés chacun par l'un des auteurs indiqués 
ci-dessus. 

Dans le premier, il est question d'une façon générale, de l'enseignement 
mathématique dans les 60 écoles complémentaires que possède la Suède. Ces 
écoles donnent des cours du soir et du dimanche matin pendant 30 semaines 
par an. Elles reçoivent comme élèves les apprentis des deux sexes à partir 
de l'âge de 14 ans. 

L'arithmétique est la principale branche mathématique ; on fait aussi de 
l'algèbre jusqu'au 2 e degré, quelques livres d'Euclide et des calculs de sur- 
faces et de volumes. 

Le programme des différentes écoles devrait être unifié : l'obligation légale 
de suivre les cours n'existe pas. 

Le deuxième chapitre, le plus important de ce rapport, est consacré à 
l'Ecole technique de Stockholm, qui comptait en 1908-1909 plus de 2000 élèves 
et 173 maîtres. 

Elle compte cinq divisions: une école du soir et du dimanche 1 1230 élèves) ; 
une école technique pour jeunes filles 1 266 élèvesl et trois divisions de 80 à 
90 élèves chacune, consacrées à l'art industriel, au bâtiment et à la méca- 
nique. 

La scolarité est de 3 ans. 

L'enseignement mathématique des 2 premières divisions comprend l'arith- 
métique, lalgèbre et la géométrie. 



1 Un fascicule de 22 pages, Stockholms-Trvckeriet, Stockholm, 1911. — Nous devons ce 
compte rendu à M. E. Stbinmann (Genève). 



.v o / /; > El DOC O m i: n r s :; '.:: 

L'aritl '-tique esl ie cours le plus Fréquenté; l'algèbre esl poussée jus- 
qu'aux progressions el logarithmes; la géométrie est enseignée d'après 
Euclide (livres 1. 2. :!. \. .">. tl. I 1 ri 12). 

Les élèves sonl reçus ;'i n importe quel i lent de l'année ; l;i présence aux 

murs est absolument facultative; le règlement prévoit que l'enseignement 
doit être organisé «le telle sorte que les progrès d'un ('■lève soient indépen- 
dants de ceux de ses camarades-, dans ce luit, un a institué un système de 
■■ cartes », sortes de feuilles contenant chacune un certain nombre d'exerci- 
ces : l'élève peut passer à la (i carte » suivante quand il présente une <i carte > 
complètement faite. Ou insisie particulièrement sur les définitions et opéra- 
tions fondamentales. 

Le système des cartes n'est pas applicable à la géométrie; c'osl le seul 
cours où l'enseignement soit collectif. 

La division d'art industriel n'a, en fait «le mathématique, que la géométrie 
descriptive. 

Les deux dernières divisions (bâtiment, mécanique) sont des écoles avec 
8 heures de classe par jour, pendant trois ans. On y fait 6 à 8 heures de 
mathématiques par semaine pendant deux ans: le programme s'étend sur 
l'arithmétique appliquée, l'algèbre jusqu'au 2 e degré inclusivement et les 
progressions et logarithmes, les livres 5, 6. 11 et 12 d Euclide et la trigono- 
métrie plane. 

Il existe un cours préparatoire d'une année, avec 11 heures de mathéma- 
tiques par semaine. Ce cours est très fréquenté. 

Le troisième chapitre contient quelques notes sur les cours de 2 e année 
des écoles dont il vient d'être parlé. Les méthodes graphiques y sont parti- 
culièrement développées. On représente de cette façon un grand nombre 
d'exemples pratiques de fonctions du 1 er degré et de degrés supérieurs, 
ainsi que des fonctions transcendantes. On se sert de papier millimétrique 
et de papier à quadrillage logarithmique. 

Pour la stéréométrie pratique, on emploie beaucoup la formule des 3 ni- 
veaux V = — (B -j- b -j- 4m) ; une méthode graphique ingénieuse ramène le 

calcul des volumes à celui des aires d'un diagramme. 

Le calcul logarithmique est fait à 4 décimales sans interpolation, ce qui 
fait gagner beaucoup de temps. L'interpolation elle-même est exercée à part. 
L'auteur est partisan de la division décimale du degré. 

Ecoles techniques. 

Die Mathematik an technischen Lehranstalten in Schweden ' von D r H. von 
Koch und O. Gallandek. — L'exposé comprend deux parties : 

i re partie. Ecole technique supérieure de Stockholm. — Le rapport débute 
en accordant que les deux Ecoles techniques supérieures de Suède sont en 
retard au point de vue des laboratoires sur les écoles d'autres pays: un>' 
réorganisation est à 1 étude et se réalisera probablement en 1911. L'Ecole de 
Stockholm comprend tS divisions embrassant toutes les branches de l'indus- 
trie du bâtiment, de la mécanique et des mines. L'admission est accordée 



1 I h fascicule de 21 pages. Stockholms-Tryckeriet, Stockholm, 1910. — Nous devons 
compte rendu » M. E. Stbinmann Genève 



344 BIBLIOGRAPHIE 

aux porteurs du certificat de maturité ayant des notes suffisantes en mathé- 
matiques et en sciences, ainsi qu'une certaine pratique du dessin. Les cours 
durent de trois à quatre ans. Suivant les divisions, le cours de mathé- 
matiques comprend trois semestres ou un semestre, avec une moyenne de 
8 h. par semaine. Los heures se répartissent en cours et en répétitoires avec 
exercices. Les parties les plus abstraites des cours sont illustrées par des 
exemples pratiques et des constructions graphiques. Un programme fort dé- 
taillé des mathématiques et de la géométrie descriptive clôt cette première 
partie. 

2* partie. Les écoles techiiques moyennes. La scolarité est de 3 ans. L'âge 
moyen d'entrée est de 18 ans. Il n'est pas fait d'examen d'admission; le ré- 
sultat des premières épreuves de l'année décide de l'admissibilité d'un élève. 
Les dispositions légales sur le programme de mathématiques sont très lar- 
ges, et laissent au professeur la plus grande liberté d'atteindre le but de- 
mandé de la façon qui lui convient le mieux. Le nombre des heures de ma- 
thématiques diffère d'une école à l'autre ; (en moyenne six heures par semaine 
pendant 3 ans). 

La méthode d enseignement est celle qui a été traitée en détail dans le 
i - apport sur les gymnases. La matière enseignée, par contre, est loin d'être 
la même ; tandis que dans les gymnases, la mathématique est une branche 
de culture générale, elle devient dans l'école technique la branche qui doit 
se borner parfois, s étendre souvent, à tout ce qui peut être employé prati- 
quement. 

Quoique le programme officiel ne le prescrive pas, le calcul infinitésimal 
est enseigné, vu ses nombreuses applications. On exerce beaucoup le calcul 
numérique et la règle à calcul. 

Malgré le but utilitaire de renseignement, on tient beaucoup à la démons- 
tration aussi rigoureuse que possible des théorèmes. On y voit, avec raison, 
l'occasion d'un exercice de langage correct et de déduction logique. 



BIBLIOGRAPHIE 



W.-M. Bakkk and A. -A. Bolkne. — A New Geometry. — 1 vol. in-16, 
XXII-246-V1 p.; relié 2 s. 6 d.: G. Bell and Sons, Londres. 

Ce volume est une réédition condensée d'un volume paru en 1903, a Ele- 
mentary Geometry». des mêmes auteurs. MM. Baker et Bourne ont con- 
servé en principe la méthode de démonstration d'Euclide, mais, afin de 
répondre aux désirs exprimés par le Board of Education, ils ont fait des 
changements quant au groupement des théorèmes. L'ordre suivi est : Intro- 
duction relative à la construction des figures géométriques ; Définitions ; 
Théorèmes concernant les droites et les angles qu'elles forment entre elles 
dans leurs diverses positions; Les figures planes qu'elles déterminent; 



/»'//,' I. I OC, Il A PHIE .Viô 

Aires; Théorème de Pythagore ; Equivalence des figures; Cercle; Figures 
inscrites et circonscrites ; Cercle «les neuf points. 

Le IV e livre reprend l'étude du rectangle, «les polygones réguliers et fies 
aires en y joignant la démonstration du carré et «lu produit des binômes et 
le théorème général liant les côtés d'un triangle quelconque entre eux. 
l'algèbre est alors utilisée. 

Le V e livre traite la question des rapports et proportions. 

I.a géométrie dans l'espace est introduite avec le VI e livre et se termine 
avec le livre VU par la description de quelques corps solides géométriques, 
leurs principales propriétés, leur surface et leur volume. 

Chaque sujet est accompagné de nombreux exercices. A la lin du volume 
sont adjointes les réponses ,i ceux d'entre ces exercices qui sont des appli- 
cations numériques. 

D. Behkendsin u. I) 1 E. Gôtting. — Lehrbuch der Mathematik fur hôhere 
Madchen-Bildungsanstalten, nach modernen Grundsat/.en. /. Teil : Fur 
hôhere Mâdchenschulen, zugleich Unterstufe tùr Lyzeen und Studien- 
anstalten. — 1 vol. in-8°, 348 p. et 306 lij;. ; relié 3 M.; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

L'ouvrage de MM. Behrendsen et Gôtting comprend la géométrie et les 
éléments d'algèbre correspondant aux programmes des écoles supérieures 
de jeunes filles. L Enseignement mathématique (nov. 1910) avait déjà signalé 
ce manuel. Une deuxième édition vient de paraître. Cet ouvrage a subi 
quelques transformations, mais d'une manière générale la deuxième édition 
consacre le principe de la première en s'inspirant comme elle de l'esprit 
qui a guidé la réforme actuelle de l'enseignement mathématique. La péné- 
tration de plus en plus complète de renseignement par la notion de fonction 
en est un des caractères principaux. L'interprétation géométrique prend une 
place plus importante encore qu'auparavant dans l'algèbre élémentaire. Le 
volume se termine par une adjonction à la stéréométrie sous forme d'un 
chapitre sur les polyèdres réguliers. 

V. Duiie.m. — Traité d'Energétique ou de Thermodynamique générale. 
Tome I. Conservation de l'énergie. Mécanique rationnelle. Statique géné- 
rale. Déplacement de léquilibre. — 1 vol. gr. in-8° de 528 p. ; 18 fr. ; 
Gauthier-Villars, Paris. 

Cette nouvelle œuvre de M. Duhem est le développement d'idées déjà 
exposées magistralement dans différents recueils par le savant professeur 
de Bordeaux. Il y traite d'une mécanique générale, opposée à la mécanique 
locale qui devait tout expliquer mais qui satisfait plus les métaphysiciens 
que les physiciens. La mécanique rationnelle, avec l'ancien sens classique 
de l'expression, est peut-être au fond de toutes choses; les variations calo- 
rifiques et électriques, par exemple, ne sont peut-être que des mouvements 
particulaires soumis aux lois énoncées depuis longtemps pour les mouve- 
ments de points matériels. Mais nous ne sommes pas encore au grand jour 
où l'on rejettera définitivement cette hypothèse, ou bien où Ion pourra 
laccepter et tout faire avec «Ile. En attendant, les réalités physiques ont 
des exigences immédiates; on parle des équilibres chimiques aussi naturel- 
lement que des équilibres mécaniques. Si l'on chauffe un bâton de soufre 



346 H I 11 I. (OGRAPHIE 

de manière à ne le fondre que progressivement, il y aura une vitesse pour 
la propagation «lu phénomène el on pourrait ainsi trouver une infinité 
d exemples dans lesquels on parle le langage de la mécanique rationnelle 
en dehors îles phénomènes rentrant dans la forme classique de cette science. 
Il y a donc une mécanique générale faite de Thermodynamique aussi bien 
que de Dynamique pure-, elle devra donner l'ancienne mécanique comme 
cas particulier. Je crois que ces quelques mots permettent de caractériser 
l'esprit du nouveau volume. M. Duhem s est attaché à y généraliser des 
notions relativement récentes ; c'est ainsi qu'il voit dans l'immense majorité 
des systèmes physiques, 1 impossibilité d'exprimer les liaisons par îles re- 
lations finies ou par des relations différentielles intégrales, c'est-à-dire le 
caractère de non holonomie reconnu par Neumann pour des systèmes dy- 
namiques. 

Tout en attachant la plus grande importance aux définitions primordiales 
il reconnaît que celles-ci ne peuvent être que le résultat d'approximations 
successives. La masse peut être provisoirement définie par une vulgaire 
balance mais, en possession de cette première définition, nous ferons une 
meilleure théorie de la balance ; nous perfectionnerons celte dernière d'où 
un perfectionnement correspondant pour la masse et ainsi de suite. De 
même pour la température el pour le thermomètre Celte notion de tempé- 
rature, à laquelle on fait si facilement perdre un sens précis," n est d ailleurs 
introduite qu'avec de rigoureuses précautions dans les systèmes physiques; 
avec Helmhollz, nous considérons d'abord le système normal où l'on peut 
distinguer le changement d état sans changement de température, du chan- 
gement de température sans changement d'étal. 

Comme préliminaires du principe de Carnot, M. Duhem revient encore 
avec grand soin sur la statique chimique; il s efforce de la comparer avec 
la statique mécanique, montre qu'il est nécessaire d'exclure d'abord de 
celle-ci les phénomènes de frottement et d'hystérésis si on veut la transfor- 
mer en statique générale, ce qui fait ressembler cette dernière science aux 
parties les plus élégantes de la statique ordinaire. 

Quant au principe de Carnot lui-même et, d'une manière générale, quant 
à tous les cycles décrits par des systèmes physiques, l'analogie avec la 
simple dynamique a été conservée avec une extrême habileté; le potentiel 
thermodynamique est défini comme le potentiel dynamique et l'entropie 
elle-même, qui s'évanouit en mécanique rationnelle, est introduite immé- 
diatement avec le potentiel thermodynamique. En somme, l'auteur donne 
1 impression de ne pas dédaigner le moins du monde la mécanique classique, 
mais, au contraire, de la posséder profondément et d'avoir pu ainsi y faire 
une très adroite sélection d'éléments susceptibles d'être généralisés pour 
constituer l'Energétique qu il expose. 

J'admire aussi son habileté d'analyste, qui se déploie avec une grande 
aisance dans le chapitre, assez difficile, qu'il consacre au déplacement de 
I équilibré. Il condense de longues formules avec d heureuses notations 
symboliques. Enfin, il essaie de fondre dans son œuvre bien des résultats 
dus à ses prédécesseurs dont on pouvait croire les travaux enfouis pour 
toujours dans les publications académiques, ce qui n'étonne pas de la part 
d un savant qui a si bien étudié Léonard de Vinci. Le volume a donc une 
certaine allure encyclopédique et comme, malgré tout, il reste fort simple, 
il donnera 1 idée que 1 Energétique générale peut bien, à l'heure actuelle, 
être présentée sous forme didactique. A. Brin. (Toulouse). 



H V l. I. /■: l I N B 1 11 1. 1 G R l P II 1 Q V E :;'•: 

Maurige Lecat. — Leçons sur la théorie des déterminants à n dimen- 
sions avec applications à L'algèbre) à la ejé< ;trie, etc. — 1 vol. in-4°, 

VII-228 p. ; 16 fr.; Ad. Hoste, Gand. 

Alors que la théorie des déterminants ordinaires à deux dimensions est 
depuis longtemps classique, la théorie générale des déterminants à n di- 
mensions «-si restée l'objet des recherches <1 un très petit groupe de mathé- 
maticiens, parmi lesquels on peut citer Cayley, Garbieri, Gegenbauer. 
L'ouvrage de M. Lecat rassemble et ordonne toutes nos connaissances sur 
ce sujet. Il est accompagné de nombreuses notes critiques et d'un index 
bibliographique très complet. Il peut être recommandé h celui qui veut 
s'occuper de cette théorie spéciale. En voici la table des matières. 

Avant-propos. — Bibliographie. — Notice historique. — Introduction : 
Matrices symétriques et autres. 

Livre I. — Théorie des déterminants et des permanents. (Déterminants 
généraux. Déterminants spéciaux. Théorie des déterminants cubiques ou à 
n dimensions et d'ordre infini. i 

Livre II. — Applications de la théorie des déterminants. (Applications à 
l'algèbre. Applications géométriques. Applications arithmologiques.) 

Appendice. — l Déterminants adjoints de classe supérieure. Erreurs de 
Gegenbauer. Structure des matrices actinomorphes. Théorème de Kronec- 
ker généralisé. Analogies des matrices avec les produits ordinaires.) 

M. Plancherel (Genève). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



Livres nouveaux : 

r . Adami. — Die Elektrizitât. ErsterTeil. {Bûcher der Naturuissenschaft, 
h< i ansgegeben von S. Gùnther, 9. Band.| — 1 fasc, 127 p. ; 40 Pf. , Philipp 
Reclam jun., Leipzig. 

W. M. Baker and A. Bour.ne. — A New Geometry. — 1 vol. in-16, XXII 
246-VI p. ; 2 s. 6 d. ; G. Bell & Sons. Londres. 

H. Bocasse. — Cours de mathématiques générales spécialement écrit 

pour les physiciens et les ingénieurs, conforme au programme du certificat 
de mathématiques générales servant d'introduction aux cours de mécanique 
et de physique du même auteur. — 1 vol. in-8°, 646 p.; 20 fr., Ch. Delà- 
grave, Paris. 

P. Craktz. — Planimetrie zum Selbstunterricht. (Sammlung Jus Natm- 
und (ieisteswelt, n° 340). — 1 vol. in-16, 134 p.; 1 M. 25, B. G. Teubner, 
Leipzig. 

V. Ducla. — Démonstration d'un théorème de Fermât. — 1 fasc. in-8°, 
22 p. ; Garet, Pau. 

F. Enkioues. — Fragen der Elementargeometrie. I. Teil : Die Crund- 
lagen der Géométrie. Deutsche Ausgabe von H. Thieme. — 1 vol. in -8, 
X-366 p. ; 10 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

S. Holba. — Fermats letzter Satz als Minimumaufgabe. — 1 fasc. in-8, 
2*.t p. ; 1 M. ; KOnigl Ung. Universîtâtsbuchhandlung, Budapest. 



348 BILL ET1S BIBLIOGRAPHIQUE 

F. Klein. — Aktuelle Problème der Lehrerbildung. Vortrag gehalten auf 
dcr Yersammlung des Yereins zur Fôrderungdes mathematischen und natur- 
wissenschafllichen Lnterrichts, ain 6. Juni 1911 zu Munster. — 1 fasc. iu-8 c \ 
32 p. ; B. G. Teubner. Leipzig. 

A. Rnbsbr. — Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der 
mathematischen Physik. — 1 vol. in-8, VIII-243 p. ; 6 M. ; F. Vieweg Ov Sobn, 
Braunschweig. 

E. Legrand. — Sommations par une formule d'Euler, de l'usage qu'on 
peut en faire pour résoudre de nombreux problèmes. — 1 fasc. in-8". 46 p.; 
Coni Hermanos, Bueno-Aires. 

R. Neuenpokf. — Praktische Mathematik I. Graphisches und numerisches 
Reclinen (Sammlung Ans Natur und (îeisteswelt, n.° 341.). — 1 vol, in-8 ". 
105 p.: 1 M. 25; B. G. Teubner. Leipzig. 

Niels Nielsen. — Théorie des fonctions métasphériques. — 1 vol. in-4°, 
VI-212 p., 12 fr. ; Gauthier- Villars, Paris. 

R. de Montessus et R. d'Adhémar. — Calcul numérique. Opérations arith- 
métiques et algébriques, intégration. (Coll. Encyclopédie scientifique. — 
1 vol. gr. in-18, 250 p. ; 5 fr. ; O. Doin & Fils. Paris. 

G. Schefiers. — Lehrbuch der Mathematik fur Studierende der Natur- 
wissenschaften und der Technik. Einfùhrung in die Differential- und Inte- 
gralrechnung und in die analytisebe Géométrie. — 1 vol. in-8, 2 e édition ; 
VIII-732 p.; 18 M.; Yeit & Comp., Leipzig. 

R. Schimmack. — Die Entwicklung der mathematischen Unterrichts- 
reform in Deutschland. — Mit einem Einfûhruugswort zu Band III von 
F. Klein. [Abhandlungen ûber den math e m. Unterricht in Deutschland, 
Band III, Heft 1.) — 1 vol. gr. in-8, VI-146 p. ; 3 M. 60; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

J. Mingot Shellv. — Coordenadas hyperboloidales y su aplicacion al 
estudio de las conicas y cubicas contenidas en una cuadriea alabeada. Thèse 
de doctorat. — 1 fasc. in-8, 57 p. ; Alemana, Madrid. 

R. Suppantschitsch. — Lehrbuch der Arithmetik und Algebra fur die 
VI. bis VIII. Klasse der Gymnasieu und Realgymnasien. Mit 70 Figurer) im 
Text und 747 Fragen und Aufgaben. [Mathematisches Unterrichtswerk.) — 
1 vol. in-8, 303 p. ; 4 M. 50, Tempsky, Vienne. 

P. Trevtlkin. — Der geometrische Anschauungsunterricht als Unterstufe 
eines zweistufîgen geometrischen Unterrichtes an unseren hôheren Schulen. 
Mit einem Einfiïhrungswort von F. Klein und mit 33 Tafeln uud 87 Abbil- 
dungen im Text. — 1 vol. in-8, X-2I6 p. ; 5 M., relié 5 M. 60; B. G. Teub- 
ner, Leipzig. 

J.-W. Yoi.ng. — Lectures on fundamental conceps of algebra and geo- 
metry. Preparated for publication with tlie coopération of W.-W. Dewton. 
W'itli a note on the growtn of algebra ic symbolism by U.-G. Mitchell. — 
1 vol. p. in-8°, VI-247 p. ; 1 s. 6 d. ; The Macmillan Company, New-York. 

Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 
française dirigée par J. Molk. — Tome III. vol. 1, fasc. 1 : Principes de la 
géométrie; exposé par F. Fnriques. — Notes sur la géométrie non-archimé- 
dienne. par A. Schœxflies. — Les mitions de ligne et de surface; exposé 
d'après l'article allemand de H. von Mangoi.dt, par L. Zoretti. — Teubner, 
Leipzig et Gauthier-Villars, Paris. 



UN APPAREIL DEMONTRANT LA TRANSFORMATION 



L'ENERGIE POTENTIELLE EN ÉNERGIE CINÉTIQUE 



1. Le mécanisme décrit dans les lignes suivantes a été 
imaginé pour démontrer d'une façon simple comment l'éner- 
gie potentielle peut être transformée directement en l'éner- 
gie cinétique dune roue en rotation et inversement. Le pro- 
blème théorique dont il est question, quoique d'ordre élé- 
mentaire, est cependant très instructif et peut être trouvé 
dans plus d'un ouvrage important de mécanique théorique 1 . 
Il ressemble à celui de la machine d'Atwood, avec la diffé- 
rence essentielle que dans notre mécanisme l'énergie ciné- 
tique est celle d'une masse tombante et en rotation au lieu 
d'une masse tombante seule. L'énergie de la masse rotative 
est utilisée pour soulever la même 
masse d'une partie de sa hauteur 
originale. Etant donné l'impor- 
tance de la machine d'Atwood 
dans l'enseignement élémentaire, 
un appareil dont le caractère es- 
sentiel est de mettre en évidence 
les propriétés de l'énergie rotative 
semble également important et 
digne d'attention. 

2. La partie principale de l'ap- 
pareil consiste en un disque cir- 
culaire D, fixé sur un axe horizon- 
tal s passant par son centre et lui étant perpendiculaire. Le 



Pig- l. 



1 Voir par exemple E.-J. RoUTH, Elementary rigid dy nanties, 6 e éd., p. -'2i>. 
L'Enseignement mathém., 13* année 1911. 23 



350 A. EMCH 

disque et Taxe sont suspendus à un cadre à l'aide d'une sus- 
pension bifilaire, comme le montrent les fîg. l a et U de face 
et de côté. Sur les côtés du cadre fig. 1*) est adaptée une 
échelle servant à mesurer les distances parcourues par le 
centre de Taxe. 

L'expérience se fera de la manière suivante: On enroule 
les fils autour de Taxe d'une façon égale de chaque côté du 
disque et aussi haut que le cadre le permet. On abandonne 
alors l'appareil à lui-même; grâce à leur poids, le disque et 
Taxe commencent à descendre lentement; les fils se dé- 
roulent et obligent le disque à tourner autour de son axe 
aussi rapidement que les fils se détortillent. Cette descente 
se continue aussi longtemps que la longueur des fils le per- 
met. Si / et G représentent la longueur du fil déroulé et le 
poids du disque et de Taxe, l'énergie potentielle avant le 
mouvement est Pz=Gl. Cette énergie est transformée ac- 
tuellement en l'énergie cinétique K de la masse tournante 
et l'énergie V due à la vitesse acquise de chute. Par consé- 
quent 

P = K + Y . (1) 

L'énergie Y est compensée par la réaction du cadre 1 . 
L'énergie cinétique utile du disque et de l'axe est alors 

K = P — Y . (2) 

En vertu de cette énergie le disque continue à tourner et 
les fils s'enroulenl de nouveau autour de l'axe (cette l'ois 
évidemment sans l'intervention de l'expérimentateur). Le 
mouvement ascensionnel cessera dès que toute l'énergie (2) 
aura été utilisée. Cette énergie est ainsi transformée en 
l'énergie potentielle P { = P — V. Comme P 1 < P, il est clair 
que le mouvement ascensionnel n'atteindra pas la hauteur 
primitive. Le même processus de mouvement de chute et 
d'ascension se continuera de lui-même un nombre infini de 
fois. Chaque fois que le disque atteint le point le plus bas, 
une partie de l'énergie restante est compensée par le cadre, 



1 Pour plus de simplicité on néglige tout frottement. 



IRAN S F OHM A T ION I) E L É N E II G I E P T E N T I E I. LE 3 5 1 

c'est pourquoi chaque ascension est moins élevée que la 
précédente. 

En désignant par V, V, , V s , ... les valeurs de ces pertes 
successives d'énergie au point le plus bas, on aura 

P = V + V, + V, f ... ad inf. 

3. Afin de calculer les diverses quantités qui interviennent 
dans ce mouvement quasi périodique, désignons par R et /' 
les rayons du disque et de l'axe, s la longueur du fil déroulé 
après / secondes et 1 le moment d'inertie de la masse mo- 
bile, abstraction faite des fils. Soit en outre <I> l'angle dont a 
tourné le disque au bout de t secondes, l'énergie cinétique 
accumulée dans le disque et Taxe en rotation sera alors 

Mais, comme la longueur s du fil déroulé sur Taxe est 

_ r/* 1 ds 

s = /■<{> , on aura -j- = — T et 
«7/ /■ al 

Le travail effectué au bout de t secondes sera 

P = G.s 

et l'énergie due au mouvement de chute 

G /ds\* 

où g est la constante de la gravitation. 

Par suite, en tenant compte de (1), nous aurons l'équation 
différentielle 

I /ds\* G (ils 

Résolvant, nous obtenons 

cl 



V g\ + r*G 



it ~ 



352 
et 



a. KM ru 



1 *& « 
2g\ + r*G 



9] 



Gomme / est la longueur totale du fil enroulé, le temps T 
au bout duquel le disque atteint sa position la plus basse 
s'obtiendra par 





r**G 


I - 


éfl 


+ ,*G 




2/ 


g\ + r* 


G) 



/ = 



Au bout de ce temps, d'après 8 

21*80,1 



ilOl 



f ds\* 

Tt 



et. d'après 6 



r*G*/ 



g-1 + '*G 
Par conséquent, au bout de T secondes, 

K = G/ 



(11» 



;- 2 G-'/ 
gl + #■* G 



OU 



K = 



;GI/ 



gl + '"G 



12, 



Cette énergie est utilisée à soulever le disque et Taxe 
d'une certaine hauteur /, . de sorte que 



hG 



gGU 



h 



(13) 



gI + ' J G " g-I + ^G 

D'après cela, on voit que la longueur du deuxième cycle 
du mouvement s'obtient en multipliant la longueur précé- 
dente par le facteur , f .,,. . Par suite, pour le n ème cycle 

ou pulsation, la longueur parcourue par le centre de la 
ma sse mobile sera 

i =( -', Y'/ . 

On voit clairement que lim (/„ =0. 



ii'.i 



i; / i> It E S E N T A T I () N I> E s n E TE II MINA N T s 353 

L'énergie perdue lors de celte pulsation au point le plus 
bas sera, en tenant compte de (11), 

OC 

En effectuant la somme ,,., ^, (-r-r — stt) /, on trouve 

facilement qu'elle vaut G£ = P, comme on l'a indiqué précé- 
demment. 

Il serait facile de s'arranger à pouvoir fixer d'autres 
disques de différentes masses sur l'axe, ce qui modifierait 
le moment d'inertie I. On pourra étudier de cette façon l'in- 
fluence de la masse sur les diverses énergies et les relations 
qui existent entre elles. 

Arn. Emch (University of Illinois). 

(Traduction do J.-P. Dumur. Genève.) 



SIR LA REPRÉSENTATION DES DETERMINANTS 
PAR DES SYSTÈMES ARTICULÉS 



1. — A propos du calcul des déterminants. — Le calcul 
numérique d'un déterminant est en général une opération 
fort laborieuse, dès que l'ordre du déterminant est un peu 
élevé. On s'en aperçoit notamment dans le cas assez rare où 
l'on a à résoudre un système d'équations du premier degré, 
et où il n'est pas possible de simplifier au préalable celui-ci. 
On sait qu'une racine est donnée par le quotient de deux 
déterminants identiques, à une colonne près ; or on est obligé 
néanmoins de développer intégralement chacun des deux 
déterminants. Nous nous étions demandé, il y a dix ans en- 
viron, à propos du calcul dune voûte par la méthode de 
l'arc élastique qui conduit à la résolution d'un système 



354 



F. RUT A Y AND 



d'équations linéaires, s'il ne serait pas possible de l'aire 
apparaître, en vue de simplifications, la partie commune 
des deux termes dont on cherche le quotient. 11 convenait 
d'abord de mettre le développement d'un déterminant sous 
la l'orme d'un monôme. Nous pensâmes à appliquer aux dé- 
terminants la conception du système articulé. 

2. — Déterminant articulé du second ordre. — Notre 
point de départ fut la considération du système articulé 
dans l'instrument dit « pantographe ». 

Considérons le système ci-dessous ABCDEF (fig. 1) et po- 
sons : 

AB = a] , AI) = a\ , 
BC = « l . DE = « s , 



D 



r /7/> 




Fi£. 1 



on a : 



BD = CF , DF = BC 
Traçons la droite ACE' et posons : 

EE' = a 2 



nous avons : 



a. =z a — 



A < 



ou : 



et en posant : 



2 ,.l ,A «2i 



2 1 2 1 11' 1 



A = 



i 1 a 3 
î î 



i 1 a 2 

2 2 



i: i: /' R i: s i: s tatio .v i> E S i> E T /■: n M IN A .v r s :,:>:> 



ou l'iili n 



Autrement écrivons 



A = 



a 1 
1 


a 2 
1 




a 1 

2 


2 





i l a 2 

î i 



et comme 



on a : 



a 1 a 2 

i i 

a 1 DE' 



a\ a 2 

I 1 

a 1 DE' 



à 1 DE' + a 2 

2 ' » I 

«î 

+ 

= 



A = a 1 a s 

î i 



3. — Déterminant articulé du troisième ordre. — Soit 
maintenant le déterminant : 



ecrivons-le : 



et en posant : 



,' a 2 n" 
111 



2 2 



fl (I II 



A' = 



A = 



1 1 1 



2 2 2 



,' , 2 „" 
3 3 Z 



Il (I (I 



111 



a 1 o 3 a s + S 



M = 



, l a 2 
> % 



« L a' | 



on aura 



A = A' + a 3 Y 

3 8 



356 



F. BUTA VA NI) 



or on peut toujours prendre a\ de façon que A' soit nul ; par 
suite on aura 



A = a 3 A 3 . 

3 3 



et comme on sait que A* est égal à a\ «' . on a en définitive 



A = « a 2 r . 

1 i 3 



Considérons maintenant le système articulé ci-dessous 
(fig. 2 où : 

AI'. = «' . BC = «' . CD = a 1 , 

l 2 3 

Al- = a 3 . EF = rt 1 . KG = a 1 , 

1 2 ! ' 

AH = a 3 . HI = «' . I K = a' . 



A 




^^5^55^ 



Les bielles BC, EF, HI d'une part, CD, FG, IK, d'autre 
part, sont assujetties à rester parallèles, à l'aide de liaisons 
par bielles faciles à concevoir. Ayant assujetti A et D sur 
une règle, nous pouvons toujours déplacer le système de 
façon à amener G sur la même droite. Soit alors J l'intersec- 
tion de cette droite avec IK, et posons IJ = a'\ . 



REPRÉSENTATION DES DÉTERMINANTS 35: 

Le déterminant 



A' = 



est nul. 

En effet, projetons le système sur une perpendiculaire 
à AD. Soient /S, , /3. 2 , /3 3 , les cosinus directeurs des côtés. 
On aura : 

„> s _i_ a i r + a 1 3=0, 

,r 3 + ./ 2 3 -t- r/ 2 S = il . 

I ' 1 ' 2 ' % ' 3 ' 3 

rt'B + «*? + ff'*|3 = . 

i ' i ' a ' a ' 3 ' » 

Ce système a des solutions, donc A' est nul. Or on a : 

A = A' + JK . A 3 
et par suite 

A = A 3 . JK ou A = A 8 . a* . 

3 3 3 

Il suffira donc d'aligner à la règle les trois extrémités A, 
D, G, et de mesurer JK sur IK pour avoir a 3 . 

On a vu d'autre part comment le système articulé ABGEF 
permet de déterminer or. On a donc ainsi les trois facteurs 
du produit qui représente À : 



Le système articulé du troisième ordre présente : 

3(3 — 1) -}- 1 = 7 bielles éléments 

3(3 — 1) -|- 2 = 8 » de parallélisme 

Total. . . 15 » 

4. — Déterminant articulé d'ordre n. — La théorie qui 
précède est générale et s'applique au cas d'un déterminant 
d'ordre n : 

A = a\ a 2 



t y. 

77—1 71 



On obtiendra successivement les facteurs comme ci-des- 
sus. 



358 



F. />' (TA VAND 



Le nombre des bielles sera : 
1° Bielles éléments : 

n n — li + i — " 2 — " + i 

2° Bielles de parallélisme : 
a) Bielles longitudinales CF'j 

,t_ i _|_ 2(« — 1) + ... (n— li* 

// Bielles transversales (F' G') 

h — 1 + 2(« — 1) + ... [n — 2) i/; — 1) = 



nui — li 2 



ni — 2 M// — II 2 



soient -n — l) 3 au total pour les bielles de parallélisme el 

N = i/i — li s + [n - li// + 1 

pour tout le système. 
Application : 

Pour 

n = 2, 3, i . 5, ... lu, 11, ... 

on a 

N = 4, i5, 40. 85, ... 820. 1111 , ... 

5. — Résolution d'un système de n équations du premier 
degré à n inconnues. — Soit le système : 

,,i x + . . + ( ," x = A , 



On sait que l'on a : 



t = "4 , 

P A ' 



avec A = 



<i . ... a 



it n 



et 



n ... n A n ... (i 

I I I I ! 



.' ,./'-' 



a' A 



../'+ : 



/,' E P H E S /■: NT AT 10 y D E S 1) E T E H M IN A A I - 

Considérons le système articulé A auquel nous ajoti 
une colonne — autrement dit un contour polygona 
A, V, ... A„ . soit D le système obtenu 



359 

Ions 



I) = 



a A 



ii A 



Ce système, en laissant le contour A, donne A. el <»n 
culera : 

on calculera de même D ; , en excluant le contour a p : 



I) = « 

p i 



l 7. 

p-\ p+l 



Il r 

1. 'j 

a ' i> 



(3 p étant le résidu de la dernière colonne A. 
D'où 



y. 1 ' 
P 



p—\ p+\ 
x a 

p-\ p+l 



La simplification est considérable. Ayant construit le sys- 
tème D, il suffira d'aligner deux fois pour avoir les résidus 

a p et ô p en excluant successivement les colonnes A et a . 
p i~ p p 

Nous n'avons pas besoin de faire remarquer que la réalisa- 
tion du système est très compliquée à cause du nombre des 
bielles, et que la méthode n'a pas d'intérêt pratique. 

6. — Dilatation d'un déterminant articulé. — Les éléments 
d'un déterminant ne sont pas toujours des constantes. Ils 
peinent être des fonctions d'une ou de plusieurs variables. 

Admettons que les éléments du système articulé soient 
constitués par des barres métalliques de nature différente 
ayant des coefficients de dilatation : 



360 F. RUTAYAND 

Si la température subit une variation t, les éléments de- 
viennent : 



«; + \\ a \ t ... u" x + x; < / 



A- = 



< + *i«i« •■■ -;; + *:•:« 



On concevrait facilement le dispositif de bielles et cou- 
lisses permettant la conservation du parallélisme des élé- 
ments. 

L'équation A(/ =0 est une équation en t du degré n , que 
l'on résoudra en alignant n — 1 extrémités et faisant varier 
la température pour aligner la « ème sur les précédentes. On 
conçoit donc la résolution par un procédé physique de 
l'équation A(/) = 0. 

7. — Equation en \. Equation en S. — Les équations en ). 
et en S que Ton rencontre en géométrie analytique sont un 
cas particulier du précédent. 

Dans le cas de A(JL) = on a 



a\ + \v'l ... ,'[ + \a» 



= 



< + '"«',! - «n + Xa '',î 



on voit qu'il faudra poser 



. 1 1 

X a t 

i i 



K « t , 



ce qui revient à choisir x t ... /" comme suit 



n i: p n Ê s e .v /' A r i o N i> i: s d /■: r i; r m i v a y r s 

Dans les cas de A(S) = 



361 



AiS 



il faudra poser : 



a 1 — S a 1 



A ' . 1 J 



«".. — s 



A" = (I 



= 



À = }. 



I" = 



A =0 X.. == 



Pratiquement, on ne peut concevoir l'application de ce 
procédé que pour les racines très petites des équations en S 
ou en X, ou encore dans le cas où les termes a sont très 
grands vis-à-vis de l'unité pour l'équation en S,- et vis-à-vis 
des termes a pour l'équation en \. 

Dans l'ensemble, l'intérêt pratique de ce qui précède est à 
peu près nul; il serait peut-être même exagéré de lui attri- 
buer quelque intérêt théorique, cependant la méthode est 
curieuse, et c'est à ce titre que nous l'avons exposée. 



F. Butavand Alger- . 



SLR CERTAINES TRANSFORMATIONS DE DROITES 



Dans mes recherches sur le problème de Transon, j'ai été 
amené à attribuer une importance particulière à la projection 
orthogonale d'un point fixe O sur chaque rayon dune con- 
gruence ou d'un complexe de droites. Une représentation 
des congruences dans laquelle on fait jouer un rôle à la pro- 
jection d'un point O sur chaque rayon se rattache d'ailleurs 
à la représentation la plus générale d'une congruence de 
droites par Ribaucour : étant donnée, en effet, une surface 
(S), Riiîaucour associe à chaque point M de cette surface une 
droite parallèle à la normale à (S) en M et introduit les para- 
mètres qui déterminent la trace de la droite sur le plan tan- 
gent à (S) en M; en supposant la surface (S) réduite à une 
sphère de rayon nul, on est ainsi amené à envisager la pro- 
jection d'un point fixe. 

Soient p t , p. 2 , p 3 , p., t , p b , p ti les six coordonnées plii- 
ckériennes d'une droite appartenant à une congruence; 
soient ,r , y , z les coordonnées de la projection P de 
l'origine O des axes rectangulaires Oxyz. Je poserai 




ce qui revient à prendre pour paramètres ceux qui déter- 
minent les génératrices rectilignes de la sphère de centre O 
et de rayon un. Il résulte de ces expressions (1) des relations 
remarquables et dont l'emploi est fréquemment avantageux. 



/ R . I V S F o h' M .1 TJO V s I) E 1) R I T E S 363 

Par dérivations partielles des fonctions/;,, p.,, p.. il vient: 

iVI ^i> bp 

Il + MV)»— =1— »•* , |l + «»-, s — =_ iii + i-»j . [1 + /«•)'—= 2v ■ 

o// ôh Oh 

|1 _j_ „,.,»_' — 1 _ „' . il -f. „,.)« - ! — M + „«| . (1 -f H |.)'— = 2h ; 

0»' iV 0»' 



de ces relations résultent les suivantes 



(2) 



= o: 



\ k= i « 






y, = i Oh Ov il + «ri 2 



(31 



^*"d« '' 2 Oh ~ bu ' /<3 Ov "» ôi" ~ 0»- 

^ d Pz _ M .ty, () b P* _ ^i _ M 

j ^ du ^ 8 <v< "~ ' ' ou ' '^ Ôi' ^ 3 Ov ~ ' bv 



I " ' DU ' ■ OH OH 

Ou ô« 5p 

'î 'a 's 



' 2 Oh ' l c\u Oh 7 2 0»' ' « ov 



'7'= 



Dl /V /', 
T)|H . v) 



->, 



1 + «.f' 



Il existe de même des identités remarquables entre les 
dérivées du second ordre. Toutes ces relations sont d'ail- 
leurs des cas particuliers de celles que l'on rencontre à pro- 
pos de l'étude de la représentation spjiérique générale des 
surfaces et des congruences de droites. 

De l'expression précédente (4) du déterminant fonctionnel 
de deux des (onctions p t , p. 2 , p :i , il résulte que le détermi- 
nant 





d fl 


^Pl 


p* 


bit 


bv 




ty, 


'"l>. 


Pi 


bli 


bv 




*£, 


*p. 


f's 


ÔH 


bv 






364 




/■; 


ru 


est nul : 


je poserai 


donc 






i Pi 


=4« 


+ « 



TURRIERÊ 



•7\ 'V, 



ùu 



5] 



i . , „/ d P> *P 



5j> 



dans ces formules, p et q sont deux fonctions absolument 
quelconques de ?/ et de v définies, lorsque les coordonnées 
plùckériennes sont données, par les relations : 



16) 



^ *Pt 



les coordonnées .r , y , c de la projection P de O de- 
viennent alors : 

l / ty bp ± 

■*"0 = ^3^5 - P>P, = ô 11 + '"'H/'— " + V- 



" 



/ Il 19 I * ï l ' I 

f -o = ?,/>, - /\/> 6 = V 1 + ,a '' \/ ; 77 + 7 ÔII 

La comparaison des expressions (4) des moments />, /> 5 , /> 6 
et des expressions (7) des coordonnées de la projection P 
de O m'avait conduit à étudier une certaine transformation 
de droites à laquelle j'ai consacré un premier article dans 
les Nouvelles Annales de Mathématiques (1909, p. 249). Les 
articles Sur les surfaces de M. Appell (1910, p- 145) et Sur 
les congruences de droites qui admettent un point pour sur- 
face centrale (1911, p. 165) concernent des applications de la 
même transformation de droites; j'ai montré que, dans celte 
transformation, les seules congruences de normales qui con- 
servent leur propriété d'être normales à des surfaces sont 
les congruences de normales aux surfaces de M. Appell; 
toute autre eongruenee de normales est transformée en une 



/' A* A \ S /•' R M l TIO N s /> /; h i: o i T /•; S 365 

congruence de droites qui admet un point pour surface c < • n- 
trale; celte remarque permet de déterminer toutes les con- 
gruenees qui jouissent de celte dernière propriété et de les 
définir géométriquement. L'une de ces congrue nées est cons- 
tituée par les génératrices des quadriques du système de 
Lamé découvert par M. G. Humbert : cette remarque a été 
faite par M. E. ECeraval dans un Mémoire Sur les surfaces 
partiellement cylindroïdes [Nouvelles Annales, 1910, p. 529 
et — ainsi que je m'en suis aperçu depuis la publication de 
mon troisième article — par M. .1. Haag dans son récent Mé- 
moire Sur certains mouvements remarquables et leurs appli- 
cations Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1910, 
p. 357). 

Les résultats auxquels j'ai consacré les articles cités sont 
susceptibles d'être généralisés : les formules 5 permettent 
d'étudier les transformations de droites avec conservation 
de la direction et d'attacher à toute transformation de cette 
nature une certaine équation aux dérivées partielles du se- 
cond ordre, particulièrement simple, et qui représente les 
congruences de normales qui restent invariantes. 

La propriété fondamentale est celle des fonctions p et q 
lorsque la congruence représentée par les formules 5) est 
une congruence de normales : la condition nécessaire et suf- 
fisante pour que la congruence soit une congruence de nor- 
males est que les fonctions p et q soient les dérivées partielles 
d'une même fonction par rapport à u et à v respectivement . 
Cette propriété découle immédiatement des expressions des 
coordonnées plùckériennes de la normale, en un point quel- 
conque, a une surface quelconque définie comme enveloppe 
du plan d'équation 

/' x + l'o} ~\~ !'<, ~ — -^"' • v ) '■ 

il est possible aussi de la l'attacher, au moyen des formules 
(7), à la relation générale 

ou »' /v ■ >| . v »- /v ^0- />,' _ 

b\U , »') 5(« , »'J o [u . ri 

qui caractérise les congruences de normales. 

L'Enseignement mathém., 13 e année ; 1911. -i 



366 E. TURRIERE 

Étant donnée une droite définie par u . v. p et ^, si on 
pose 

F(p, >/ . //. </' = ii . G(p, q, [>'. v'i = , 

F et G étant deux (onctions quelconques des quatre variables 
p , q. p' . (f . on établit ainsi une certaine correspondance 
entre les droites a, v. />, q) et (u, c, //, 9'). Si en outre on 
suppose p et ç fonctions de u, v), les formules précédentes 
définissent/?' et q' comme fonctions de (//, v et par conséquent 
établissent une correspondance entre deux eongruences de 
droites. Cette correspondance entre eongruences se fait au 
moyen d'une transformation de droites, avec conservation 
de la direction ; les formules F = et G -- étant données, 
la transformation géométrique est parfaitement définie et est 
indépendante de la considération des eongruences (p, q) 
ou (/>', q'). 

Je me propose de déterminer celles des eongruences p, q 
et (//, q') qui sont simultanément des eongruences de nor- 
males. Il suffit d'écrire que, p' et q' étant les dérivées d'une 
même fonction, il en est de même de p et q. La condition de 
compatibilité 

iF , Gi = 

conduit au résultat suivant: la fonction cS, dont p et q sont 
les dérivées partielles, est l'intégrale générale d'une équation 
linéaire homogène aux dérivées partielles du second ordre 
et qui est invariante dans la dilatation infinitésimale ; il en 
est de même de la fonction tà' dont// et q' sont les dérivées. 
A toute correspondance F — 0, G = est ainsi associée une 
équation du second ordre unique si la correspondance est 
réciproque; sinon on doit associer deux équations définis- 
sant respectivement tf et \i'. 

Si, en particulier, les formules F = et G = sont sup- 
posées résolues par rapport à p' et q' . par exemple, c'est-à- 
dire si l'on pose 

i P' = **'(/>■ 7' • 

7 = ( ^P ■ '/' ■ 



T /.' A N S F O R M A T l N S D K l> R <> I I E s 36^ 

l'équation définissant cd est l'équation 



r-ï + S ( — — t— = . 

.y; * ty <y>/ ty 



Plus particulièrement encore, supposons que la corres- 
pondance s'établisse par une transformation de droites dé- 
finies par les formules : 

p' = fonction de p . 
f/' =: fond ion de q : 

l'équation devient alors 



dQ 
dq 


d\>\ 




dQ d? 




d(j dp 



Si Ton a 

c'est-à-dire 

// = ap + a-i , q' = ap + a, . 

la transformation est une homothétie conservant toutes les 
congruences de normales. Sinon les seules congruences de 
normales qui conservent leur propriété sont définies par 

l'équation 

s = , 

qui caractérise les congruences de normales aux surfaces 
de M. Appell. Ce théorème généralise celui que j'avais anté- 
rieurement établi relativement à la transformation de droites 

// = — ip . <l' = iq . 

dont le produit par une symétrie par rapport au point O est 
précisément la transformation de droites précédemment étu- 
diée. 

Etant donnée une équation linéaire et homogène du se- 
cond ordre 

I" H; + 2Ks + ht = , 

dans laquelle H, K, L sont des fonctions de p et de q, on 
peut se proposer de déterminer toutes les transformations 8 

/,' = V p . q) t/' = ()>p . q) 



368 E. TURRIERE 

auxquelles cette équation est attachée. X et u étant deux 
fonctions auxiliaires de p et de y, on devra avoir, d'après la 
forme de 9), 

l = Ali , — = u — /.Iv . 

-y = , + XK , » = _ ;.L ; 

b? • b 9 

d'où il résulte tout d'abord deux relations définissant les dé- 
rivées de a : 

^f ( XH)-l<XK), 
àp b 9 bp 

(12) ^ 

bu. b . „ 5 ,,. 

bq bq bp 

et finalement une é(|uation linéaire du second ordre définis- 
sant À : 

bp' O/xV/ b^r s 

les fonctions H, K, L de p, q étant données, on intégrera 
d'abord l'équation (13); soit X une intégrale ; les formules (12 
permettront de calculer p; les formules (11) donneront en- 
suite les fonctions cherchées P et Q. 

Comme premier exemple, on peut prendre l'équation des 
surfaces de M. Appell 

s = . 

et l'on est conduit à prendre pour P une fonction arbitraire 
de p, et pour Q une fonction arbitraire de q. 

Comme second exemple, soit l'équation de Laplace, 

Ac5 = r + t = ; 

l'équation (13) est elle-même l'équation de Laplace AX = : 
on doit alors prendre pour P -\- iQ une fonction arbitraire 
de p -\- iq et pour P — ?'Q une autre fonction également ar- 
bitraire de p — iq. 

E. Turrière (Alençon). 



SUR LA THÉORIE DES CONIQUES 






1. — Depuis l'introduction de l'étude des sections planes 
des cônes à base circulaire au programme de géométrie des- 
criptive de la classe de Mathématiques en France, deux au- 
teurs se sont proposés de simplifier la démonstration du 
théorème suivant : la perspective d'un cercle est une conique. 

La démonstration donnée par M. Hadamard 1 [N. A., avril 
1U05) s'appuie sur le théorème de Dandelin. Celle de M. Re- 
beix (N. A., mars 1910) a l'inconvénient, au point de vue de 
renseignement, de s'appuyer sur une définition tangentielle 
des coniques. Je donne ici une démonstration très élémen- 
taire, ne supposant pas connue la notion de rapport anhar- 
monique ; j'indique ensuite comment, en supposant connue 
cette notion, on pourrait abréger les démonstrations. 

I. — Méthode élémentaire 2 . 

2. — Nous démontrerons d'abord le théorème suivant : 
Théorème I. A et A' étant deux points diamétralement op- 
posés d'une ellipse ou d'une hyperbole, AT et A'T' les tan- 
gentes en ces points : 1° La tangente en un point variable M 
coupe ces deux tangentes aux points P et P' tels que le pro- 
duit AP A'P' est constant; 2° le point M partage le segment 
P, P' dans le rapport de — AP à A' P' ; 3° la droite A' M 
coupe AT au point Q, AM coupe A'T' eu Q' tels que 
ÂQ = 2 ÂP, .VÎT' = 2 VP\ par suite ÂQ X Â/Q' = C ,e . 



1 M. Hadamard a repris la question, par une méthode plus simple, dans la nouvelle édition 
de son traité de Géométrie. 

' Cette exposition est, à peu de choses près, le résumé d'une leçon faite à mes élevés de 
Mathématiques spéciales préparatoires en décembre 1909. 



370 



VAL lit ON 



Considérons par exemple le cas de l'ellipse, soit (fig. 1) F 
l'un des foyers, FX la parallèle aux tangentes AT, A'T" 
menée par F. D'après le théorème de Poneelet, nous avons 

A'FP = PFM 1 et MFP' = P'FA', l'angle pÎt' est donc égal 




Fig. 1. 



à la moitié de AFA\ et par suite égal à XFA'. Nous dédui- 
sons de là l'égalité des angles PFX et P'FA', ou 

/\ /\ 

APF = P'FA' . 

les deux triangles APF, A'FP' sont donc semblables (les 
angles A et A' étant évidemment égaux), d'où il suit 

Â~P • Â 7 ?' = AF • A'F 

(dans le cas de l'hyperbole on aurait AP • A'P' = — AF • A'F) 
ce qui démontre la première partie. 

Le symétrique A, de A par rapport à la droite PF est sur 
FM, de même le symétrique A[ de A, par rapport à FP' est 






7 // É 11 I E n I. S i .V IQU E S ::: I 

sur la droite FM, et de plus l'égalité des angles l'A F el P'A'F 
/s /\ 

entraîne celle de l'A.K el P'A^F, par suite 

l'A! l'.M AT- 



P'A' P'M AT' 



dans le premier rapport on a le signe — pour l'ellipse, 
-f- pour riivperbole), la deuxième partie est donc démontrée. 
Enfin Q étant le point d'intersection de MA' avec AT, 
nous avons 



d'où 

De même 



PQ PM AP 

AT' ~ I".M " A 7 ! 7 ' 



PO = AP 



P'Q' — A'P' , 






d'où il suit la troisième partie. 

3. — Conséquences el réciproque dans le cas de l'ellipse. — 
Prenons pour AA' le grand axe de l'ellipse, si 2b désigne la 
grandeur du petit axe. on voit (en plaçant M en l'un des 
sommets de ce petit axe que l'on a : 

AQ • A'Q' — w. 2 . 

Si M, est le point du cercle principal avant la même pro- 
jection R sur AA' (et situé du même côté de A A : A'M, cou- 
pera AQ en (), : AM, coupe A'Q en Qî et l'on a 

AQ/ Â 7 Q' 1 = l« 2 

puisque l'angle AM, A' est droit. Mais on a par des triangles 
semblables évidents 

«J, = AQ ^ . a'q; = A'Q' ^ , 

par suite la comparaison des deux égalités précédentes 
donne 

M.R _ a 

nTm" — T, 



878 G. l .( LIS ON 

Nous obtenons donc le résultat connu : 
L'ellipse est la projection orthogonale d'un ce /rie. 
On déduira alors de la la construction d'une ellipse con- 
naissant deux diamètres conjugues 1 , ce (jui nous permet 

de démontrer la réciproque du 
théorème I. 

Théorème 1 1 4 . Etant données 
deux parallèles T. T'. menées 
par deux points A. A : le lieu 
des points M, tels que le pro- 
duit AO A'Q* des segments in- 
terceptés sur T et T par les 
droites A' M. AM. est constant 
et égal à 4Z> 2 , est l'ellipse ayant 
pour diamètres .conjugués \\ 
et la parallèle aux droites T. 
T' de longueur 26. 

Il v a en effet identification 
entre L'ellipse et le lieu consi- 
déré, une droite quelconque 
(tassant par A coupant l'ellipse 
et le lieu au même point. 

4. — Cas de l'hyperbole. Pour 
Kg. t. l'hyperbole les asymptotes étant 

des tangentes particulières cou- 
pent fig. 2 les tangentes AT. A'T". aux points C, G' D. D'. 
et l'on a : 




A.C AC = — AC" = AI) A'l>' = — AD" . 

d'où AD = — AC 8 . Il resuite de là que la droite AA' et la 
parallèle à AT menée par son milieu, qui sont des diamètres 
conjugues pour l'hyperbole, le sont aussi pour les asymp- 
totes : donc : 



- diamètres conjugués résulte du théoreine I immédiatement. 

1 Ceci montre que le point de contact d'une tangente est le milieu du segment déterminé 
par les asymptotes sur cette tangente. 



r il i: o i: 1 1: i> i: s t ■ o y i o t; /■: s 373 

Les milieux des segments interceptés par une droite sur 
l'hyperbole el Les asymptotes coïncident. 

On déduil de la les propriétés de lli\ pnbole relativement 
aux asymptotes et la définition de l'hyperbole donnée par 
un point et ses asymptotes. 

Enfin la troisième partie du théorème I s'écrit : 



ao • A'Q' =.— »a<: 

De ces propriétés résulte la réciproque du théorème I : 
Théorème II». Etant données deux parallèles T,T', me- 
nées par deux points A et A' ; le lieu des points M, tels que 




Fig. 3. 



le produit AQ ■ A'Q' des segments interceptés sur T et T' par 
les droites A'. M. AM, est constant et égal à — 4 /A est l'hy- 
perbole passant en A et A' et ayant pour asymptotes les droites 
CC\ DD\ telles que AÏ) = A/C' = — À~C = — ÂTT = b. 

En effet, une droite quelconque passant par A coupe 1 hy- 
perbole et le lieu au même point. 

5. — Propriétés correspondantes de la parabole. Nous ob- 
tiendrons ici le théorème suivant : 

A étant un point d' une parabole, D une parallèle à la tan- 
gente en A. qui coupe la parallèle à l'axe passant en A au 
point \\ intérieur à la parabole ; la droite joignant un point 
variable M de la parabole à A, coupe la droite D en K': la 






:;:'» G. VA LIE ON 

parallèle à l'axe passant par M coupe la droite D au point K, 
tels qu'on ait 

HK • HK' = i ■ Ali • AF . 
F r/c//// le foyer. 

Soient, en effet fig. 3), P et P' les points où la tangente 
en M coupe la tangente en A, et la droite D ; L le point où la 
parallèle a Taxe menée par P coupe la droite D; nous avons, 

d'après la propriété de la tangente en À, PAF = PLP'; et 

d'après le théorème de Poncelet APF = LPP', par suite les 
triangles APF, LPP' sont semblables, d'où : 

LP' _ PL 

Xf ~~ AT' 

ce qui peut s'écrire comme PL = AH, 
LP' • AP = AF • AH . 

D'autre part, et encore d'après le théorème de Poncelet', 
LK = HL, d'où nous tirons 

H~K = 2ÂT , et aussi HK' = 2LP"' , 

de sorte que la relation précédente devient, en remarquant 
que HK et HK' sont toujours de même sens, si H est inté- 
rieur à la parabole, 

HK • HK? = i • AH • AF . 

c'est la propriété annoncée 2 . 

La réciproque s'obtiendra encore par identification : 
Théorème Il 3 . Etant donnés le point A. la droite D et le 
point H de cette droite; le lieu des points M, tels que le pro- 
duit des segments HK', HK, interceptés par la droite AM et 
la parallèle à AH passant par M, est constant et égal à 



1 Cette partie du théorème de Poncelet (qui correspond à l'égalité AFH = PF.Mi n'est pas 
énoncée en général, on en déduit immédiatement la propriété de la sous-tangente. 

* m étant le point d'intersection du la parallèle à D passant en M avec AA'. on obtiendrait 
facilement la relation 

M//i* = 4A/h ■ AP . 

Si H est extérieur, on aura HK • HK' = — 1AH • AF . 



THÉO RI E /> E S C0N1 Q V E s : ; 7 5 

1AII /, est une parabole dont l'axe est parallèle à Ail. qui 
passe par A et dont le foyer F est sur la symétrique de Ail 
par rapport a la parallèle à L) menée par A, a une distance 
égale à 1, et du côté de II. 

Si l était négatif on porterait la longueur \l\ en sens con- 
traire.) 

Des trois théorèmes II, on peut déduire une proposition 
générale : 

Théorème général. Etant donnés deux points A, A' dont 
l'un peut être à l'infini), et une droite D (ne passant ni par A, 
ni par A!), le lieu des points M tels que le produit des seg- 
ments interceptés sur la droite D par les angles M A A', M A'A, 
est constant, est une ellipse, une hyperbole ou une parabole* . 

C'est une parabole si l'un des points est à l'infini (théo- 
rème I[ 3 ), une ellipse si la constante donnée est du signe 
contraire au rapport des segments déterminés par D sur la 
droite AA', et une hyperbole dans l'autre cas. On ramène en 
effet ces deux cas aux théorèmes II, ou II„. 

6. — Perspective d'une conique. Le théorème sur la pers- 
pective dune conique (ou la projection parallèle) résulte 
immédiatement du théorème général précédent. Soit une 
conique T contenue dans un plan II, S le point de vue et 
IIi le plan sur lequel on projette. Supposons que l'on puisse 
mener à T des tangentes (une tangente pour une parabole) 
parallèles à la droite D d'intersection des plans IT et Ili , 
soient A et A' les points de contact, M un point quelconque 
de T, les droites AM, A'M, AA' coupent D aux points Q, Q' 
et H et nous avons 

HQ • ÎÏq"' = C te . 

Soient A t , Aï, M, les perspectives de A. A'. M; la droite 
A 4 M, coupe D au point Q, A' M, en Q' et A X A^ en H, et, 
d'après la relation précédente et le théorème général, on 
voit que le lieu de M, est une conique. 

Si l'on ne peut pas mener de tangentes à T parallèle à D 



1 Ce théorème donne par une construction de moyenne proportionnelle les points d'inter- 
section d'une droite D avee une conique définie par les points où la tangente est parallèle :i D 
et un antre point. I Application a la construction des tangentes au point double de l'intersec- 
tion de deux cônes du second degré.) 



376 G. VAL I H ON 

ce qui nécessite que Y soit une hyperbole), on prendra un 
plan auxiliaire n " coupant II suivant une droite D' parallèle 
à une tangente à I\ et on choisira ce plan de façon que la 
perspective de Y sur lui soit une ellipse, en projetant cette 
ellipse sur 11' on aura la perspective de Y qui sera bien une 
conique. 

II. — Méthode des projections. 

7. — Le théorème 1 (3 fi partie) et le théorème correspon- 
dant pour la parabole sont un cas particulier du théorème 
connu : 

Les rapports aiiharmoniques des deux faisceaux de droites 
joignant deux points d'une conique à quatre autres points de 
la conique sont les mêmes, théorème évident pour le cercle 
et qui s'étend aux coniques par projection {théorème de 
Dandelin). 

En effet, en joignant le point A aux points A, M, M, , A', 
et le point A' aux mêmes points on aura, en coupant les 
deux faisceaux obtenus par les tangentes en A' et A 

(A. Q, Q,, oo] = (« . Q', q;, A') 

d'où 



A Q • A'Q' = AQ t A'Q; = C te . 

Les théorèmes inverses se déduiront comme précédem- 
ment 1 , mais le théorème sur la perspective d'une conique 
pourra se démontrer de la façon suivante : 

Soit A 1 intersection du plan 11 de la conique Y avec le plan 
parallèle à n' mené par S, et soit x un point de la droite A 
extérieur à I\ A et A' les points de contact des tangentes 
menées par ce point, M et M' deux points quelconques de T, 
on a 

A'(tMM'A) = A(A'MM't) . 

En désignant par A,, A',, M,, M' t les projections de A, A', 
M, M', par Q, Q, ; les points d'intersection des droites Aj.M,, 



1 Le théorème sur le milieu des segments interceptes par une hyperbole et ses asymptotes 
sur une droite peut s.- déduire du théorème de Pascal. 



T 11 /■; /.' / E l> E LA M E S I 11 E •' i 7 7 

A', M', avec la perspective de At, par Q, Q, les intersections 
de A,M, . \,.M| avec la perspective de A't, on aura comme la 
perspective <lc t est a l'infini 

Â~Q • Â 7 ^' = Â~Q A'Q' = C te 

et comme les droites A.O,, A^QÎ sont parallèles, le lieu du 
point M, est une conique. 

G. Valiron Besancon). 



SUR UNE THEORIE DE LA MESURE 



A propos d'un article de M. G. Combebiac 

Dans son étude sur une théorie de la mesure publiée dans Y En- 
seignement, mathématique au 15 mars 1910, M. G. Combebiac con- 
sidère les fonctions Fur, y) possédant les propriétés suivantes : 

1° F(x, y) est continue et croissante comme fonction de y, con- 
tinue et décroissante comme fonction de .r; il s'ensuit qu'elle est 
encore continue comme fonction des deux variables x et y. 

2° Les valeurs de F .r. y e1 de F r, s déterminent la valeur 
de F //. z . 

En supposant de plus que la fonction F r. y possède des déri- 
vées premières continues, M. Combebiac établit qu'elle peut se 
mettre sous la forme 

ft| f\y) - f(x) | . 

où ( I> et /"sont des fonctions continues, croissant avec leur argu- 
ment. 

Je me propose de démontrer ici, comme M. Combebiac le pré- 
sume, que ce résultat est indépendant de l'existence des dérivées 
de F (ar, y). 

1. — Si nous ne considérons des valeurs de x que celles qui 
sont comprises dans un certain intervalle /, . et des valeurs de y 
que celles qui sont comprises dans un certain intervalle /., . x est 
une fonction continue de F et de //, croissante cem me fonction 
de //, décroissante comme fonction de F. 



378 f.-E-J. BHOVWER 

En effet, si cette fonction n'était pas continue, on pourrait dé- 
terminer une telle suite de valeurs x\ x" , x"', ... possédant une 
seule valeur limite x. . et une telle suite de valeurs y', //", y'". ... 
possédant une seule valeur limite y n que 

lim F u- 1 " 1 , v""> = Vi.r a , y t \ , 

où x serait une valeur différente de x t , ce qui est absurde, 
puisque d'autre part lim F (x '"' , ?/"") doit être égale à F[x t , ;/ l . 

Cette propriété établie, choisissons deux nombres arbitraires a 
et b. Il existe un intervalle i b contenant b, tel que, le nombre /S 
étant arbitrairement choisi dans i\, on peut déterminer un nom- 
bre a satisfaisant L'égalité 

F, a . P) = F (a , h\ =y . (1) 

Soit y' un nombre variable différant suffisamment peu de y, et 
tendant vers y. Il détermine un nombre |S' tendant vers §, et un 
nombre b' tendant vers b, tels que 

Fia . y) — F|rt ,//i = T ' . (2) 

Des égalités (1) et (2) nous concluons 

F(P . Vi = \{b , b') , 

ou en passant à la limite 

F(B, fi> = F{A .A) . 

C'est dire que le nombre arbitraire b est contenu dans un inter- 
valle i b , dans lequel F [x , .r) est une constante. Donc F(x,x) est 
une constante dans tout le continu numérique. Désignons cette 
constante par y. 

2. — Choisissons arbitrairement deux nombres d et d t , et dé- 
terminons une série de nombres 

... , d-t . </_, . d . d t . d, 

se succédant dans leur succession naturelle, et satisfaisant la 
relation 

F(tf„ ■ d n+i ) = F(d . d A ) = v . 

Cette série, prolongée autant que possible de chaque côté, où 
d'ailleurs elle peut être trouvée finie ou infinie, sera désignée 
par a. 



T II i: <> Il I E l> E LÀ ME SU 1! E 379 

Entre d el d i il existe un nombre d\ , défini univoquemenl 
par la relation 2 ■ 

l'u/„ . rfj) = l'Vi . (U\ ■ 

2 2 

Les nombres d el a?] définissent une série a 7 : 

... , d 3 . </_i , d i . rfo • d\ , d\ ■ d-i . ... 



contenant les éléments de la série c. et telle qu'on a pour chaque 
d n : 

V\d n , d H+1[ \ = F|c? . rf 4 ) = »■' . 



Si o - ne possède pas de premier élément, g' n'en possède pas 
non plus. Si, au contraire, <r possède un premier élément, c'est ou 
le premier, ou le second élément de g' . 

Si g ne possède pas de dernier élément, g' n'en possède pas non 
plus. Si, au contraire, c possède un dernier élément, c'est ou le 
dernier, ou l' avant-dernier élément de g' . 

En opérant sur a' comme sur ff, on obtient une série g" : 

.... d g , d .5 , d—i , d 3 , d i . d i , d * d\ , d t , ... 



contenant les éléments de a',, et telle qu'on a pour chaque d„ : 

y[d„ . d n+} ) = Vid , di) = v" . 



En répétant la même opération un nombre in Oui de fois, on 
obtient un ensemble e, composé des nombres d ,, appartenant à 
l'ensemble des séries rr"") . 2'" 

3. — L'ensemble e possédant au moins une valeur limite finie, 
on peut faire tendre une suite d'intervalles [d « , d H +i) vers une 

seule valeur limite finie. Par conséquent lim c { "" =y, et toute 
suite d'intervalles d„ , d n +\) , dont chaque terme fait partie du 

Ici nie précédent, tend vers une seule valeur limite finie. 

De plus, l'ensemble e ne peut pas posséder de limite supérieure 
/ , puisque celle-ci entraînerait l'existence d'un nombre /' supé- 



380 L.-E.-l. BHOUWER 

rieur à / et d'un entier positif/? tels que F(/ , V == v , de sorte 
(jue V serait, comme l . point limite de l'ensemble e. 

Donc l'ensemble e est partout dense dans le continu numérique. 

4. — Nous définissons une fonction f[x) de la manière suivante : 
Si x est un nombre cl „ de l'ensemble e, f[x) sera égal à l'in- 

dice — . Si, au contraire, x n'appartient pas à e, toute suite de 

nombres appartenant à e et tendant vers .v, aura la même valeur 
pour limite des indices, et c'est cette valeur limite que nous assi- 
gnerons a /' x . 

Alors f{x es! une fonction continue et croissante de x. 

Par conséquent Ff.r, y est une fonction continue de f\y\ et de 
f v . croissante comme fonction de f y\, décroissante comme fonc- 
tion de f[x). 

5. — Soient x i . //, , r, . ;/. 2 quatre nombres arbitraires satisfai- 
sant la relation 

/'n 2 i — f{x>) = f(y t ) — f(x t \ . (3) 

Soient x[, .< . x% ... : .<, .< , .<, ... ; y[, //',' - y", ••• des suites 
de nombres appartenant à e, et tendant la première vers x t , la 
seconde vers .t. 2 . la troisième vers ?/ 1 . 

Déterminons // ri de manière cpie 

/,,-;-, -/•(<) ^/ivi'-'i -/•'.»■;'■'■ • (4) 

Alors y (r) appartient à e, et la relation (4) entraine celle-ci : 

F(xy,3i r] ) = F{*ï r) ,?{ r) ) ■ 

Comme d'autre part la série y' % , y\ . y», ... tend vers ;/ 2 , on a, 
en passant à la limite : 

Fl.r 2 . r«| = F(x t . y t ) . (5) 

Par conséquent l'égalité 3 entraîne l'égalité (5 ; c'est dire que 
F x, y est une fonction de f[y) — f[x) seulement. 

En combinant ce résultat avec la propriété déduite dans le § 
précédent, nous concluons : 

F[x, y) est une fonction continue et croissante de f y) — f.r . 

C. 0. F. D. L.-E.-J. Brouwbr Amsterdam). 



NOTE COMPLEMENTAIRE 

SUR LES FONCTIONS DE MESURE 



La lecture de la Note précédente, que sou auteur à eu l'amabi- 
lité de me communiquer, a ramené mou attention sur des notes 
succinctes que j'avais écrites, après la publication de mon article 
sur la mesure, en vue d'une ébauche d'une théorie des grandeurs. 
J'ai pensé qu'il ne serait peut-être pas sans intérêt de faire suivre 
la très intéressante étude de M. Brouwer de ces notes, revues et 
mises au net, qui, bien que traitant la même question, me pa- 
raissent s'écarter suffisamment des procédés de démonstration 
adoptés par ce savant pour ne pas faire double emploi. 

Posons les conditions ou axiomes suivants. 

I. u = F [x , y) est une fonction uniforme, nulle part constante 
et satisfaisant dans tout le champ des variables à l'équation fonc- 
tionnelle 

F{x, s) = »[F(ar, y) . F (y , *)] , 

où <ï> désigne une fonction de deux variables. 

IL En vertu de l'équation u = F (x , y), chacune des variables x 
et y est une fonction uniforme de l'autre et de u. 

III. Le champ Y de la variable y est contenu dans le champ X 
de la variable x. 

IV. F \x , y) est croissante comme fonction de y et décroissante 
ci an me fonction de x. 

V. F x , y est continue comme fonction de chacune de ses va- 
viables. 

1. 4>(m, v) est croissante et continue comme fonction de chacune 
de ses variables. 

En effet, si // et v désignent des valeurs quelconques des deux 
variables et y une valeur déterminée du champ Y, il existe tou- 
jours Il et III des nombres x et z tels que l'on a 

u = \ : \x , y ) , v = Fl v , s) , 

où // est une (onction décroissante de x, et v une fonction crois- 
sante de 3 l\ , de sorte que x est une fonction de // décroissante 

L'Enseigni'inent niatliém., 13 e annre : l'.Ml. 25 



G. COMBEBIAC 

et continue 1 et que. de même, z est une fonction de v croissante 
et continue; comme, d'autre part, on a 1 

■i» h . r= F v , s) 

et que F .i '. z est continue comme fonction de chacune des va- 
riables V . il en résulte bien que ^(w, p) possède les propriétés 
spécifiées dans l'énoncé. 

Corollaire. ( I ! u . u est une fonction croissante de u. 

On a bien, en efl'et, pour f positif, 

4> II -\- l , M + E I < * Il + £ . M | ■< + I " . Il ' ■ 

2. F (a:, œ) a une valeur constante. 
On a toujours, en effet (I) 

F [x , vi = *[F [x a . F [x , }•)] . 

Pour une valeur déterminée t> de F t, y , à toute valeur de x 
correspond toujours II une valeur de y satisfaisant à la relation 

f = F(.r .vl . 

On aura donc pour toute valeur de x 

v = *[F(ar, x) , i- i] ; 

mais, 4>'«, v ) étant une fonction croissante de // 1, une de ses 
valeurs, soit e , ne peut correspondre à plus d'une seule valeur 
de u, de sorte que la relation précédente ne peut être satisfaite 
que pour une seule valeur de F(.r, x), qui est donc bien indépen- 
dante de x. 

A. ( I> // , v satisfait à l'équation fonctionnelle des groupes para- 
métra u.v : 

•J- [ll t . <t> U/ 2 . Mj) | =*!*[«!, WjJ , ll s ] . 

En effet, .r désignant un nombre arbitrairement choisi dans le 
champ X, il existe toujours dans le champ Y (II et III) trois 
nombres .r, , .r 2 et .r. ( qui appartiennent aussi au champ X IV) et 
qui sont tels que l'on aura 

u t = F(t , x t ) , // 2 = Y >.i\. x t ) , u s = Fi.r s , x t ) : 

par conséquent, en appliquant de deux manières la relation fon- 



1 L'inverse d'une fonction monotone (à fortiori, d'une fonction croissante ou décroissante) 
est évidemment une fonction croissante ou décroissante et continue partout où la continuité 
conserve une signification, c'est-à-dire où le champ est dense en lui-même. 



/. E s FONCTION S D E M E s U 1:1 383 

damentale (1), on aura 

^ *[F(x . Xi), \ : \à\. r,)] = 4>|», , *im,, m,i| 

F(x , x t ) = 

[ +[F(jr . ar,) , Fi.i-, . .r,i] = <t> |<t>w/j , «,) , «,] . 

Il tMi résulte bien la relation à établir. 

'». F r . // c.\7 «ne fonction croissante et continue d'une expres- 
sion de le forme I' y — t" x , où f x) es/ «ne fonction croissante et. 
continue. 

x et .r, désignant deux nombres du champ X tels que .v •< x i , 

il existe toujours 11 et III une suite de nombres ;i\ 2 , .r, c v , ... 

tels «| ne Ton a 

■*„ < •>, < x-> < — < *v < •*'</+ 1 < ••■ 
F(x , .*,i = F(j-, , ar 2 ) = ... = Ki.r v , x v+1 ) = ... 

Si l'on pose 

x = ç|0| , .»-, = çlll r v = çivi , ... 

les égalités précédentes pourront s'écrire 

F [*(<>), çrl)] = Ffo(v), çiv + 1)] , 

avec y r <(/)r+ • • 
On a d'ailleurs (2) 

F[?(0), f (0)] = F[<p/p), ?(/>)] , 

égalité qui est évidemment un cas particulier pour v = 0) de la 
suivante 

(1) F[ ? (0), f(v)] = Ffo(jj), ?(/> + vi] . 

Cette dernière sera donc établie si l'on démontre que, vraie 
pour un nombre entier quelconque v, elle doit l'être aussi pour 
v -\- 1 ; c'est bien en effet ce qui résulte des égalités suivantes, 
qui sont des conséquences de l'égalité 1 et de la propriété I . 

Ffo>|0), s iv + I)] = *{ F[«(0), çfvi | , F[ç(v), =|v + 1)] } 

= *j Ffo(0), ? (v)], F{ ? (0), ? (1)]J 

= ♦; P[f{p), ?(/j + v), F[f{ P + vi, <f{ P + v + ii] ; 
= Vbip), <f{p + v + ti] . 

La fonction de .r F r , .*-,) — F(-^ » ■ r ) es * continue V et prend, 
pour x = x et .f = x i , des valeurs égales et de signes cou- 



384 G. COMBE MAC 

traires 2 : elle s'annule donc dans l'intervalle .* - , x t en un 

point, qui pourra être désigné paryf— J, de sorte que l'on pourra 



'[*.-. G)]='[.GMi)] 



Oi < ? t < ?iH 



En opérant de même pour les autres intervalles, on pourra 
aussi écrire 

f[<? ' -A'' + î)] = K [?( v + 4)- *(* + *>] 
avec 

çivi < spfv -I- -ij <?iv + Il . 

On a d'ailleurs, d'après I el la formule (1), évidemment appli- 
cable aux nouveaux intervalles, 

* ! i-fr'Oi, ?(i)l- p [?(4)' ? |,i ] J== F bM> ^'l 

= F[ ? (v) , ç.v + L)] = * j Fjç(v) . ï(v + ijl , 

*[»<»'•■»(* + ï)]| 

et, par suite, 

* i F [r'<><- »(ï)] ■ "f»W ■ i(ï)l ! = * j '[»« ■ f (• + i)] • 

La fonction $(//, // de //, étant croissante corol. de 1 , admet 
toujours une inverse uniforme; de légalité précédente, eu égard 

à la définition de yfr -f- ê») (P our " = 0, 1, ...), on déduit donc 

les égalités suivantes 



'[»-•■ »(î)]-'Ki)-T«]-'h-K'+i)] 

En opérant de même sur chacun des intervalles déterminés par 
les nombres de la suite 0, -, 1 ,...,»', v -\- - , r -(- i , on établira 



L /■: s FONCTIONS DE MESURÉ 385 

aussi L'égalité des expressions définies par les extrémités des 
nouveaux intervalles, et en continuant ainsi, on déterminera, 
pour deux nombres entiers a el n quelconques, un nombre, qui 

pourra être désigné par tp( J, de sorte que l'on aura les rela- 
tions suivantes 

121 '[' <^)HK^>#)] 

avec 

»(fp) <■<?)■ 

Les intervalles de chacune des divisions ainsi définies pos- 
sèdent évidemment toutes les propriétés établies pour ceux de la 
division qui est définie par les nombres entiers; on doit donc 
avoir, a , b et n étant des nombres entiers quelconques, une rela- 
tion toute semblable à (1), savoir: 

* '[' <?)]= r m>m] 

avec 

comme il est d'ailleurs toujours possible de réduire à la même 
puissance les dénominateurs de deux tractions dyadiques quel- 
conques, la relation précédente peut aussi s'écrire 

» '[• '(?)]= 'H?)-^ + ?)]- ' 

On a ainsi défini une fonction pour un ensemble dense partout 
de nombres positifs, savoir.ceux qui sont de la forme — (nombres 

dyadiques . et cette fonction est croissante, d'après l'inégalité 
précédente. Si ff et a' désignent deux de ces nombres, soit 

a , a b 

o = — , a' = h — • 

2" 2" 2'" 

on aura 

F[<p(a)-, f|a')l = hTçiO), r(~j\ 



H . COMBEBIAC 
ou enfin 

:; F[ ? (a) , T (o')] = F[q>(0 , ç(<r' — 0)] . 

de sorte que F y g . y g' est une fonction croissante <le g' — a. 

Un nombre positif quelconque g peut toujours, comme on sait, 

être défini comme somme d'un nombre entier et d'une fraction 

dyadique, c'est-à-dire comme limite d'une suite croissante de 

nombres de la forme <?„,—, ....—'. ... , soit 

2 '2" 



H (-_•+...+ + ... -lim 



•>" 



où -:, , -„ , ... désignent les nombres ou 1. 

La fonction t/> I — £ J étant croissante et bornée, toute suite de 

valeurs telles que <p <7 , yiôMj ••• a lllie limite, et l'on pourra 
toujours, par conséquent, définir, pour tout le champ numérique 
positif, une fonction liée à y ( — ^ J par la condition suivante 



: lim ç 
n=cc 



On établira d'ailleurs facilement, eu égard aux propriétés con- 
nues des limites et des fonctions continues d'une variable, que la 
formule A est applicable à la fonction y G ainsi étendue. Enfin, 
les moyens qui ont été employés pour obtenir ces résultats sont 
évidemment applicables au champ numérique négatif à partir 
de x = y(0) ; on pourra donc toujours supposer que la fonction 
9 g est définie pour le champ numérique complet. Elle admet 
une inverse croissante G = f'.vj, qui est définie pour l'ensemble X, 
(portion de X des valeurs de y G et l'on pourra, par conséquent, 
pour deux nombres x et x' quelconques de X, . poser 

(3') 1 <■ . ,' — F ; p (0) , v\f(x') —/■(.*•,] j . 

Chacune des propriétés suivantes peut ou non être satisfaite. 

1° La suite ) (f r J s'étend sur le champ X : 

2° L'ensemble X, des nombres ) y [ est dense sur la portion 
du continu numérique sur laquelle il s'étend il se confondra 
alors évidemment avec cette portion, car il est lui-même continu . 



/ E S F <> .\ CTIO N S /' E M E S l R E 



:;.s: 



Eo ce qui co ncr nie La première propriété, la mi il r <f . y 1 

étant croissante, admet toujours une Limite ',, finie «m infinie, soit 



.»',,, = liin m (y = lira »(v -f- 1 

J=x i—x. 



De la formule l et de la proposition 2 il résulte que L'on ne 
peut avoir 

liiu F[f|v), »(v + 1 = 1 - r w l = m . 




Fig. 1. 



Fi s . 2. 




Fig. 3. 



de sorte que, si .r,, est finie, la l'onction F .r . y ne sera pas con- 
tinue au point .r,,,. ./-,., . ce qui n'est d'ailleurs pas incompatible 
avec sa continuité comme fonction de chacune de ses variables. 



G . COM B E II I A C 

Deux cas peuvenl alors se présenter, selon que .r,„ = liai </> v pos- 
sède ou non la même valeur lorsque (p 1 parcourt le champ X: 
dans le premier cas. .r„, est a la base supérieure de ce champ, et 
la propriété archimédienne scia satisfaite: dans le second cas, 
elle ne le sera pas. et il pourra se faire ou que le champ soit dé- 
composable en champs partiels dans chacun desquels cette pro- 
priété sera satisfaite, ou qu'à toute valeur // de la valeur corres- 
ponde une valeur x u définie par les relations suivantes: 

ii = F [f (0 . y I | = . .. = F [y - . f (v -f- 1 1 ] = *,,j = lim • (v) : 

dans les deux cas, la propriété archimédienne ne sera pas satis- 
faite dans toute sa généralité. Les trois ligures ci-contre repré- 
sentent les trois cas. 

On va établir une propriété importante de l'ensemble Uff j; 
mais, pour simplifier la démonstration, on la fera sur une nou- 
velle fonction, qui sera également désignée par (p a et qui sera 
définie par la relation <p g = u = F r (l . .r ; cette nouvelle fonc- 
tion a évidemment les mêmes propriétés par rapport au champ U 
de la variable u que la fonction primitive par rapport au champ X. 
et Ton pourra, par conséquent, rapporter toujours à lune les pro- 
priétés établies pour l'autre. 

La nouvelle fonction est évidemment, comme la première, 
croissante, et l'on établira facilement les relations 

4> '»|ïi| . u] =: u , 4» \tf s) , »(<*')] = ylff -f- ff 7 J • 

.">. Etant donnés un nombre u de U et un nombre entier positif 
quelconque n. il e. liste toujours dons U, entre u et u, un nombre e 
tel que, si l'on définit une fonction tp e r pur les relations 

s> '0 = B . »{!)=£ . f Iv -f- 1 1 = 4> [tf (v . p g 11] = <t> \'j. I I . Pg(v)] , 



En effet, si U contient un nombre f tel qu'on ait, pour toute 
valeur de v, tp s {v <^u,é possédera bien la propriété requise. 

Dans le cas contraire, pour un nombre quelconque a de U, il 
existera un nombre entier positif v tel qu'on aura </>, v ^ // 
<i <p 7 . r + J . Si. en outre, on prend a dans l'intervalle u , u . il 
existera toujours un nombre a, de U tel qu'on aura II 

u = <t> | y. . a t l 
et. par suite. 

'J' 7. . a,i < y a lv -(- I) = ♦[<*, y a (v 

d'où il résulte 1 : // <T «, <T y g r ^^ n . 



LES FONCTIONS DE MESURE 389 

Si l' contienl un nombre* tel qu'on ail, pour toute valeur en- 
tière ilf >'. (fi >' ^«, on aura n fortiori y z r -^ // , cl la propo- 
sition sera bien ainsi satisfaite. Dans le ras contraire, <>n pourra 
toujours obtenir deux nombres «' et «., de I) compris entre « et a 
cl tels qu'on aura a i — $ a , a s . En répétant ce procédé, on par- 
viendra soit a nu nombre t qui satisfera a la proposition pour 

toute valeur de r , soit a des nombres '< t . ".. '(" , a ' . a", ... a '"' 

tous compris entre // ( , et // el tels qu'on aura 

y.'" = <1>| -//'+" . y. i>+ .,\ . 

Le plus petit t des nombres j a p [ OU, si ces nombres sont égaux, 
leur valeur commune satisfera évidemment a la relation r/.- 11 ^1 u 
et, par conséquent, La proposition est bien établie. 

Cette propriété correspond à la propriété classique îles gran- 
deurs mesurables qui, combinée à la propriété archimédienne, 
permet de définir la mesure d'une grandeur quelconque ou plus 
généralement le rapport de deux grandeurs quelconques de la 
même espèce. En appliquant ici l'un des procédés classiques em- 
ployés a cet effet, on parviendrait facilement à faire correspondre 
à un nombre quelconque // de U et, par conséquent, à un nombre 
quelconque x de X un nombre de l'ensemble c/ g . Il résulte de là 
que l'axiome d'Archimède convenablement approprié est le seul 
qui doive être ajouté à ceux déjà posés pour que la fonction F .1 . y 
définisse bien un système de mesure pour le champ X. Cette con- 
clusion n'est d'ailleurs pas particulière aux continus linéaires. 
Elle est en effet établie par une méthode générale dans une 
Ebauche d'une théorie des grandeurs, que je me propose de pu- 
blier incessamment. 



Nouvelle note complémentaire. 

Entre les résultats de M. Brouwer et les miens il existe une di- 
vergence qui peut s'exprimer, avec ma notation, de la manière 
suivante : M. Brouwer'établit, en contradiction avec certaines des 
propriétés dont j'ai admis la possibilité, que l'ensemble des va- 
leurs | (pi — ] est toujours dense sur tout le champ l de la va- 



on / s 



viable u, autrement dit que la fonction ( />(~) et, par suite, c/> a 

est continue et prend toutes les valeurs de ce champ. Je dois re- 
connaître que c'est M. Brouwer qui a raison, et en voici même 
une autre démonstration notablement plus longue que celle qu'a 



390 



G. COM H E B I A C 



donnée ce savant, mais qui satisfera peut-être mieux ceux qui, 
comme moi, sont insuffisamment familiarisés avec les procédés 
récents de la théorie des variétés numériques selon MM. Cantor 
et Schœnflies. 

La suite décroissante </>( — ) a toujours une limite « , qui est 

aussi sa borne inférieure et qui ne peut être inférieure ;i it = (/> 0); 
si elle ne lui est pas identique, on a «loue corol. dé 1 et prem. 

des relations 4) n = ( 1> tt , n' <(J) » , //,, et l'on devra toujours 
avoir ;i partir d'une certaine valeur de // 



"o < w 



< ?l"o 



- = * 



par suite 



et enfin corol. de 1 . 



l 



'(•?'+')] c *" ,; 



2 «+l 



^ n ' 



de sorte que n' ne serait pas la borne inférieure de J ?( — 
doit donc bien avoir 



lini r= 



1 N 



= 9>l0| 



On 



c'est-à-dire que la fonction est bien continue pouro - = 0; cette 
propriété s'étend facilement à tous les nombres en vertu de la re- 
lation 1 ', de sorte que la fonction </>( — 1 et, par suite, la fonc- 
tion <p a sont bien continues. 

D'autre part, la suite infinie et croissante ! qt'.v j a toujours une 
limite finie ou infinie //,,,, qui est aussi sa borne supérieure; si 
ce nombre appartenait au champ U, celui-ci devrait aussi contenir 
un nombre n M inférieur à u^ et tel qu'on aurait 

et l'on aurait toujours, à partir d'une certaine valeur de r 

"'., < ?(v)< « w 
et, par conséquent corol. de I 

■j 2v | -- 't> op (v . f ivi ] ^> 4> i« , « ( zr: h 



M É l. . I Y G E S E T C R II E S l' N D INC E 39 1 

«oi ne serait donc pas la borne supérieure de ! </ v [ . ce qui est 
contradictoire avec ci' qui a été déjà établi. 

11 résulte de là que <p a est une fonction continue, croissante 
et prenant toutes les valeurs du champ l ; ce champ ne peul 
d'ailleurs être limite clos à droite et, si </> (î est bornée supé- 
rieurement, il en sera de même de ce champ, mais celui-ci ne 
contiendra jamais sa borne, de sorte qu'il ne se distinguera pas 
des champs s étendant à l'infini. 

I.a proposition 5 ne perd d'ailleurs rien de son intérêt : sa dé- 
monstration n'implique en effet nullement que ( P«,^) soit une 
fonction croissante de sa première variable, ni que l'équation 
w = $ h, c définisse la variable u comme fonction de v e1 de w, 
propriétés qui correspondent évidemment à celles-ci : F x, y es1 
décroissante comme fonction de x et l'équation // = F(.r, y dé- 
finit x comme fonction de y et de // . 11 resterait donc à déter- 
miner les métriques dont sont encore susceptibles, ces conditions 
écartées, les continus linéaires, métriques auxquelles est aussi 
applicable la proposition .">. 

G. Combebiac Limoges). 



MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 



Notations rationnelles pour le système vectoriel l . 

13. — Extrait d'une lettre de M. E.-B. W ilson. 
A propos d'une Notf de MM. Burali-Forti et Makcolo.ngo. 

Je viens de lire dans Y Enseignement mathématique (XIII année, 
pj). 138-148) la réponse que MM. Burali-Forti et Marcolongo font 
a mon compte rendu des ouvrages Elementi di Calcolo vetloriale 
et Omografie vettoriali dans le Bull, of the American Mathem. 
Society (vol. XVI, pp. 410-436). Elle m'intéresse comme tout ce 
que l'on écrit sur l'analyse vectorielle, et. par la façon dont ils 
répondent à mon simple compte rendu qui ne demandait ni méri- 



1 Voir l'Ens. math., XI" année, 1909, n» du 15 janvier, p. 't!-i.'>: n» du 15 mars. p. 124-134; 
n» du 15 mai. p. 211-227; n° du 15 juillet, p. 381 : n« du 15 novembre, p. 459-466. — XII» année, 
u- du 15 janvier 1910, p. 3:1-54. — XIH° année, n» du 15 mars 1911, p. 131-148. 



392 M E I. A N (, E S E T C O R R E S P () A* I) A N t E 

tait aucune réponse, elle me montre combien je 1rs ai touchés de 
près. 

Mon cher Rédacteur, je ne veux pas me plonger ni entraîner 
votre Revue dans une Longue et acrimonieuse polémique. Si MM. 
Burali-Forti el Marcolongô tiennent à discuter avec chaque au- 
teur et si chacun tient à leur répoudre, nous n'en finirons jamais. 
Du reste, les polémiques n'aboutissent à rien. Cependant, puisque 
les savants géomètres italiens m'ont attaqué personnellement, il 
n'est que simple justice que je signale quelques laits. 

D'abord, j'ai grand peur que L'empressement de l'attaque de 
vos correspondants et les petits extraits qu'ils citent de mon 
compte rendu ne donnent à vos lecteurs une idée très exacte de 
ce que je pense à propos des travaux de MM. les auteurs. J'ai en- 
core une trentaine d'exemplaires de ce compte rendu cpie je dis- 
tribuerai volontiers; si quelques-uns de vos lecteurs s'y inté- 
ressent, qu'ils m'écrivent 1 . Ils y liront que j'ai beaucoup de sym- 
pathie pour les auteurs et que j'estime à un très haut degré leurs 
recherches, bien que je me trouve forcé, pour des raison s données, 
de différer d'eux sur quelques points. 

Ils disent de moi : « Elève de Gibbs, il trouve illogique, inexact 
et condamnable tout ce qui s'éloigne de la méthode de Gibbs », 
et puis, « pour M. Wilson, il n'y a salut que dans le système de 
Gibbs ». C'est vrai que j'ai été élève de Gibbs et cela ne me fait 
pas trop de honte. Mais avant d'être élève de Gibbs, j'ai été élève 
de G.-N. Peirce, maître enthousiasmé des méthodes de Hamilton. 
et avant de publier les leçons de G miss sur l'analyse vectorielle, 
j'ai étudié sous ce même Gibbs les méthodes de Grassmann. Je 
reconnais pleinement toute la beauté des quaternions et de 1\4hs- 
dehnungslehre. Pourquoi m'accuser de ne pouvoir voir du bon que 
dans le système de Gibbs? Ni moi, ni Gibbs n'en dirions autant. 
Il est bien possible (pie les méthodes d'IIamilton soient plus nettes 
que celles de Gibbs; mais les physiciens s'en moquent. Peut-être 
les méthodes de Grassmann sont-elles supérieures à celles de 
Gibbs; mais les physiciens les négligent. (Ainsi l'illustre Min- 
kowski en aurait pu faire un grand usage dans son mémoire 
sur le principe de relativité.) Et le nouveau système de Burali- 
Forti et Marcolongô, serait-il le meilleur du monde, le seul exact 
et logique, il ne fleurirait chez les physiciens qu'après de longues 
années. Et pour hâter cet âge de floraison et de fruits, les auteurs 
feraient mieux, a mon avis, d'être patients, doux et calmes, au lieu 
d'attaquer avec tant d'ardeur, de dire que personne ne comprend 
rien, etc. Nous sommes tous attentifs, nous ne demandons qu'à 
être persuadés, mais nous ne voulons pas et ne pouvons point être 
forces. Tout ce que je dis à propos du système de Gibbs est ceci : 



Lee Street, 10. Cambridge, M;>ss. (Héd.) 



1/ E LAN <; /•; N /: / C O R R E s p <> \ DANC i: 393 

Pour le physicien ce système est peut-être, à l'heure actuelle, le 

plus commode. Mais, sauf en Amérique, 1rs physiciens ne fonl pas 
grand emploi de ce système. Peut-être sera-t-il toul a l'ail aban- 
donné un jours, même en Amérique. Nous verrons cela, comme 

disait le père Ooriot. 

C'est Tort naturel que MM. Burali-Forti et Marcolongo, et bien 
d'autres, me croient et me disent l'adhérent aveugle de la méthode 
de Gibbs, parce que j'ai été chargé par l'Université de Yale el au- 
torisé par ce maître de publier ses leçons, et parce que, depuis 
qu'il est mort, j'ai cru que ce fut mon humble devoir que de dé- 
fendre ses théories et son système, autant que je les ai compris, 
contre toute attaque qui me semblait peu fondée. Je continuerai à 
remplir ce devoir ; si j'y manquais, je serais lâche. 

Et enfin, mes collègues italiens se plaignent de ce (pie je n'ai 
pas critiqué assez les parties les plus importantes de leurs ou- 
vrages, les applications. Ils disent que c'est parce que je ne vou- 
lais pas me donner la peine d'examiner ce qui constitue la vraie 
pierre de touche de toutes les méthodes vectorielles. Peut-être 
ont-ils raison, mais je pensais autrement. Depuis huit ans j'ai 
l'habitude, d'abord à l'Université de Yale, et puis au Massa- 
chusetts Institut of Technology, de donner des leçons sur diverse^ 
branches de la physique mathématique, mécanique, hydroméca- 
nique, élasticité, électricité et magnétisme, optique, — toujours 
avec les méthodes vectorielles, méthodes tachygraphiques et 
fausses sans doute, méthodes quasi vectorielles, dirai-je, pour 
éviter des calomnies. Et pourquoi m'étonnerai-je de trouver clans 
leurs livres un peu de tout ce qui était familier à mes élèves ? J'ai 
bien dit que leurs applications sont admirablement bien choisies 
et très bien faites. Sans doute un auteur n'est jamais content des 
comptes rendus de son livre. Lorsqu il y a deux auteurs cela ne 
fait qu'augmenter la probabilité de leur mécontentement en raison 
du carré. 



Sur quelques généralisations de la « Courbe de Mannheim ». 
A propos d'un article de M. TurrïÈhe. 

La généralisation de la « Courbe de Mannheim », sur laquelle 
M. E. Tlrrikrk a dernièrement appelé L'attention dans YEnsei- 
gnement mathématique XIII, N° du 15 janvier 1911, p. 2 / i-'2(> . 
n'est pas nouvelle. Déjà en 1007, deux auteurs ont fait rouler. 
indépendamment l'un de l'autre, une courbe C sur une circonfé- 
rence, et ont déterminé la courbe /" décrite par le centre de cour- 
bure de C correspondant au point de contact : 

1° L'auteur de cette Note, dans un article : Ueber eine Verallge- 



394 MEJL ANGES ET CORIiESPONDANCE 

meinerung des Begrifles det Mannheimschen Kurve [Math. nat. 
Mitt. Wùrttemberg, 2, IX. t-9) 1 . 

2° M. P. Ernst Vienne . Ein Analogon zur Mannheimschen 
Kurve Monatshefte f. Math. u. Phijs., XVIII, 315-316). 

Aucun de nous, il est vrai, n'a donné le bel exemple fourni par 
M. TUBRIÈRE. 

Je puis ajouter que sous peu, dans la thèse qu'il présentera à 
l'Université de Heidelberg, M. L. BnAUDE donnera une étude d'une 
généralisation de la « Courbe de Mannheim », qui va encore plus 
loin. Il m'a autorisé à faire savoir qu'il s'agira avant tout du rou- 
lement de deux « Courbes de courbure proportionnelle », c'est-à- 
dire de deux courbes dont les équations intrinsèques sont 

p = j'\s\ et p = ;j./'|.<>) . 

Le lieu décrit par le centre de courbure de la courbe roulante, 
sera pour la courbe fixe une « Zwisehenevolute ». M. Bkaude ap- 
pelle ainsi les courbes qui sont lieu d'un point qui divise tous les 
rayons de courbure de la courbe fixe dans le même rapport" 2 . 

Comme type des théorèmes qui en résultent, nous mentionne- 
rons un des résultats obtenus par M. Bralde : «Lorsqu'une épi- 
cycloïde ou hypocycloïde roule sur une autre quelconque, mais 
dont les arcs entre deux points de rebroussement ont la même 
longueur que ceux de la courbe roulante, le lieu du centre de 
courbure est une épicycloïde ou hypocycloïde raccourcie ou al- 
longée du même module de la courbe fixe. » 

H. "Wieleitxer (Pirmasens). 



1 Voir le livre Spezielle ebene Kun.cn <lu même auteur iLeipzig, G. J. Gôschen, 1908. p. 320). 
L'article mentionne- est aussi cité dans G. Loria, Spezielle algebraische und transcendante 
ebene Kurven [2 vol., 2 e éd., Leipzig, B. G. Teubner, 1910-11 ; vol. II, p. 240), ouvrage dont 
on ne pourra pas se passer en étudiant quoi que ce soit en courbes spéciales. 

! Ces « Zwisehenevoluten» ont été déjà envisagées comme «développantes imparfaites" par 
T. Olivier [Développements de Géométrie descriptive, Paris, 1843i: voir G. Loria, vol. II, 
p. 271-273. 



CHRONIQUE 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 

SOUS-COMMISSIONS NATIONALES 

Allemagne. — Un 4"' e fascicule du tome premier des Abhand- 
lungen vient de paraître. Il traite des Gymnases et des Ecoles réa- 
ies des villes de la Hanse, du Meeklenbourg et de l'Oldenbourg. 

I. Band. Heft 4. — Der malhematische Unlerrieht in rien Gymnasicn und 
Realanstalten der Hansestadte, Meeklenburgs und Oldenburgs, von A. Thaer 
(Hambourg), N. Gelthir (Gùstrow), A. Bôttger (Oldenburg). — 93 p. in 8°. 

Espagne. — M. Z. G. de Galdeaxo consacre un ?' ne rapport 
à renseignement mathématique en Espagne (18 p.). Après avoir 
indiqué les grandes divisions prévues par la loi du 9 septembre 
1857, qui régit encore l'instruction publique en Espagne, l'auteur 
donne un aperçu de l'organisation de X enseignement supérieur, 
technique et universitaire. 

France. — Nous venons de recevoir un 2""' volume des tra- 
vaux de la Sous-Commission française, c'est le tome II (157 p.J, 
consacré à renseignement secondaire et publié sous la direction 
de M. Ch. Bioche. En voici le sommaire : 

Avant-propos. 

a) Rapport sur la place et 1 importance des mathématiques dans l'Ensei- 
gnement secondaire en France, par M. Ch. Bioche. 

h) Rapport sur les classes de mathématiques spéciales et de Centrale, par 
M. E Bi.utel. — Pièces annexes. 

c) Rapport sur l'Arithmétique, par M. A. Levy. 

cl) Rapport sur l'Algèbre, par M. Glitton. 

ej Rapport sur la Géométrie, par M. Th. Rousseau. 

f) Rapport sur l'Enseignement de la Mécanique, par M. H. Beghin. 

g) Rapport sur l'Enseignement de la Cosmographie, par M. A. Mixart. 
h) Rapport sur l'Enseignement des Mathématiques dans les Ecoles nou- 
velles, par M. Frank Lombard, 

Appendice 



396 CHRONIQUE 

Au moment de mettre sous [tresse, nous recevons les tomes 1 
{l'enseignement primaire), IV 1 F enseignement technique) et V (ren- 
seignement des jeunes filles). La sous-commission françaises ainsi 
termine les cinq volumes annoncés l'an dernier à la Réunion de 
Bruxelles. 

Iles Bi'itainiic|ues. — On sait que la Sous-commission 
anglaise publie ses rapports, dont nous avons donné la liste en 
son temps cire. n° 4, n° de mars 1911. p. 131-133), avec le concours 
du Board of Education. Ils sont publiés sous le titre général de: 
The Teaching of Mathematics inthe United Kingdom, being a séries 
of Papers prepared for the International Commission on the Tea- 
ching of Mathematics. Les huit premiers fascicules viennent de 
paraître; ils sont mis en vente séparément chez: Wyman and 
Sons. Londres; Oliver and Boyd. Edinbourg; E. Poxsoxby, Du- 
blin. En voici la liste : 

X" 1. Higher Mathematics for the Classical Sixth Form._By M r W. New- 

bold. — 14 p. in-8°, prix : 1 d. 
N 2. The Relations of Mathematics and Physics. By D 1- L.-N.-G. Filon. — 

9 p. ; 1 d. 
N° 3. The Teaching of Mathematics in London Public Elementarv Schools. 

By M' P.-B. Ballard. — 28 p. ; 2 d. 
N° 4. The Teaching of Elementarv Mathematics in English Public Elemen- 
tarv Schools. By M'' H.-J. Spencer. — 32 p. ; 2 \! 2 d. 
r>° 5. The Algebra Svllabus in the Secondary School. By M 1 ' C. Godfrey. 

::; P . : 2 \'-2 .1. 
N° 6. The Corrélation of Elementarv Praclical Geometry and Geography. 

By Miss Helen Bartram. — 8 p. ; 1 d. 
No 7. The Teaching of Elementarv Mechanics. By M 1- W.-D. Eggar. — 

13 p. ; 1 d. 
N° 8. Geometry of Engineers. By D.-A. Low. — 15 p. ; 1 1 /a d. 

Suisse. — La Sous-Commission suisse publie ses travaux sous 
le titre: L'Enseignement mathématique en Suisse. Rapports de la 
Sous-Commission suisse, publiés sous la direction de M. H. Fehr. 
Ils comprendront S fascicules en vente séparément. Le premier 
consacré aux travaux préparatoires a paru l'an dernier. Les fasci- 
cules 4 et 7 viennent de paraître; les autres sont sous presse ou en 
composition. Le fascicule est consacré à l'Enseignement mathé- 
matique dans les Gymnases et /es Ecoles réaies. Le fascicule 7 
donne un aperçu très complet des mathématiques à l'Ecole poly- 
technique fédérale. 

Y' ',. — Dec mathematische Unterricht an den schweizerischen Gymna- 
sien und Realschulen. von prof. D r Brandenberger. (Zurich). — 167 p. 

Pfo 7. — Der mathematische Unterricht au der Eidgenossischen Techni- 
schen Hochschule, von prof I) 1 Grossmann. (Zurich). — 52 p. 



CHRONIQUE :;'.»: 

Les travaux de la Section de Mathématiques et d'Astronomie de 
l'Association Française pour l'Avancement des Sciences 1 . 

Congrès de Dijon, •!! juillet— 5 août 1911. 

Les travaux <l<' La Section de Mathématiques et d'Astronomie 
du Congrès de Dijon ont été organisés par le président, M. Emile 
Belot, ingénieur-directeur des manufactures de l'Etat, ;i Paris, et 
A. Géràrdin, de Nancy, secrétaire. Les nombreuses et intéres- 
santes communications turent réparties sur neuf séances. 

1. — SurVEssai de Cosmogonie tourbillonnaire, par M. K. Belot. 

Le président de Section. M. Belot, présente son ouvrage de cosmogonie 
tourbillonnaire 2 , où il a développé les théories et idées précédemment ré- ' 
Bumées dans les comptes rendus des congrès de Clermont-Ferrand 1 1908 1 . 
de Lille (1909) et de Toulouse (1910). Il rappelle qu'en admettant un dua- 
lisme originel composé d une nébuleuse amorphe qui aurait rencontré un 
tourbillon gazeux dans un choc analogue à celui d'une Nova, il a pn déduire 
la démonstration de plusieurs lois nouvelles du système solaire, dont la loi 
exponentielle des distances des planètes (analogue à la loi de Bodk). 

M. H. Poincaré a consacré près d'une leçon de sou cours à la Sorbonne 
(1910-1911) à la discussion de cette hypothèse qui peut orienter les recher- 
ches astronomiques dans une voie nouvelle. 

2. — M. Km. Belot fait ensuite une critique des méthodes em- 
ployées en cosmogonie, 

et où l'hypothèse implicite est toujours cachée, à savoir que l'attraction 
newtonienne est la seule force permettant de rendre compte des formes ob- 
servées dans le système solaire. La physique moderne, avec ses corpus- 
cules cathodiques, nous donne un exemple de masses animées de vitesses 
de Tordre de la lumière et sur lesquelles la pesanteur agit sans pouvoir, 
d'ailleurs, modifier leur trajectoire. Il a pu en être ainsi à l'origine du 
monde. Puis M. Bki.ot répond aux objections que M. IL Poincaré a faites 
dans son cours à la Sorbonne 1910-1911, ayant pour objet l'étude des hypo- 
thèses cosmogoniques à partir de Laplace ; il fait voir que, dans la cosmo- 
gonie tourbillonnaire, les forces d'attraction n'ont pas à intervenir, sauf au 
voisinage de l'écliptique et que I hypothèse dualiste, qui est la base de sa 
nouvelle cosmogonie, ne permet pas de prévoir, par un calcul d'attraction, 
que les masses du système planétaire se meuvent dans un même plan : au 
contraire, il est très facile d'aboutir à ce résultat en partant des formules 
nouvelles qu'il a établies. 

3. — Enfin, M. Belot présente une communication très inté- 
ressante intitulée : 

La genèse de l'atome et la distribution des raies spectrales déduites des 
lois du système solaire. — Des savants éminenls comme MM. Lorentz et 



1 Nous devons ces notes ;'i l'obligeance de M. A. (jBRARDIM (Nancy . Rèd. 

* Gadthikr-Villars, mil. 

L'Enseignement niathcm.. 13* année; 1911. - ,; 






398 CHRONIQUE 

J.-J. Thomson ont cherché des schémas représentatifs de l'atome en l'assi- 
milant plus ou moins à un système solaire. Le regretté physicien Ritz, en 
partant d'autres hypothèses, a obtenu une loi très générale caractérisant la 
distribution «les raies dans les spectres de Lignes. M. E. Bklot montre 
comment peuvent se concilier ces hypothèses en partie contradictoires et 
comment la genèse de l'atome esl analogue à la genèse tourbillonnaire du 
système solaire et permet de trouver les lois de Balheb et de Dkslandres 
qui sont, pour l'atome, les lois analogues aux lois de distribution des pla- 
nètes directes et rétrogrades. 

La section de météorologie était, pour cet objet, réunie à la première 
.section. 

4. — Sur les Notices de la Collection des Savants du Jour, rela- 
tives à M. Paul A.PPELL et à M. Gabriel Lippmann, publiées par 
M. Ernest Lbbon Paris). 

M E. Lebon résume les Notices sur la vie et les travaux de ces deux sa- 
vants, l'un mathématicien, l'autre physicien. 11 parle des beaux Mémoires 
du premier sur l'Analyse et de son Traité de Mécanique rationnelle ; il cite 
les deux géniales découvertes du second, l'électrocapillarité et la photogra- 
phie des couleurs par la méthode interférentielle. Il cite les appréciations 
que M. Gaston Darboux, secrétaire perpétuel, a portées sur ces ouvrages 
en les présentant à l'Académie des Sciences. M. G. Darboux rappelle que 
Helmholtz, lors d'un de ses passages à Paris, prit plaisir à signaler à 
l'Académie des Sciences M. G. Lippmann, qu'il avait vu à l'œuvre dans son 
laboratoire, comme un de ceux qui devraient sans relard être pourvus d'un 
enseignement magistral à la Sorbonne. 

5. — M. Ern. Lebon présente ensuite un mémoire sur une mé- 
thode élémentaire de décomposition d'un nombre en un produit de 
deux facteurs. 

Pour décomposer 12 761 717. M. P. -F. Teilhet a indiqué la méthode sui- 
vante (Intermédiaire des Mathématiciens, quest. 2897, 1905, p. 7i et 201 1. 
Il écrit le nombre N sous la forme 

N = a* — h 
N — (a + /.■■- — Ir -f- 2ak + l>) 

Il reste à trouver une valeur de k telle que le trinôme k* + 2ak -f- b soit 
un carré. 

Modifiant un peu le procédé de M. Teilhet, je suis arrivé à quelques ré- 
sultats intéressants. Soit N un nombre entier non carré, p sa racine carrée 
à une unité près par défaut, ;■ le reste. Appelant u un entier positif, on peut 
écrire 

N = (p + a)' — \u- -+- 2o« — r) 

Si le trinôme u* -f- 2pu — r est un carré v*, le nombre N est la différence 
des carrés de deux nombres et; par suite, N peut être décomposé en un 
produit de deux facteurs qui sont 

p -p « — V et p -p « -p V . 



CHRONIQUE 



399 



Le h bre N doil êl re impair. 

Appliquant cette méthode nu nombre 13 717 421, décomposé | >;i i- 
M Kkaikihk (Spkinx-Oedipe, mai L911), on trouve au second essai 



p = 3 70.'! , r = 5 212 , u = 2 , 
L3 717 i21 = 3 607 x 3 803 



= 9K 



On sait aussi (voir Spkinx-Oedipe, 1906, p. 55 1 que l'on aura (/ = '1 
pour les valeurs générales suivantes de N, par exemple 

N = A 4 + 10/< 3 + 'Mk 2 -f- 40A + 11 
N = 16/,* -f l-2K/t 3 + 360/r + ',16// + 161 . 

On obtient facilement l'égalité 



»/*4[(e -/)• + «■] 



([iii permet <le trouver plus rapidement que la méthode classique si un 
nombre N est composé ou premier, en y faisant /' égal aux nombres pre- 
miers successifs inférieurs à p. 

6. — M. G. Tarby, du Havre, présente une intéressante com- 
munieation, à suivre, sur les imaginaires de Galois. 

Le nouveau symbole j, représente la racine carrée d'un non-résidu qua- 
dratique quelconque. 

Je ne considère que les imaginaires du deuxième ordre, racines des équa- 
tions irréductibles du deuxième degré. Ces imaginaires de Galois sont né- 
cessairement de la forme a -j- bj, j ne pouvant être égal à ■«/ — 1 que dans 
les modules de forme >/> — 1. 

Généralisation du théorème de Kkrmat : m étant un nombre premier, a et 
b n étant pas tous deux à la fois divisibles par m, on a 

(a -\- bj)" li — x — 1 = o (mod m) 

Racines primitives du corps quadratique. Elles sont toutes de la forme 
a -f- bj, a et h étant différents de zéro. 

Recherche de ces racines primitives au nombre de cp (m* — 1). 

7. — M. Auguste Aubry, de Dijon, présente d'abord à la sec- 
tion un mémoire sur les nombres de Mersenne. 

M. A. Gékardin s'est voué à terminer l'examen de la célèbre énigme des 
Nombres de Mersenne, dont se sont tant occupés nombre de mathématiciens 
du plus haut mérite. Aidé des travaux de ses prédécesseurs, il a attaqué la 
question par plusieurs côtés, dont l'un m'a paru devoir être revu dans tous 
ses détails, d'autant plus qu'il s'agissait là d'un théorème empirique que 
j'ai reconnu être — cas particulier d'un théorème donné par Fermât dans 
une lettre à Fbénicle — et, en même temps, une généralisation d'un autre 
i héorème d Euler. 



400 CHRONIQUE 

J'expose complètement la méthode de M. A. Gérakdin en démontrant ce 
qui était reste non prouvé et je termine par quelques réflexions sur la mé- 
tbode de Fermât que j'estime tout à tait analogue à celle de M. A. Gérakdin. 

8. — M. A. Ariiiîv. de Dijon, présente ensuite une note inti- 
tulée Problèmes concrets et Problèmes abstraits. 

Catalan a dit quelque part, des problèmes concrets, que c'est l'art d'en- 
sevelir, sous de bien inutiles complications, des choses souvent très simples. 
On pourrait, sans pousser l'examen bien loin, rétorquer Facilement cette 
boutade et dire, avec d'autres éminenls savants, que les problèmes sont les 
compléments de la science. En effet, ils l'impriment dans la mémoire, en 
rappellent les principes, habituent au classement des idées et eu préparent 
les applications ultérieures théoriques ou pratiques. 

Je reconnais qu'il y a déjà trop de recueils de problèmes ; mais combien 
y en a-t-il qui ne sont que la répétition de questions déjà connues ? On in- 
téresserait davantage les élèves en multipliant les problèmes concrets. 

Je donne quelques problèmes de ce genre relatifs aux combinaisons et à 
la théorie des nombres. 

9. — M. H. Chrétien, chef du service astrophysique de l'Obser- 
vatoire de Nice parle sur la photographie astronomique à l'Obser- 
vatoire du Mont Wilson i Californie). 

Description du télescope de l m 50 de diamètre et de 7 m 50 de foyer, cons- 
truit par le prof. G.-W. Ritchev pour l'Observatoire solaire de l'Institut 
Carnegie. Mode opératoire et précautions prises pour assurer un guidage 
précis à moins de mm .0l. Présentation de 18 photographies inédiles de né- 
buleuses et d'amas stellaires. Considérations sur l'évolution des nébuleuses 
déduites de la statistique. [Extrait d'un Rapport de Mission adressé à l'Uni- 
versité de Paris (Observatoire de Nice)]. 

10. — ■ Courbure des raies spectrales produites par un train de 
prismes et de réseaux orientés d'une façon quelconque, note pré- 
sentée par M. H. Chrétien, de Nice. 

Lorsque l'on veut exprimer rigoureusement la trajectoire d'un rayon lu- 
mineux dans un spectroscope, ou arrive à des expressions très compliquées. 
Soient O une origine prise au foyer du collimateur et Ox et Ov deux axes 
rectangulaires situés dans le plan focal : désignons par n limage de O et 
par s\X ,n,Y , les images de O.r et Ov, en lumière monochromatique; X et 
Y sont des fonctions de x et y ; si Oy est parallèle aux arêtes des prismes, 
on a d'ailleurs Y = — y. L'auteur fait connaître l'expression de X en fonc- 
tion de x et y. pour un développement en série, dont les coefficients dépen- 
dent des pouvoirs amplifiant et dispersif du spectroscope et de leurs dé- 
rivées. 

11. — M. IL Chrétien expose la meilleure position à donner aux 
prismes des spectroscopes pour obtenir le maximum de luminosité 
OU (le île fini lion. 

Si l'on tient compte de l'absorption de la lumière dans la matière même 
des prismes, on trouve que La luminosité de l'instrument augmente un peu 



CHRONIQUE 101 

lorsqu on déplace légèrement le prisme de manière à découvrir le colli- 
mateur; cette remarque a été Faite par le Prof. •! Hàbtmakn, de Potsdam. 
Il en esl de même «lu pouvoir de résolution. Mais 1rs calculs des positions 
optima sonl très pénibles -, comme c«'iic posiiiun ne dépend que d'un para- 
mètre, on peul dresser une petite table <|ui la lasse connaître immédiate- 
ment : c'est ce qui a été fait dans le présenl mémoire. 

L2 el l.">. — M. Henri Chrétien présente enfin les deux intéres- 
santes communications suivantes : 

Tables à cinq décimales des polynômes \ n de Legendre. — Propriétés 
principales, Formules, application. 

Table 'les racines des dix premiers polynômes. 

Taille complète 'les dix premiers polynômes de 0.01 en 0,01. 

lalile a cinq ilerimalrs îles ili\ premiers polynômes de 0,001 en 0,001. 

Champ magnétique d'uni- sphère conductrice animée d'un mouvement de 
rotation. — Cas où la vitesse angulaire est indépendante de la latitude : 
distribution de la charge. Cas où la vitesse angulaire dépend de la latitude 
champ magnétique moyen du soleil. 

Rotation d'une sphère fluide sans viscosité. 

L4 et 15. — M. Léon àubby, de Jouy-les-Reims, adresse deux 
mémoires intitulés Sur les diviseurs des formes quadratiques et 
Démonstration du théorème de Baeliet 

Notre jeune collègue n'ayant malheureusement pu assister au Congrès, 
M. Aubht, de Dijon, a bien, voulu se charger de la présentation de ces deux 
intéressantes notes. Il semble qu'en poursuivant dans cette voie, de curieux 
résultats doivent être rencontrés. Je citerai par exemple la méthode de 
M. Léon Aubry qui permet de décomposer eu quelques lignes de calcul des 
nombres relativement grands en une somme de deux carrés. Ainsi 

858 001 = 924* + 65- . 

Le nombre 858 001 est facteur de 2 b2 -+- 1 . Ceci me permet, à mon tour, 
de trouver en quelques minutes la décomposition en une somme de deux 
caries de 308 761 441 autre fadeur de 2 52 + 1 , et enfin du nombre 2 52 + 1 
lui-même, de plusieurs façons. Ainsi, 

308 761441 = 3055 2 + 17 304 2 . 

J'insiste sur ce point, car celte méthode permettra d'achever rapidement 
le tableau que j'ai presque achevé des nombres 2 -{- 1 et de leurs divi- 
seurs sous la forme X 1 -f- r 2 . Je citerai, par exemple, parmi les nombres 
< 2 100 + 1 , le nombre 

2 6 * + 1 = 18 446 744 073 709 551617 = i046803256 s + 1 138793759" 

nombre décomposé en 1880 par Landry en deux Facteurs premiers 

2 6i + 1 = 274 177 X 67 280 '.21 310721 . 
Il faudra donc étudier ce travail de près. 



,iij CHRONIQUE 

16. — M. Gilbert présente à la Section de mathématiques et à 

celle de météorologie réunies dans la salle des projections, une 
note intitulée Les tourbillons aériens et leur application à l<i pré- 
vision du temps. 

17. — M. !.. Montangerand, astronome à l'Observatoire de Tou- 
louse, présente des Suggestions sur la carte photographique inter- 
nationale du ciel, et Idées nouvelles pour lu découverte des étoiles 
variables. 

Emploi de la chambre claire pour la correction des reproductions des 
clichés de la carte et l'examen comparatif ultérieur des originaux. 

Mesure systématique des étoiles doubles des clichés de la carte. 

Découverte d étoiles variables par examen des traînées obtenues par dé- 
réglage du mouvement d'horlogerie de l'instrument photographique des 
cercles stellaires exlra-focanx. Conditions à remplir pour la reconnaissance 
rapide des étoiles variables des amas globulaires sur des. clichés : rapidité 
de pose, avec grande sensibilité des plaques, et comparaison d'images sé- 
parées par des intervalles de quelques heures et juxtaposées sur le même 
cliché. 

18. — M. Broca, de la Section physique, remercie la Section 
mathématique au sujet de la subvention que celle-ci lui a accorde 
pour un perfectionnement apporté aux axes des théodolites, et 
fait connaître le résultat de ses travaux. 

l!*. — Miss Cram; présente un mémoire de mécanique céleste 
et étudie la cause du mouvement spiral dans les nébuleuses, les 
lois d'impulsion dans les espaces dits stellaires, et l'origine des 
nébuleuses. 

20, 21 et 22. — M. A. Gérardin, de Nancy, présente à la Section 
trois communications; voici le résumé de la première : 

Ayant une solution de lune des équations indéterminées 

a.r 2 + bxy + cf = kz" 

CtX* + b.r 2 y + c.ry- + dy* = /,:" 

rt.» 4 -+- bx*y -f- c.r\y 2 + dxf + ej * = kz n 

avec n := 2, 3 ou i. il est très facile d'obtenir des solutions générales du 
troisième degré. 

Supposons connue, par exemple, une solution 



ai? -j- bi'-j -f- cy = /ty- 
«X 2 + /A Y + cX 1 = hZ- 



de 

Il suffit de poser 

X=r« -j- "' ■*' • ¥ — P -\- my , Z = y + mf 



CHRONIQUE 103 

pour avoir m , après division par m 

'llr-f — - floue -\- c$r) — b(ay -\- :.n 
Âj ' |- hxy + n- - ii/- 

et l'on en tire immédiatement 

X =r rav- — («a -f- h\\ .r- — liy.f- — -')'. v + ih-ffx 
Y = « ,':.>- — ici + fra).1 2 - 2flouri — U'yl « +■ 2Ay/j 
Z = «y.»- -)- r-;\- -+- lj-;.rv -f- /r-/' 2 — fx{2aa -j- \i>\ — fi |2cp + />a| . 

Do nombreuses et intéressantes applications peuvent en être déduites; je 
n'en citerai qu'une. En faisant (3 — I . // = 1 . nous retrouvons notre con- - 
«litioii Fondamentale de La décomposition des nombres 

«X 2 -f bX + <■ — Z . 
La solution connue est 

n y.- -\- ha -f- c = -;' 

a est alors la solution maxima, et il suffira d'avoir Yr:+I pour trouver 
immédiatement les facteurs cherchés. Cette condition peut s'écrire 

i-M — [r - a\.r — an 2 = + 1 . 

J'ai résolu d'aussi simple Façon les huit autres équations types considérées. 

La deuxième communication traite de la Geometria dei Tessuti, écrit par 
Ed. Lucas en 1880. J ai été assez heureux pour trouver cet article rare dans 
la bibliothèque de M. Laisant, qui a bien voulu me le confier avec plusieurs 
autres, ce dont nous le remercions ici sincèrement. 

Le mémoire d Ed. Lucas dont, grâce à l'active et dévouée collaboration 
de M A. Aubry, de Dijon, nous avons actuellement la traduction complète, 
verra prochainement le jour. 

J'ai profité de cette communication pour rappeler - à nos collègues (pie je 
cherche à réunir tous les articles, mémoires, tirés à part de tous les arith- 
mologues connus et inconnus, et que je compte sur leur complaisance pour 
me faire parvenir, même en communication, tout ce qu'ils couuaîtront sur ce 
sujet. Je rappelle ainsi que M. C.-A. Laisant a bien voulu me promettre 
les archives d'Ed. Lucas, et que M. Perrjn me communiquera d'intéressanls 
renseignements sur le même sujet; que M. le D r Pein m'a fait parvenir plu- 
sieurs lettres de Proth, arilhmologue autodidacte qui a correspondu avec 
Ed. Lucas. En présence dé ces résultats palpables, et des renseignements 
que la théorie des nombres est heureuse de ne pas voir tomber dans l'oubli, 

je constate à regret que certaines portes restent obstinément fermées. Je 

signalerai ainsi les archives de M. Li Lasseur, de Nantes (mort en 1894 : 
nous serions très reconnaissants aux personnes qui pourraient nous faire 
une communication sur ce sujet, ainsi que sur d'autres professionnels ou 
amateurs de la théorie des nombres (ils sont malheureusement assez rares). 
Je rappelle en terminant que j'ai déjà publié diverses traductions, due- à 
M. Fitz-Patrick, d'articles anglais ou américains modernes sur la déc - 



.". CHRONIQUE 

position des nombres: Lawreni i. Décomposition dos nombres en fadeurs: 
Cole, Sur la décomposition dos grands nombres r2 C7 — 1 1 •. Lawrence, Dé- 
termination de certains nombres premiers (de 7 à 12 chiffresi ; Carmichaël. 
Une table des nombres multiple* parfaits: I) 1 Morehead, Note sur des fac- 
teurs des nombres de Format (nombre premier 5 . 27 75 + 1) ; D r Morehead 
el A.-E. ^ estern, Note sur les nombres de fermât. — J'en ai d'autres en 
manuscrit, ainsi ( |ue des articles rares de savants français et étrangers, et 
j insérerai avec plaisir dans Sphinx OEdipe les communications qui me 
seront faites. 

Ma dernière présentation concernait la question à l'ordre du jour. 

l'.\. — Erreurs de raisonnement de mathématiciens connus ques- 
tion a l'ordre du jour). M. Belot indique la querelle des quadra- 
teurs et des simplistes: M, A. Aubry, de Dijon, cite plusieurs 
erreurs historiques intéressantes: M. A. Géiîaiîdin eite, entre 
autres, une erreur de Viète. — In rapport sur la question sera 
présenté au prochain congrès; cette question forme d'ailleurs une 
réponse ;t /. M., 2855 voir E. M., 1910, p. 417 . 

24 et 25. — M. Maire présente Deux lettres de Alexandre de 
llumlxddt à François Arago. 

Ces deux lettres, dont lune est datée du 28 janvier 1836 et l'autre sans 
date, témoignent, en plus de l'extrême amitié que le grand savant allemand 
portait à Arago, aussi de I intérêt que prenait de Hc.mboi.dt aux sciences 
astronomiques. II signale, dans la lettre non datée, une Notice que Bessel, 
astronome à Kœnigsberg, avait préparée vers 1836, mais que cet astronome 
n'avait pas encore publiée. Cette élude concerne tout spécialement !a comète 
de Hallei' et les oscillations de la queue. Lu extrait assez long de ce Mé- 
moire figure dans cette lettre. 

La seconde, celle qui porte la date du 28 janvier 1836, traite à peu près 
du même sujet. 

Ces deux lettres, après recherches laites, paraissent inédites; néanmoins 
une réponse à une lettre écrite à Berlin, pourra seule confirmer cette opinion. 

Puis la Bibliographie de Biaise Pascal. Partie .scientifique. — Ce travail, 
pour la publication duquel l'Association pour l'Avancement des Sciences a 
bien voulu apporter son concours par une subvention, est à peu près ter- 
miné maintenant. Les Tables des matières, la préface et l'introduction 
restent seules à achever. 

M. lis il serait utile, dans l'intérêt de I histoire de la science au XVII e siècle 
et de la question Pascal en particulier, de faire des recherches précises 
dans les nombreux papiers de Cavalieri del Pozzo qui se trouvent en 
grande partie en Italie, ainsi que dans ceux de Leibniz déposés à la biblio- 
thèque de Hanoi re. 

Il serait à souhaiter que l'Association française pour l'Avancement des 
Sciences voulut bien, par son puissant concours, favoriser ces recherches. 

2(i. — M. Pellet présente une note Sur la série de Newton. 

Soit Fi.ri une fonction bolomorphe à coefficients réels. Posons —-. — = n n , 

1 F iai 



CHRONIQUE i05 

a étant mit' quantité réelle, el désignons par M le module maximum de 
F" (a + 2Ô« ) lorsque 8 varie entre — 1 et -f 1 : M < | F"(a + 28w ) | . 
Si 

[ | F'(a)|» - 2M l f(a) \ >0 , 

l'équation F(a -|- h) = () a une racine comprise entre — 2// ( , et + 2u , 
donnée par la série de Newton. Les termes de cette série oui îles modules 
au plus égaux aux termes correspondants de la série de Newton qui donne 

la plus petite racine de l'équation du 2 1 ' degré, dont le premier membre 

(dire deux variations : 

| F (a) 1 — | F'(«) | u + — ir = . 

Ainsi pour I équation de Kepler : 

m — e sin (m -f- u) = . 

e étant compris entre et 1, faisons a = : on a 

l'iih r= — e sin m , F'iO) = 1 — e cos m , F"(«) — e sin [m -f- u] : 

par suite M ^ e. La condition il) devient 

(1 — e cos mr ^> 2e 2 | siu m | . 

Elle est satisfaite quel que soit m si 

1 — 2e — e 2 > , 
et même si 

27. — M. E.-N. Barisien présente une note Sur l'inscription 
(la us un triangle du triangle èquilatèral minimum. 

La solution géométrique de ce problème est connue. 

Nous présentons une solution analytique de la question, qui a l'avantage 
de mettre en relief ice que ne donne pas la construction connue), une valeur 
curieuse de la longueur du côté du triangle équilatéral minimum A'B'C 
inscrit dans un triangle ABC. par la propriété suivante : Si l'on construit du 
côte extérieur au triangle, le triangle équilatéral BCAi . et si AAi = ce, le 
côté x (lu triangle équilatéral minimum est 

r = - = !Î? 

y. y. 

S étant l'aire de ABC. 
Ce qui revient à dire q-ue : Le côté x est une quatrième proportionnelle au 

côté a, à la hauteur correspondante h a et à la distance AAi . 

2S. — M. Litre envoie un mémoire sur la Trajectoire et mouve- 
ment du pendule de Foucault à citadine de ses oscillations. Dissy- 
mètrie des battements d'Est en Ouest et d'Ouest en Est. 

La Section tient a remercier les dames, particulièrement M"'' 
Bilan, qui ont Lien voulu assister à une partie de ses travaux, et 
aux excursions organisées le 3 août au \ al Suzon, et Le 'i août 



406 CHRONIQUE 

ehea MM. Marchal, filateurs à Trouhans, et chez MM. Jacob, 
Délai on & C"' à Belvoye et Fouilly. Nous remercions ici ces Mes- 
sieurs pour leur cordiale réception. 

La Section remercie à nouveau M. BallÀnd, le sympathique bi- 
bliothécaire de l'Université, pour les facilités qu'il a bien voulu 
nous accorder. 

M. A. Gbrardin a organisé deux séances de projections et pré- 
sente diverses collections de vues des congrès précédents, et une 
série de positifs colorés et en relief pris dans ses voyages en 
Italie. Suisse. Belgique et autres pays. 

M. E. Lbbon a vivement remercié notre président M. Belot et 
M. A. Aubry; de plus. M. Lbbon a été assez heureux pour obtenir, 
à l'assemblée générale, le maintien de la date habituelle. Le chan- 
gement aurait été. cette année, désastreux, puisque le V e Congrès 
international des Mathématiciens aura lieu à Cambridge du 22 au 
28 août. 

Le prochain Congrès se tiendra ;i Xinies. Le président des Sec- 
tions I et II sera M. Lin. Lbbon: le secrétaire M. A. Gékakdix. 



Société mathématique suisse. 
2 e Réunion; Soleure, 1 er août 1911. 

La Société mathématique suisse a tenu sa 2 e réunion ordinaire à 
Soleure, le 1 er août DU, sous la présidence de M. le Prof. 
R. Fueter Baie . comme section de la 94 e Réunion de la Société 
helvétique des Sciences naturelles. 

Dans sa séance administrative, la Société a confirmé pour 1912 
le comité actuel, composé de MM. R. Fueter Bàle), H. Fehr (Ge- 
nève et M. GitossMAw Zurich. Sur la proposition de MM. les vé- 
rificateurs des comptes, MM. Jaccottet Lausanne et Meissneii 
Zurich . elle a approuvé le rapport du trésorier; les recettes se 
montent à Fr. 900,75, les dépenses à Fr. 2.î<;,2.">. d'où un solde 
créditeur de Fr. 664,50. Le nombre des membres est actuellement 
de 112 dont 20 membres à vie. 

I- assemblée décide ensuite de tenir une réunion extraordinaire 
à Berne, en décembre 1911; puis, sur la proposition du Comité, 
elle confère le titre de membre honoraire 

1° à M. le Prof. C.-F. Geiseiî Zurich) qui, par son activité à 
1 Ecole polytechnique fédérale, par ses remarquables travaux dans 
le domaine des surfaces algébriques, et par ses relations très éten- 
dues avec les mathématiciens du pays et de l'étranger, a large- 
ment contribué au développement des mathématiques en Suisse; 

2' a M. le Prof. II. Kinkelin Bàle , un élève du grand mathé- 
maticien suisse Steiner, qui s'est particulièrement distingué dans 
les mathématiques des assurances. 



CHU ON 10 II 



i07 



La Société l'ait en outre une troisième nomination de membre 
honoraire qui sera proclamée à L'occasion d'un prochain anniver- 
saire. 

La partie scientifique a fourni d'intéressantes communications. 
( >n en trouvera le résumé ci-après. 

1. — M. le Prof. D'Kollros Zurich démontre, parles méthodes 
élémentaires de la géométrie synthétique, les principales pro- 
priétés de Yhypocycloïde <) trois rebroussements, h . que Steiner a 
énoncées sans démonstration Crelle '>'■> et que Cremona a dé- 
duites de la théorie générale des courbes planes Crelle 64 '. 

Il communique en outre quelques résultats de ses recherches 
relatives a une surface de 6 me ordre et de V 1 "' élusse a qui peut être 
considérée comme une généralisation de Ihypocycloïde A. Cette 
surface a quatre points aiguilles aux sommets d'un tétraèdre régu- 
lier /: le cône tangent en un de ces points se réduit a deux plans 
imaginaires dont l'intersection est une hauteur du tétraèdre; les 
quatre hauteurs se coupent au centre d'une sphère quadruplement 
tangente à a. 

L'hypocycloïde h touche la droite à l'infini aux deux points cy- 
cliques; elle est L'homologue du cercle inscrit au triangle des re- 
broussements dans la transformation quadratique dont les points 
correspondants sont les deux foyers réels des coniques tangentes 
aux trois côtés du triangle. 

La surface G touche la sphère circonscrite au tétraèdre t le long 
du cercle imaginaire de L'infini; elle est l'homologue de la sphère 
inscrite à t dans la transformation cubique dont les points corres- 
pondants sont les deux foyers des quadriques de révolution tan- 
gentes aux quatre faces du tétraèdre. 

Les équations homogènes des deux figures // et a présentent 
des analogies frappantes. L'équation de h , rapportée au triangle 
des rebroussements est. en coordonnées ponctuelles : 

1 1 1 

— - H = H = ; 

\/x [/y \/ z 

elle peut s'écrire sous la forme rationnelle : 

1 1 1 i I 



i 1 * 

y 

i 1 o i 



= U 



1 1 1 



1 M. '.. Wirtz a fait une étude analogue dans sa thèse : Oit Sleiner'sche Hypozycloïde. 



408 

ou eu développant : 



vhhox inri: 



xy + yz + zx\ 



ixyzlx + y -f- z) 



•'7/ + //"• -(- zx == représente Le cercle circonscrit au triangle, 
c'est-à-dire le lieu des loyers des paraboles inscrites, ou encore 
le lieu des points tels que les pieds des perpendiculaires abais- 
sées sur les trois côtés du triangle soient en ligne droite; l'enve- 
loppe de ces diuilcs est ho inothét i que à I) . 

L'équation de <r rapportée au tétraèdre des points aiguilles est, 
en coordonnées ponctuelles : 



1 1 1 



l 



10 1 i - 

v 
1 



110 1 



1110 



x y 



1 



[xyz + yzt + ztx + txy) s = Zxyst{xy + xz + xt + yz + yt + zt) . 

■ l '.'/~ + //-•/ + zfcc + txy = représente le lieu des loyers des 
paraboloïdes de l'évolution inscrits au tétraèdre, ou encore le lieu 
des points tels que les pieds des perpendiculaires abaissées sur 
les quatre faces soient dans un même plan. 11 serait intéressant 
d'examiner si l'enveloppe de ces plans est encore homothétique 
à g. 

Discussion : MM. Fueter et Tœplïtz. 

2 et 3. — M. le D r O. Tœplïtz (Gottingue), parle d'abord des 
recherches récentes de la théorie des variables en nombre infini. 
Cette nouvelle discipline est déjà sortie de son premier cadre, 
fourni par la théorie des équations intégrales et cela grâce aux 
récentes recherches de M. llilbert et de ceuxqui ont attaqué dans 
toute leur généralité la théorie des systèmes d'équations linéaires 
et des transformations orthogonales de formes quadratiques à un 
nombre infini de variables (v. la l re partie de la Note IV de Hilbert). 
Le conférencier montre, à l'aide d'exemples, quels sont les 
points de vue nouveaux introduits par Hilbert, et signale les ré- 
centes recherches par lesquelles M. Hellinger et lui-même ont 



CHRONIQUE 109 

développé cette nouvelle théorie du savant mathématicien de 

GœttingUC 

Dans une seconde communication, intitulée Ueber einige geo- 
metrische Aufgaben^ M. Tœplitz examine deux problèmes <l<- 
l'analysis situs < j n" i 1 a rencontrés H mentionne un troisième pro- 
blème, qui reste à résoudre : sur toute courbe plane fermée il 
existe quatre points tonnant 1rs sommets d'un carré. - Discus- 
sion : M. FUETBR, SPEISER, LjBMMEL, Si.KCKKI. et GllOSSMANN. 

4. — M. le Prof. D r W'.-ll. Young Cambridge et Genève lait 
une intéressante conférence sur /es récents progrès de lu théorie 
des séries de Fourier. 

A la question « Sous quelles conditions nue série trigonomélrique esl-elle 
une série de Fourier .' » il donne les réponses suivantes : 

a Si les 'onctions des limites supérieures et inférieures Ulx] el L(a 
sont bornées: où Q(x) et Ll.n sont les 



lim ^ ia cos nx -\- l> n sin nx) ; 



H = X 



n=i 



li Si l'i.ri eL Li.n satisfont à la condition a) sauf dans le voisinage d'un 
ensemble dénombrable de [joints et si de plus Ç | U [x) \ dx et /' | L [x | | dx 
existent. 

Le conférencier indique les conditions de Fischer-Riesz dans le cas où la 
fonction f(x) , dont on considère la série de Fourier, est une fonction de 
carré inlégrable, il indique que dans le cas général des conditions de celte 
espère ne peuvent pas être établies. A cela il joint des exemples de séries 
trigonométriques qui sont étroitement liées à une série de Fourier 

| "= x 

-r a + ^ (a n cos nx -\- b n sin nx) 

sans toutefois être des séries de Fourier, en particulier la série 

^ \i> n cos nx — a sin nx) 

n=\ 



■t 1 



et la série 



^ ,rt /,-|-l ( ' OS "- r + ^,,-Ll S '° UX ) 



Par contre, il est de toute nécessité de meulionner que la série 
^ m n~ q \b n cos nx — a n sin na 



HO r /IRONIQUE 

où <^ (/ , est toujours une série de Fourier, comme, du resle, les séries 

^B^fflj COS nx -\- b sin nx) et *^n^(6 M ros w.r — « ;j sin ;;.» i 



si < 7 < ./ el 



/'.y — fin 

x — y 



<^ B , où B est une constante Unie. I n 



autre théorème du même genre dit que si A. et B , comme a n et /; /( . sont 
des constantes de Fourier. la série 

^ U a nK + *n B J cos nx + lor „ B „ — 6 « A ») siu "- r > 
>i = t 

esl une série de Fourier. 

Comme contribution à la théorie de la convergence, le conférencier donne 
une condition pour la convergence ou la divergence des séries alliées cjui 
correspond à celle de de la Vallée-Poussin pour la convergence des séries de 
Fourier. 

u 
Soit par exemple — / [f{x -+- u) — f(x — u)}du une fonction à variation 


ce 

1 f . 
bornée, la série alliée converge ou diverge vers lim — / f[x + u) — f\x — u) du , 



au cas où cette limite est déterminée, sans cela la série oscille. D'ailleurs 
la recherche conduit à des conditions suffisantes et d'une assez grande 
portée pour sa convergence, au sens de Cesàro, aussi bien des séries de 
Fourier que des séries alliées. 

Dans les théorèmes de la théorie de l'intégration on insiste sur le fait 
que la convergence, et encore plus la convergence uniforme, joue un rôle 
secondaire. 

L'équation 

Cf[x)g[x)dx = j~a I g{x)dx + 'S j l«„ cos nx + b n sin nx)g{x)dx 



subsiste dans les cas suivants : 

1. g est à variation bornée dans l'intervalle fini ou infini (c , z) et dans le 
dernier cas lim g(s) r= . 

2. /'est à variation bornée et g possède une intégrale absolument conver- 
gente dans l'intervalle fini ou intîni (c , z) . 

i 

l{. f et f P ont, pour <^ p < 1 , des intégrales absolument con- 

vergentes et si p <^ 1 la convergence est prise au sens de Cesàro. 

Finalement le conférencier donne une esquisse d'un procédé général de 
sommation pour les séries de Fourier, procédé qui comprend ceux de Cesàro- 
Fejier, de de la Vallée-Poussin, de Poisson, etc. Ce procédé se divise en 
deu v parties : 



t il i; o N i Q il ,11 

I. Suites de séries finies 

II. Suites île séries convergentes infinies. 

La méthode s'appuie -m- l'intégration déjà citée dans 1'- cas I. où s = m. 
Dans l'équation 

Ç [/•,.»■ + H) + f[x —H) j U k [t)dt 

ii 

I 
= â a o I Vt[t)dt -f- 2' a « r " s " r ~+~ t'u si " "■*"' / l V' 1 cos nktdi 



laissons tendre X- vers zéro. Si U est indépendant de /• . le premier membre 
prend, sous des conditions faciles à énoncer, la forme d'un multiple cons- 
tant du premier membre des expressions 

L,. 1 ( F» (as + .A) — Ft(* — A) 1 

-/l.r -f- Ol + -/(.»• — Ol . Ilm — — 



/î=ii 



lim 
h=0 



i ( ;.,,.,- _|_ /,) _|_ G,i.r — A) ) 






qui est fini et déterminé, où 

X XX 

Fji x) = / f{x)dx . F 2 a?) = / f/.r / f(x)dx . 

n n n 

G 2 (.r -+- A) = F 2 i.» -f A) — F,(.r) — h¥t\x) , etc. 

La méthode appliquée aux séries de Fourier dérivées donne, sous des 
conditions appropriées, les dérivées correspondantes f, f" ... 

Discussion : MM. T.œplitz, Plaxcherel, Stàeckel et Madame 
Young. 

5. — M. le D 1 ' R. L.E.MMEL Zurich parle des paradoxes du cal- 
cul des probabilités. 11 montre que des solutions exactes, qui ce- 
pendant semblent en contradiction, peuvent toujours être ren- 
contrées et que pour obtenir la probabilité il faut suivre un cer- 
tain processus des hypothèses. A l'aide du paradoxe Bertrand il 
montre que la valeur de la probabilité dépend non seulement des 
conditions initiales, mais aussi des conditions de réalisation. Si 
l'on en tient compte tout paradoxe disparait. — Discussion : M. v. 
Mises. 

G. — M. le Prof. D' II. v. Mises Strasbourg), Ueber neuere Pro- 
blème do- Mechanik. — Dans sa conférence sur les récents pro- 
blèmes de la Mécanique, M. v. Mises rappelle d'abord les travaux 
importants que des mathématiciens suisses ont fourni, aussi bien 



112 CHRONIQUE 

en Mécanique rationnelle ([n'en Mécanique technique. Il montre 
qu'en particulier dans les milieux continus les recherches doivent 
se développer parallèlement dans ces deux directions. Si l'on sort 
de la théorie ordinaire de l'élasticité, la Mécanique rationnelle 
dispose de deux théories cpii doivent expliquer les phénomènes 
observés sur les corps solides: la théorie de la plasticité de Saint- 
Venant, qui est un peu tombée dans l'oubli chez les mathémati- 
ciens et qui vient d'être reprise sous i\ne forme rudimentaire par 
les techniciens; puis la théorie élastique de Boltzmann et de 
M. Volterra. Depuis quelques années M. Du hem a encore élargi 
les théories mécaniques en adjoignant aux hypothèses des no- 
tions thermodynamiques. Le conférencier termine en signalant 
encore des problèmes récents d'hydrodynamique notamment 
celui de la turbulence et montre le lien de ce problème avec les 
éléments de la Mécanique statistique. 

7. — M. le Prof. D 1 M. Pi.axcherel (Fribourg) parle de la som- 
mation des séries de Legendre. — Soit f x) une fonction de la va- 
riable réelle x, définie dans l'intervalle ( — 1, +1) et assujettie 
à la seule condition d'être intégrable en valeur absolue dans l'in- 
tervalle — 1, -f- 1). Pa x) désignant le k ième polynôme de Legendre 
et 

+ ' 

a k = ^^J- f f(x)V k (x)dx . 
— i 

la série 

A-=l 

est la série de Legendre de f[x . Posons 

n 

•^7 n\n — 1 1 . . . ( /; — /• -)- 1 1 

S» = a e + ^ l |fl + 2 ,, ll+3| ..., /t + / . + 1 , ^ p *-' J -' 

n 

„, ■%^i inn — t ) . . . [n — k -f- 1 ] 

S B (x) = a + > ,„ + lM „ + 2 , ,.,„, + /i , «* P *<*1 

A=l 

on démontre que 

liin inf. S = lini inf. S fl , lim sup. S ;( = lira sup. S w . 

n = x 11=00 R=0C H = x 

Il suffit donc d'étudier l'une de ces deux expressions. Or, ici, 
<-'<-st S„ qui se prête le mieux au calcul. 

Théorème. S„(x) converge vers f(xj en tout point de continuité 
de la /'onction. La convergence est uniforme dans tout intervalle 



CHRONIQUE '»13 

entièrement intérieur a un intervalle de continuité de f. I:n tout 
point de discontinuité de première espèce, S„ \ converge vers 

fix + 0) + r ( x — 01 v 
s . /V//.S' généralement, S„ x) converge vers la dé- 
rivée de l'intégrale définie de f(x) e/i /o/// point où cette dérivée 
existe. 

Dans ce théorème comme dans les suivants, nous supposons 
pour abréger, que le point x est un point intérieur de L'intervalle 
( — 1, -j- 1). M. Plancherel note encore le théorème suivant. 

THÉORÈME. Si f x est bornée dans un intervalle (a, |S), S„(x) /es/<? 
comprise dans a, ^ entre les limites inférieure et supérieure de 
f(x) fifcms ce même intervalle. 

Ce qui constitue le principal avantage du procédé de somma- 
tion (pie nous étudions et ce qui le distingue du procédé de Cesàro 
employé par M. Féjer, c'est qu'il permet d'approcher les dérivées 
de /'(a. - ), là où elles existent. Supposant encore x ^z£ -f- 1, nous 
avons en effet le 

1 heoiîetme. converge, pour n = x, ee/\s en tout point 

dxP dxP ' 

o« ce//e dérivée existe. La convergence est uniforme dans tout in- 
tervalle entièrement intérieur à un intervalle de continuité de 

d f(x) nj . . , d S n 77 

. Plus généralement, - converge vers la dérivée çenera- 

dx 1 dx 1 

Usée d'ordre p, là où cette dérivée généralisée e.iiste. 

Tous ces théorèmes sont des conséquences immédiates de théo- 
rèmes relatifs à l'application du procédé de sommation (S«) à la 
série de Laplace. Le même procédé conduit à des résultats inté- 
ressants dans le cas des séries de Bessel. Le conférencier n'in- 
siste pas là-dessus. La démonstration de ces théorèmes paraîtra 
prochainement dans les Rendiconti del Circolo matematico di Pa- 
lermo. — Discussion : MM. Young et Tœplitz. 

8. — M. G. Dumas expose ses recherches relatives à la résolu- 
don des singularités des surfaces. — Prenant un exemple, il con- 
sidère l'équation 

11) A; so + B.r 2? : 1B -f C.r 15 v 10 + D.i-'V 2 + Ej- ia z 6 + K.* u v 18 r 3 = . 
(A . B . C , D . E#0) 

à laquelle il fait correspondre une certaine surface polyédrale 77'. 

Prenant ensuite, sur 77, le sommet A correspondant au terme 

de coefficient A, il établit, relativement à ce dernier point et par 



1 Voir Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, 13 mars 1911, |>. <^2. 
L'Enseignement mathém., 13« année; 1911. 



îli CHRONIQUE 

le moyen d'un trièdre en rapport avec U. la substitution 

(2) .»■ = g 8 y,-°r j , »• = --"V* 5 . c = ç 7 t,*: 3 

cpii, appliquée à 1 , transforme eette équation en une autre 

;;, a 4- CÇ 8 + Ih- 6 r« + l£Ç**Ç a -f- t > »ç M r, 60 ^ 9 + ^'"v 8 ^ 1 = , 

qu'on peut écrire 

(4) 9 1 Ç . Ti -f- 7,'ii; , ï| , Ç) = . 

où y et (// sont respectivement en J. £ et en 5, >7, £ des polynômes 
entiers. 

Mais de 2 , on déduit : 



La substitution 2 est ainsi réversible et les surfaces (1) et (3 se 
correspondent point par point. 

Si dans (3 , respectivement (4), on fait rj = 0, on obtient 

(5) <p(Ç. Ç) = . 

Les points de (4) situés dans le voisinage de la courbe (5) ont 
donc comme correspondants sur 1 des points constituant dans 
le voisinage de l'origine une partie de la surface. 

L'exemple précédent montre ainsi le rôle des surfaces polyé- 
drales 77 dans la réduction des singularités des surfaces. — Dis- 
cussion : MM. Fueter, Young, Geiser. 

9. — M. Luc. Baatard Genève) présente un procédé très rapide 
et tout à fait général pour Y extraction d'une racine quelconque 
d'un nombre réel quelconque. Sa communication sera publiée dans 
un prochain numéro de VEns. math. 

10. — M. R. de Saussure (Genève! présente une Note intitulée 
Réponse à l'article de M. Study sur ma « (réoméliie des Feuillets ». 

« Dans un article intitulé « Die Kinematik der Herren de Saus- 
sure et Bricard », inséré dans le Jahresbericht der deutschen Ma- 
thematiker-Vereinigung n° de juillet-août 1910 , M. le prof. Study 
a fait un compte rendu de mon dernier ouvrage intitulé « Exposé- 
résumé de la Géométrie des Feuillets » librairie Kiindig, Genève, 
1910). 

« Dans cet article, M. Study fait une réclamation de priorité 
relativement à cette nouvelle géométrie, dont je me considère 
comme l'auteur, géométrie qui est une généralisation de la géo- 
métrie réglée, avec cette différence que l'élément primitif qui lui 
sert de base est non une droite, mais un « feuillet», figure équi- 
valente à une position d'un corps solide de forme quelconque. 



C II R MQU E '. 1 5 

« Je crois que la seule manière impartiale d'éclaircir la question 
de priorité soulevée par M. Study est d'établir la liste chronolo- 
gique des différents articles et travaux que l'on peut considérer 
comme des précurseurs de la géométrie des feuillets. On pourra 
laisser ainsi au public impartial le soin de rendre à chacun ce qui 
lui est dû et de dire après avoir relu ces articles, quel est l'auteur 
qui a le premier clairement conçu cette nouvelle géométrie et en 
a défini les tonnes fondamentales. » 

Voici la liste des travaux à consulter : 

I Tait, Théorie élémentaire des quaternions (traduction française Plarr, 
1884, 2e éd., T. II. p. 165). 

2. Stepbanos, Mathematische Annalcn (22 e vol., 1883). 

3. Study, Mathematische Annalen (39 e vol., 1891). 

4. de Saussure, Cinématique des fluides. Arch. des Se. Ph. et Nat. de 

Genève. V, 197; VI, 296 (1898). 

5. « Sur le mouvement le plus général d'un corps solide qui possède 

deux degrés de liberté autour d un point fixe. Comptes rendus. 
Paris, 1901. 

6. » Théorie géométrique du mouvement des corps. Arch. des Se. Ph. 

et Nat. de Genève. XIII, 425; XIV. 14, 209 (1902). 

7. » Mouvement des fluides. Id. f XIII, 618 (1902). 

8. Study, Géométrie der Dynamen, Leipzig, 1903. 

9. de Saussure, Théorie géométrique du mouvement des corps. Arch. des 

Se. Ph. et Nat. de Genève. XVIII, 25 (1904). 

10. » Mouvements infiniment petits d'un corps solide. Id., XVIII, 512 

(1904). 

11. o Théorème de cinématique. Id., XVIII, 602 (1904). 

12. •■ Mouvement des fluides. Id., XX, 717 (1905). 

13. » Théorie géométrique du mouvement des corps. Id., XXI, 36, 129 

(1906). 

14. » La géométrie des feuillets. Id., XXI, 134, 262 (1906). 

15. » Classification des systèmes géométriques. Id., XXI, 342 (1906). 

16. » Théorème fondamental de la géométrie de l'espace feuilleté. Id., 

XXIV. 391 (1907). 

17. » Géométrie des flèches. Id., XXVII. 86 (1909). 

18. » Géométrie des feuillets. Id., XXVIII. 425, 651 (1909). 

19. » Les systèmes de corps solides. Id.. XXVIII, 429, 652 (1909). 

20. » Les systèmes de corps solides cotés. Id.. XXIX, 96, 310, 484 

(1910). 

2 1. » f.es foi nies fondamentales de la géométrie des feuillets. Id., 

XXIX, 538- 1 1910|. 

22. » Sur les corps solides opposés. Id., XXX, 198 (1910). 

23. » Exposé résumé de lu géométrie des feuillets. Janvier 1910, Mé- 

moires de la Soc. de Phys. de Genève. 

24. Bricard, La géométiie des feuillets de M. René de Saussure. Nouv. 

Ann. de Math.. Paris, 1910. 
2."). de Saussure, Sur les corps solides opposés. Comptes rendus, Paris, 

1910. 
26. Study, Comptes rendus. Paris, 1910. 



H6 CHRONIQUE 

27. Bkicard. Comptes rendus. Paris. 1910. 

28. Di Saussure, Comptes rendus. Paris, 1910. 

29. Caii.lrk, Sur la pentasérie linéaire de corps solides. C. R., Paris. 

1910. 

« En résumé, on peut voir, d'après ce tableau, que les huit coor- 
données homogènes d'un corps solide ont apparu pour la pre- 
mière lois chez M. Tait, puis en 1891 chez M. Study, mais ces 
coordonnées n'ont été appliquées à la géométrie des feuillets 
qu'en 1903 par M. Study. De mon côté, sans me servir de coor- 
données, j'ai fondé la géométrie des feuillets en 1898 par la mé- 
thode synthétique, laquelle a l'avantage de mettre cette géométrie 
à la portée des études mathématiques élémentaires, et de 1898 
à 1910 j'ai trouvé l'une après l'autre les formes fondamentales de 
cette géométrie. » 

11. — M. le Prof. D 1 H. Fehr Genève) donne un aperçu très ra- 
pide de Y état des travaux de la Commission internationale de l'en- 
seignement mathématique et plus particulièrement de la sous- 
commission suisse; il met en circulation les publications les plus 
récentes. 

12. — Comme suite à la communication ci-dessus, M. le Prof. 
D r M. Grossmann (Zurich) dépose son rapport sur X enseignement 
mathématique à V Fa- oie polytechnique fédérale. 

13. — M. le Prof. D r F. Rudio (Zurich) présente le premier volume 
des œuvres d'Euler; c'est le traité d'Algèbre. 11 saisit cette occa- 
sion pour donner quelques renseignements sur l'état des travaux. 
Les volumes sous presse ou partiellement composés sont le pre- 
mier volume de la Dioptrik et la Mécanique. Des contrats ont été 
passés avec quinze auteurs. Deux des collaborateurs ont déjà ter- 
miné leur travail de revision et d'annotation; ce sont M. Kowa- 
lewski pour Y Institionum cale, différent, et M. Krazer pour les 
mémoires sur les fonctions elliptiques. De son coté M. Exestrom 
revoit en ce moment les manuscrits de St-Pétersbourg. 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemagne. — M. R. Dedekind, professeur à l'Ecole techni- 
que de Brunswick, a été élu associé étranger de l'Académie royale 
de Lincei (section de mathématique). 

M. E. Fischer, professeur à l'Ecole technique supérieure de 
Briinn, est nommé professeur ordinaire à l'Université d'Erlangen. 

M. R. Flchs, privat-docent, est nommé professeur à l'Ecole 
technique supérieure de Berlin. 



CHRONIQUE ',17 

M. E. Sai.kowsky est nommé professeur à l'Ecole leehni(|iie >u- 
périeure de Berlin. 

M. A. Sçhoenflies, professeur à L'Université de Koenigsberg, est 
nommé professeur à l'Académie des Sciences sociales de Franc- 
fort a. M. 

Privat-docents. — On été admis en qualité de privat-docents : 
M. le prof. R. Gaxs, de Tnbingue, à l'Université de Strasbourg. 
— M. \\ . v. Ignatowsky, pour la Physique théorique el la Méca- 
nique a l'Ecole technique supérieure de Berlin. — M. 11. Konig, 
pour les mathématiques, à l'Université de Leipzig. — M. II. v. 
Sanobn, pour les mathématiques appliquées, à l'Université de 
Goettingue. — M. S. Schimmack, pour la méthodologie des mathé- 
matiques à l'Université de Goettingue. — M. L. Schleiermachbb, 
pour les mathématiques pures et appliquées, à l'Ecole technique 
supérieure de Darmstadt. 

Angleterre. — Sir J. Lakmoii, professeur à l'Université de 
Cambridge, a été élu associe étranger de l'Académie royale dei 
Lincei section de mécanique). 

La Société mathématique de Londres a attribué la Médaille de 
Morgan au professeur H. Lamr. 

M. le D' A.-N. Whitehead, F. R. S « Fellow » du Trinity Col- 
lège, Cambridge, est nommé « Lecturer » pour les Mathématiques 
appliquées et la Mécanique à l'University Collège de Londres. 

Autriche. — M. G. Majcen est nommé professeur à l'Univer- 
sité d'Âgram. 

M. Bydzowsky est admis en qualité de privat-doeent à l'Ecole 
technique supérieure bohème de Prague. 

Etats-Unis. — M. G. A. Bliss, de l'Université de Chicago, 
est nommé professeur à l'Université Harvard. 

M. G. A. Hale, directeur de l'Observatoire du M'-Wilson, est 
nommé docteur honoraire de l'Université de Cambridge. 

M. M. Mason, de l'Université de ^Yisconsin, est nommé profes- 
seur à l'Université Harvard. 

M. le prof. A. A. Michelsox, de l'Université de Chicago, est 
nommé docteur honoraire à l'Université de Goettingue. 

France. — M. Blutel, prof, de Mathématiques spéciales au 
Lycée St-Louis, est nommé inspecteur général de l'Instruction 
publique en remplacement de M. Combette, nommé inspecteur 
général honoraire. 

M. Maillet est nommé professeur des cours d'analyse et de 
mécanique (année préparatoire) de l'Ecole des Ponts et Chaussées, 
en remplacement de M. Haag, décédé. 

M. Zoretti, chargé de cours, est nommé professeur de mécani- 
que rationnelle et appliquée a l'Université de Caen. 



418 CHRONIQUE 

Faculté des Sciences de Paris. Lî 'Institut aérotechnique, fondé 
grâce à un généreux don de M. Henri Deutsch, de la Meurthe, a 
été inauguré à St-Cyr, le (> juillet, sous la présidence de M. Steeg, 
Ministre de l'Instruction publique. Des discours ont été pronon- 
cés par M. le Recteur Liaro, par M. Appell, Doyen de la Faculté 
des Sciences, et par le fondateur. M. Appell a exposé la tache qui 
incombera au nouvel Etablissement pour réaliser l'union de l'ac- 
tion technique et de l'action scientifique. On trouvera son dis- 
cours dans la Revue scientifique du 22 juillet et dans la Revue du 
Mois du 10 août. 

Hollande. — M. le Prof. H. -A. Lorbntz, de l'Université de 
Leyde, est nommé membre correspondant de l'Académie des 
Sciences de Vienne. 

Italie. — M. U. Dini, professeur à l'Université de Pise, a été 
élu membre ordinaire non résident) de l'Académie des Sciences 
de Naples. 

M. G.-B. Guccia, professeur à l'Université de Païenne a été élu 
membre correspondant de la même Académie. 

M. O. Tedone, professeur h l'Université de Gènes, a été nommé 
membre correspondant de l'Académie royale de Lincei. 

Suède. — M. H. v. Koch, professeur à l'Ecole technique su- 
périeure de Stockholm, est nommé professeur de mathématiques 
à l'Université de Stockholm, en remplacement de M. le Prof. E. 
Mittag-Leffler, qui prend sa retraite. 



Nécrologie. 

M. J. Gruxwald, professeur à l'Université allemande de Prague, 
est décédé le 1 er juillet 1911, à l'âge de 35 ans. 

M. le Prof. D r H. Schubert est décédé à Hambourg le 20 juillet 
1911, à l'âge de 53 ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Semestre d'hiver 191 L-1912 suite . 

ALLEMAGNE 

Berlin; Universitàt. — Schwarz : Elementargeometrische Herleitung 'Iit 
wichtigsten Ei^enschaften der Kegelselmitte. 2; Synt. Géométrie, 4; Th. der 
analvt. Funktionen I, 4 ; Kolloquium ; Seminar. — Frobenius : Analvt. Geo- 
inelrie. 4: Zahlentheorie, 4; Seminar. — Schottky : Hôhere algebr. Kur- 
ven, 4 : Th. der automorphen otler Polygonfunkliouen, 4 : Seminar. — 
Hettner : Wahrscheinlichkeitsrechuung uud Th. der Beobachtungsfehler, 
2. — Kkoblauch : Differentialrechnuug, i : Uebgn. I ; Th. der ellipt. Funk- 
tionen, 4. — Lehmann-Filhés : Intégral rechnung, 4; Determinanten, 4. — 
Schur : Th. der algebr. Gleichungen, 4 : Funklionenth. II, 4. — Foerstek : 
Geschichte der neueren Astronomie, 2; Astronomie und soziale Kultur, 1 : 
Grundlehren der astron. Messkunst, 1. — Struve : Einleit. in die Th. der 
Satelliten, 4: Uebgn. auf der Sternwarte. — Cohn : Bestimmung der Bahn 
der Himmelskôrper, B; Uebgn. dàzu, 2. — Scheiner : Photometrie der 
Gestirne, 2 : Astrophysikalisches Kolloquium. — Marcuse : Allgemeine 
Himmelskunde mit Lichtbildern, 2; Geograph. Orlsbestimmung, 2. — W ni : 
Ausgew. Kapitel der sphâr. Astronomie, 2. — Reichenheim : Physik der 
Sonne, 1. — Grûneisen : Energiehaushall der Erde. — Helmert : Die Figur 
• 1er Erde, i; Anwendung der kùrzesten Linie auf die Geodiisie. 1. — 
Scumidt : Méthode der kleinsten Quadrate, 2; Geophysik. Kolloquium. — 
Kohlschutter : Grundzûge der Nautik, 1. 

Bonn; Universitàt. — Stldy : Einleitung in die analvt Géométrie, 4; 
Differentialgeometrie II, 2; Seminar. — London : Synth. Géométrie, 2; 
Dill. - n. Intégral rechnung II, 4: Seminar. — Hausdorff : Einfùhrung in die 
Funktionentheorie, 4: Foùriersche Reihen und verwandte Enlwicklungen, 
2; Seminar. — Muller : Algebr. Gleichungen (Galoissche Théorie), '■'<■ — 
Furtwangler : Ausgewâhlte Kapitel der technischen Meehanik, 2. — 
Mônnichmeyer : Geograph. Ortsbestimmungen, 2; Gebrauch dev astron. 
Jahrbûcher, 1; Praktische Uebgn. — Kustner : Sphiir. Astronomie, 3; 
Fixsternknnde, 1: Praktische Uebgn. — Pflûger : Meehanik, 4, mil Uebgn . 
1. — Bucherer: Malhemalische Einfùhrune in die neuere Elektrizitatslehre, 2 



1 Kantc <!<■ place, nous «levons renvoyer à un prochain numéro la Miite du Compte rendu 
des publications concernant la Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 



420 -V OTES ET DOC U ME N T S 

Breslau ; Universitât. — Sturm : Analyt. Géométrie dcr Ebene, 4; Geom. 
Verwandtschaften II. 2 : Seminar. — Kkbsbb : Ellipt. Funktionen, 4 : Inlegral- 
gleichungen, 2; Seminar. — Sch.midt : Integralrechnung, 4: Mengenlehrc, 
2: Seminar. — Schnee : Differentialgeometrie, •'! : Ausgewàhlte Kapitel der 
Zahlentheorie, 2. — Fbanz : Th. der Bahnrechnuug der Komelen und Planeten, 
i : Uebgn. clazu, 1. Kosmogonie, 1 ; Astron. Kolloqaium. — Pringsheim : 
Allgemeine Mechanik, 4 ; Einfùhrung in die Relativitatstheorie, 1. 

Erlangen; Universitât. — Gordan : Zahlentheorie, 4. — .Xœther : Analyt. 
Géométrie der Ebene, 4; Th. der Abelschen Funktionen, 4: Darst. Geome- 
trie, » : Seminar. — Baldus : Elementare Versicherungsmathematik, 1; 
Wahrscheinlichkeitsrechnung, 2; Uebgn. dazu, 1. 

Freiburg i. B.; Universitât. — Stickelberger : Funktionentheorie, i; 
Hôhere ebene Kurven, 3 ; Seminar. — Hefiteu : Analyt. Géométrie des Rau- 
mes. 4; Uebgn. dazu, 1; Analyt. Mechanik der zusammenhangenden Massen, 
.'i : Seminar. — Boi.za : Einfùhrung in die Th. der Integralgleichungen, 2; 
Seminar. — Lœwr : Diff.-rechnung, 4: Uebgn. dazu, 1; Th. der algebr. 
Gleichungen II, 3 ; Seminar. — Seith : Projektive Géométrie. 2. 

Giessen ; Universitât. — Netto : Hôhere Aigebra, 3; Analyt. Géométrie 
des Raumes, 3 ; Seminar. — Schlesinger : DilF.- und Integralrechnung mit 
Uebgn. , 5 : Th. des logaritbmischen Potentials, 4; Seminar. — Grassmann : 
Analyt. Mechanik II. 4: Fesligkeitslehre. 3; Seminar. — Fro.mme : Geom. 
und phys. Optik. 3; Uebgn., 1. — Sch.midt : Kinetische Gastheorie. 2. 

GÔttingen ; Universitât. — Klein : Einfùhrung in die Dilf.- und Integral- 
rechnung II. 4: Seminar. — Hilbkrt : Logische Grundlagen der Malhema- 
tik, 1; Mechanik der Kontinua, 4; Seminar. — Landau : Analyt. Zahlen- 
theorie, 4; Seminar. — Runge : Mechanik mit Uebungen, 6. — Wettl : 
Determinanten. 2; Hôhere Funktionenlheorie, 4; Uebungen zur Difl'.- und 
Integralrechnung, 2. — Tœplitz : Einfùhrung in die Funktionentheorie, 4 ; 
Uebgn- dazu, 2. — Haar : Krumme Linien und Flachen, 4. — Born : Ein- 
fùhrung in die mathem. Behandlung der Xaturwissenscharten, 3; Kapillari- 
tiit, mit Uebungen, 2. — Pkandtl : Statik der Bauwerke. 3; Kollo(|uiuin 
ùber Fragen der Luflschillalirt und Flugtechnik, 1. — Bernstein : Ver- 
sieberungsrechnung, 2; Mathem. Statislik und Versicherungsmathematik, 3, 
— v. Karman: Uebungen zur graph. Statik, 2; Thermodynamik. mit Anwen- 
dungen des thermodynamischen Potentials, 3. — Ambronn : Berechnung der 
Bahnen von Komelen und Planeten, 2; Ueber Parallaxe und Aberration, 1; 
Besprechung neuerer astronomisclier Lileratur: Astron. L ebungen. — 
Wiechert : Vermessnngswesen, 4. — Yoigt : Partielle Differentialglei- 
chungen der Physik, 4: Geom. Optik, 2. — Riecke : Ausgewahlte Problème 
der Kinelischen Gastheorie, 1. 

Greif swald ; Universitât. — E.ngki. : Th. der Transformationsgruppen II, 

'i ; Difif. und Integralrechnung I. 4; Analyt. Géométrie des Raumes, 2; Se- 
minar. — Vahlen : Funktionentheorie, ». Kinematik und Mechanismeu, 1; 
Seminar. — Blaschke : Analyt Mechanik II, 4: Uebgn. dazu, 2; Darst. 
Géométrie mit Uebgn. 4. — Mie: Hydrodynamik, 4: Uebungen dazu, 1: 
Besprechungen neuerer physik. Arbeiten. 

Halle; Universitât. — Cantor : Der Difif.- und Inlegralrechuung erster 
Teil, 5; Seminar-. — Wa.ngerin : Integralrechnung mit Uebgn., 4; Anweu- 



.v o 1 1: s i: r do eu m. E y r s \ 2 1 

dangen der ellipt. Funktionen, 2; SphSri Trigonométrie und mat hem. Geo- 

graphie, 2; Seminar. — <ii rzMEB : Gewôhnliche Differentialgleicl gen S ; 

Analyt. Mechanik, \ . Seminar. — Eberhard! Analyi. Géométrie des Raumes, 
'i ; Kolloquium. — Buchbolz : Th. der speziellen Stôrungen, 2 ; Wahrschein- 
lichkeitsrechnuug und Th. der Ausgleichung der Beobachtungsfehler, 1. 

Jena ; Universitàt. — Thomje Anwendung der [nfioilesimalrechnung aul 
Géométrie, .">. — Haussneb : Zahlentheorie, '« : Diff.- und [ntegralrechnung 
II. 5; Analyt. Géométrie îles Raumes, \ : Proseminar, '- Seminar, 1 — 
I'km.i : Riemannsche Funktîonentheorie, i; Begriffsschrift, 1. — Winkel- 
\:a.\\ : Technische Mechanik, i, mit l ebgn., I; Vektoranalysis, I — 1 ni n 
Darst. Géométrie 11 mit Uebgn., 6. — Knopf : Bestimmung der Bahnen der 
Bimmelskôrper, 3; Numerische Berechnung îles scheînbaren Laufes der 
Plaueten und Kometen, I; Populàre Astronomie, 1. — Aukkbacb Mechanik 
der festen, Bûssigen und gasigen Kôrperj i -, Das absoiute Masssystem, I. 

Kiel ; Universitàt. — Pochhammer Diff.-Geometrie, i ; Part. Differential- 
gleichungen, 'i : Seminar. — Landsberg : [ntegralrechnung, '■ : Hôhere Al— 
gebra, i; Seminar. — Deii.n : Einfûhrung in die hôhere Analysis,3; Analyt. 
Géométrie des Raumes. i; Uebgn. ans der angewandten Mathematik. — 
.\ m i \t)ORFF : Vektoranalysis. I ; Ausgewâhlle Kapilel der technischen Me- 
chanik II mit Uebgn., .'î : Uebgn. ans der angew. Mathematik. — Kobold : 
Méthode der kleinsten Quadrate, 2; Uebgn. dazu. — Wilkens : Sphâr. 
Astronomie. 1. — Harzkr : Hôhere Geodasie, o; Uebgn. im nnmerischen 
Reehnen, 1. 

Kônigsberg: Universitàt. — Meyer : [ntegralrechnung, 3, mit Uebgn., 1; 
Einleitung in die hôhere Géométrie, 3; Seminar. — Schœnfliess : Differen- 
lialgeometrie der Kurven und Oberflàchen, 4; Seminar. — Kai.iza : Analyt. 
Géométrie des Raumes, 4; Uebgn. dazu, 1; Determinanten, 2. — Bieberba.ch : 
Part Differentialgleichungen, 2; Kolloquium und Ergànzungen dazu. I. — 
Battermann : Einleitung in die Mechanik des Himmels, 2; AUgemeine Astro- 
nomie, 1. 

Leipzig; Universitàt. — Roux : Analyt. Géométrie des Raumes. 4; Anwen- 
dung der Differentialrechnung auf Raumkurven und Flachen, 4 ; Seminar. — 
Holdek : Hôhere Algebra, insbes. Galoissche Théorie der Gleichungen, 2; 
Ellipt. Funklionen, 4; Seminar. — Herglotz : Mechanik. 5; Fouriersche 
Reihen und bestimmte Intégrale, 2 ; Seminar. — Kœbe : Differential- und 
[ntegralrechnung, 5. Uebgn. dazu, 1; Potential und partielle Differential- 
gleichungen, 2. — Bruns : [nstrumentenkunde, 3; Fehlertheorie und Aus- 
gleichungsrechnung, 2; Praktische Analysis, 2: Uebgn. aul' der Sternwarte. 
— Komg : Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet, 2. — 
Fis* her : Einfûhrung in die mathematische Behandlung der Naturwissen- 
schaften, o. — Marx : Vektoranalysis und ihre Anwendung in der Physik, I. 

Marburg ; Universitàt. — IIknsi i. : [ntegralrechnung, i; Algebra, 4: Se- 
minar. — Neumann : Analyt Théorie der Differentialgleichungen, 4 : Pro- 
seminar; Seminar. — v. DAlwigk : Analyt. Mechanik II. 2: Hôhere K a pi tel 
aus der Th. der analyt. Funktionen, 2: Perspektive und Photogrammetrie. 
1 ; Uebgn, dazu, 3. — Hellinger : Analyt. Géométrie des Raumes, insbes. 
Théorie der Oberflàchen 2. Grades. » : Ausgewàhlte Kapitel ans der Théorie 
der Funktionen reeller Verânderlicher, 1 : Uebgn fur niedere Semester — 
Wegeseb : Allgemeine Astronomie. 1. 



» 2 2 N I i: N /■! T DOC / .1/ /: N 1 S 

Mùnchen ; Universitât. — Lindemann : Differentialrechnung, 5; Th. der 
Abelscben Punktionen, 4 ; Malhem. Gruudlagen des Versicherungswesens, 
2' Seminar. — Voss : Analyt. Géométrie der Ebene, i; Mechanik I, 4; Se- 
minar. — Pringsheim : Elemente der Zahlentheorie, 4 ; Ueber einige neuere 
Methoden and Ergebuisse der Funklionenlehrc, 4. — Brum : Elemente der 
hôheren Malhematik und Grnndziige der darstellenden Géométrie einschliess- 
licl» Uebungen, \. — Dœhi.emann : Darst. Géométrie I. 5; Uebgn dazu, 3; 
Synth. Géométrie, 5. Uebgn. dazu, I. — Hartogs : Elementare Géométrie 
■ 1er Ebene und (les Raumes, \ ; Ergânzungen zur algebr. Analysis, I. — 
v. Seeligek : Grundfrageu dw Astronomie, '« : Astron. Kolloquiuni. — 
Grossmann : Malhematische Géographie, 2. — Sommerfeld : Maxwellsche 
Théorie, Grundlagen und einfachere Teile dersclben, 4. 

Strassburg ; Universitât. — Wkbbh : Dill'.- und [ntegralrechnung ; Die 
part. Diflerenlialgleichungen der malhem. Physik ; Oberseminar. — Schur : 
Analyl. Géométrie i\w Ebene und des Raumes; Ausgew. Kapitel ans der 
l-'larlienliieorie ; Seminar. — Simon : Ebene und sphâr. Trigonométrie; 
Nich teuklidische Géométrie. — Wellsteijj : Anw. dci' Infinitesimalrech- 
nung ; Determinanten ; Seminar. — Epstei.n : Ponriersche Reilien und ver- 
wandte Entwicklungen ; Seminar. — Bualn : Physikalisches Eolloquium. — 
Bausi hinger : Bahnbeslimmung der Planelen und KunieLcn ; Uebgn. da/.n : 
Astron. Beobachtungen. — v. .Mises : Technische Mechanik J: Graph. und 
numerische Metlioden in der Analysis; Seminar in angewandler Mathemalik. 

— Wirtz : Kometen und Météore. 

Stuttgart; Techn. Hochschule. — Haller ; Ebene und sphâr. Trigono- 
métrie, 2, und Uebgn., 2. — Stubler : Niedere Analysis. 4 ; Elemente der 
Dîff.- nnd [ntegralrechnung, 4. — Pabek : Hôhere Malhematik II, 6. mit 
Uebgn., 2; Seminar. — Wôlffing : Punktionentheorie I, 3. — Mebmkb : 
Darst. Géométrie, 4; Veklorenrèchnung, 4; Graph. Reehnen, 3; Seminar. 

— Kommerell : G rundlaycn der Géométrie, 2. — Roth : Schaltenkonslruk- 
(ioneù und Beleuchtuugskunde. i. — Kriemler : Technische Mechanik. 8. — 
v. Hammer : Ausarbeilung geodâtischer Aufhahmen, 2; Praktische Géomé- 
trie (Vermessungskunde) I. .'! ; Kartenprojektionen fur kartographisrhe und 
geodâlische Zwecke, 2 : Grundzùge der hôheren Geodâsie, 2 ; Barometrisches 
Hôhenmessen, 1. — Heer : Geodâtische Uebgn., i. 

Tùbingen ; Universitât. — v. Brill : Einfùhruug in die hôhere Malhema- 
tik. 4; Th. der algebr. Kurven, 3; Seminar. — Maurer : Hôhere Analysis 11 , 
i; Hôhere Algcbra, 3 ; Seminar. — Perron : Niedere Analysis. 4; Darst. 
Géométrie, 3; Uebgn. dazu, 3; Seminar. — Happel : Graphische Statik, 1; 
Uebgn. dazu: YVahrscheinliehkeitsreohnung mit Anwendungen auf die 
malhem. Statistik, 2. — Rosenberg : Bahnbeslimmung von Planelen und 
Kometen, 2; Ausgew. Kapitel aus der Aslrophysik, 1; Uebgn. im astro- 
nomischen Beobachlen, 2. 

Wurzburg : Universitât. ■ — Rosi : Analyt. Géométrie des Raumes. 4; 
Analyt. Géométrie der Ebene, 'i ; Sphâr. Astronomie II, 2 : Politische Arilh- 
metik. 2; Proseminar; Seminar: Astron. Praktikum; Einfuhrung in die 
hôhere Malhematik (fur das Versicherungsfach). — v. Weber : Differeulial- 
recbnung, 'i. mit l ebgn., 2; Einfùhruug in die Vektoranalysis, 2; Seminar. 

— Hilb : Algebr. Kurven, 4; Bestimmte Intégrale, i ; Seminar. — CantOR : 
Elektrizitât und Magne'.ismus, ». 



.v o t /■; s et Dore m /■: x r s \ 23 



SUISSE 

Basel; Univers itàt. — Von der Mrin.i. : Analyt. Mechanik, i, mit l eb., 2. 

— R. Fieter : Dîff. n. (ntegralrecbnung, [., t : Flâchentl "ie, i ; Math. 

Prosem. : Ueb. zur Differentialrechnung, I ; Math. Sem. liber Flâchen- 
tbeorie, 1. — Spiess : Algebra, '■'< : Einfûhrung in d. Itérations- u. Ope- 
rationskalkûl, L; Math. Sem.. I. — Flatt : Projektive Géométrie, 3; 
Pâdagog. Sem., math.-naturw. Abt., [., 3. 

Bern ; Univers itàt. — Graf : Kugelfunktionen m. Repetitor., 3; Bessel- 
sche Funktionen m. Repetitor., 3; Integralrechng. m. Repetitor., 3 ; Differen- 
tialgleichgeo, 2; Funktionentheorie, 2; Renten- u. Versichergsrechng. , 2; 
Mathemat. Semin. in Verbindg. m. Prof. Huber. 1 ï /a'. — On: Algebr. 
Analvsis. II, 2: Integralrechng., 2; Analyt. Georael., Il, 2, Sphar. Trigo- 
nométrie, 2. — G. Huber: Mechanik d. Himmels, 2; F ou ri erse lie Reiheu 
u. Intégrale m. Anwend. a. d. Physik, 3 ; Th. d. Raumkurven u. abwickel- 
baren Flàclien, 2: Mathemat. Sem. (geometr. Richtungj m. Graf, 1. — 
Mauderli : Geogr. Ortsbestimmung, 2; Ueb. dazu ; Einfiihr. i. d. wissenschaftl. 
Rechnen m. bes. Rerûcksicht. d. Bediirfnisse d. prakt. Astronomie, 2. — 
Benteli : Darst. Géométrie : Kurven, Strahlenflâchen, regulâre Polyeder, 
2; Ueb. u. Repetitor., 2: Prakt. Géométrie, I. 1. — Ckeliek : Synth. Géo- 
métrie. II. 2: Mehrdimensionale Géométrie, 2. — Moser : Versicherungs- 
lehre : Krankenversicherung. Mathemat. -versicherungswissensch. Seminar, 
1-2. — Bohre.n : Politisehe Arithmetik. 2; Uie Iavalidenversicherung, 1-2. 

Fribourg ; Université. — Plakcherel : Calcul différentiel et intégral. I, \: 
Equations différentielles, 2. — Daniels : Einleitung in die math. Behand- 
lung der Naturwissenschaften, 2; Hohere Algebra, 3; Funktionentheorie. I, 
3 : Analyt. Mechanik, 2. 

Genève; Université. — Caieler : Calcul différentiel et intégral, 3; Exer- 
cices. 2; Mécanique rationnelle, 3; Exercices, 2; Conférences d'analyse, 2. 

— Fehr : Eléments de mathématiques supérieures, 3; Conférences d'algèbre 
et de géométrie, 1 : Exercices pratiques sur les éléments de mathématiques 
supérieures, 2 ; Géométrie projeclive, 1 ; Séminaire de géométrie supé- 
rieure : Géométrie infinitésimale, 2: Séminaire de mathem. élém., questions 
d'enseignement. — R. Gautier : Astronomie générale, 2. — R. de Saussure : 
Thermodynamique, 2 ; Optique géométrique, 1. — Mikima.noi f : Introduc- 
tion à la th. des ensembles, 1. 

Lausanne; Université. — A.mstein : Cale, différ. et intégr., I, ti : Exerc. 
de cale, I, 1 ; Calcul diff. et intégr.., III, 2; Exerc. de cale, III. 1 : Théor 
des fonct., 3. — Lacombe : Géométrie descript., i; Géométrie anal . 2: 
Epures de géom. descript., 1 ap.-m. ; Géométrie de posit., 3. — Mayor : 
Mécan. rat., I, 'i ; Exerc. de mécan., III, 1; Phys. mathémath.. 2: Statique 
graph., III, 3; Epures de slatiq., III, I ap.-m.; Stat. graph ., V, 2. Epures 
de stat., V. 1 ap.-m. — Maillard : Cal. infinités, avec applicat., 3; Exerc. # 
de cale, 1; Aslron. sphér. : la Terre, le Soleil, 3. — Jagcottet : Chap 
choisis d'algèbre, 1. 

Neuchâtel; Université . — Du Pasquier : Calcul infinitésimal. 3; Th. des 
équat. diff., 2; Géom. project., 2; Science actuarielle, I, Calcul des proba- 
bilités, 2. — Gaberei. : Th. des fonctions analyt., 2. — Le Grand Roi 



BIBLIOGRAPHIE 

Astronomie sphér., 2; Géodésie, 1: Exerc. d'astronomie, 1. — Krebs : 
Exerc. de matbém., 2. 

Zurich; ZIniversitài. — Zermelo : Diff. u. Intégral rechg., 4; Di(f.-glei- 
ohungen, 2: Ueb. t. Vorger, 2; Einf. in dit' Mengenlehrc, 2. — Woi.fer : 
Astronomie, 3 ; Ueb, dazu, 2; Bahnbestimmg. \. Planeten u. Kometen, 2. — 
Weiler : Darstell. Geomet., I., m. Ueb., '» ; Anal y t. Gedm. m. Ueb., 4; 
Malin ni Geogr., 2. — È. Gubler : Algebr. Analysis, 2; Sph. Trigono- 
métrie, J ; Math. Théorie der Pensionsversicherungen, 1. 

Zurich; Ecole polytechnique fédérale, section normale. — Hirsch : Hôh. 
Matbematik, I, 5 : Repel . 1. Uebgn., 2; III, 3; Uebgn.. 1. — Franbl : Ma- 
thématiques supérieures, I. 5: Répét., 1. Exerc, 2; III, 3; Exerc, 1. — 
Geisf.r : Analyt, Géométrie, 4 ; Repel., 1 ; Uebgn., 2. — Grossmann : Darst. 
Géométrie, i : Repet , 1 ; Uebgn.. 4; Géométrie der Lage, 4; Math. Ueb , 2. 
— Kollros : Géométrie descr., 4; Répét., 1; Exerc, 4; Géométrie de 
de position. 3; Mathem. -Uebgn., 2. — Meissner : Mechanik, II, 4; Repet. 
1 ; l'ebgn.. 2. — Hurwitz : Zahlenth., 4. — Hurwitz n. Meissner : Mathem. 
Seminar. — Meissner : Mechanik, III, 4 ; Repet., 1 ; Uebg., 2; Schwingungs- 
probleme, 1 : Elastizitàtsth., 2. — Bjeschlin : Vermessungs-kunde, II, 4; 
Repet., I : Erdmessung, 2. — \Yolfek : Einl. in die Astronomie, 3; Uebgn., 
2-, Th. der Pinsternisse, 2. 

Cours libres. — Bétel: Rechenschieber. 1; Darst. Géométrie, 2; Proj. 
Géométrie, 1 : Perspektive u. Axonometrie. 2. — Dumas : Equat. inté- 
grales, 1. — Keller : Zentralprojektion, 2. — Kienast : Altraktionstlieorie, 
2. — Kraft : Analyt. Mechanik, 3; Yektoranalysis, 3; Geom. Kalkùl, III. 



BIBLIOGRAPHIE 



J. Andrade. — Le Mouvement, mesures de l'étendue et mesures du temps. 
— 1 vol. in-8°, 328 p. cart. à l'angl. (Bibliothèque Scientifique Interna- 
tionale) 6 fr. ; Librairie Félix Alcan. Paris. 

Dans ce livre, la philosophie et la science unies à la technique des me- 
sures de précision du Temps et de l'Etendue rencontrent sur leur route 
commune une méthode toute nouvelle pour assurer demain aux écoles tech- 
niques et professionnelles l'assimilation d'une culture scientifique simple et 
solide fondée sur nue éducation géométrique inductive. Ce livre arrive à sou 
heure ; l'heure où 1 éducation technique commence à pénétrer, quoiqu émise 
discrètement, dans l'enseignement supérieur. Ecrit par un savant qui, fami- 
lier avec la philosophie de la géométrie et de la mécanique, s'est imposé 
une discipline nouvelle pour fonder l'enseignement horloger à l'Université 
de Besançon, cet ouvrage ajoute des résultats intéressants à ceux déjà con- 
tenus dans son livre Chronométrie, publié antérieurement. 

Il fait connaître au grand public, sous une forme maniable, un résumé des 
annales chronométriques de Greenwich. 

Pour la métrologie il résume les travaux de M. Charles Guillaume et, 
pour la géodésie, les exposés du colonel Bourgeois. Enfin, sur les absolus 
de ta mécanique, l'auteur apporte au philosophe des aperçus tout nouveaux. 



/»'//»' /. 10GRA l> II IE 125 

II. Bouasse. — Cours de mathématiques générales spécialement écrit pour 
les physiciens el les ingénieurs, conforme au programme du certificat de 
mathématiques générales, servant d'introduction aux Cours de Mécanique 
et de Physique <1 u même auteur. — 1 vol. gr. in-8" de 646 p. Prix : 20 fr.; 
Cli. Delagrave, Paris, 1911. 

L'infatigable travailleur qu'est M Bonasse, après avoir écrit un Cours de 
Mécanique servant d'introduction à son grand Cours de Physique, nous 
donne maintenant un Cours de Mathématiques qui peut servir d'introduc- 
tion à l'ensemble des œuvres précédentes. C'est à coup sûr- un triomphe 
nouveau pour les idées expérimentales et intuitives, mais la nécessité d'ar- 
river à peu près où l'auteur arrive est si impérieuse que bien des mathéma- 
ticiens ont déjà l'ait des efforts plus ou moins fructueux pour se mettre au 
courant de la Physique et de ses exigences; il leur reste seulement le cha- 
grin |je parle, par exemple, pour moi) de constater qu'ils ne connaîtront 
jamais la Physique aussi bien que M. Bouasse connaît les Mathématiques. 
Mou éminent collègue est donc un peu sévère, en bloc, envers les géomètres 
parmi lesquels beaucoup pensent comme lui. Mais l'intérêt qui s attache à 
ce nouveau volume va certainement porter un coup des plus rudes à ce qui 
peut rester d enseignement pratique par trop rigoriste. 

M. Bouasse délinit la continuité en traçant des lignes, présente la notion 
île fonction sous une couleur analogue et étudie les paraboles et hyperboles 
de degré quelconqne pour illustrer ses définitions. Il y a là déjà des choses 
des plus intéressantes au sujet de la droite et même au sujet de la droite 
particulière passant par l'origine ; celle-ci fournit l'illustration de la règle de 
trois; différents systèmes de droites nous initient aux partages proportion- 
nels ainsi qu'aux règles des mélanges et alliages. Naturellement comme la 
pente d une courbe a été introduite en même temps que la notion de courbe, 
nous pouvons nous servir de la notion de dérivée pour ne pas abandonner 
les polynômes sans parler des racines réelles des équations algébriques et 
de méthodes d'approximation qui permettent de les obtenir. 

Les fonctions circulaires sont, pour M. Bouasse, toutes celles qui ré- 
sultent des constructions géométriques attachées au cercle et telles qu'elles 
reprennent visiblement la même valeur quand un point situé sur le cercle 
parcourt entièrement celui-ci. C'est confondre la fonction périodique avec 
la fonction circulaire, mais cette confusion voulue n'est-elle pas naturelle 
chez un physicien qui sait que tous les phénomènes périodiques s expriment 
en combinant les fonctions circulaires. D'ailleurs 1 auteur se garde bien d'ou- 
blier les fonctions classiques élémentaires-, trace leurs courbes et y joint 
immédiatement des combinaisons telles que les courbes de Lissajous. Enfin 
il termine ce chapitre par les équations transcendantes trigonométriques de 
même qu'il a terminé le précédent par les équations algébriques. 

Et pendant que M. Bouasse lient le cercle el les fondions circulaires, il 
en profite pour nous présenter la cycloïde, les épi et les hypocycloïdes el 
la développante circulaire. Il passe ensuite très sobrement aux sections co- 
niques, mais avec I intention de s'en servir dans d'élégants exemples. Dans 
l'étude des enveloppes, par exemple, il traite de la parabole de sûreté et 
des phénomènes de mirage. El nous possédons bien assez de courbes main- 
tenant pour les faire rouler ou glisser les unes sur les autres, c'est-à-dire 
pour faire de la Géométrie cinématique qui permettra de compléter toule 
l'introduction géométrique qui précède. 

I n parti merveilleux est tiré à coup sûr du calcul intégral. Après les in- 



Ï26 BIBLIOGRAPHIE 

tégralions élémentaires sont étudiés les planimètres et intégraphes divers; 
en passant, les intégrales elliptiques sont signalées d'une manière très 
simple: la (onction logarithmique a toutes ses propriétés déduites de celles 
de 1 hyperbole équilatère. De là on passe facilement aux fonctions hyperbo- 
liques. 

La théorie des quantités complexes est encore présentée d'une ma- 
nière intuitive des plus remarquables ; les procédés d'addition notamment 
sont étendus à la définition des séries à termes complexes. Quant à la notion 
de fonction analytique, elle conduit immédiatement aux transformations iso- 
gonales appliquées à de nombreux exemples. 

Les séries en général ont leurs règles de convergence exposées à 1 aide 
de schémas géométriques : je passe sur les séries trigouométriques car il 
est bien évident que nul ne sait mieux qu'un physicien comment on doit les 
manier en pratique, mais je signale, avec un vif intérêt, les séries asympto- 
tiques qui semblent converger dans leurs premiers termes tout en étant, au 
tond, divergentes. On a beaucoup exagéré les difficultés inhérentes à 1 étude 
de ces séries lorsqu'on a reconnu que celles de la Mécanique céleste étaient 
de cette nature et, à coup sûr, celles de la Mécanique céleste sont d'une 
étude difficile, mais M. Bouasse, avec les intégrales de Fresnel et la diffrac- 
tion, nous montre précisément des questions fort simples qui y conduisent. 

Dans les équations différentielles une grande importance est attachée au 
facteur intégrant qui conduit à l'entropie en Thermodynamique. L intégra- 
tion au moyen de séries a été également envisagée dans ses traits essentiels. 
Viennent ensuite les intégrales définies simples, doubles ou triples, puis les 
fonctions eulériennes. 

Et, dans tout cela, nous ne sommes point sortis de lespace à deux dimen- 
sions. En géométrie à trois dimensions, je signalerai surtout l'usage des 
transformations simples, notamment de la perspective, pour simplifier 
l'étude de nombreuses figures: l'usage de surfaces élémentaires, telles que 
le tore, pour obtenir, par section plane, des courbes qui, définies dans leur 
plan, seraient relativement compliquées; l'applicabilité des surfaces les unes 
sur les autres et le problème des cartes géographiques. 

Les courbes gauches sont naturellement présentées avec les surfaces dé- 
veloppables, ces dernières donnant lieu à la considération des surfaces 
d égale pente, des remblais, des cônes d éboulis. Avec les courbes tracées 
sur le cône nous retrouvons la loxodromie conique dont j'avais déjà signalé 
la curieuse génération physique en analysant ici même (1910, p. 73) le 
tome VI du Cours de Physique. 

Avant d aborder les surfaces réglées, M. Bouasse définit d'une manière 
générale les eusembles de droites, complexes et congruences : dans la 
courbure des surfaces il étudie élégamment les surfaces de révolution et, 
cherchant celles dont la courbure moyenne est constante, il trouve pour mé- 
ridiens les trajectoires de foyers de coniques roulant sur une droite. Comme 
surface bien peu connue des géomètres, il faut signaler le cône sphérique 
obtenu en supprimant un fuseau dans une sphère élastique et en rappro- 
chant les deux méridiens formant les bords de la lacune. Le nouveau méri- 
dien dépend très élégamment d'une intégrale elliptique de seconde espèce. 

L'Ouvrage se termine par l'élude des flux et de la circulation des vec- 
teurs puis par quelques généralités sur les équations aux dérivées partielles 
de la Physique. Le passage de l'intégrale triple d'une divergence à un flux 
superficiel Fermé formule de Green) et d'un (lux superficiel ouvert à une 



in m. i <> i, ha p un: 127 

circulation (formule de Stokes Boni présentés avec la simplicité qui caracr 
térise «les idenl ités. 

Quanl aux équations de La Physique, elles sont linéaires; comme dans 
toute son électroptique, M Bouasse montre surtout l'importance el la sim- 
plicité des solutions exponentielles auxquelles correspondent les ondes 
planes. 

Enfin un dernier chapitre esl consacré aux exercices pratiques. et aux ma- 
nipulations. C'est dans celui-là que l'auteur plaisante légèrement les mathé- 
maticiens. Il est certain que l'invention de la Physique mathématique ne 
semble pas avoir rapproché beaucoup géomètres el physiciens. Mais tout 
n'est pas dit et une sorte de Mathématique physique est en train de se 
créer; M. Bouasse aura laii beaucoup pour cela. Je crois très sincèrement 
que ce volume esl appelé à un grand succès: par-ci par-là quelques petites 
critiques de détail sont possibles mais, en de tels endroits, les corrections 
seraient aisées et. par suite, l'esprit du livre, l'effort qu'il représente vers 
l'utilité ei la compréhensibilité sont choses destinées à demeurer solide- 
ment. A. Bi in. |Toulouse|. 

L. Creui h. — Systèmes cinématiques. — 1 vol. cart. in-S». de la Collection 
Scientia, 100 p., 13 fig. et un portrait du colonel Mannheim; 2 fr. ; Gau- 
thicr-Yillars, Paris. 

Ce nouveau volume de la Collection Scientia contient l'étude géométrique 
des formes simples qui sont à la base des mécanismes cinématiques. L'au- 
teur s'est borné aux types les plus importants et les plus intéressants au 
point de vue géométrique ; ce sont les suivants : Système conchoïdal. — 
Système du cappa. — Système strophoïdal simple. — Système conchoïdal 
circulaire. — Système à deux ornières fixes. — Système bielle-manivelle. 

Chacun de ces systèmes est étudié, par la méthode de la Géométrie ana- 
lytique, dans ses principaux problèmes concernant les enveloppes, les tra- 
jectoires, les développantes, etc. 

M. Crelier a été bien inspiré en plaçant en tête de cette intéressante mo- 
nographie le portrait du colonel Mannheim, dont les Principes et développe- 
ments de Géométrie cinématique contiennent les fondements des recherches 
sur les systèmes cinématiques. Ce petit volume engagera plus d'un lecteur 
à lire le bel Ouvrage du savant géomètre français. 

F. K.nkiqles. — Fragen der Elementargeometrie. I Teil : Die Grun'dlagen 
der Géométrie. Deutsche Ausgabe von H. Thieme. — 1 vol. in-8, 
X-366 p. ; 10 M.; 15 G. Teubner, Leipzig. 

Sous le titre de Questions de géométrie élémentaire, M. Enriques a réuni 
une série d'articles, dûs à divers géomètres italiens, et étudiant d'une 
manière élémentaire les' principales questions des fondements de la 
géométrie et des constructions géométriques. L'ouvrage est déjà bien connu 
par le second volume, consacre aux constructions et publié en 19117. 

Le tome 1, qui vient de paraître, est consacré aux questions très délicates 
des fondements de la géométrie. M. Enriques examine d'abord le côté 
philosophique des questions qui se rattachent aux fondements de la géométrie 
et lait ensuite d intéressantes remarques quant à renseignement de la 
géomét rie. 

Puis viennent les chapitres suivants : 



428 BIBLIOGRAPHIE 

Les notions (le droite el de plan par M. U. A.maldi (Modène). 

Congrnence ot mouvement, par A. Gtjarducci (Prato). 

Sur l'application des postulats de la continuité en géométrie élémentaire, 
par G. Yitai.i (Gênes). 

Sur la théorie de l'équivalence (égalité), par U. A.maldi. 

Les proportions, I d'après Euclide ; II nouveaux développements, par 
G. Vaii ATI. 

Sur la théorie des parallèles et sur la géométrie non-euclidienne, par 
R. Bonola . cette étude comprend : 

I. Histoire des recherches sur les parallèles. La géométrie non-eucli- 
dienne : al directions métrique et différentielle; b) direction projective. 

II. Théorie générale des parallèles. Géométrie hyperbolique. Géométrie 
elliptique. 

On voit par cette rapide énumération l'esprit dans lequel est conçu cet 
cuivrage qui s'adresse, comme on le voit, aux professeurs de renseignement 
secondaire supérieur et aux étudiants en mathématiques. Au moment où 
l'on tend à créer ou à développer dans l'enseignement universitaire des cours 
et des séminaires spécialement consacrés aux questions de mathématiques 
élémentaires envisagées à un point de vue supérieur, l'ouvrage de M. En- 
riques est appelé à rendre de grands services. H. F. 

G. Hf.kting. — Von Strecke, Quadrat und Wûrfel zum bestimmten In- 
tégral zum Gebrauche in den oberen Klassen unserer Miltelschulen und 
beim Selbstunterrichte. — 1 vol. in-8 u ; 2 M. 80; B.-G. Teubner, Leipzig. 

L'auteur s est préoccupé d'introduire la notion d'intégrale définie dans 
les classes supérieures -de l'enseignement secondaire. Il part pour cela de 
divers problèmes de géométrie élémentaire, mesure des longueurs, des 
surfaces et des volumes et il les traite par la méthodes des limites. Puis 
vient la notion d'intégrale comme limite de sommations, le calcul de quel- 
ques intégrales définies suivi d'applications nombreuses et bien choisies. 

Le livre répond bien à son but et pourra être employé utilement. Il con- 
tient cependant quelques lacunes. La notion de limite devrait être mieux 
précisée; il est inutile de parler de grandeurs qui tendent vers une limite 
sans l'atteindre. En plusieurs endroits, l'auteur aurait pu, par un mot, par 
une phrase, par la substitution de lim 1 à 2. obtenir plus de rigueur sans 
faire de tort à l'exposition. M. Planchf.rel (Genève). 

Adolf Kneser. — Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der 
mathematischen Physik, Vorlesungen an der Universitat zu Breslau. 
— 1 vol. 8°, 243 p. ; 6 M.; Yieweg und Sohn. Braunschweig. 

Pour caractériser le plan du livre et le but de 1 auteur, citons quelques 
lignes de la préface : « ... Les mathématiciens se sont dernièrement occupés 
de développer la théorie générale des équations intégrales, en particulier 
les analogies algébriques de cette théorie. Si intéressantes que puissent être 
ces recherches, il me semble pourtant que les applications qui ont servi de 
point de départ à la découverte de Fredholm ont été trop peu mises en lu- 
mière. En tout cas, il n'est pas facile au mathématicien non spécialiste el 
au physicien de pouvoir, à l'aide des publications existantes, pénétrer jus- 
qu aux applications particulières, qui sont pourtant, pour toute théorie du- 
rable, la pierre de touche de sa valeur. Je crois donc être utile à la science 



/>'//»' LIO <; li .1 PHI i: 429 

en publiant cri ouvrage, qui pari entièrement «les applications, conduction 
delà chaleur, oscillations libres el forcées, théorie du potentiel. Chaque 
problème y est traité individuellement avec le minimum de théorie générale. 
Je puis montrer ainsi ce que la oouvelle théorie apporte d inédit et en quoi 
elle est parallèle aux anciennes méthodes. Par une telle disposition, j es- 
père non seulement inciter les jeunes mathématiciens à un travail fructueux 
sur des problèmes concrets, mais encore déterminer les physiciens à essayer 
et appliquer cette nouvelle théorie. » Voici, d'autre part, la table des ma- 
tières du livre : 

1. Equations intégrales et conduction de la chaleur. 2. Equations inté- 
grales et oscillations des systèmes linéaires de masses. '3. Equations inté- 
grales et théorie de Sturm-Liou ville, 'i. Conduction de la chaleur et oscil- 
lations dans les domaines à deux et à trois dimensions. .">. Théorèmes d'exis- 
tence et problème de Dirichlet. •>. Les séries de Kredholm. 

Le livre de M. Kneser ne fait donc pas double emploi avec le tract de 
M. Bûcher sur le même sujet, récemment analysé dans cette Revue. On re- 
marquera ([lie la théorie de Fredholm passe à l'arrière-plan et que M. Kneser' 
s'arrête sutout aux méthodes de Schmidt et de Hilbert. In inconvénient du 
livre, inévitable parle fait même du plan, c'est que la théorie proprement dite 
des équations intégrales est un peu noyée dans le riche contenu d'applica- 
tions que le livre renferme. Ajoutons encore que l'ouvrage n'exige pas de 
connaissances spéciales pour sa lecture. Il forme en particulier, pour le phy- 
sicien, un utile complément à l'ouvrage de M. H. Weber : Partielle Diffe- 
rentialgleichungen der mathematischen Physik. 

M. Plan'chkrel (Genèvel. 

G. Lazzkri und A. Bassani. — Elemente der Géométrie (Unter Verschmel- 
zung von ebeuer und raumlicher Géométrie). — Aus dem Ilalienischen 
ùbersetzt von P. Treutlei.w — 1 vol. in-8°, XYI-'i9I p.; 14 M.; B. G. 
Teubner, Leipzig. 

Cet Ouvrage contient les éléments de Géométrie expos4s d'après la mé- 
thode de la fusion de la planimétrie et de la stéréométrie. Nos lecteurs 
connaissent le principe de celle méthode qui a été défendue dans cette Revue 
par l'un des principaux fondateurs, Ch. Mi haï. La première édition de son 
traité remonte à 1874, tandis que le premier ouvrage italien, établi sur des 
bases différentes, a été publié par- de Paolis en 188t. 

Le présent Ouvrage se rattache dans ses grandes lignes à l'ordre tracé 
par de Paolis. Les auteurs ont expérimenté leur méthode depuis plus de 
vingt ans à 1 Académie Militaire de Livotirne. Ils ont publié une première 
édition en 1891; cette traduction a été faite principalement d'après la 
deuxième édition ; elle a été rédigée avec beaucoup de soin par un géo- 
mètre allemand qui a une grande expérience de l'enseignement, M. le pro- 
fesseur Treutlein (Carlsruhe). 

Indiquons brièvement le contenu du volume. Les matières sont réparties 
sur cinq livres : 

I. — Les ligures géométriques. Droite et plan. Segment de droite, angle, 
dièdre. — Notions fondamentales concernant la circonférence et la sphère. 
Parallélisme de droites et de plans. — Perpendicularilé de droites et de 
plans. — Lieux géométriques. 

II. — Polygones, angles polyèdres; cas d'égalité. — Polyèdres. — 
Lieux géométriques. 

I. 'Enseignement mnthém., 13* année; 1911 28 



430 BIBLIOGRAPHIE 

III. — Propriétés coucernanl les droites, les plans et les sphères. — Po- 
lygones inscrits dans une circonférence; polyèdres inscrits dans une sphère. 
— Inversion. — Corps de révolution : oônes et cylindres. 

IV. — Equivalence des figures. 

V. — Proportionnalité. — Similitude. Applications. 

L'Ouvrage contient 336 figures d'une exécution irréprochable et se ter- 
mine par une collection de plus de mille exercices : théorèmes à démontrer; 
les lieux géométriques et problèmes. 

R. de Montessus et K. dAdhémar. — Calcul numérique. (Opérations arith- 
métiques et algébriques, Intégration). — 1 vol. gr. in. 18. 250 p. ; 5 fr. ; 
O. Doin cM fils, Paris. 

Ce nouveau volume de la collection de I Encyclopédie scientifique traite du 

Calcul numérique, tandis cpie dans un autre volume, que nous avons annoncé 
en niai, on étudie plus spécialement le Calcul mécanique. L'Ouvrage est 
divisé en deux parties : 

La première partie traite des opérations arithmétiques, abrégéeset surtout 
du calcul pratique des racines des équations tant algébriques que transcen- 
dantes Tous les procédés de calcul des racines sont exposés et des appli- 
cations numériques nombreuses illustrent les méthodes. Les principes du 
calcul des différences terminent cette partie. 

Dans la seconde partie, Ton trouvera une théorie des Intégrales et des 
Equations différentielles et aux Dérivées partielles, avec applications numé- 
riques. et des applications de la méthode des approximations successives aux 
fonctions implicites et aux équations. 

?\'iels Nielskn. — Théorie des fonctions métasphériques professée à l'Uni- 
versité de Copenhague. — 1 vol. in-4° de YII-212 p. Prix : 12 fr. ; Gau- 
thier-Villars. Paris. 1911. 

Ce beau volume présente sous le nom de fonctions métasphériques, sinon 
des fonctions absolument nouvelles, du moins des fonctions qui permettent 
de présenter sous un jour nouveau les fonctions hypergéométriques. On 
connaît les recherches et les volumes déjà publiés par M. Nielsen sur les 
fonctions cylindriques et sphériques. Or on peut conclure de là, sans aller 
d'abord jusqu'à la généralité de la série hypergéométrique, les fonctions 
qu'étudie l'auteur, lesquelles, combinées avec les fonctions eulériennes, per- 
mettent d'obtenir finalement tout ce que la série hypergéométrique a donné 
de pratique. Ce nouveau point de vue parait fécond en résultats élégants. 

Ainsi les nouveaux développements obtenus convergent dans des régions 
du champ complexe limitées par des courbes simples dont les premières 
turent entrevues par Charles Neumann et étaient des ellipses à foyers fixes. 

L'intérêt du volume saute facilement aux yeux car on y trouve un grand 
nombre de résultats définitifs représentés par de nouveaux développements, 
des généralisations d'intégrales classiques, de formules dues à Gauss et à 
Dirichlet. Quand les fonctions étudiées sont considérées comme fonctions de 
deux variables, à savoir la variable ordinaire x et un paramètre a qui 
figure dans les coefficients de l'équation différentielle qui les défiuit, elles 
satisfont à une équation aux dérivées partielles en x et en a, d'où des con- 
sidérations analogues à celles de la théorie des fonctions modulaires. 

Enfin le volume se sullit à lui-même; l'auteur y a placé quelques chapitres 



i: 1 1; l fOG RA l> Il 1 1. '.:;! 

d'introduction où il reprend notamment, avec une concision remarquable, 
la théorie des Fonctions eulériennes. Il ne me semble pas exagéré de dire 

qu'on pourrait recommander s itude même à qui ignorerail la série hy- 

pergéométrlque : M. Nielsen conduirait sans doute le lecteur vers cette fonc- 
tion, ses cas particuliers el ses applications avec un efforl relativement 
faible. A. Buhl (Toulouse). 

Andréas Voigt. — Théorie der Zahlenreihen und der Reihengleichungen. 
— I vol. gr. in-8° de VIII-136 p.; '■ M.; G.-J. Gôschen, Leipzig. 

Ce volume offre un 1res intéressant essai dé synthèse. L'auteur remarque 
avec raison qu'en mathématiques on considère beaucoup plus fréquemment 
que les nombres isolés, des ensembles de nombres satisfaisant ions à une 
même définition, ayant ions une même propriété. C'est d'ailleurs là l'idée 
fondamentale de la théorie des ensembles: Les ensembles arithmétiques ici 
considérés sont, en premier lieu, ceux qui résultent d'une suite d'entiers 



puis d'une seconde suite 



10 ° i i ° . i u i- • i • ■ • 

ou e_— »• + <■' -(-••• + '" . • <i laquelle on peut adjoindre une troisième 

suite par une définition analogue pour continuer ainsi indéfiniment. Une 
telle définition fait penser au triangle de Pascal et il s'agit bien, eu effet, de 
quelque chose d'analogue mais de plus général. D'ailleurs les propriétés du 
binôme, ainsi que celles des coefficients de séries plus générales, sont re- 
trouvées ensuite comme cas particulier des propriétés des tableaux à deux 
dimensions définies en premier lieu. 

Après celte première partie nous rencontrons un problème plus profond 
et qu'on peut taire saisir au moyen d'une comparaison simple. La suite des 
nombres entiers étant définie, nous y intercalons des nombres fractionnaires 
fort distincts des premiers mais qu'on doit cependant relier avec eux. Or 
dans les séries de nombres construites dans la première partie de l'ouvrage, 
ne peut-on introduire d'autres nombres qui, en vertu de certaines conven- 
tions, pourront jouir de certaines propriétés des nombres primitifs .' 

Je ne suis pas absolument sur que de telles préoccupations soient tou- 
jours aussi originales que 1 auteur parait le croire, mais la contribution 
qu'il apporte à de telles idées justifie amplement la publication de cette 
œuvre aux notations élégantes, où bien des problèmes épars soûl rassem- 
blés d'une manière systématique. A. Buhl (Toulouse). 

J.-W. Yoi.ng. — Lectures on Fundamental Concepts of Algebra and Geo- 
metry. Prepared for publication with the coopération of W.-W. Denton. 
W'iili a Note on the growth of algebraic symbolism by l .-G. Mitchell. 
-■ 1 vol. iu-8°, 2i7 p. : 1 s. 6 d. ; Mac Millan & C ■. New- York. 

L'auteur a réuni dans ce volume 21 conférences qu'il a laites à l'Univer- 
sité de l'Illinois pendant l'été 1909. ('.es études, présentées d'une manière 
tri s claire, seront lues avec intérêt par tous ceux qui se préoccupent de la 
question des principes fondamentaux de l'algèbre et de la géométrie. Biles 



,:;-j BIBL/OGRA P II I F. 

sont données sous une forme élémentaire en ee sens qu elles ne supposent 
chez le lecteur que îles connaissances mathématiques relativement restreintes. 

Par science mathématique M. Young entend : « Toute série de théorèmes 
tels que chacun des termes de la série, à partir d'un certain rang, soit nue 
conséquence logique tonnelle d'un ou plusieurs des théorèmes qui le pré- 
cèdent. ■ Cela nécessite à la hase l'adoption d un certain nombre de termes 
non définis ei de quelques théorèmes non démontrés (axiomes ou postulats). 
La conception des géométries non-euclidiennes en découle tout naturelle- 
ment, et à ce sujet M. Young reprend et développe la représentation d'un 
monde non-euclidien de M Poincaré. 11 en arrive ainsi à démontrer que la 
connaissance intuitive n'esl pas suffisante pour caractériser avec précision 
le sens à attacher aux propriétés liées aux conceptions abstraites fonda- 
mentales de la géométrie et plus spécialement au postulat des parallèles 
d'Euclide L'historique de ce postulat établit qu il ne semble pas avoir sa- 
tisfait Euclide lui-même au même titre que ses autres postulats. 

Ce n est cependant qu'au XVIII e siècle que la question a été sérieusement 
reprise avec Sacclieri. puis Gauss et surtout Lobatschewski et Bolyai. Se- 
lon M. Vomis;, le choix des théorèmes pouvant èlre considérés comme des 
axiomes n'a rien de définitif; il passe en revue les définitions de quelques 
philosophes tels que Kanl et Mill Ensuite, partant de deux termes non dé- 
finis et de l'expression de sept principes, il en déduit d'une manière logique 
de nouveaux principes et démontre qu ils satisfont aux conditions néces- 
saires de conséquence, indépendance et catégorisme, dont il a donné la défi- 
nition ; il conclut que « aucun terme ne doit être explicitement défini s il ne 
peut 1 être en termes représentant des idées notablement plus simples que 
le terme à définir. » 

Celte première partie met en lumière le fait que la signification générale- 
ment attachée à des principes fondamentaux tels que la distance et la droite 
manque de précision, et que les axiomes et postulats de la géométrie ne 
peuvent être acceptés comme des vérités évidentes par elles-mêmes. Suit 
une discussion serrée des divers principes fondamentaux des mathématiques 
en commençant par celui de classe qui amène, sans nouvelle supposition, 
aux nombres cardinaux, puis aux classes finies et infinies. Les éléments 
d'une classe sont susceptibles, soit de certaines relations, soit de certaines 
opérations au moyen desquelles on peut les caractériser. A la catégorie des 
relations appartient entre antres I ordre. Pour chaque nouvelle propriété 
l'auteur vérifie qu elle satisfait aux conditions de conséquence, indépendance 
et catégorisme déjà établies. A la notion de classe considérée comme notion 
fondamentale par elle-même est adjointe la notion de classe dans ses rap- 
ports avec la relation d'ordre, puis avec la notion d'opération, ce qui amène ;i 
la notion de groupe qui est, après celle de classe et de correspondance, l'une 
des plus importantes parmi les principes fondamentaux des mathématiques. 

Trois chapitres sont consacrés à l'étude historique et logique de la notion 
de nombre ; d'abord réel, positif, entier puis fractionnaire, irrationnel là ce 
sujet l'auteur rappelle le postulat de Dedekind), enfin le nombre négatif et 
le nombre complexe. 

Quoiqu'il soit fait mention de ces nombres à des périodes assez reculées, 
le nombre négatif, par exemple, se rencontre déjà dans l'ouvrage hindou de 
Bhaskara en 1150 av. J.-C ce n'est guère qu'au commencement du XIX e 
siècle que la vraie nature de ces nombres a été reconnue et que leur théorie 
a été placée sur une base strictement logique. L'application de la notion de 



/!//</. 10GRA PH1E 133 

nombre aux diverses opérations conduit l'auteur à l'interprétation géomé- 
trique, t'analyse veetorielle el les quaternions. 

Dans son \'.\ e chapitre, M. Young abandonne l'algèbre pour s'occuper plus 
spécialement des principes à la base de La géométrie en se limitant à ce qui 
concerne la déduction logique 'les théorèmes de géométrie euclidienne, sans 
appel à l'intuition. La différence et les rapports entre la géométrie pro- 
ieclive el la géométrie métrique sont illustrés par le théorème de Desargues. 

L'auteur estime que les groupes de principes fondamentaux répondant le 
mieux aux exigences «le l'instruction élémentaire sont ceux de M. Hilbert el 
«le M. Pieri. 

M. Hilbert se base sur nue classe d éléments non définis, les points, et ce 
que l'on peut considérer comme des sons-classes de celle-ci. les droites et 
les plans. Il divise son groupe de principes en cinq sous-séries, l'aligne- 
ment, la rongriienre. l'axiome îles parallèles el la continuité. 

M. Pieri a comme seuls termes non définis La notiou de point el celle de 
déplacement rigide; il en déduit la définition de la droite, du plan, etc 

Les postulats sur Lesquels M. Young base son étude de l'espace à quatre 
dimensions sont choisis de telle sorte que l'espace à trois dimensions de la 
géométrie ordinaire n'en est qu'un cas particulier. 

Reprenant l'étude de l'a géométrie et de l'algèbre à la lumière des résul- 
tats obtenus, l'auteur conclut que, du point de vue abstrait formel où il se 
place, les principes constituant l'algèbre ordinaire et la géométrie métrique 
ordinaire coïncident absolument, Tune contient l'autre. Les notions de va- 
riable, de fonction, de limite se déduisent également de ces principes fon- 
damentaux, ainsi que la notion d'infini. 

Le volume se termine par une intéressante notice historique de M..L. - 
G. Mitchell sur le développement du symbolisme algébrique. 

R. Masso.n (Genève). 



L. Zoketti. — Leçons sur le prolongement analytique professées au Col- 
lège de France. — 1 vol. gr. in-8° de VI-116 p. ; 3 fr. 50; Gauthier- Villars, 

Paris. 

Ces leçons sur le prolongement analytique attachent une importance ex- 
clusive à la position du problème; elles en signalent les- difficultés, étudient 
leur nature et ouvrent de vastes horizons aux chercheurs. La classification 
des fonctions analytiques, la possibilité de leur prolongement dépendant de 
l'ensemble de leurs singularités, l'auteur a commencé par rappeler les par- 
ties les plus essentielles de la théorie des ensembles. Son objet principal 
est d'attaquer l'étude des fonctions multiformes en suivant surtout MM. 
Poincaré et Painlevé. Au fond, c'est l'élude des équations différentielles qui 
a inspire- ces deux éminents géomètres. Le premier a construit ses fameuses 
fonctions fuchsiennes qui sont encore des fonctions présentant des propriétés 
exactes plus ou moins comparables à la périodicité, le second a entrepris 
l'étude d'équations différentielles sans se soucier de savoir d'avance si les 
intégrales présenteraient ou non une régularité quelconque et, cependant, 
ils se sont rejoints, en quelque sorte, ce qui semble prouver que. quelque 
compliqué que soit l'écheveau des singularités d'une fonction analytique. 
h> tentatives de classification ne sont pas menacées d'un éternel échec. 

M. Zoretti parait essayer de réunir surtout les bases de toutes ces re- 
cherches; par instant on aimerait trouver plus de résultats acquis, mais 



S 34 BU I. I. E I l N B / /»' I. I G h A P H I Q U E 

enfin il l'ait voir le bul qu'il dit, lui-même, s'être proposé, relui d'amorcer 
les questions. A ce point «le vue le livre sera loin de manquer d'utilité. 

Ces) une apologie «le pins pour le système de Weierstrass ; les apolo- 
gistes sont moins nombreux pour Caucby et Rieraann dont les méthodes ne 
permettent pas d'aller aussi loin sans calculs. Et les travaux que M. Zoretti 
expose <t développe donnent un peu l'impression d'une analyse sans calculs. 
J>- conseillerai volontiers une réaction contre cette tendance, mais ceci ne 
saurait être une critique: calcules ou non, bien des résultats sont dus à 
M. Zoretti lui-même et, pour ceux-ci, il est le premier à demander des 
perfectionnements qu'il obtiendra sans doute ou qne son livre suggérera à 
d'autres chercheurs. A. Buhl (Toulouse). 



B ULLETIN B1J3LI0GRAFIII Q U E 



1. Publications périodiques: 

Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftiiehen Unterricht, 
lierausgegeben von Dr. H. Schottek. — B. G. Teubner, Leipzig. 

Jahrgaug 'i2. (1911). — N° 1. — H. E. Timerding : Fiir und wider die 
Dreieckskonstruktionen. — Franz Redl : Einfacher Beweis des Gaussschen 
Satzes vont ebenen Vierseit. Eine neue Winkelbalbierung. 

N° 2. — K. Wolletz : Uber Système von Kegelsuhnitten mit einem ge- 
meinschafllichen Brennpunkt. — Kakl Brucher : Anschauung in der Arith- 
inetik. — J. Thiede : Cher eine propàdeutische Behandlung der BegrilTe der 
Funktion und des Differenlialquotienten iu der Gymnasialprima. — W. 
Lietzmann : Max Schusler j. 

N0.3. _ H. G. Teubner, 1811-1911. Festschrift von Félix Mullek : Der 
mathematische Slernenhimmeldes Jahres 1811. Rûckblicke au! die Matbema- 
tik vor bundert Jahren. — Eckiiardt : Die Gleiehungeu der gemeinsamen 
Tangenten an zwei Kreise. — J. Hei.nrichs : Aui'gabe : Dreiecke mit ganz- 
zahligen Seiteu anzugeben, so dass a = «fJ + y wird, — J. E. Bôtycher : 
Leicht lesbarer Dauerkalcnder. — A. Witting : Einige Beweise elementarer 
planimetrischer Sàtze. 

N° 4. — B. Hoffmann : Die mathematische Erd- und Himmelskunde in 
Frima — - A. Schulke : [nlegralrochnung im L uterricht. — P. Zuhlke : 
Uber den Unterricht in der darslellenden Géométrie. — H. Pfaff : Uber 
Fokalkurven. — Dr. Friedrich von Muli.er : Welche Mittelschulvorbildung 
ist fur das Studium der Medizin wûnschenswerl ? 

N° ."J. — Karl Heinricii Mlller : Traugoll Millier und sein Einfluss auf 
die Méthode des mathematischen Uuterrichts iu der erslen llalt'te des l l J. 
Jahrhunderts. — E. Eckharut : Neue formen Fur den ersten sphârischen 
Kosinussatz und ihre Benutzung zur Ableitung aller Formeln der sphâri- 
schen Trigonométrie. — Dr. Diesing : Zur Dreileilung des Wiukels. — 
Dr- Du sikg : Elementare Konstruktion der Parabel ans 1 Punkten Ai A2 As A4 
— Karl Ladehann : Figuren von konslanter Breile. — Josef Schlesingeb : 
Beitrag zur Lehre von der Proportionalitat der Linien. Ein Beispiel von 
Grenzbelrachtung. 



H U I. I. /■: T I N H I n I. I OG li A P Il IQV E 135 

M» ti — II. Sciiottk.n : Friedrich Piet/ker itnil einem Bild ni s Fr. Pietzkers). 
— H. Fischer : Aufgaben ans der analytischen Géométrie der Ebene, in de- 
iicu die Quadratwupzeln aufgeben. — Stillcke Matemalische o Extra- 
touren ». — Dr. W. Lu rzMANM : Berichl iiber die Taligkeil des Deutscheo 
Ausschusses fur <lt>M mathematischen und aaturwissenschaftlichen Unterrichl 
ini Jahre 1910. — Literarische Berichte. — Sprechsaal. — Versammluugen. 

N° 8 7 et 8. — C. Hoffmann : Die Begleitkurve iler Zissoide. — I'. Johan- 
nessom ; Eine Bemerkung uber pb'ysikalisches Rechnen. — II. Wieleitkeb 
Zui- Methodik dos Satzes von der Potenz am Kreise and der Aehnlichkeits- 
lehre. 

American Journal of Mathematics, edited by Fr. Morley, Baltimore. 

Vol. X.WIII. n oa 1 el 2. — J. Eiesland : On a class of cubic surfaces 
with curves i>f t lie same species. — A. -H. Wilson : ïhe automorphic trans- 
formations of the binary quartic. — N.-J. Lennes : Theorems on the simple 
linite polygon and polyhedron. — F.-R. Moulton and YV.-I) M.\< mm.lan : 
On tbe solutions of certain types of linear differential équations with pe- 
riodic coefficients. — Ch.-H. Sisam : On Three-Spreads Satisfyng Four or 
More Homogeneous Linear Partial Differential Equations of the Second 
Order. — C.-L.-E. Mookk : Some properties of Lines in Space of Pour Di- 
mensions and their Interprétation in the Geometry of the Circle in Space of 
Three Dimensions. — G. -P. Gindfli i.xger : On the Geometry of Lino Elé- 
ments in the Plane with Heference to Osculating Circles. — L.-E. Dickson: 
Bina ri Modular Groups and llieir Invariants. — Ed. Kasner : The Group of 
Tunis and Slides and the Geometry of Turbines. 

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. — 3 me série. Tome I. 
Gauthier-Villars, "Paris. 

Fasc. 2, 3 et i. — E. Goursat : Sur un procédé alterné. — W. Stekloff: 
Sur le mouvement d'un corps solide ayant une cavité de forme ellipsoïdale 
remplie par un liquide incompressible et suc les variations des latitudes. — 
D. Hilbert : Théorie des Corps de nombres algébriques, traduit par 
A. Lévy. — H. Dllac : Sur les points singuliers d'une équation différen- 
tielle. — P. Caubet : Etude des principales inégalités du mouvement de la 
lune qui dépendent de l inclinaison 

!£. Livres nouveaux : 

Ch. Pioche. — Enseignement secondaire. I Rapports de la sous-commission 
française, vol. II). — 1 vol. in-S, 1Ô7 p. ; i fr. ; Hachette et C ie . Paris. 

D 1 K. Brandenbfrger. — Der mathematische Unterricht an den Schwei- 
zerischen Gymnasien und Realschulen. — I fasc. in-8, 163 p.; 'i fr. ■"> • 

Georg èx C ic \ Genève. 

t: Cailler. — Sur la notion de courbure et sur quelques points de 
géométrie infinitésimale non-euclidienne. — l. fasc. in-4, 60 p.; 5 fr. ; 
(Extrail des Mém. delà Soc. de Phys. de Genève). Georg & C ie . Genève 
G. Fischbacher, Paris. 

Robert Gkigel. — Die Wârme. (Bûcher der Naturwissenschaft herausge- 
geben von Prof. D r S. Gûntheb). — 1 vol. in-16. 191 p. : 1 Mk. : Philipp Re- 
clam, Leipzig. 



436 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

M. Grosshann. — Der mathematische Unterricht an der Eidgenôssischen 
Technischen Hochschule. -- 1 Fasc. 52 p. ; 2 fr ; Georg & (>. Genève. 

Aii. Guloberg el G. Wali.knbirg. — Théorie der linearen Differenzen- 
gleichungen. — l vol. in-8. 288 p.; 11 M. ; B G. Teubner, Leipzig. 

F.-W. Manchester. — Aerodynamik, Ein Gesamtwerk ùber das Fliegen. 
Deutsche Ausgabe von C. u. A. Runge. Band II : Àeredonetik — 1 vol. 
in-8. :i27 p . 12 M. ; B. G. Teubner. Leipzig. 

Gerha.ro Kowalewski. — Die komplexen Verànderlichen und ihre Funk- 

lioneil. — 1 vol in-8, i53 p.; prix 13 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

YVilhelm Lorey. — Staatsprùf ung und praktische Ausbildung der 
Mathematiker au den hôheren Scbulen in Preussen und einigen IN'ord- 
deutschen Staaten. — 1 fasc. in-8, 118 p. , 3.20 M. ; B. G. Teubner, Leipzig. 

H Mandart. — Leçons de Géométrie analytique à deux dimensions à 
l'usage de l'enseignement moyen. — 1 vol. in-8, 333 p,, \\ esmad-Charlier, 
.\a mur. 

Jean Renard. — La Pédagogie à l'Université. Formation des professeurs 
d'alliénée et spécialement des professeurs de mathématiques. — 1 vol. in-8. 
102 p. ; H. Dessain, Liège. 

J.-A. Serret et G. Scheffers. — Lehrbuch der Differential und Intégral 
Rechnung. Band II, iî e u. 5 tc Auflage. — 1 vol. in-8, 638 p.; 13 M.; 
B. G. Teubuer, Leipzig. 

Pâli. Zuhlke. — Der Unterricht im Linearzeichnen und in der darstel- 
lenden Géométrie an den Deutschen Realaustallen. — 1. fasc. in-8, 92 p. ; 
2,60 M.; B. G. Teubner, Leipzig. 

Berichte und Mitteilungen. veranlassl durch die internationale mathe- 
matische Unterrichlskommission. — 1 fasc. in-8, 88 p. ; 50 Pf. ; B. G. Teub- 
ner, Leipzig. 

Congrès international de l'Enseignement Technique supérieur, Bruxelles, 
septembre 1910. Compte rendu. — L vol. in-8, 217 p.; G. Botny, édit., 
Ixelles-Bruxelles. 

(Idemi W. v. Dyck. — Enseignement des Sciences mathématiques, 
naturelles et techniques dans les écoles supérieures. (Congrès interna- 
tional de rEnseignement Technique supérieur. — 1 fasc. in-8, 67 p. ; 
G. Bolhy, édit., Ixelles-Bruxelles. 

Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 

française dirigée par J. Molk. — Tome II, vol. 2, fasc. I : Analyse algé- 
brique ; exposé d'après l'article allemand de A. Pringsiiei.m, Munich, et 
G. Fabkr, Sluttgard. par J. Molk. Nancy. — Fonctions analytiques; d'après 
l'article allemand de W.-F. Osgood. Cambridge U. S. A., par F. Boltroux, 
Poitiers, et Jean Cuazy, Grenoble. — Tome III. vol. 3, fasc. 1: Coniques; 
exposé d'après l'article allemand de F. Dingeldey, Darmstadt, par E. Fabry, 
Montpellier. — 2 fasc. ; Gauthier- Villars, Paris. 

International Catalogue of Scientific Littérature, ninih aunual Issue. 
A. Mathematics. — 1 vol. in-8. 228 p.; prix 15 Sh. : Harrisson a. Sous, 
Londres. Gauthier- Villars, Paris. 

The Teaching of Mathematics in the United Kingdom, prepared for the 
iiiiiru Commission of the Teaching of Mathematics. (v. p. 396 de cette 
Revue). — 8 fasc. in-8, Wyman a. Sons, Londres. 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 



COMPTE RENDU 

DU 

CONGRÈS DE MILAN 

18-21 septembre 1911 
public par 

II. Fehr 

Secrétaire-général de la Commission. 



Sommaire 



I. — Compte rendu sommaire. 
II. — Travaux préparatoires. 

III. — 7''- séance : Etat des travaux de la Commission au 15 septembre 

1911. — Discussion. 

IV. — 2 me séance : Rapport de la Sous-commission A : 1. La question 

de la rigueur dans l'enseignement moyen: 2. La fusion des dif- 
férentes branches mathématiques. — Discussion. 
Annexe : Rapport de M. Young i Chicago;. 
Y. — - 3 me séance : 1. Rapport de la Sous-commission B : L enseignement 
mathématique destiné aux étudiants en sciences physiques, en 
sciences naturelles, etc. — Discussion. 

2. Les travaux de la Commission au Congrès de Cambride 
VI. — Séance générale publique : Les discours officiels. — Allocution 
de M. Klein. — Rapport du secrétaire-général. — Discours de 
.M. d. Colombo. — Conférence de M. F. Enriqles sur les ma- 
thématiques et la théorie de la connaissance 
VIL — Séance de clôture au Motterone. 



L'Enseignement mathém., 13" anure: 1911 



Comité central : 

Président : M. F. Klein, G. K. R., professeur à l'Université de Gœttingue; 

Vice-président Sir G Greenhill, Londres ; 

Secrétaire- général . M. II. Fbhb, professeur à l'Université île Genève. 



Comité loeal de Milan : 

Président : M. Ani. Satko, vice-directeur de l'Ecole polytechnique de Milau, 
et .MM. les professeurs G. Colombo, sénateur, directeur de l'Ecole 
polytechnique : 

G. Celoria, sénateur, directeur de l'Observatoire de Brera, à Milan; 

P. Piazza, professeur à l'Université Bocconi et à l'Institut technique de 
Milan ; 

Iug. M. Bakoxi. professeur à l'Ecole polytechnique : 

G. Fasella., professeur à l'Ecole normale de jeunes filles G. Agnesi de Milan. 

Secrétaire . M. Giacomo Lokia, ingénieur. 



\Ienibres de la Commission internationale. 

Délégués des pays participants : 

Allemagne : MM. F. Klein (Gœttingue), P. St.f.ckel iCarlsruliei. P. Treut- 
lei.n (Carlsruhe). 

Autriche : MM. E. Czlber, W. Wirtinger, R. Slppantschitsch i Vienne). 

Belgique : M. J. Neuberg (Liège). 

Danemark : M. P. Heegaard i Copenhague). 

Espagne : M. Z. G. de Galdeano (Saragosse). 

Etats-Unis : MM. Dav.-Eug. Smith i New- York). W. Osgood (Cambridge, 
Mass.), J. W. A. Young (Chicago). 

France : MM. A. de Sai.nt-Ger.main. C-A. Laisant et C. Bocrlet (Paris). 

Grèce : M. C. Stéphanos (Athènes). 

Hollande : M. J. Cardi.naai. (Délit). 

Hongrie : MM. M. Beke. C. Radoz. Ratz (Budapest). 

Iles Britanniques : Sir Georges Greenhill (Londres), Prof. W. Hobson 
(Cambridge), Mr. C. Godfrev (Osborne). 

Italie : MM. G. Castelndovo (Rome), Fr. Enriqles (Bologne), G. Scorza 
(Païenne). 

Japon : M. R. Fujisawa (Tokio). 

Norvège : M. Alisen i Christiania i. 

Portugal : M. Gomes Teixkira i Porto i. 

Roumanie : M. G. Tzitzeica i Bucarest). 

Russie : MM. N. v. Sonin, Cojalovic, K. W. Vogt (St-Pétersbourg). 

Suède : M. H. v. Koch i Stockholm i. 

Suisse : MM. Fehr (Genève), C. F. Geisbr (Zurich), J. H. Graf (Berne). 

Délégués des Pars associés : 

Australie : M. Carslaw (Sydney); suppléant en Europe : Prof. Bragg. 
Leeds. 

Canada : M. Bovf.y, recteur au Collège impérial technique de Londres. 

Colonie du Cap : M. IIovgii. de 1 Observatoire royal de Capetown. 

Mexique: M. Valentin Gama, professeur à 1 Ecole nationale des ingénieurs, 
Tacuvaba. 



I. - COMPTE RENDU SOMMA IRE 



Le 1" Congrès international de l'Enseignement mathématique 
s'est tenu ;i Milan à L'Ecole polytechnique, sous la présidence de 
M. F. Ki.i.in Gœttingue . du 18 au 21 septembre 1911. On sait que 
dans la réunion partielle qu'elle a organisée à Bruxelles, en août 
1910, la Commission a décidé que la première réunion pléniére 
aurait lieu à Milan. 

Cette première réunion, qui devint en réalité un véritable Con- 
grès, a rapproché dans un travail commun les délégués de la plu- 
part des pays européens. Elle a montré tout l'intérêt qu'il y a 
à discuter dans une assemblée internationale des questions tou- 
chant à l'organisation et aux méthodes de l'enseignement mathé- 
matique. Contrairement à ce qui s'est fait jusqu'ici dans les 
Congrès des mathématiciens, les séances ont été uniquement 
consacrées à la discussion des rapports préparés par des Sous- 
commissions spéciales. Nous aurons à revenir, personnellement, 
dans Y Enseignement mathématique, sur l'organisation de nos Con- 
grès, mais nous tenons à taire constater dès maintenant la réus- 
site complète des séances organisées à Milan sur ces bases nou- 
velles. 

Lundi 18 septembre. — Le Comité central a tenu une première 
séance, le matin à 9 h., dans laquelle il a discuté principalement 
les ditïérentes questions figurant à l'ordre du jour du Congrès. 
Dans l'après-midi il a tenu une séance en commun avec les Sous- 
commissions A et B. La Sous-commission A avait pour mission 
de préparer la discussion concernant les mathématiques dans 
l'enseignement moyen et portant sur les deux points suivants : 

1. Dans quelle mesure peut-on tenir compte dans les écoles 
moyennes de l'exposé systématique des mathématiques ? 

2. La question de la fusion des différentes branches mathéma- 
tiques dans l'enseignement moyen. 

Après une discussion à laquelle ont pris part à tour de rôle les 
délégués des principaux pays, il a été décidé que M. Castei.nuovo 
rapporterait le lendemain sur la première question et M. Bioche 
sur la seconde. 

Il a été procédé d'une manière analogue pour la question B 
concernant l'enseignement mathématique théorique et pratique 
destiné aux étudiants en sciences physiques et naturelles. M. Ti- 
meiîdixg a été désigné comme rapporteur. 



440 COMMISSION INTERNATIONALE 

Réception à la Cova. — Le soir à 9 heures, les congressistes 
ont été reçus dans l'un des salons du Café-Restaurant (lova. 
par le Comité local de Milan. Son président, M. le Professeur 
Sayno, a adressé de cordiales paroles de bienvenue aux congres- 
sistes. M. le Professeur Klein a répondu au nom des invités. 

Mardi 19 septembre. — 9 h. du matin, première séance des dé- 
légués et des membres des Sous-commissions nationales. Avant 
d'entrer en séance, les congressistes ont d'abord déposé une cou- 
ronne au monument Brioschi. Cette première séance a été entiè- 
rement consacrée aux rapports sur l'état des travaux dans les 
19 pays participants. Les délégués ont exprimé le vœu que le Co- 
mité central prît des mesures pour faciliter la diffusion des pu- 
blications concernant la Commission en créant un dépôt central 
de vente '. 

La deuxième séance, qui a eu lieu à 4 heures, avait pour objet 
l'exposé et la discussion des deux rapports de la Sous-commis- 
sion A. Elle a été suivie d'une courte séance des délégués, dans 
laquelle ils ont examiné la participation de la Commission aux 
travaux du Congrès de Cambridge. 

Réception au Palazzo Marino. — Le soir à 9 heures, une brillante 
réception a été offerte aux congressistes par la Municipalité de 
Milan, au Palazzo Marino. Dans une charmante allocution M. 
E. Greppi, Maire de Milan, a dit combien les Milanais étaient 
heureux de posséder pour quelques jours des mathématiciens 
venus des pays les plus divers, puis M. le Prof. Klein a exprimé 
les remerciements des congressistes en rappelant les attaches 
précieuses qui lient les mathématiciens à la ville de Milan depuis 
Léonard de Vinci jusqu'aux mathématiciens modernes, au nombre 
desquels il signale tout particulièrement Cremona et Brioschi. 

Mercredi 20 septembre. — 9 heures du matin, troisième séance 
des délégués et des membres des Sous-commissions nationales. 
Elle avait pour objet l'examen de la question de l'enseignement ma- 
thématique théorique et pratique destiné aux étudiants en sciences 
physiques, naturelles, etc. M. Timerding a rapporté au nom de 
la Sous-commission B; son exposé a été suivi d'une discussion. 

Dans une seconde partie de la séance, la Commission a discuté 
la participation au Congrès de Cambridge; elle estime qu'il y a 
lieu de proposer le renouvellement de son mandat jusqu'au Con- 
grès suivant, afin que les travaux puissent être complétés et que 
des questions d'importance fondamentale puissent encore être 
mises en discussion dans des conférences de la Commission. 

Séance générale publique. — A4 heures les congressistes, aux- 
quels s'était joint un public nombreux appartenant aux sociétés 



1 La librairie Georg & C", Corrateric, 10, Genève, l'un des éditeurs de l'Eus, math., a été 
chargée de ce dépôt. 



COMPTE RENDU SOMMAIRE '. '. I 

scientifiques el au corps enseignant de la Province de Milan, 
s'étaient rendus dans la grande salle de l'Ailla de L'Ecole poly- 
technique pour la séance générale. On verra plus loin Le compte 
rendu complet de cette belle séance par laquelle se terminait la 
partie officielle du Congrès. Nous nous bornons à mentionner ici 
le discours de M. le Sénateur Colombo, Directeur de L'Ecole poly- 
technique de Milan, sur L'enseignemeni mathématique dans les 
Ecoles d'ingénieurs, et la conférence de M. le Prof. F. Enriques, 
sur les mathématiques et la théorie de la connaissance. 

Jeudi 21 septembre. — Le lendemain, les congressistes ont fait 
une excursion au Lac Majeur et au Motterone, organisée par le 
Comité local. Nous y reviendrons également à la fin de ce compte 
rendu. 

Telle a été, très brièvement retracée, la marche de la première 
Réunion de la Commission internationale de l'Enseignement ma- 
thématique. Les questions mises à l'ordre du jour ont donné lieu 
à d'intéressants rapprochements et à d'utiles comparaisons entre 
l'organisation des études dans les divers pays. Leur discussion 
n'a été qu'un premier débat, qu'une simple introduction, en 
quelque sorte. Les problèmes soulevés mériteraient d'être repris 
et approfondis dans des rapports spéciaux, suivant les bases in- 
diquées dans les circulaires adressées aux membres des sous- 
commissions et dont on trouvera le texte dans les Travaux pré- 
paratoires. La discussion ne devait d'ailleurs aboutir à aucune 
résolution, car, comme on l'a rappelé à plusieurs reprises, à 
Bruxelles et à Milan, la Commission ne se propose pas d'unifor- 
miser l'enseignement dans les divers pays, ou d'imposer des plans 
d'études — cela ne serait pas en son pouvoir. Elle cherche à 
contribuer aux progrès de l'enseignement mathématique, partout 
où celui-ci se donne, par l'apport de documents qui présentent, 
sous une forme objective, un tableau de l'état actuel de l'enseigne- 
ment et de ses tendances modernes. 

Nous ne saurions terminer cette introduction sans réitérer à 
cette place nos vifs remerciements à tous ceux — et ils sont nom- 
breux — qui ont collaboré à la réussite de ce Congrès. Nous nous 
bornerons à nommer ici M. le Prof. A. Sayno, vice-directeur de 
l'Ecole polytechnique' de Milan, président du Comité local, et 
M. Giacomo Loria, ing., secrétaire, grâce à l'activité duquel l'or- 
ganisation matérielle de la Réunion et de l'excursion a été prévue 
jusque dans les moindres détails. 

Publications offertes aux Congressistes. 

Les membres du Congrès ont reçu, à titre d'hommage du Comité 
local, les volumes ou fascicules suivants : 



442 COMMISSION INTERNATIONALE 

Quarantasei anni di cita del H. Istituto Tecnico superiore di 
Milano, 1863-1909. Monografia del Vicedirettore Prof. Antonio 
Sa y no. 

// Giubileo del Politecnico Milanese célébra tosi il 24 Marzo t889. 
Rico r do publicato per cura di aie uni ex-allievi. 

Onoranze al Senatore Giuseppe Colombo, direttore del R. Istituto 
Tecnico Superiore di Milano, nel-50" anno d'insegnamento. Milano, 
1901. 

Inaugurazione del Monumento a Francesco Brioschi, nel Regio 
Istituto Tecnico superiore di Milano. XIII dicembre MDCCCC. Mi- 
lano, 1901. Âdesioni e rappresentanze, discorsi, elenco dei Sotto- 
scrittori. 

R. Istituto Tecnico Superiore di Milano. Programma, anno 1910- 
1911. 

De son côté, la Municipalité a fait remettre aux Congressistes 
un exemplaire du bel Album illustré Milan en 1900. un volume de 
278 pages avec 200 illustrations dans le texte (édition non mise 
en librairie). 



II. - TRAVAUX PREPARATOIRES 



Le programme détaillé du Congrès a été arrêté par le Comité 
central dans une réunion qu'il a tenue à Carlsruhe en février 1911. 
Afin de concentrer les débats sur les points les plus importants, 
il a été décidé que deux sous-commissions spéciales seront c